Задачи с решениями для 8 класса по геометрии

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА.( с решениями) Вычислите   углы   параллелограмма,   если   его   углы,   прилежащие   к   одной Задача № 1 стороне, относятся как 2 : 3. Д а н о: ABCD – параллелограмм; A: B = 2 : 3. Н а й т и: A; B; C; D. Задача №2 Периметр параллелограмма равен 122 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найти стороны параллелограмма. Д а н о: ABCD – параллелограмм; ВС – АВ = 25 см; PАВСD = 122 см. Н а й т и:  АВ; ВС; CD; AD. Постройте параллелограмм со сторонами 4 см и 6 см и углом 50° между Задача № 3 ними. Д а н о: A = 50°; АВ = 4 см; AD = 6 см. П о с т р о и т ь   параллелограмм  ABCD. Меньшая сторона прямоугольника равна 4 см и образует с диагональю угол в 60°. Найдите диагонали прямоугольника. Задача № 4 Д а н о: ABCD – прямоугольник; АВ = 4 см; BAC = 60°; АС – диагональ. Н а й т и: АС. Задача № 5  Биссектриса угла А прямоугольника ABCD делит сторону ВС на части 2 см и 6 см. Найдите периметр прямоугольника. Д а н о: ABCD – прямоугольник; АЕ – биссектриса A; BE = 2 см; ЕС = 6 см; (или BE = 6 см, ЕС = 2 см). Н а й т и: PАВСD. Д а н о: ABCD – четырехугольник; ОА = ОС; 1 = 2. Д о к а з а т ь,  что ABCD – параллелограмм. Задача № 6 Д а н о: EFCD – квадрат; DO = OF; ACD; BEF; CAO = 130°.  Н а й т и  все неизвестные углы. Задача № 7 Задача № 1 Р е ш е н и е.  Если   ABCD   – параллелограмм, то A = C, B = D, A + B = 180° – как внутренние односторонние при AD || BC и секущей АВ.  Если  A : B = 2 : 3,  то A = 2х,  B = 3х и 2х + 3х = 180°,  5х = 180°, х = 180° : 5 = 36°. A = C = 36°  2 = 72°, B = D = 36°3 = 108°. О т в е т: 72°; 108°. Задача №2 Р е ш е н и е.  Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 25. Так как CD = АВ и ВС = AD, то CD = х и AD = х + 25. По условию PАВСD = 122 см, значит, 2х + (х + 25) 2 = 122,  х + (х + 25) = 61. 2х + 25 = 61, 2х = 61 – 25, 2х = 36, х = 18, тогда АВ = CD = 18 см, ВС = AD = 18 + 25 = 43 (см). О т в е т: 18 см; 43 см. Задача № 3 А н а л и з: П о с т р о е н и е: 1. Строим A = 50°. 2. На одной из сторон A откладываем отрезок АВ = 4 см, на другой – AD = 6 см. 3. Через точку В проводим прямую a || AD, через точку D прямую в || АВ. а || в = С. ABCD – искомый параллелограмм. Д о к а з а т е л ь с т в о. Задача № 4 Р е ш е н и е.  CBA  =  90°,  т. к.  ABCD  –  прямоугольник.  В  ΔАВС  CBA = 90°,  BAC = 60°, тогда  ACB  = 180° – (60° + 90°) = 30°, т. к. сумма углов треугольника 180°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит, если АВ = 4 см, то АС = 42 = 8 (см). О т в е т: 8 см. Задача № 5 Р е ш е н и е.  PАВСD = АВ 2 + ВС 2; ВС = 2 + 6 = 8 см. В ΔАВЕ BAE = 90 : 2 = 45°, т. к. АЕ – биссектриса  A, значит, BEA = 180° – (90° + 45°) = 180° – 135° = 45°  и ΔАВЕ – прямоугольный и равнобедренный, т. е. АВ = BE = 2 см  (или АВ = ВЕ = 6 см),  тогда PАВСD = 2 8 + 2 2 = 16 + 4 = 20 (см) [или PАВСD = 2 8 + 2 6 = 16 + 12 = 28 (см)]. О т в е т: 20 см или 28 см. Р е ш е н и е. 1. 1 = 2, но эти углы накрест лежащие при пересечении прямых ВС и AD Задача № 6  секущей BD, значит, ВС||АО. 2. BC||AD, AC – секущая, значит, BCO = DAO. 3. BOC = AOD как вертикальные. 4. 5.  Задача № 7 Р е ш е н и е.  C  =  D  =  E  = F  =  90°, т. к. EFCD – квадрат. DF – диагональ, и по свойству диагоналей квадрата  CDF = EDF = DFE = DFC = 45°.  DAO =  180° – 130° = 50°. так как  DAO и CAO – смежные, ABF = DAO = 50°, т. к.  CD || FE  и  АВ  – секущая,  ABF  и  DAO  – внутренние накрест лежащие, аналогично ABE = ВАС = 130°. В ΔAOD DAO = 50°, ADO = 45°, значит, AOD  = 180° – (50° + 45°) = 85°, т. к. сумма углов треугольника равна 180°. AOD = BOF = 85°, т. к. эти углы вертикальные. О т в е т: 90°; 45°; 130°; 50°; 85°.