Задачи по энергии кулоновского взаимодействия

Задачи по энергии кулоновского взаимодействия Задача 1. Возле поверхности равномерно заряженного шара зарядом 4q радиусом R находится  частица массой m и зарядом q. Частицу освобождают. Найти скорость частицы в тот  момент, когда она удалится на расстояние равное радиусу шара.  W п  kq q ш з R . Решение. Потенциальная энергия взаимодействия заряда и заряженного шара   к Закон сохранения энергии  W W н kq q ш з 2 R  2    V  mV 2 kq q ш з mR  kq q ш з R  k q q 4 mR  2 mV  2 kq q ш з ( 1 R  1 2 R )  2 q k mR Следует заметить, что если летящий шар не останавливать, то в бесконечности его  скорость будет максимальной, потенциальная энергия электростатического  взаимодействия будет равна нулю. Задача 2 В поле бесконечной равномерно заряженной пластины с плотностью заряда      заряженному шарику зарядом +q  и массой m сообщили скорость V в сторону пластины. Какое расстояние d пролетит шар до полной остановки? Решение. Используем закон сохранения энергии, принимая во внимание, что кинетическая энергия  шарика переходит в потенциальную энергию шара в поле заряженной пластины. При  перемещении шара из положения 1 в положение 2 против силовых линий заряженной  пластины сила Кулона совершает отрицательную работу, значит, потенциальная энергия  шара увеличивается. 2 mV 2  Eqd  2 mV 2    2 0 qd d   2 mV 0   q Задача 3. Два тела массой 100 г и зарядом 10 мкКл каждое удерживают на горизонтальной  плоскости на расстоянии 1 м друг от друга. Коэффициент трения тел о плоскость 0,1. Тела одновременно освобождают. Найти максимальную скорость тел в процессе движения и  расстояние между телами в этот момент. Решение. На тела действуют силы Кулона и трения, причем, сила Кулона больше силы трения, так  как тела в этом положении приходится удерживать. В начальный момент Расстояние  между телами R0 возрастают. С увеличением расстояния между телами сила Кулона уменьшается и когда  она станет меньше силы трения, то скорость начнет уменьшаться. Значит, скорость будет  иметь наибольшее значение в тот момент, когда силы Кулона и трения сравняются.   и скорости тел равны нулю. После освобождения скорости тел    F kт F 2 kq 2 R   mg   kq 2  mgR 2  Rм 2 kq  mg  9  10   9 10 10  0,1 0,1 10   3 R – расстояние между телами в тот момент, когда скорость будет максимальной. Так как действует внешняя сила – сила трения, то система является незамкнутой, для  которой закон сохранения энергии – изменение энергии равно работе внешней силы. Начальная и конечная энергии  равны:   W н  2 кq 2 R 0   W k 2 2 кq 2 R   2 mV 2 Работа силы трения:  Закон сохранения энергии: A т   F S т      mg R R 0  ( )  т  W W A kн 2 kq R mV  2    2 kq R 0    mg R R 0 (  ) 2 mV  2 kq ( 1 R 0  1 R )   mg R R 0 (  ) Подставим  kq2  из условия равновесия. 2 mV   mgR 2 2 mV   mg (   mg R R 0 (  ) )  1 R 2 ) (  1 R 0  R R 0 R 0  g R 0 V  (  R Rм c  ) 0  (3 1)   0,1 10  1  2 / Задача 4 Шарик массой 5 г и зарядом 2 мКл подвешен на нити длиной 1 м в горизонтальном  электрическом поле с напряженностью 20 В/м. Шарик сначала удерживают в нижнем  положении, а затем отпускают. Найти натяжение нити в тот момент, когда шарик  поднимется на высоту h=20 см. выше начального положения.  Решение. Под действием силы Кулона шарик на нити отклоняется в направлении поля. Запишем второй закон Ньютона на направление, совпадающее с силой T. T mg   m a  sin     F kцс T m  cos 2 V   L  h L L  cos  mg  cos   Eq  sin      0,8 sin    1 cos 2   0,6 Воспользуемся теоремой о кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно  работе всех действующих сил. mV 2   AА эп  0 гр 2 Работа электрического поля  грA  Eqd EqL   sin эпA .    mgh (1 cos mgL     )     2  2  2(  )  sin  sin EqL EqL  mgL  mgL (1 cos Работа силы гравитации:  mV 2  mV )) Подставим в соотношение для натяжения нити:           2 EqL 2 sin mqL cos Eq T mg sin          mgL (1 2 ) 2 cos sin (1 2 ) L L mg Eq          mgL ) 2 sin cos (1 2 )( L Eq mg              3 3 3 0,6 5 10 10 0,8) 2 5 10 10 1) 92 (1 3)(20 2 10  cos  (1 cos   2 mgL     мН Задача 5. Два положительно заряженные шарика  массой m закреплены на пружине жесткостью k и  длиной в деформированном состоянии L, причем, верхний шарик неподвижен. Нижний  шарик удерживается в таком положении, в котором пружина не деформирована.  Определить заряд шариков, если  максимальное расстояние, на которое опустится нижний  шар, если его освободить, равно h.       Решение. Задачу решаем по закону сохранения энергии для замкнутой системы: полная энергия  системы не изменяется. За нулевой уровень потенциальной энергии упругой деформации  принимает положение недеформированной пружины, за нулевой уровень потенциальной   энергии электростатического взаимодействия принимаем бесконечно удаленную точку, а  за нулевой уровень потенциальной энергии силы тяжести – уровень 2. Начальное положение 1.       W mgh  1  2 q L 04 Конечное положение 2.     W 2   04 Закон сохранения энергии: 2 q L h (  2 kh 2  )  L 2 q ( L h  2 kh 2  )  4 0 1  ( L h ) 2 kh )  mgh  2 kh 2 mgh mgh ( 2 q    2  q  4 0 1  4 0 2 1 L  2 0  L (  4 0  1 2  2 ( L h  ( L L h kh mg q  4 0  q После того, как шарик переместится на максимальное расстояние h и остановится, он  начнет движение вверх и в дальнейшем будет совершать гармонические колебания.  )(   2 ) ) ) Задача 6. Четыре одинаковых заряда по 2 мкКл каждый расположены по прямой линии. Расстояние  между соседними зарядами 60см. Какую работу надо совершить, чтобы разместить эти  заряды в вершинах правильного тетраэдра с ребром 60см ? Решение. Четыре заряда можно разделить на 6 пар: 1­2,2­3, 3­4, 1­3, 2­4, 1­4. Все заряды  взаимодействуют друг с другом, поэтому начальная энергия системы равна: W н   3 2 kq r 2 kq   2 2 r 2 kq  3 r 13  3 2 kq    r Конечная энергия состоит из энергий взаимодействия этих же пар, но все они расположены на равных расстояниях r друг от друга. W k   6 kq r 2     Работа внешних сил равна изменению энергии системы. 6 kq A W WмДж r    kн 2  2 13 kq 3 r  2 5 kq 3 r  100 Задача 7. На высоте 3 м на Землей закреплен заряд – 4мкКл, а на высоте 2,2 м находится частица  массой 0,9 г и зарядом +1 мкКл. Какую минимальную скорость надо сообщить частице  вертикально вниз, чтобы она достигла поверхности Земли?                                                         Решение. В начальный момент сила Кулона, направленная вверх, больше силы тяжести. Если  сообщить частице скорость V вертикально вниз, то в процессе движения вниз сила Кулона  будет уменьшаться, будет уменьшаться и скорость. Как только силы Кулона и тяжести  сравняются в т.А, то скорость перестанет уменьшаться. Эта точка является точкой  неустойчивого равновесия, то есть при дальнейшем движении вниз сила тяжести больше  силы Кулона и скорость будет увеличиваться. Значит, если частица достигнет точки А,  находящейся над Землей, то дальше частица долетит до Земли сама. Определим ho – положение точки А. k q q 1 2  H h o  ( 2 )    mg h H o  q q  kм 1 2 mg  1     2  mgh 1 mgh 0 mV 2 kq q 1 2  H h 0 Так как ho меньше 2,2 м , значит, точка находится над Землей. Запишем закон сохранения энергии, считая, что в точке А скорость частицы обратится в  нуль. kq q 1 2  H h 1 Из равенства сил получим следующее выражение и подставим его в закон сохранения  энергии.   kq q 1 2   mg H h ( o  H h 1  2 mg H h o mg H h mg H h o mV 2 mgh 0 mgh 1 )o  2 ) 2 ) 2 )  2    ( 2  mV 2   ( H h 0   mg h ( 0  h 1 ) 2 )   (  H h 0  mg H h ( o  H h 1  2  )  Выразим скорость, которую нужно сообщить частице.  V 2 ( g h 0 h 1   ( 2 ) (  2 ( g H h o   ( g H h H h H h 1 o 0  )( H h H h 1 0    ) ( h h 0 1  ( ) H h 1 ) ) 2 V  2 ( g h 0  h 1 )  ) V  2 g  H h 1 ( h 1  h 0  ) 6 м с