Задачи на делимость

Слайд1 Представляю вашему вниманию проект на тему «Задачи на делимость».  При изучении этой темы мне пришлось вспомнить и обратить свое внимание делимость  чисел и признаки делимости чисел. Цель моего проекта: Расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а  также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач,  формированию определенной культуры работы над задачей. Слайд 2 После изучения этой темы я решил поставить для себя следующие Задачи: (не читать с доски, оставить на несколько секунд, попросить следующий слайд) Слайд 3 Вопросами делимости чисел люди интересовались уже очень и очень давно.  Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были  разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики есть еще много  неясного. ПАСКАЛЬ  Блез  (1623­1662) Французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Паскаль нашел: общий признак делимости любого целого числа на любое другое целое число, основанный  на знании суммы цифр числа Слайд 4 При подготовке к этому проекту мне пришлось самостоятельно поискать задачи  на делимость, но как я ни старался, ни в одном учебнике такой темы не нашёл. Но я точно знал, что такие задачи есть, т.к. мне предложили именно эту тему и мы проходили  задания, связанные с делимостью чисел. Когда же я спросил помощи у взрослых, в каком  из учебников можно найти этот раздел, то узнал, что такие задачи, как бусинки рассыпаны по всем учебникам и в дополнительной литературе, и что моя задача эти бусинки нанизать на одну ниточку и получить бусы. Я просмотрел много информации и выбрал из них  задачи данной тематики. С помощью взрослых узнал, что задания по этой теме могут  встречаться и во вступительных экзаменах в университет, а также в вариантах тестов ЕГЭ по математике. Таким образом, я нашёл много задач на делимость и понял, что эта тема  актуальна для меня, поэтому решил изучить ее подробно. Слайд 5 Признаки делимости натуральных чисел нам уже известны, например, признаки  делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10.  (не читать с доски, оставить на несколько секунд, попросить следующий слайд) Слайд 6 Основываясь на известных нам признаках делимости, можно сформулировать и  признаки делимости на 4, на 6, на 8, на 15 и другие. В дополнительной литературе я  отыскал признаки делимости на 7, 11, 13, 17, 19, 25. Но для решения очень многих задач  на делимость этого оказалось недостаточно. Признаки делимости чисел можно классифицировать следующим образом:  Делимость по последним цифрам числа  Делимость по сумме цифр числа  Делимость составных чисел Слайд 7. Во множестве отобранных задач на делимость было очень трудно разобраться, но затем удалось, каждая из них имела какой­то определенный метод решения. А некоторые  задачи можно было решить и не одним способом. Во многих из этих задач есть такой  элемент, который делает их непохожими на известные задачи, и возможно, потребует для  решения некоторой сообразительности, смекалки, творческого подхода. Поэтому задачи  на делимость очень любят включать в содержание олимпиад и викторин различных  уровней. Для решения отобранных задач на делимость, я использовал методы, суть  которых дается на конкретных примерах.  Слайд8 Найдите наименьшее число, записываемое только при помощи двоек, единиц и нулей, которое бы делилось на 225.  Число должно делиться на 25, поэтому оно оканчивается не менее, чем на два нуля.  Число должно делиться на 9 ,поэтому сумма цифр должна делится на 9, значит, она  не менее 9. Представим 9 наименьшим числом слагаемых:9=2+2+2+2+1. Чтобы  число было меньше, 1 должна стоять в начале числа. Ответ:1222200. Слайд9 При делении некоторого числа на 13 и 15  получились одинаковые частные,  но первое деление было с остатком 8, а второе деление без остатка. Найти это число.  Пусть число А = 13 х + 8 , тогда по условию А = 15 х ,  решив уравнение 13х + 8 = 15х, получим  х= 4. Значит, число А = 60.                            Ответ: 60 Слайд 10 Любитель арифметики перемножил первые 2002 простых числа.  На сколько нулей заканчивается произведение? (А) 0    (В) 1    (С) 10    (D) 20    (Е) 100  Решение. Ясно, что один ноль в произведении есть: и 2, и 5 входят в набор  первых 2002 простых чисел. Так же ясно должно быть, что больше нулей в этом произведении нет, поскольку сомножители не повторяются, а других  способов получить ноль на конце произведения нет.  Ответ — В. Слайд 11 НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ  КРАТНОЕ КОТОРЫХ РАВНО 78, А НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 13  Решение. 1. Пусть a и b натуральные числа, тогда по свойству  НОК(a,b)∙НОД(а,b)=а∙b имеем 13∙78=a∙b. 2. Разложим левую часть равенства на  простые множители 13∙13∙2∙3=а∙b 3. Подбором находим искомые пары чисел  a=13∙3=39 b=13∙2=26 или a=13∙3∙2=78 b=13 Ответ: 39 и 26, 78 и 13. Слайд 12 А теперь немного потренируемся! Какие цифры можно вставить вместо звездочки, чтобы число делилось на 2? Слайд13 Какие цифры можно вставить вместо звездочки, чтобы число делилось на 5? Слайд 14 Какие цифры можно вставить вместо звездочки, чтобы число делилось на 10?    Слайд 15 Тем, кому стала интересна эта тема могут попробовать дома решить следующую задачу.  Каждая буква в слове НЕПЛОХО заменена одной из цифр 1,2,3,4,5 и 6. Разные буквы  заменены разными цифрами, а одинаковые ­ одинаковыми. Полученное число делится на  3, но не делится на 2. На какую цифру заменена буква О? Можете записать себе ее в тетрадь по математике. Данный проект полезен для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и  вступительным экзаменам, т.к. последняя задача на ЕГЭ решается применением  признаков делимости. А также будет полезно и для учеников, участвующих в олимпиадах. Они часто встречаются в заданиях олимпиад «Сократ», «Кенгуру», «Авангард».  Применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным.  Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал  «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во  внеклассных занятиях для учащихся 5­11­х классов.        Слайд 16. Спасибо за внимание!