Ֆունկցիայի հետազոտումը ածանցյալի միջոցով

Ֆունկցիայի հետազոտումն ածանցյալի միջոցով

Ֆունկցիայի Հետազոտման ուրվագիծը հիմնականում բաղկացած է հետևյալ քայլերից։

1․Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը։
2․ Պարզել ֆունկցիան պարբերակա՞ն է, թե՞ ոչ։
3․ Պարզել ֆունկցիայի զույգությունը։
4․ Որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերը։
5․ Գտնել ֆունկցիայի նշանապահպան միջակայքերը։
6․ Գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերն ու էքստրեմումի կետերը։
7․ Հաշվել ֆունկցիայի արժեքներն էքստրեմումի կետերում։
8․ Եթե ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի միջակայքերից, ապա պարզել ֆունկցիայի վարքն այդ միջակայքերի ծայրակետերին մոտենալիս։

Կիրառական խնդիր
 
Երկու ճանապարհներ հատվում են O կետում և կազմում են ուղիղ անկյուն, մեկը գնում է հյուսիսից հարավ, մյուսը` արևելքից արևմուտք։ A ավտոմեքենան գտնվում O-ից 100 մետր արևմուտք և շարժվում է դեպի արևելք 20մ/վ արագությամբ, իսկ B ավտոմեքենան գտնվում է O-ից 80 մետր հյուսիս և շարժվում է դեպի հարավ 20մ/վ արագությամբ։
(ա) Ցո՛ւյց տուր, որ t վայրկյան անց դրանց միջև եղած d հեռավորությունը որոշվում է այսպես՝ d2 = (100 – 20t)2 + (80 – 20t)2 ։
(բ) Ցո՛ւյց տուր, որ այդ ավտոմեքենաների միջև եղած փոքրագույն հեռավորությունը 10√2 մետր է:

AO = 100մ, OB = 80մ , t վայրկյան անց B-ից գնացողը կհասնի B1 և ՕB1 = 80 – 20t,
Իսկ A-ից գնացողը կհասնի A1 կետը և O A1 =100 – 20t : Նրանց միջև հեռավորությունը կլինի՝ A1B1 –ը։ Եռանկյուն ABO-ից ըստ Պյութագորասի թեորեմի `
d= (100−20t) 2 + (80− 20t) 2 (100−20t) 2 + (80− 20t) 2 (100−20t) 2 (100−20t) (100−20t) 2 2 (100−20t) 2 + (80− 20t) 2 (80− 20t) (80− 20t) 2 2 (80− 20t) 2 (100−20t) 2 + (80− 20t) 2 , կամ d2 = (100−20t) 2 (100−20t) (100−20t) 2 2 (100−20t) 2 + (80− 20t) 2 (80− 20t) (80− 20t) 2 2 (80− 20t) 2

բ) Վերջին հավասարությունը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝ d2 = 400( (5−t) 2 (5−t) (5−t) 2 2 (5−t) 2 + (4− t) 2 (4− t) (4− t) 2 2 (4− t) 2 ) ,
Նշանակենք` S(t) = 20 (5−t) 2 + (4− t) 2 (5−t) 2 + (4− t) 2 (5−t) 2 (5−t) (5−t) 2 2 (5−t) 2 + (4− t) 2 (4− t) (4− t) 2 2 (4− t) 2 (5−t) 2 + (4− t) 2 , ձևափոխելով այն, ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝ S(t) =20 41−18𝑡+2 𝑡 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 41−18𝑡𝑡+2 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 , գտնենք այս ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը․
S՛(t) = 20(4𝑡−18) 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 20(4𝑡𝑡−18) 20(4𝑡−18) 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 41−18𝑡𝑡+2 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 20(4𝑡−18) 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 = 20(2𝑡−9) 41−18𝑡+2 𝑡 2 20(2𝑡𝑡−9) 20(2𝑡−9) 41−18𝑡+2 𝑡 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 41−18𝑡𝑡+2 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 41−18𝑡+2 𝑡 2 20(2𝑡−9) 41−18𝑡+2 𝑡 2 , tmin = 4,5

min S(t)=S(4,5) =20 0,5 2 + 0,5 2 0,5 2 + 0,5 2 0,5 2 0,5 0,5 2 2 0,5 2 + 0,5 2 0,5 0,5 2 2 0,5 2 0,5 2 + 0,5 2 =20 0,5 0,5 0,5 0,5 = 20 2 2 20 2 2 2 2 20 2 2 2 20 2 2 = 10√2 , Ստացանք ․
S =10√2: Պատասխան՝ ճիշտ է։

Հետազոտել f(x) = 8(𝑥+1) 𝑥 2 +8 8(𝑥𝑥+1) 8(𝑥+1) 𝑥 2 +8 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +8 8(𝑥+1) 𝑥 2 +8 ֆունկցիան և կառուցել գրաֆիկը։

D(f) = R
Ֆունկցիան պարբերական չէ, քանի որ պարբերական ֆունկցիան իր յուրաքանչյուր
արժեքն ընդունում է անվերջ թվով կետերում, մինչդեռ f(x) ֆունկցիան 0 արժեքն
ստանում է միայն x = - 1 կետում ( Տես 4-րդ կետը)։
3․ Ֆունկցիան ոչ զույգ է , ոչ կետ, քանի որ f(-x) = 𝟖(−𝒙+𝟏) (−𝒙) 𝟐 +𝟖 𝟖𝟖(−𝒙𝒙+𝟏𝟏) 𝟖(−𝒙+𝟏) (−𝒙) 𝟐 +𝟖 (−𝒙) 𝟐 (−𝒙𝒙) (−𝒙) 𝟐 𝟐𝟐 (−𝒙) 𝟐 +𝟖𝟖 𝟖(−𝒙+𝟏) (−𝒙) 𝟐 +𝟖 = 𝟖(−𝒙+𝟏) 𝒙 𝟐 +𝟖 𝟖𝟖(−𝒙𝒙+𝟏𝟏) 𝟖(−𝒙+𝟏) 𝒙 𝟐 +𝟖 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟖𝟖 𝟖(−𝒙+𝟏) 𝒙 𝟐 +𝟖 ≠𝐟𝐟(𝐱𝐱)
և f(-x) ≠−𝐟𝐟(𝐱𝐱)
4․ Ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերը․
Գրաֆիկը հատում է օրդինատների առանցքը (0; 1) կետում։ Լուծելով 𝟖(𝒙+𝟏) 𝒙 𝟐 +𝟖 𝟖𝟖(𝒙𝒙+𝟏𝟏) 𝟖(𝒙+𝟏) 𝒙 𝟐 +𝟖 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟖𝟖 𝟖(𝒙+𝟏) 𝒙 𝟐 +𝟖 = 0 հավասարումը գտնում ենք ֆունկցիայի զրոները՝ x = -1 :

Հետևաբար՝ ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբսցիսների առանցքի հատման կետն է՝ ( - 1; 0)։

5․ Ֆունկցիայի նշանապահպան միջակայքերը․ X = -1 կետը թվային առանցքը բաժանում է նշանապահպան միջակայքերի, ընդ որում` x∈(−∞;−1 ) միջակայքում ֆունկցիան բացասական է, իսկ x𝜖𝜖(−1;+∞) միջակայքում՝ դրական։

6. Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերն ու էքստրեմումի կետերը։ f’(x) = − 𝟖( 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙−𝟖) ( 𝒙 𝟐 +𝟖) 𝟐 𝟖𝟖( 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟐𝟐𝒙𝒙−𝟖𝟖) 𝟖( 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙−𝟖) ( 𝒙 𝟐 +𝟖) 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝟖) 𝟐 ( 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟖𝟖) ( 𝒙 𝟐 +𝟖) 𝟐 𝟐𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝟖) 𝟐 𝟖( 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙−𝟖) ( 𝒙 𝟐 +𝟖) 𝟐 , x ∈𝑹𝑹:Ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2𝑥𝑥−8 = 0 հավասարման արմատներն են՝ x1 = -4; x2 = 2:Ֆունկցիան նվազում է x∈(−∞;− 4 4 4 և x∈ 2 2 2 ;+∞ ) միջակայքում, աճում է x∈ −4;2 −4;2 −4;2 միջակայքում։Ֆունկցիայի էքստրեմումներն են xmin = -4 ; xmax = 2:

7. Հաշվելով ֆունկցիայի արժեքներն էքստրեմումի կետերում ստանում ենք՝ min f(x)= f(-4) = -1; max f(x) = f(2) = 2:8․ Երբ x –ը ձգտում է −∞ -ն կամ +∞−ն ֆունկցիայի արժեքը ձգտում է 0-ի։ Այս ամենը հարմար է գրել աղյուսակի տեսքով։  

Հաշվի առնելով վերը բերված հատկությունները կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Խմբային աշխատանքՀետազոտել ֆունկցիան և կառուցել գրաֆիկը։ f(x) = 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 −𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 −𝟑𝟑

D(f) = R
Ֆունկցիան պարբերական չէ, քանի որ պարբերական ֆունկցիան իր յուրա-
քանչյուր արժեքն ընդունում է անվերջ թվով կետերում, մինչդեռ f(x) Ֆունկցիան 0 արժեքն ստանում է միայն x = - 3 3 3 3 և x = 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 կետերում ( Տես 4-րդ կետը)։
3․ Ֆունկցիան զույգ է , քանի որ f(-x) = (−𝒙) 𝟒 (−𝒙𝒙) (−𝒙) 𝟒 𝟒𝟒 (−𝒙) 𝟒 −𝟐𝟐(− 𝒙) 𝟐 𝒙𝒙) 𝒙) 𝟐 𝟐𝟐 𝒙) 𝟐 −𝟑𝟑= 𝐟𝐟(𝐱𝐱) ։
4․ Ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերը․
Գրաֆիկը հատում է օրդինատների առանցքը (0; 1) կետում։ Լուծելով
𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 −𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 −𝟑𝟑 = 0 հավասարումը գտնում ենք ֆունկցիայի զրոները՝
x = - 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 և x = 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 : Հետևաբար՝ ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբսցիսների առանցքի հատման կետերն են՝ ( - 3 3 3 3 ; 0) և ( 3 3 3 3 ; 0)։

5․ Ֆունկցիայի նշանապահպան միջակայքերը․x = - 3 3 3 3 և x = 3 3 3 3 կետերը թվային առանցքը բաժանում են նշանապահպան միջակայքերի, ընդ որում` x∈(−∞;− 3 3 3 3 ) և ( 3 3 3 3 ;+∞ ) միջակայքում ֆունկցիան դրական է, իսկ x𝜖𝜖(− 3 3 3 3 ; 3 3 3 3 ) միջակայքում՝ բացասական։

6. Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերն ու էքստրեմումի կետերը։
f՛(x) = 4 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 −4𝑥𝑥, x ∈𝑅𝑅:
Ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը 4 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 −4𝑥𝑥 = 0 հավասարման արմատներն են՝ x1 = -1; x2 = 0 ; x3 = 1:

Ֆունկցիան նվազում է x ∈(−∞;− 1 1 1 և x ∈ 0 0 0 ; 1 1 1 միջակայքերում

աճում է X ∈ −1;0 −1;0 −1;0 և 1 1 1 ;+∞ ) միջակայքերում։

Ֆունկցիայի էքստրեմումներն են xmin = -1 ; xmin = 1 ; xmax = 0:

7. Հաշվելով ֆունկցիայի արժեքներն էքստրեմումի կետերում ստանում ենք՝

max f(x)= f(0) = -3 ; min f(x) = f(-1) = f(-1) = - 4:
8․Երբ x –ը ձգտում է −∞ -ն կամ +∞−ն ֆունկցիայի արժեքը ձգտում է + ∞-ն։
 
 

Այս ամենը հարմար է գրել աղյուսակի տեսքով։

Հաշվի առնելով վերը բերված հատկությունները կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Տնային աշխատանք N 564 ա, 565 ա, 566 ա

Ի՞նչ տվեց ինձ այս դասը։