Методическое руководство по решению задач по теме постоянный электрический ток и расчет электрических цепей с помощью законов Кирхгофа и Ома. Руководство предназначено для самостоятельной подготовки учащихся 10 и 11 классов к предметным олимпиадам по физике и к итоговой аттестации. Материалы могут быть использованы учителями классов с углубленным изучением физики.
Задачи на законы Кирхгофа
Задача 1.
Дано. Схема (рис. 1), ЭДС источников тока Е1=12 в, E2=2 в , E3=10 в,
внутренние сопротивления этих источников r1=r2=r3=1 ом,
сопротивления резисторов R1=3 ом, R2=1 ом.
Определить силы тока в ветвях.
Решение.
1. Так как в схеме три ветви, значит, неизвестных токов тоже три, и уравнений в системе
должно быть три. Выберем произвольно направления этих токов. Поскольку узлов в схеме
два, значит, уравнений первого закона Кирхгофа будет одно (для узла А), а уравнений
второго закона Кирхгофа будет два. Направления обходов контуров (штриховые линии)
выбираем тоже произвольно. За направление ЭДС принимается направление от
отрицательного полюса к положительному полюсу, то есть направление перемещения
положительных зарядов внутри источника за счет сторонних сил.
2. Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа и решаем методом
последовательной подстановки. Для упрощения вычислений подставляем численные
значения ЭДС и сопротивлений.
J
J
1
3
E E
2
1
E
E
3
J
J
3
2
12 2 4
J
J
1
10 2
J
2
J
J
2
J R J r
1 1
1 1
J r
J R
3 3
2
2
J R
2
2
J r
2 2
0
J r
2 2
J
2
2
1
2
3
2
3
J
J
1
J
)
2
J
1
А J
2
J
5 3
2
2(
J
8 3(5 3 )
3
1
3 ,
2
J
10 4
1
J
8
3
JА J
1 ,
1
3. Выполним проверку по второму закону Кирхгофа по внешнему контуру.
E E
1
3
12 10 1 1 1 3 2 1
Проверка сходится.
2 2
J R J r
1 1
3 3
А
3
J r
1 1
1
J
J
1
1
Задача 2Дано. Схема (рис. 2), ЭДС источников тока Е1=10 в, E2=2 в , E3=8 в,
внутренние сопротивления этих источников r1=r2=r3=1 ом,
сопротивления резисторов R1=5 ом, R2=2 ом.
Определить силы тока в ветвях.
Решение
.
1. Так как в схеме три ветви, значит, неизвестных токов тоже три, и уравнений в системе
должно быть три.
2. Составляем систему трех уравнений по законам Кирхгофа.
J
1
E
3
E
1
J
3
E
2
J r
1 1
J
0
2
J r
3 3
J R
2
2
J r
3 2
J R
2
2
J R
1 1
J
J
J
1
3
2
8 2 2
2
J
J
2
10 6
J
2
J
1
2
3
3
J
6 2(
J
J
5 3
2
5 4(3 2 )
J
3
1 ,
J
A J
) 2
J
3
3
1
J
J
J
5 3
1
J
1
3
2
A
J
1
3
1
2
1
J
2
J
1
3 2
J
J
J
1
5 4
J
3
3
1
3
J
3
3. Проверка решения по внешнему контуру схемы.
E
E
J R J r
1 1
2
3
1 1
8 2 10 1 1 1 1 1 5 1 1
4
Проверка сходится.
E
1
J r
3 2
J r
3 3
4
Задача 3.
Дано. В схеме (рис.3) ЭДС источников тока Е1=11 в, E2=8 в , E3=4 в,
внутренние сопротивления этих источников r1=r2=r3=1 ом,
различные реальные амперметры показывают J1= 1 А , J2 = 2 А.
Определить внутренние сопротивления амперметров.
Решение.
1. В данной схеме заменим реальные амперметры резисторами, сопротивления которых
равны внутренним сопротивлениям этих измерительных приборов.
2. Расставляем направления токов, обходов контуров и направления ЭДС.2
3. Составляем одно уравнение первого закона Кирхгофа для узла и два уравнения второго
закона Кирхгофа для выделенных контуров.
E
E
J
J r
1 3
J r
3 3
J
J R
1
a
1
J R
2
a
J
2 1 1(
E
3
E
1
J
J
J r
3 3
)
A
J
2
2
3
2
1
2
1
3
Из первого уравнения Ra1 =2 ом
Из второго уравнения Rа2 =1 ом.
Задача 4. Мост Уитстона
Используя законы Кирхгофа, можно рассмотреть принцип действия так называемой
мостовой схемы (мостик Уитстона) для измерения сопротивлений. На рисунке 1 показана
такая схема. Четыре резистора R1 , R2 , R3 , R4 составляют плечи мостовой схемы. В одной
диагонали моста включен гальванометр G, сопротивление которого R5 , а в другой
диагонали источник тока, эдс которого равно Е, а внутреннее сопротивление r.
3
1
5
.
.
.
J
1
J
5
J
Jуз А
0
3
Jуз В
0
2
0
Jуз D
4
В схеме узлов 4, поэтому уравнений первого закона Кирхгофа будет 3 для узлов А, В и D.
J
J
J
Для трех контуров запишем три уравнения второго закона Кирхгофа, приняв направление
их обхода по часовой стрелке за положительное.
J R J R
1 1
2
J R J R
5
1 1
5
J R
J R
5
2
2
5
Jr Eконт ABCMNA
.
J Rконт ABDA
3
J Rконт BCDB
4
0
0
.
.
2
3
41
3
4
.2
Jур
2
Jур
.3
4
J Rур
3
J Rур
4
Таким образом, мы получили систему шести уравнений с шестью неизвестными силами
токов. В общем случае решается система и определяются токи. Схема моста и
соответствующая ей система уравнений по законам Кирхгофа будет значительно проще,
если добиться, чтобы ток в диагонали моста через гальванометр стал бы равен нулю. Это
можно достичь, например, изменением сопротивления R3 так, чтобы разность потенциалов
на участках цепи АВ и АD были равны. В этом случае изменятся уравнения 2, 3, 5 и 6 :
J
J
3
J R
1 1
J R
2
2
Разделив последние два уравнения друг на друга и учитывая равенства токов, получим:
R
1
R
2
Такую мостовую схему применяют для измерения одного неизвестного сопротивления,
входящего в состав моста. Для определения неизвестного сопротивления R1 достаточно
знать сопротивление R2 и отношение сопротивлений R3 и R4. Поэтому от схемы рис.1
можно перейти к схеме рис.2, в которой сопротивления R3 и R4 заменены реостатом (или
реохордом – калиброванная проволока).
R
3
R
4
Перемещая движок реостата или точку D на реохорде, можно установить ток
гальванометра равный нулю.
R
1
R
3
R
4
.5
.6
R
3
R
4
R
2
L
1
L
2
R
1
L
1
L
2
R
2
Задача 5. Параллельное соединение источников тока.
На рисунке 2 (слева) показано параллельное согласное включение (источники включены в
одном направлении). E1 и Е2 – ЭДС источников тока, r1 и r2 – внутренние сопротивления
этих источников. Воспользуемся вновь признаком эквивалентности источников.
Для определения тока I через сопротивление R в исходной схеме (слева) воспользуемся
законами Кирхгофа.I
I
1
I
2
E
1
I r
1 1
IR
I
1
E
2
I r
2 2
IR
I
2
E IR
1
r
1
r
2
E
2
IR
I
E IR E
1
2
r
1
IR
r
2
Выполним преобразования последнего выражения с целью определения тока I.
IR IR
r
r
1
2
E
1
r
1
2
E
r
2
I
I
E
1
r
1
r r
1 2
E
IR
2
r
r
2
1
Rr Rr
1
2
r r
1
2
I
E r
1 2
r r
1 2
E r
2 1
Rr Rr
2
1
I
IR
r
2
E r
E r
1 2
2 1
r r
2
1
E r
E r
2 1
1 2
r
r
1
2
r r
1
2
r
r
2
1
R
Для эквивалентной схемы (справа) сила тока равна
I
э
Приравняв токи, получаем:
E
э
E r
1 2
r
1
E r
2 1
r
2
r
э
E
э
R r
э
r r
1
2
r
r
2
1