1 Тригонометрия формулалары презентация

Тригонометрия формулалары. Жарты бұрыштың тригонометриялық формулалары

Оқу мақсаттары:


9.2.4.3 бұрыштардың қосындысы мен айырымының, жарты және қос бұрыштың тригонометриялық формулаларын қорытып шығару және қолдану

Бағалау критерийлері:

жарты бұрыштың тригонометриялық функцияларының формулаларын қорытып шығарады;
жарты бұрыштың тригонометриялық функцияларының формулаларын қолданады

Жарты бұрыштың тригонометриялық функциясының формулаларын қорытып шығарыңыз.
Ол үшін қосбұрыштың косинусының формуласын қолданыңыз.


Қосбұрыштың косинусының формуласын 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠2𝛼𝛼= 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼𝛼− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼𝛼 пайдаланып
𝛼𝛼− ның орнына 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 – ні қойып, cos (2∙ 𝛼 2 ) cos cos (2∙ 𝛼 2 ) (2∙ 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 ) cos (2∙ 𝛼 2 ) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 немесе
cos 𝛼 cos cos 𝛼 𝛼𝛼 cos 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 (1)
теңдігін аламыз.
𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 бұрышы үшін бізге белгілі негізгі тригонометриялық тепе-теңдікті жазамыз:
1= 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 + 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 (2)
Енді (1) және (2) теңдіктерін мүшелеп қоссақ,
1+𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼=2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 , бұдан 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 =± 1+𝑐𝑜𝑠𝛼 2 1+𝑐𝑜𝑠𝛼 2 1+𝑐𝑜𝑠𝛼 2 1+𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼 1+𝑐𝑜𝑠𝛼 2 2 1+𝑐𝑜𝑠𝛼 2 1+𝑐𝑜𝑠𝛼 2 шығады.
(2) теңдіктен (1) теңдікті мүшелеп алғанда
 
1−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼=2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 , бұдан 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 =± 1−𝑐𝑜𝑠𝛼 2 1−𝑐𝑜𝑠𝛼 2 1−𝑐𝑜𝑠𝛼 2 1−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼 1−𝑐𝑜𝑠𝛼 2 2 1−𝑐𝑜𝑠𝛼 2 1−𝑐𝑜𝑠𝛼 2 шығады.

Демек, жартыбұрыштың косинусы мен синусының формулаларының жалпы түрі:
 
𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝜶 𝟐 𝜶𝜶 𝜶 𝟐 𝟐𝟐 𝜶 𝟐 =± 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟏𝟏+𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟐𝟐 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 (3)
 
𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝜶 𝟐 𝜶𝜶 𝜶 𝟐 𝟐𝟐 𝜶 𝟐 =± 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟐𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 (4)

Есеп

𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼=− 3 5 3 3 5 5 3 5 және 180 0 180 180 0 0 180 0 <𝛼𝛼< 270 0 270 270 0 0 270 0 екені белгілі.
𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 , cos 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 , tg 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 -ні табыңыз.

Есеп


𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔 𝜋 8 𝜋𝜋 𝜋 8 8 𝜋 8 -дің мәнін табыңыз.

Есеп

𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 𝑡𝑔 𝛼 2 −𝑐𝑡𝑔 𝛼 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 𝑡𝑔 𝛼 2 −𝑐𝑡𝑔 𝛼 2 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 −𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔 𝛼 2 𝛼𝛼 𝛼 2 2 𝛼 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 𝑡𝑔 𝛼 2 −𝑐𝑡𝑔 𝛼 2 =− 1 4 1 1 4 4 1 4 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝛼𝛼 тепе-теңдігінің
ақиқаттығын дәлелдеңіз.