Закон сохранения энергии в конденсаторных схемах

Закон сохранения энергии в конденсаторных схемах Задача 1  A  Q 0 W A  kмех  ист Вариант 1  При разомкнутом ключе К2 ключ К1 замыкают и после окончания переходных процессов  размыкают.  После этого замыкают ключ К2. Решение.  По закону сохранения энергии  изменение энергии в конденсаторе  определяется  соотношением                 мехA    ­  работа механических сил равна нулю, так как нет перемещений внутри  конденсаторов. истA    ­ работа источника тока равна нулю, так как при замыкании ключа К2 ключ К1  разомкнут, источник тока отключен. Q   количество теплоты, которое выделяется при движении зарядов. W W кн Начальная и конечная энергии конденсаторов соответствуют соответственно разомкнутому и замкнутому ключу К2. Для начального состояния (конденсаторы заряжаются от источника тока): Q Q W W кк       0 кн кк Для  конечного состояния  (в схеме остаются только конденсатор С2 и параллельный ему  конденсатор С3.). Заряды конденсаторов сохраняются., так как цепь разомкнута. q 23  2 Ec W кк   2 q 23 2 C 23  2 2 E c 4   2 ( c 2 ) c  2 3 2 E c   Подставляем энергии конденсаторов в соотношение для  Q и получим ответ. 2 Q E c   Вариант 2. 2 3 2 E c  1 3 2 E c  2 c C o    q o  W кн  2 ) c 2 c Ec 2 1    ( ) C C C 6 ( c c 3     c C C C c 6 3 2 1      q q q 2 E C 1 3  2 С U 2 с E о 2 2 cE 2 2 о   2 o кн  ист Q A kk  ист   kkкн  При разомкнутом ключе К2 ключ К1 замыкают и после окончания переходных процессов   замыкают ключ К2. Решение. В этом случае ключ К2 замыкают под напряжением, источник тока остается подключенным постоянно , участвует в перезарядке конденсаторов, поэтому совершает работу. Закон  сохранения энергии в этом случае принимает вид:  W W Q W W A Начальное состояние схемы такое же, как в варианте 1, поэтому начальные заряды и  энергия конденсаторов соответствуют рассчитанным. В конечном состоянии после замыкания ключа К2 оставшиеся параллельно соединенные  конденсаторы С2 и С3 будут заряжаться (дозаряжаться ) от источника тока. C q ok     c C C 3 2 ok    3 Ec E C ok 2 2 C E 3 E c ok 2 2 Работа источника тока : E q E q A ( ист ok Подставляем энергии конденсаторов в соотношение для  Q и получим ответ.       E (3 Ec  2 Ec )  q oн )  2 E c 2 c  3 c W kk   2 Q E c   2 2 E c E c   2 E c 3 2 1 3 Одинаковый ответ в первом и втором варианте – это не закономерность, а случайность. Задача 2 В исходном состоянии для схемы рис.2 С1=2С, С2=3С, э.д.с. источника тока равна E. В плоском воздушном конденсаторе С1 с помощью внешней силы пластины очень быстро  раздвинули, увеличив расстояние между пластинами в 2 раза. Какое количество теплоты  выделится в схеме в последующем переходном процессе? Решение. При быстром движении пластины против силы Кулона заряд пластин сохраняется, сила  Кулона совершает отрицательную работу, а внешняя сила – положительную работу. Вторая пластина двигается в поле первой пластины, электроемкость первого конденсатора  уменьшается в 2 раза. A мех  F k   dЕ q 1 2 q   d q н 1  2 S 0  2 н d 2 q d   1 н  2 S 0 2 q    1 н 2 C н Для начального состояния (до начала движения) : C 0 н  1 н  С C 2  C C 2 1 н  q 0 н  q 1 н  q 2 н   2 3 c c  3 2 c c Ec 6 5   6 5 c A мех  2 2 36 E c  25 2  0,72 2 E c W кн  2 6 сE  5 2  0,6 2 E c Так как электроемкость С1 уменьшилась быстро, то при последующем переходном  процессе напряжение на нем должно увеличиваться, поэтому для того чтобы сумма  напряжений на С1 и С2 оставалась равна E, заряд будет уходить в источник тока, значит,  источник тока будет совершать отрицательную работу. Для конечного состояния:  3 c c  3 c c  C C 2  C C 1 3 4 C 0    c 1 k 2 k k k н 0 2 2 ( )       E q 0 W кк A ист ( E q 0 3 cE  2 4 C E k 2 3 4 3 8 Закон сохранения энергии W W Q Q W W AА Задача 3  kkкн    мех  kkкн  ист  мех   ист AА cE Ec  6 5 Ec )   9 20 2 E c   0, 45 2 E c 2  0,375 cE 2   ( 0,375 0,6 0,72 0, 45) E c    2  0, 495 E c 2 В исходном состоянии для схемы рис.3 С1= С2=С, э.д.с. источника тока равна E. В плоском воздушном конденсаторе С1 с помощью внешней силы пластины очень быстро  cдвинули, уменьшив расстояние между пластинами в 2 раза. Какое количество теплоты  выделится в схеме в последующем переходном процессе? Решение. Для начального состояния:      с с  2 CС oн с 2 qЕ С он   сЕ W он  2   кн 2  С 1 н 2 сE  сЕ 2 2 При быстром перемещении пластин конденсатора все заряды сохраняются, а  электроемкость первого конденсатора увеличивается в 2 раза. При этом для постоянства  разности потенциалов на источнике тока необходим больший заряд, поэтому в  последующем переходном процессе заряд потечет от источника тока, и источник тока  будет совершать положительную работу. 2 c сЕ )     qсЕ c ок  3 c 2 3 C oк  сЕ    2 C c 1 к  2 (3 AЕ сЕ ист 2 3 сЕ 2 W кк  A мех   2 q 1 н  2 S oн d  н 2 2 q   1 н 4 Cс 1   2 2 Е с 4 2   сЕ 4 Так как сила Кулона совершает отрицательную работу, то внешняя сила – положительную  работу при перемещении на расстояние    Q W WА кк кн Задача 4  А ист   сЕ мех 2 нd 1 2  cЕ 1,5  .  2 сЕ 2  0,25 cЕ 2  0,25 cЕ 2 1 01 02 0                                                                  Решение. Данная задача с ненулевыми начальными условиями и особенность ее в том, что  при  замыкании ключа К суммарный заряд правой пластины конденсатора C1 и левой пластины  конденсатора С2 неравен нулю :            ­ для согласного включения конденсаторов                      q U C U C 0 2 ( полярности так, как на рисунке 4). Этот заряд будет сохраняться ( по закону сохранения  электрического заряда) при любых последующих переходных процессах. Так как схема  подключена к источнику тока, то при замыкании ключа К заряды конденсаторов (правых  пластин) изменятся и будут равны после переходного процесса q1 и q2 , а напряжения U1 и  U2. Эти заряды и напряжения должны соответствовать закону сохранения заряда и  соотношению напряжений при последовательном согласном  включении. Получаем систему двух уравнений. Если бы конденсатор С2 был включен встречно (по  полярности), то знаки и q2, и U2  изменились бы на противоположные. 1 U U q q 2 1    2  E  q 0  q q 1 2 C C 1 q q 1  2 2  E  q 0 q C 1 2  ( q 1  q C EC C 0 2 )  1 1          Находим заряды конденсаторов.   q 1  q 2  EС С q C 1 0 EС С U C U C C 2 02 1 2   EС С q C 2 0 EС С U C U C C 2 01 2  1  1 2  C C 2  1 2  C C 2 1 1 1  2  01  2 1 C C 2 2 01  C C q p , то есть 0 1 1 2 1  q p    или   0 Из соотношений ясно, что возможны ситуации, когда  конденсаторы в результате переходного процесса могут перезарядиться на  противоположные полярности. Работа источника тока (для положительного полюса) : истAЕ q   2 1 2   q 2 q 2  q 02  Можно показать, что  EC C U C U C C 1 01 1 2   2 02 2  C C 1    q q 2 1 2 2  U C 2 02  EC C U C C U C C 1 01 1 2   02 2 C C 1 1  2 2 Энергия конденсаторов для начального состояния:  W W W н 1 н   н  2 2 01 С U 1 2  2 02 С U 2 2 Для конечного состояния:  W k  2 q 2 2 C 2  2 q 1 2 C 1  2 C U об 2 об Следует отметить, что  W k  , так как  при ненулевых начальных условиях  общий заряд неравен зарядам последовательно соединенных конденсаторов. Определим значение выделившейся теплоты при следующих численных значениях: C1=c, С2=3с, E= 8 в , U01 =4 в, U02 =2 в. q 0 q 1   q  4 8       2 3 2 c c c     3 2 c 11 c c c     3 c 2 c      4 c 3 3 c c c 4 c 14    2 c  3 c q 2 8 c   8 c   3 c 4 c  c 2 3 c   15 2 c 3 2 c Wс н W k  2 с   16 2 11 ( 2   8 1,5 c   c )  3 4 с 2  2 c  12 c  A ист Q W W Aс ист н к Задача 5. 15 c ( 2 2 )  2 3 c  121 c 8  75 c 8  24,5 c  14  c 24,5 c  12 c  1,5 2 1    E U U   , поэтому заряды ни от источника, ни к источнику не потекут                                                    Решение. 1. Теплота выделяется только в том случае, когда происходит перераспределение зарядов,  т.е. течет ток. При размыкании ключа это может произойти только от источника тока.  Разность потенциалов между точками А и В при этом не изменяется так как  АВU (заряды могут перетекать, если потенциал положительного полюса источника тока неравен  потенциалу т.В, а потенциал отрицательного полюса источника неравен потенциалу т.А).   Значит, заряды конденсаторов не изменятся, работа источника тока равна нулю, поэтому  теплота при размыкании ключа выделяться не будет. 2. Неизменность зарядов конденсаторов можно доказать, используя закон сохранения  заряда для средней точки схемы.  Для начального состояния :      2 q 1 н q 23 C он q он  С С С ) 1 3  С С С 1 3 (  2 EC 1   C C C 3 1 2 2 )  ( EС С С 3 1   С С С 1 3 EC C 3    C C C 3 1 1 2 2 q 23  ( C C U    U  ) 23 23 2 3   q 3 н C U 3 23 Так как при размыкании ключа отключается левая пластина конденсатора С3 от средней  точки, то с ней уходит и ее отрицательный заряд q3н. Поэтому по закону сохранения заряда для средней точки получим :  q 1  q 2  q 3 н  1 EC C 3   C C C 3 1 2 Решая это уравнение совместно с уравнением для напряжений при последовательном  соединении  U U  1 2    E q q 2 1 C C 1 2  E , можно определить q1 и q2 ­   установившиеся после переходного процесса заряды конденсаторов. Получим  q 1  )  EС С С 3  С С С 1 3 ( 1  2 2 , значение которого равно q1н , что означает, что  перераспределения зарядов при размыкании ключа происходить не будет.