Занимательный мир задач

«Занимательный мир задач»  Внеклассное мероприятие Цели: 1. Повышение интереса к изучению математики, развитие творческих способностей  учащихся, логического мышления.  2. Обучение решению арифметических задач различного типа.  3. Формирование приемов умственной и исследовательской  деятельности.  4. Воспитание интереса к истории математики, навыков учебного  труда. Оборудование: название темы мероприятия, таблички с названиями команд и конкурсов, отпечатанные  условия задач для конкурсов, плакаты с высказываниями, карточки с задачами для  болельщиков, фишки трех цветов. Плакаты:  1. «Математическая задача иногда столь же  увлекательна, как кроссворд, и напряженная умственная работа  может быть столь же желанным упражнением, как  стремительный теннис». Д.Пойа.  2. «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы,  но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».  Д.Пойа Ход мероприятия:  I. Организационный момент.  Представление команд.  II. Восьмиклассники читают стихотворение:  Опять ужасная. Опять  В журнале будет двойка.  Слеза стекает на тетрадь,  Нет сил, держаться стойко.  Их целых пять. Их даже ­ шесть!  Они страшней прививки.  Они мешают спать и есть,  Глотать кефир и сливки.  Как час расплаты настает  Такая вот работа  Холодный прошибает пот  В глазах круги без счета. III. Ведущий (учитель): Ну хватит, хватит совсем запугали ребят, нагнали на них тоску, это до  XVIII века решать задачи было очень сложно, потому что их решали с помощью 30 различных  правил, которые надо было знать наизусть, причем обоснование выбора способа их решения  не давалось. Ученик должен был заучивать эти правила наизусть и строго придерживаться  их при решении заданий. Названия у этих правил тоже являются для нас незнакомыми:  фальшивое, тройное, слепое или девичье, аварийное и т.д. Запомнить их все и научиться  определять, какое правило, к какой задаче применимо, было очень трудно. С тех пор,  видимо, и сложилось у некоторых людей мнение об арифметике как науке сложной и  скучной. Но это далеко не так (прочитать высказывание 1).И мы постараемся это опровергнуть нашим путешествием в занимательный, увлекательный и удивительный мир задач.  IV. Конкур 1:! «Смекалкины обгонялки».  (2 конверта с задачами для команд и 2 конверта с задачами для болельщиков) Задачи для команд.  1. Женщина обращается к кому­то из вашего класса и говорит «Я тебе мать, но ты мне  не сын». Что это значит? (она обращается к девочке)  2. Угадайте слово: «Первое предлог, второе ­ летний дом. А целое порой решается с  трудом?» (Задача)  3. Сколько горошин может войти в пустой стакан? (горошины не ходят)  4. Почему в поездах стоп краны всегда красные, а в самолетах голубые? (в самолетах  нет стоп­крана)  5. Сколько земли в дыре глубиной 2 метра, шириной 2 метра, длиной 2 метра?  (нисколько)  6. Выходили 12 молодцев, выносили 52 сокола, выпускали 365 лебедей, (год, месяцы,  дни).  7. Один человек купил трех коз и заплатил 3 рубля. Спрашивается: по чему пошла  каждая коза? (козы по деньгам не ходят)  8. Математическое отношение: чем больше из нее берешь, тем больше она  становится? (яма)  9. Петух, стоя, на одной ноге, весит 5 кг. Сколько он будет весить, если  встанет на обе? (5 кг)  6  Задача для болельщиков.  По дороге вдоль кустов  Шло 11 хвостов. Сосчитать я также смог,  Что шагало 30 ног. Это вместе шли куда­то,  Петухи и поросята.  И вопрос мой к вам таков:  Сколько было петухов? ( 7 петухов) V. Конкурс 2: «Логический Фейерверк». (На доске оформлен фейерверк с разноцветными  кружочками, на которых написаны числа, соответствующие № задач)  1. У одного старика спросили, сколько ему лет. Он ответил, что ему сто лет и несколько  месяцев, но дней рождения у него было всего 25. как же это могло быть? (этот человек  родился 29 февраля и день рождения у него бывает один раз в 4 года)  2. Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равной массы. Ослица жаловалась на  тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься? — сказал мул. — Если ты дашь мне один свой мешок,  моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один свой мешок, то наши грузы  только сравнятся». Сколько мешков было у каждого? (7 и 5 мешков)  3. Двое ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне свои две сливы, тогда слив у нас будет  поровну». На что другой ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы, тогда у меня будет в два раза больше, чему тебя». Сколько слив было у каждого? (8 и 12)  4. Возраст дедушки выражается наименьшим трехзначным числом, которое записывается  различными числами. Сколько лет дедушке? (102 года)  5. По Шотландии в одном купе поезда едут два пассажира. Один из них поглядев в окно,  удивился:  ­ Смотрите! — воскликнул он. В Шотландии оказывается овцы черные!­ Отнюдь, ­ ответил попутчик.­ В Шотландии есть хотя бы одна овца, у которой хотя бы один  бок черный. Кто из них лучше знает математику?(Второй) VI.Конкурс 3: «Математический ералаш».  1. Собственная скорость катера 11 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Какой путь пройдет  катер за 4 часа против течения реки?(3 7 км)  2. В библиотеке 4600 книг. Книг на иностранном языке 18% всего количества, остальные  книги на русском языке. Сколько в библиотеке книг на русском языке? (3772 книги)  3. Сахарный песок при переработке в рафинад теряет своего веса. Сколько надо взять  сахарного песка, чтобы получилось 104 кг рафинада? (120 кг)  4. В карьере добыто 150 тонн руды, которая содержит железа, а остальное — пустая  порода. Сколько железа и пустой породы в этой руде? (108 кг железа, 42 кг породы)  5. Отец старше сына в 3 раза, или на 34 года. Каков возраст отца и сына? (17 лет сыну, 51  год отцу) VII.Конкурс 4: «Исторический звездопад». (Задачи оформлены на звёздочках, с одной  стороны которых наклеены портреты известных людей, а с другой – тексты их задач. Если  участники команд смогут назвать фамилию исторической личности, то они получают  дополнительные баллы.  Задачи взяты из учебника математики 5­6 класса под редакцией Петерсона)  а) Задача Толстого.  Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно  могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов ЗАДАЧА Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только  25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5.  Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседка и и говорит, что 25 р.  фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. ВОПРОС: на сколько обманули продавца? Ответ: Рассуждаем: доходы продавца: 25р от мальчика расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)  итого 25­50=­25, т.е. убыток 25р Можно рассуждать и по другому: соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р  забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать. Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток  торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка) б) Задача Ньютона.  Исаак Ньютон был не только великим физиком, но и выдающимся математиком.   Именно   ему   принадлежит   открытие,   независимо от Лейбница, дифференциального интегрального исчисления  (в 1693 году в приложении к «Трактату по алгебре» Валлиса   появился   вариант   анализа   Ньютона),   но   это   далеко   не всё.   Более   полное   изложение   принципов   анализа   было опубликовано   в   1704   году   в   работе «О   квадратуре кривых», которая   была   приложена   к монографии   «Оптика». В этой   работе   Ньютон   рассмотрел   производные   высших   порядков, нашёл   значения   интегралов   рациональных   и   иррациональных ифункций, а также привёл примеры решения дифференциальных уравнений 1­го порядка. В 1707 году вышла книга «Универсальная арифметика»,   где   Ньютон   приводит   различные   численные методы.   А   знаменитый   метод   Ньютона,   который   позволял достаточно   быстро   находить   корни   уравнений,   был   описан в «Алгебре»   Валлиса   (1685). В   1711   году выходит   труд,   над которым   учёный  работал   достаточно   долгое   время,  – «Анализ  с помощью   уравнений   с   бесконечным   числом   членов», здесь исследованы   алгебраические и «механические» кривые, частные производные. «Метод   флюксий   и   бесконечных   рядов» –   итоговый   труд Ньютона был издан после его смерти в 1736 году. Здесь учёный подробно   пишет   о   дифференциальном   и   интегральном исчислениях,   находит   формулу   для   различных   степеней   суммы двух   чисел   от   натуральных   до   бесконечных   рядов,   показывает способы использования рядов в математических исследованиях. В своих работах Ньютон не только достаточно полно разработал анализ, но и сделал попытку строго обосновать его принципы. Приведённая   ниже задача   впервые   была   опубликована   во «Всеобщей   арифметике» И.   Ньютона,   но   с   той   поры   она   не утратила своей актуальности. Современные бурёнки, как и в XVII веке, пасутся на лугах, жуют траву и дают молоко. Итак, задача. Трава на лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съест всю траву на лугу за 96 дней? Решение.Введём вспомогательные неизвестные: х – запас  травы на лугу и у – суточный прирост травы. Тогда за 24 дня стадо из 70 коров съедает х + 24у травы или (х + 24 ∙ 70) – одна корова в сутки. Аналогично, 30 коров за 60 суток съедают х + 60у и каждая корова (х + 60у) / (60 ∙ 30) – в сутки. Так как количество травы, съедаемое одной коровой в сутки, не зависит от количества коров в стаде, то (х + 24у) / (24х ∙ 70) = (х + 60у) / (60 ∙ 30), откуда у/х = 1/480, следовательно, одна корова съедает в сутки х(1 + 24х ∙ 1/480) / (24 ∙ 70) = х/1600 первоначального запаса травы на лугу. Составим   уравнение   для   определения   количества   коров, съедающих   всю   траву   на   лугу   за   96   суток.   Обозначим   это количество через z, тогда х (1 + 96 ∙ 1/480) / (96 ∙ z) = х/1600; х (1 + 0,2) / 96z = х/1600; х + 0,2х/96z = х/1600;1,2х/96z = х/1600; 1,2/96z = 1/1600; 96z = 1920; z = 20. Ответ: 20 коров съедят всю траву за 96 дней. в) Задача Магницкого.  Головоломная задача из первой русской Арифметики Леонтия Магницкого (1703): В некоей единой мельнице были трои жерновы, и едины жерновы в сутки могут смолоти 60 четвертей, а другие в толикое же время могут смолоти 54 четверти, третьи же в толикое же время могут смолоти 48 четвертей, и некий человек даде жита 81 четверть, желал в скорости оно смолоти, и насыпа на все три жерновы, и ведательно есть, в колико часов оно жито смолотися и колико на всякие жерновы достоит мельнику насыпати. Показать/скрыть ответ За 12 часов; на I жернов - 30 четвертей, на II-ой - 27 четвертей и на III-ий - 24 четверти Арифметическая задача:Купил некто трёх сукон 106 аршин; единого взял 12-ю больше перед другим, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было.Показать/скрыть ответ I - 46 1/3 аршина, II - 34 1/3 аршина, III - 25 1/3 аршина. Арифметическая задача: Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. Показать/скрыть ответ 1/10 + 1/x = 1/14, 1/x = 1/10 - 1/14 = 4/140 = 1/35, В 35 дней. выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса. В жаркий день 6 косцов Show/Hide Answer Поскольку за 8 часов 6 человек выпивают бочонок кваса, то за один час такой же бочонок кваса выпьют 48 человек, а тогда за 3 часа этот бочонок кваса выпьют 16 человек.г) Задача Пифагора.древнегреческий математик Пифагор ответил так: Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, "Половина моих учеников изучает математику; четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы". Сколько учеников было у Пифагора? Показать/скрыть ответ Обозначим число учеников через х x - (1/2 + 1/4 + 1/7)x = 3 x = 3/(1 - (14 + 7 + 4)/28) = 3 * 28/3 = 28 Итак, у великого грека был 28 ученик Поликрат (известен из баллады Шиллера тиран из острова Самос) один раз спросил у  Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат», ­ отвечал Пифагор. д) Задача Пуассона. Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и  5 л? Ответ: Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л. ­ 4 литра, в 8л ­ 3литра, а в 5л. ­ 5 литров. Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В  результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л. Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр. Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.) Тогда  в 8л. как раз остается 6л. VIII. Конкурс 5: «А вам слабо?»  Задача Дидоны.  Финикийская царевна Дидона, спасаясь от своего брата, тирана Пигмалиона, отплыла изродного города Тира с небольшим отрядом своих сторонников. Было это, если верить  легенде, около 825 года до нашей эры. Долго плыли царевна и ее спутники по Средиземному морю, пока не пристали к берегу Африки. Жили в тех местах нулидийцы. Пришельцы им  были совершенно ни к чему. Но Дидоне некуда было деться, место ей понравилось, и  царевна стала упрашивать нулидийского царя Ярба продать ей немного земли. Желая,  видимо, отделаться от назойливой финикиянки, Ярб заломил баснословную цену за клочок  земли, который можно окружить одной бычьей шкурой. К его удивлению и разочарованию,  Дидона приняла это издевательское предложение, расплатилась и отправилась отмерить  свою землю. Только она не стала расстилать шкуру на берегу. Как она это сделала? (Учащимся предлагается макет бычьей шкуры, вырезанный из альбомного листа бумаги и  ножницы)  (Ответ: Сначала она разрезала ее так, что получила тонкий кожаный ремешок (а он вышел  очень длинный), и этим ремешком окружила солидный участок, на котором и основала в  последствии великий город Карфаген. Ярб был в ярости: так, как его, мало кого  одурачивали за всю историю человечества. Но он был честным человеком и сдержал слово:  земля осталась за Дидоной. Так это было или не так ­ теперь судить трудно. Но, между  прочим, карфагенская цитадель называлась Бирса, что и значит «бычья шкура»  Итак, задача, которую пришлось решить Дидоне, такова: какую наибольшую площадь можно  окружить веревкой заданной длины? Или, иначе: какая геометрическая фигура среди фигур с одинаковым периметром имеет наибольшую площадь? (оказывается, круг) IX.Конкурс: «Домашнее задание».  Каждая команда готовит дома задачу в рисунке (на ватмане) и задает ее другой команде.  X.Подведение итогов. (Независимые наблюдатели считают количество набранных баллов).  1) грамоты  2) призы  Концовка: прочитать 2 высказывания и слова:  Конкурс сегодня завершен,  Но каждый должен знать:  Познание, упорство, труд  К прогрессу в жизни приведут! Очень люблю проводить различные внеклассные мероприятия по предмету "Математика". В  школе работаю с 1987 года: сначала в Казахстане близ города Алматы, а с 2003 года  работаю в школе города Костромы, учитель первой квалификационной категории, в соей  работе применяю технологию деятельностного метода обучения.