Задачи по магнитным силам

Задачи по магнитным силам Задача 1 . Проводник длиной L и массой m , по которому течет ток J  находится в магнитном поле  индукцией В,  вектор которой направлен под углом а  к горизонту. Проводник расположен  горизонтально (на чертеже дан вид спереди). Определить угол отклонения нити от  вертикали. Решение.                                          BJL  sin  BJL На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера, направленная по правилу  левой руки под углом  (90­a)  к горизонту вниз.  aF Кроме того, на проводник массой m действует вниз сила тяжести и сила натяжения нити по направлению нити. Так как проводник находится в покое, то ускорение его равно нулю, и результирующая  ur ur ur всех действующих сил равна нулю.    F mg T  0 x Выберем направления осей координат и запишем для проводника уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси координат.      sin ) T X ma :    ) sin(90 Y ma :  T sin  cos T y    cos  mg  Если разделить числитель и знаменатель полученной дроби на  BJL , то получим  cos   cos(90 F a     T cos F a   sin F a   mg F a  sin F a   cos  mg F a tg      sin  cos mg BJL BJL   tg    tg mg  cos  BVL  p    1 Задача 2 Проводник длиной L и массой m скользит по направляющим в магнитном поле индукцией  В равномерно.  Определить коэффициент трения между проводником и направляющими,  если к направляющим подведено напряжение, создающее ток J в проводнике. Вектор  магнитной индукции перпендикулярен плоскости чертежа.         Решение. На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера, направленная по правилу  левой руки направо. Проводник начинает скользить по поверхности стола и на него  начинает действовать сила трения. Так как проводник двигается равномерно, значит, по  первому закону Ньютона равнодействующая всех действующих на тело сил равна нулю.  Сила Ампера равна силе трения, а сила тяжести равна силе реакции опоры. X F F Y N mg  BJ L c )  ( mg   N (  ) BJ L c  aтр  : :    mg     В этой задаче следует отметить, что эффективная длина проводника (то есть часть  проводника, находящаяся в магнитном поле) равна (L­C). Решение справедливо для L больше С, так как в противном случае сила Ампера будет  равна нулю и движения  и силы трения не будет. Задача 3. Три проводника длиной L, по которым текут токи J, J и 2J (направления токов см. на  рисунке), расположены параллельно друг другу, расстояния между ними  а и 2а.  Определить силы Ампера, действующие на каждый проводник. Решение. На каждый из трех проводников действуют две силы Ампера, так как каждый проводник с  током находится в магнитных полях двух других проводников. В первом и втором проводниках токи текут в одинаковых направлениях, поэтому  проводники притягиваются друг к другу с силой Ампера. Токи в первом и третьем, а так  же во втором и в третьем проводниках направлены встречно, поэтому проводники  отталкиваются друг от друга. Определим результирующие силы, действующие на каждый  проводник в проекции на ось X.   k J м k J J L м JL F 12  F 21  F 23  F 32  F 31  F 13  F 12 F 1  F 13  F 2  F 21  F 23  F 3   F 31  3   k м L  1 2 a k J J L м  2 a  J JL 2 2 2 a 2 a  k J J k J J 1 3 м м a 3 3 a k J L k м a 3 2 J L k a k J L k J L м 3 a J L 2 a 2 J L a   F 32 2 2 k м    L 2 м a  м 2 2 м 2 2   L 2 2 6 5 k J м 3 a k J м 2 a k J 4 м 3 a    2 3 k J м a L L  2 L Задача 4 Отрицательно  заряженная частица массой m и зарядом q ускоряется из состояния покоя электрическим полем (напряжение между пластиной и сеткой U). Пролетев ускоряющую сетку, частица попадает в магнитное поле индукцией В, направленное перпендикулярно чертежу. Экран расположен на расстоянии L от сетки. Определить точку попадания частицы в экран (смещение от прямолинейности). Решение. Под действием электрического поле заряд из состояния покоя ускоряется, при этом по  закону сохранению энергии изменение потенциальной энергии поля равно приобретенной  кинетической энергии заряженного частицы.  q U 2  mV 2   V 2 m  q U Двигающаяся заряженная частица в магнитном поле, если влетает перпендикулярно  индукции магнитного поля, двигается  под действием силы Лоренца по окружности  радиуса R=OC=OA. Сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости, поэтому создает центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона получаем: ma ц   F л OD  2 m V R OC CD  2  BVq   R mV Bq 2  2 R  2 L x AD OA OD R      2 R  2 L  mV Bq  ( mV Bq 2 )  2 L   m Bq 2 Uq m  2 Uqm 2 2 B q  2 L Следует заметить, что если радиус траектории частицы будет меньше L (подкоренное  выражение будет меньше нуля), то частица пролетит полуокружность, на экран не попадет, а вернется к сетке на расстоянии R ниже точки O.   Задача 5. Отрицательно  заряженная частица массой m и зарядом q со скоростью V перпендикулярно границе раздела влетает в малую область магнитного поля. Область магнитного поля  представляет собой квадрат со стороной а.  Определить, где  и при каких значениях индукции магнитного поля B частица может  вылететь из области поля, если влетает в поле в середине стороны квадрата? Решение.                                         Сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости, поэтому создает  центростремительное ускорение. Частица полетит по окружности, радиус которой R  определяется из следующих преобразований. ma ц   F л m 2 V R  BVq   R mV Bq Значит, чем больше индукция поля B, тем меньше радиус траектории частицы, то есть тем  сильнее она отклоняется от начального направления. Поэтому возможны три случая: когда  частица из области поля вылетит на участке ОВ, на участке АВ или на участке DA. После вылета из поля частица будет лететь прямолинейно по направлению касательной к  прежней траектории. Рассмотрим три этих случая. 1. Частица вылетит из области поля на участке ОВ, если диаметр окружности, по которой  она летит, не превышает длины отрезка ОВ. 2 R     R a 2 a 4 mV Bq    B a 4 mV 4     a q 2. Если радиус кривизны траектории большой, то частица вылетит из области магнитного  поля через сторону DA. Из прямоугольного треугольника ABM по теореме Пифагора следует: 2  AB BM   AB a a 2 ( R  a  2 2 a 2  AM    BM R )2 R R  2 2 2 2 a     4 a 2 2 2 a  2 R R  5 4 a AM R     R a Ra 2 Перейдем к неравенству:   mV Bq    B a 5 4 2 a    0 4 a 2  Ra 2 a  4 4 mV 5 aq 3. Если индукция поля будет иметь промежуточные значения между двумя определенными  в предыдущих пунктах граничными значениями, то частица вылетит из области поля через  строну АВ. mV 4 5 aq 4 mV aq p p B   Задача 6. Электрон с некоторой скоростью влетает в область действия электрического и магнитного  полей перпендикулярно векторам напряженности электрического поля и индукции  магнитного поля.  Какой должна быть скорость электрона, чтобы в момент попадания  в область полей  действующая на них сила была направлена на восток, если напряженность электрического  поля  равна  300 в/м  и направлена на запад, а индукция магнитного поля равна 1 mTл и  направлена вверх. Решение. На отрицательный электрон действует сила Кулона, направленная против вектора  напряженности, и сила Лоренца, направленная  по вектору напряженности (по правилу  левой руки). Поэтому, для того, чтобы электроны отклонялись на восток  ( на рисунке в плоскости чертежа направо), необходимо           Ff F к л F k F л   e E    e B V f  e E e B V    V p E B Подставим численные значения:       Задача 7 p V 300 0,001  V p  3 10 5 м сек Электрон влетает в однородное магнитное поле индукцией В со скоростью V под  углом  к линиям магнитной индукции. Толщина области с полем равна L. Найти  изменение импульса электрона за время пролета через магнитное поле. Решение. Электрон в магнитном поле будет двигаться по спирали радиусом  R и периодом Т. R  mV  sin Вq                         T   2 V 2R   m Bq Шаг спирали  (расстояние, пройденное электроном за время, равное периоду) h V  cos    T V cos   2 m  Bq C течением времени горизонтальная составляющая скорости электрона при  движении по  спирали  (в проекции на горизонтальную плоскость ­  по окружности) поворачивается на  угол .                                           В направлении магнитного поля скорость и импульс не изменяются, поэтому необходимо  определить изменение импульса только в направлении, перпендикулярной магнитной  ur uur uur индукции. Из рисунка определяем    p p 1 p 2    p     2  sin 12 p p m V mV  2    sin   p 1   угол поворота перпендикулярной  составляющей  импульса (электрон может  совершить не полный оборот), поэтому               x L h             2  2 L h   BqL cos mV   p 2 mV sin   sin( 2 Задача 8  BqL cos mV )  Электрон влетает в однородное магнитное поле  со скоростью V под  углом  к линиям  магнитной индукции. В точке А .  При каком значении  индукции магнитного поля  электрон попадет в точку  С,  расположенную на расстоянии L  от точки А вдоль линий  поля? Заряд и масса электрона известны. Решение. Электрон в магнитном поле будет двигаться по спирали радиусом  R . F m a л цс    BqV m     R x Период обращения электрона                      mV     T  2 R   sin V  R 2 V x  2  sin  V 2 V x RВq mV sin Bq  sin      2 m Bq  Шаг спирали  (расстояние, пройденное электроном за время, равное периоду)   h V T V  y cos h L    B V cos cos   2 m  Bq    T V  2 m  Lq Задача 9 В центр циклотрона, радиус которого R , а постоянное знакопеременное  напряжение  между дуантами равно U, с нулевой начальной скоростью пускают  положительное ядро  зарядом q и массой m. Какой должна быть индукция магнитного поля, направленная  перпендикулярно плоскости дуантов, для того чтобы ядро покинуло ускоритель, совершив  n оборотов? Каков должен быть период знакопеременного напряжения?                            Решение. Между дуантами циклотрона подается знакопеременное напряжение U. Положительный  заряд (ядро) помещенное в центр циклотрона ускоряется электрическим полем, так как на  него действует сила Кулона. При этом работа силы Кулона увеличивает кинетическую  энергию заряда. A U q к    2 mV 2                                                   В магнитное поле на заряд будет действовать сила Лоренца, направленная по правилу  левой руки перпендикулярно скорости. Любая сила, перпендикулярная скорости создает центростремительное ускорение, то есть заряд будет двигаться по окружности.  При этом  скорость по модулю будет постоянной. Радиус траектории : R  mV qB    Пролетев полуокружность через время  t=T/2, ядро вновь  попадает в электрическое          поле, полярность которого в этот момент изменяется на противоположное. При этом вновь работа силы Кулона увеличивает кинетическую энергию ядра на такую же величину. То  есть за каждый оборот ядро получает энергию дважды, а за n оборотов получит энергию  2nA. После каждого прохождения ускоряющего напряжения радиус траектории  увеличивается и в предельном конечном состоянии будет равен R.                               2 nUq  2  V к   mV к 2 m nUq 2 qB m nUqm qB  mV к qB 2 R  B  4 nUq m 2 qB   nUqm Период обращения должен быть равен:  m qR Unqm  2 m qB  2 R V  2  2    T q   mR Unqm Период знакопеременного напряжения должен быть таким же. Задача 10 Металлический образец в форме параллелепипеда со сторонами a х a х b перемещается в  магнитном поле индукцией В со скоростью V . Магнитное поле индукцией В направленно  перпендикулярно граням. Определить напряжение между гранями параллелепипеда и  плотность электрических зарядов на этих гранях (Эффект Холла). Решение. При движении проводника в магнитном поле на заряды проводника будет действовать сила Лоренца. Под действием этой силы свободные положительные заряды будут смещаться на  грань C и там скапливаться (в действительности в проводниках двигаются свободные  электроны). При этом создается разность потенциалов U между гранью C и  противоположной ей гранью. Между зарядами на этих гранях будет действовать сила  Кулона, направленная встречно силе Лоренца. E q BVq      Движение зарядов к грани С будет происходить до тех пор, пока силы Кулона и Лоренца не сравняются. F F к л E BV E – напряженность электрического поля между гранями. Определим напряжение между гранями  U E a BVa Напряженность между двумя пластинами ( из теоремы Гаусса) равна:  BV  0           0  0 E E ,   поверхностная плотность заряда и электрическая постоянная, соответственно. 0