Теорема косинусов
Теорема
косинусов
Теорема 12.1 (Теорема косинусов)
Теорема 12.1
(Теорема косинусов)
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними
a2 =
B
a
A
C
c
b
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
b2 + c2
– 2bc
cosA
AB2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними
AB2 =
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
BC2 + CA2
cos
Теорема косинусов (∆АВС – прямоугольный)
900
C
0
AB2 = BC2 + CA2
Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.
XR2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними
XR2 =
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
RO2 + XO2
cosO
RO2 =
RX2 + XO2
cosX
XO2 =
RX2 + RO2
cosR
F D С Записать для данного треугольника теорему косинусов для каждой стороны
F
D
С
Записать для данного
треугольника теорему
косинусов для каждой
стороны.
a b c 𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 −𝟐𝒃𝒄 𝒄𝒐𝒔𝑨 𝒄𝒐𝒔𝑨= 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝟐𝒃𝒄 𝒃 𝟐…
a
b
c
𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 −𝟐𝒃𝒄 𝒄𝒐𝒔𝑨
𝒄𝒐𝒔𝑨= 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝟐𝒃𝒄
𝒃 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒄 𝟐 −𝟐𝒂𝒄 𝒄𝒐𝒔𝑩
𝒄𝒐𝒔𝑩= 𝒂 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒃 𝟐 𝟐𝒂𝒄
𝒄 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 −𝟐𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔𝑪
𝒄𝒐𝒔𝑪= 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 − 𝒄 𝟐 𝟐𝒂𝒃
Следствие из теоремы косинусов
Следствие из теоремы косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой.
Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, знак « ̶ », когда он острый.
АВ 𝟐 = ВС 𝟐 + АС 𝟐 ±𝟐∙АС∙СН Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из этих…
АВ 𝟐 = ВС 𝟐 + АС 𝟐 ±𝟐∙АС∙СН
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой.
На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других
На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других.
Определить вид треугольника со сторонами 5, 6 ,7 см
Определить вид треугольника со сторонами
5, 6 ,7 см.
>
Определите вид треугольника со сторонами
2, 3, 4 см.
>
Устная работа
AB2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними
4
4
5
AB2 =
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
BC2 + AC2
cosC
С
А
В
5
AB = 41 – 20
2
2
5
300
300
2
?
4
Найти АВ
С А В ? Найти угол В 2 𝒄𝒐𝒔𝑩= 𝑨𝑩 𝟐 + 𝑩𝑪 𝟐 − 𝑨𝑪 𝟐 𝟐·𝑨𝑩·𝑩𝑪 𝒄𝒐𝒔𝑩= 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐 −…
4
С
А
В
?
Найти угол В
2
𝒄𝒐𝒔𝑩= 𝑨𝑩 𝟐 + 𝑩𝑪 𝟐 − 𝑨𝑪 𝟐 𝟐·𝑨𝑩·𝑩𝑪
𝒄𝒐𝒔𝑩= 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐 − (𝟐 𝟑 ) 𝟐 𝟐·𝟐·𝟒
𝒄𝒐𝒔𝑩= 𝟖 𝟏𝟔 = 𝟏 𝟐
∠ 𝑩=𝟔𝟎°
С А В ? Найти угол В 2 = 300 600
4
С
А
В
?
Найти угол В
2
=
300
600
ВD2 = АВ2 + AD2 cos ВD2 = 19 2 2 ?
600
5
5
3
3
3
5
ВD2 =
АВ2 + AD2
cos
ВD2 = 19
2
2
?
А
600
D
A
B
C
ABСD – параллелограмм. Найти ВD.
600
Домашнее задание Стр. 161-162, п
Домашнее задание
Стр. 161-162, п. 109;
По рабочей тетради
№ 93, 95, 96, 98
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
