1. Системы счисления. Теория.

Подготовила учитель информатики
МАОУ гимназии №5
г. Новороссийск
Кувватова Ольга Александровна

Система счисления

Почему мы используем цифры от 0 до 9? А как можно считать еще? Оказывается, существует множество вариантов! И это зависит от такого понятия, как система счисления.

Система счисления

Система счисления (СС) — способ записи чисел с помощью набора специальных знаков, называемых цифрами.

Виды систем счисления

Непозиционные системы счисления

Ярким примером фактически непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M -1000.
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. Например, II = 1 + 1 = 2, здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Непозиционные системы счисления

Пример: число 1789. Одна тысяча M, семь сотен DCC, восемьдесят LXXX, девять IX. Запишем их вместе: MDCCLXXXIX.
MDCCLXXXIX=1000+(500+100+100)+(50+10+10+10)+(10-1)=1789
Для изображения чисел в непозиционной системе счисления нельзя ограничится конечным набором цифр. Кроме того, выполнение арифметических действий в них крайне неудобно.

Первые позиционные системы счисления

Самой первой такой системой, когда счетным "прибором" служили пальцы рук, была пятеричная.
Следующей возникла двенадцатеричная система счисления. Возникла она в древнем Шумере. Возможно, что она возникала у них из подсчёта фаланг на руке большим пальцем.

На ее широкое использование в прошлом указывает сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов.
Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами. Английский фунт состоит из 12 шиллингов.

Следующая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр!
В более позднее время использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами. Шестидесятеричная система счисления, как считают исследователи, являет собой синтез уже вышеупомянутых пятеричной и двенадцатеричной систем.
В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Первые позиционные системы счисления

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10.
Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев на руках у человека.
Наиболее распространённая система счисления в мире.
Для записи чисел используются символы
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.
Используются цифры 0 и 1.
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и удовлетворяет требованиям:
Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы.
Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать.
Простота создания таблиц сложения и умножения — основных действий над числами

Алфавит двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:
32110 — это число 321 в десятичной системе счисления;
1010000012 — то же число, но в двоичной системе.

Двоичное кодирование в компьютере

Вся информация, которую обрабатывает компьютер должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр: 0 и 1. Эти два символа принято называть двоичными цифрами или битами, или двоичным кодом.
С точки зрения технической реализации использование двоичной системы счисления для кодирования информации оказалось намного более простым, чем применение других способов.

Двоичное кодирование в компьютере

Недостаток двоичного кодирования – длинные коды. Но в технике легче иметь дело с большим количеством простых элементов, чем с небольшим числом сложных.
0 – отсутствие электрического сигнала;
1 – наличие электрического сигнала.

С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса: кодирование и декодирование.
Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код.
Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку.

Двоичное кодирование в компьютере

Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.

Двоичное кодирование в компьютере

Подготовила учитель информатики
МАОУ гимназии №5
г. Новороссийск
Кувватова Ольга Александровна

Правила перевода из 10-ой с.с. в другие.

Для перевода десятичного числа в любую другую системы его необходимо последовательно делить на основание той с. с. в которую переводим, до тех пор, пока не останется остаток, меньший основания с. с. в которую переводим. Результат записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Число 2210 перевести в двоичную систему счисления.

2210=101102

Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления.

57110=10738

Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

746710=1D2B16

Правила перевода из любой с.с. в 10-ую.

Для перевода числа из любой с.с. в десятичную с.с. необходимо расставить разряды в числе (справа налево, начиная с 0), далее необходимо высчитать произведение каждой цифры числа на основание системы счисления из которой переводим, при этом каждое основание нужно возвести в степень которой соответствует разряд данной цифры. Сложить все получившиеся произведения между собой.

Число 101101102 →?10

101101102=18210

7 6 5 4 3 2 1 0
101101102 =(1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+
+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20)==128+32+16+4+2 = 18210

Домашняя работа

9410→?2,8,16
12710→?2,8,16
56910→?2,8,1611101012 →?10
А2316 →?10
7528 →?10

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду перевести так же как в десятичную с.с.

Правила перевода из 2-ой с.с. в 8-ую.

Число 10010112 →?8 перевести в восьмеричную систему счисления

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду перевести так же как в десятичную с.с.

Правила перевода из 2-ой с.с. в 16-ую.

число 10111000112 →?16 перевести в 16-ую систему счисления

Домашняя работа

1011112→?8,16
100111112→?8,16
4768→?2
В35916 →?2
А2316 →?2
7528 →?2