Методическая разработка по решению задач по электростатике по энергии кулоновского взаимодействия. Приведено 7 авторских задач на эту тему с подробными решениями. Методическое руководство поможет ученикам 10 и 11 классов подготовиться как предметным олимпиадам так и итоговой аттестации. Руководство предназначено для самостоятельной работы учащихся.
Задачи по энергии кулоновского взаимодействия
Задача 1.
Возле поверхности равномерно заряженного шара зарядом 4q радиусом R находится
частица массой m и зарядом q. Частицу освобождают. Найти скорость частицы в тот
момент, когда она удалится на расстояние равное радиусу шара.
W
п
kq q
ш з
R
.
Решение.
Потенциальная энергия взаимодействия заряда и заряженного шара
к
Закон сохранения энергии
W W
н
kq q
ш з
2
R
2
V
mV
2
kq q
ш з
mR
kq q
ш з
R
k q q
4
mR
2
mV
2
kq q
ш з
(
1
R
1
2
R
)
2
q
k
mR
Следует заметить, что если летящий шар не останавливать, то в бесконечности его
скорость будет максимальной, потенциальная энергия электростатического
взаимодействия будет равна нулю.
Задача 2
В поле бесконечной равномерно заряженной пластины с плотностью заряда
заряженному шарику зарядом +q и массой m сообщили скорость V в сторону пластины.
Какое расстояние d пролетит шар до полной остановки?
Решение.
Используем закон сохранения энергии, принимая во внимание, что кинетическая энергия
шарика переходит в потенциальную энергию шара в поле заряженной пластины. При
перемещении шара из положения 1 в положение 2 против силовых линий заряженной
пластины сила Кулона совершает отрицательную работу, значит, потенциальная энергия
шара увеличивается.2
mV
2
Eqd
2
mV
2
2
0
qd
d
2
mV
0
q
Задача 3.
Два тела массой 100 г и зарядом 10 мкКл каждое удерживают на горизонтальной
плоскости на расстоянии 1 м друг от друга. Коэффициент трения тел о плоскость 0,1. Тела
одновременно освобождают. Найти максимальную скорость тел в процессе движения и
расстояние между телами в этот момент.
Решение.
На тела действуют силы Кулона и трения, причем, сила Кулона больше силы трения, так
как тела в этом положении приходится удерживать. В начальный момент Расстояние
между телами R0
возрастают. С увеличением расстояния между телами сила Кулона уменьшается и когда
она станет меньше силы трения, то скорость начнет уменьшаться. Значит, скорость будет
иметь наибольшее значение в тот момент, когда силы Кулона и трения сравняются.
и скорости тел равны нулю. После освобождения скорости тел
F
kт
F
2
kq
2
R
mg
kq
2
mgR
2
Rм
2
kq
mg
9
10
9 10 10
0,1 0,1 10
3
R – расстояние между телами в тот момент, когда скорость будет максимальной.
Так как действует внешняя сила – сила трения, то система является незамкнутой, для
которой закон сохранения энергии – изменение энергии равно работе внешней силы.
Начальная и конечная энергии равны:
W
н
2
кq
2
R
0
W
k
2
2
кq
2
R
2
mV
2
Работа силы трения:
Закон сохранения энергии:
A
т
F S
т
mg R R
0
(
)
т
W W A
kн
2
kq
R
mV
2
2
kq
R
0
mg R R
0
(
)
2
mV
2
kq
(
1
R
0
1
R
)
mg R R
0
(
)
Подставим kq2 из условия равновесия.
2
mV
mgR
2
2
mV
mg
(
mg R R
0
(
)
)
1
R
2
)
(
1
R
0
R R
0
R
0
g
R
0
V
(
R Rм c
)
0
(3 1)
0,1 10
1
2 /
Задача 4
Шарик массой 5 г и зарядом 2 мКл подвешен на нити длиной 1 м в горизонтальном
электрическом поле с напряженностью 20 В/м. Шарик сначала удерживают в нижнем
положении, а затем отпускают. Найти натяжение нити в тот момент, когда шарик
поднимется на высоту h=20 см. выше начального положения.
Решение.
Под действием силы Кулона шарик на нити отклоняется в направлении поля.
Запишем второй закон Ньютона на направление, совпадающее с силой T.
T mg
m a
sin
F
kцс
T m
cos
2
V
L
h L
L
cos
mg
cos
Eq
sin
0,8
sin
1 cos
2
0,6Воспользуемся теоремой о кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно
работе всех действующих сил.
mV
2
AА
эп
0
гр
2
Работа электрического поля
грA
Eqd EqL
sin
эпA
.
mgh
(1 cos
mgL
)
2
2
2(
)
sin
sin
EqL
EqL
mgL
mgL
(1 cos
Работа силы гравитации:
mV
2
mV
))
Подставим в соотношение для натяжения нити:
2
EqL
2
sin
mqL
cos
Eq
T mg
sin
mgL
(1 2 ) 2
cos
sin (1 2 )
L
L mg
Eq
mgL
) 2
sin
cos
(1 2 )(
L Eq
mg
3
3
3
0,6 5 10 10 0,8) 2 5 10 10 1) 92
(1 3)(20 2 10
cos
(1 cos
2
mgL
мН
Задача 5.
Два положительно заряженные шарика массой m закреплены на пружине жесткостью k и
длиной в деформированном состоянии L, причем, верхний шарик неподвижен. Нижний
шарик удерживается в таком положении, в котором пружина не деформирована.
Определить заряд шариков, если максимальное расстояние, на которое опустится нижний
шар, если его освободить, равно h.
Решение.
Задачу решаем по закону сохранения энергии для замкнутой системы: полная энергия
системы не изменяется. За нулевой уровень потенциальной энергии упругой деформации
принимает положение недеформированной пружины, за нулевой уровень потенциальной
энергии электростатического взаимодействия принимаем бесконечно удаленную точку, а
за нулевой уровень потенциальной энергии силы тяжести – уровень 2.
Начальное положение 1.
W mgh
1
2
q
L
04Конечное положение 2.
W
2
04
Закон сохранения энергии:
2
q
L h
(
2
kh
2
)
L
2
q
(
L h
2
kh
2
)
4
0
1
(
L h
)
2
kh
)
mgh
2
kh
2
mgh
mgh
(
2
q
2
q
4
0
1
4
0
2
1
L
2
0
L
(
4
0
1
2
2
(
L h
(
L L h kh mg
q
4
0
q
После того, как шарик переместится на максимальное расстояние h и остановится, он
начнет движение вверх и в дальнейшем будет совершать гармонические колебания.
)(
2
)
)
)
Задача 6.
Четыре одинаковых заряда по 2 мкКл каждый расположены по прямой линии. Расстояние
между соседними зарядами 60см. Какую работу надо совершить, чтобы разместить эти
заряды в вершинах правильного тетраэдра с ребром 60см ?
Решение.
Четыре заряда можно разделить на 6 пар: 12,23, 34, 13, 24, 14. Все заряды
взаимодействуют друг с другом, поэтому начальная энергия системы равна:
W
н
3
2
kq
r
2
kq
2
2
r
2
kq
3
r
13
3
2
kq
r
Конечная энергия состоит из энергий взаимодействия этих же пар, но все они расположены
на равных расстояниях r друг от друга.
W
k
6
kq
r
2
Работа внешних сил равна изменению энергии системы.
6
kq
A W WмДж
r
kн
2
2
13
kq
3
r
2
5
kq
3
r
100Задача 7.
На высоте 3 м на Землей закреплен заряд – 4мкКл, а на высоте 2,2 м находится частица
массой 0,9 г и зарядом +1 мкКл. Какую минимальную скорость надо сообщить частице
вертикально вниз, чтобы она достигла поверхности Земли?
Решение.
В начальный момент сила Кулона, направленная вверх, больше силы тяжести. Если
сообщить частице скорость V вертикально вниз, то в процессе движения вниз сила Кулона
будет уменьшаться, будет уменьшаться и скорость. Как только силы Кулона и тяжести
сравняются в т.А, то скорость перестанет уменьшаться. Эта точка является точкой
неустойчивого равновесия, то есть при дальнейшем движении вниз сила тяжести больше
силы Кулона и скорость будет увеличиваться. Значит, если частица достигнет точки А,
находящейся над Землей, то дальше частица долетит до Земли сама.
Определим ho – положение точки А.
k
q q
1 2
H h
o
(
2
)
mg
h H
o
q q
kм
1 2
mg
1
2
mgh
1
mgh
0
mV
2
kq q
1 2
H h
0
Так как ho меньше 2,2 м , значит, точка находится над Землей.
Запишем закон сохранения энергии, считая, что в точке А скорость частицы обратится в
нуль.
kq q
1 2
H h
1
Из равенства сил получим следующее выражение и подставим его в закон сохранения
энергии.
kq q
1 2
mg H h
(
o
H h
1
2
mg H h
o
mg H h
mg H h
o
mV
2
mgh
0
mgh
1
)o
2
)
2
)
2
)
2
(
2
mV
2
(
H h
0
mg h
(
0
h
1
)
2
)
(
H h
0
mg H h
(
o
H h
1
2
)
Выразим скорость, которую нужно сообщить частице.
V
2
(
g h
0
h
1
(
2
) (
2 (
g H h
o
(
g H h
H h H h
1
o
0
)(
H h H h
1
0
) (
h
h
0
1
(
)
H h
1
)
)
2
V
2 (
g h
0
h
1
)
)
V
2
g
H h
1
(
h
1
h
0
) 6
м
с