1.8 Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Повторяем теорию

Треугольник, в котором один из углов равен 90⸰

°(прямой        угол)        называется                       прямоугольным треугольником.

В треугольнике АВС угол С равен 90°.

Стороны АС и СВ, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона АВ, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

У всех прямоугольных треугольников есть общий элемент - это прямой угол.

Свойства прямоугольных треугольников.

1)           В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

2)           В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

3)           В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.

4)             Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

∠А=30,    ВС=^AB.

2

Проверяем себя

Т1. Закончите предложения:

а) треугольник, в котором один из углов равен       90⸰ (прямой угол) называется                                                                      .

б) в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен

         .

Ответ: а) прямоугольным; б) половине гипотенузы

Т2. Выберете верные утверждения:

1)           Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°

2)           Сумма длин катетов больше длины гипотенузы

3)           Всякий прямоугольный треугольник имеет два острых угла

4)           В прямоугольном треугольнике все углы прямые

5)           Если катет и острый угол одного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ: 23

Т3. Выберите неверные утверждения:

1)   Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

2)   Всякий прямоугольный треугольник имеет два катета

3)   Все прямоугольные треугольники равны

4)   Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна сумме длин его катетов

5)     Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ:34

Решаем задачи

1.               а) Один острый угол прямоугольного треугольника равен 35°. Найдите второй острый угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 55

б) Один острый угол прямоугольного треугольника равен 78°. Найдите второй острый угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 12

в) Один острый угол прямоугольного треугольника равен 19°. Найдите второй острый угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 71

2.            а) Один острый угол прямоугольного треугольника на 12° больше другого. Найдите второй острый угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 39

б) Один острый угол прямоугольного треугольника на

28° меньше другого. Найдите второй острый угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 59

в) Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите второй острый угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 18

3.            а) Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 3:7. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 27.

б) Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 50.

в) Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 3:2. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 54

4.               а) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 18, угол А равен 30°. Найти катет ВС.

Ответ: 9

б) В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС

равен 10, угол А равен 30°. Найти гипотенузу АВ.

Ответ: 20

в) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 18, угол В

равен 60°. Найти катет ВС. Ответ: 9

5.               а) В прямоугольном треугольнике АNC с прямым углом A, внешний угол при вершине C равен 124°. Найдите угол N этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 34

б) В прямоугольном треугольнике АNС с прямым углом A, внешний угол при вершине C равен 113°. Найдите угол N этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 23

в) В прямоугольном треугольнике АNC с прямым углом A, внешний угол при вершине C равен 108°. Найдите угол N этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 18

6.               а) В равнобедренном треугольнике АВС АС=ВС, СD-медиана треугольника. Угол АВС равен 23°. Найдите угол ВСD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 67

б) В равнобедренном треугольнике АВС АС=ВС, СD- медиана треугольника. Угол АВС равен 42°. Найдите угол ВСD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 48

в)     В     равнобедренном     треугольнике    АВС    АС=ВС,    СD-медиана треугольника. Угол АВС равен 51°. Найдите угол ВСD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 39

7.               а) В остроугольном треугольнике АВС проведена высота ВН, угол

ВАС равен 37°. Найдите угол АВН. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 53

б) В остроугольном треугольнике АВС проведена высота ВН, угол ВАС

равен 9 °. Найдите угол АВН. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 81

в) В остроугольном треугольнике АВС проведена высота ВН, угол ВАС

равен 46°. Найдите угол АВН. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 44

Задачи с развернутым ответом

1.            В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 37°. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 8

2.            В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 38