алгебра и начало анализа

Урок геометрии в 7-м классе: Решение задач по теме "Соотношения между сторонами и углами треугольниками"

Анохина М.А., учитель математики

Цели урока:

1. Закрепление теоретических знаний;
2. Формирование логики рассуждений при решении задач;
3. Формирование умения записывать решение геометрических задач;
4. Рассмотрение нескольких способов решения задач.

Ход урока.

I. Устная работа: игра “Блеф-клуб”.

1. Верите ли вы, что углы треугольника могут быть равны:

а) 40°; 80°; 60°? (да, т.к. их сумма равна 180°)
б) 43°; 68°; 70°? (нет, т.к. их сумма не равна 180°)
в) 60°12`; 69°48`; 50°? (да, т.к. их сумма равна 180°)

2. Верите ли вы, что в равнобедренном треугольнике:

а) угол при основании может быть равен 100°? (нет, т.к. сумма двух углов при основании будет уже больше 180°)
б) угол при вершине может быть равен 100°? (да, тогда при основании углы будут по 40°)

3. Верите ли вы, что внешний угол треугольника может быть:

а) больше каждого из внутренних углов? (да, если треугольник – остроугольный)
б) меньше каждого из внутренних углов? (нет, по теореме о внешнем угле треугольника)

4. Верите ли вы, что внешний угол треугольника может быть равен 180°? (нет, т.к. такого треугольника не существует)

5. Верите ли вы, что в равнобедренном треугольнике с углом при основании в 40° основание больше боковой стороны? (да, т.к. угол при вершине будет 100°, а значит самый большой)

6. Верите ли вы, что катет больше гипотенузы? (нет, т.к. он лежит в прямоугольном треугольнике напротив острого угла)

7. Верите ли вы, что из проволоки, длиной 12 см, можно согнуть равнобедренный треугольник:

а) с боковой стороной 3 см? (нет, т.к. 3 см+3 см=6 см)
б) с основанием 3 см? (да, т.к. 3 см<4.5 см+4.5 см и 4.5 см<3 см+4.5 см)

II. Решение задач.

Задача №1

Дано: считать с рисунка.

(АВ = ВС; <В=80°).

Найти: <А; <С.

Решение устное:

АВС – равнобедренный (по условию) с основанием АС => <А = <С (по свойству)

<А + <В + <С = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) =>

<А = <С = 1/2 (180° - <В) = 50°

Задача №2

Дано: считать с рисунка.

(АВ = ВС;
<В=80°;
<ВАD = <DАС).
Найти: <ВАD.

Решение устное:

<А = 50° (см. решение задачи №1)

<ВАD = 1/2 <А = 25°

Задача №3

Дано: АВ=ВС;

<В=80°;

АD-биссектриса.

*Перенести условие на рисунок.

Найти: <АDС

Решение:

1-ый способ.

1. АВС – равнобедренный (по условию) с основанием АС => <ВАС=<С (по свойству)

<ВАС + <С + <В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) =>

< С = < ВАС = 1/2(180°- < В) = 50°

2. АD – биссектриса (по условию) => < DАС = < ВАD = 1/2 < ВАС = 25°

3. Рассмотрим АDС. < DАС + < С + < АDС = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) => < АDС = 180° - (< С + <DАС) = 180° - (50° + 25°) = 105°

2-ой способ.

1. < C = < DFC = 50° (см. решение 1. 1-ым способом)

2. < ВАD = 25° (см. решение 2. 1-ым способом)

3. < АDС – внешний угол АВС => < АDС = < В + < ВАD (по теореме о внешнем угле треугольника) => < АDС = 80° + 25° = 105°

Ответ: < АDС = 105°

Задача №4

Дано: <А = 75°;
<С = 35°;
ВD – биссектриса.

Доказать: ВDС – равнобедренный.

Устно, по наводящим вопросам, находим путь решения.

1. С помощью чего устанавливается факт равнобедренности треугольника? (по определению: должны быть две равные стороны; по признаку: должны быть два равных угла)

2. С учетом условия задачи чем воспользуемся? (признаком, т.к. даны величины углов)

3. Величина какого угла ВDС известна? (<С = 35°)

4. Величину какого угла ВDС можно найти? (<DВС, как 1/2 <АВС)

5. <АВС является углом какого треугольника? ( АВС)

6. Можно ли найти величину <АВС? (да, т.к. известны два других угла  АВС, < АВС = 70°)

7. Тогда какова величина <DВС? (<DВС = 35°)

8. Делаем вывод об углах DВС (<DВС = <С)

9. Делаем вывод о DВС ( DВС – равнобедренный по признаку)

Решение записывает ученик у доски.

Доказательство:

1. Рассмотрим АВС

<А + <АВС + <С = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) => => <АВС = 180° - (<А + <С) = 180° - (75° + 35°) = 180° - 110° = 70°

2. ВD – биссектриса (по условию) => <DВС = <АВD = 1/2 <АВС = 35°

3. Рассмотрим DВС.

<DВС = <DСВ = 35° (по признаку) => DВС – равнобедренный.

Что и требовалась доказать.

III. Итоги урока. Выставление оценок.

IV. Домашнее задание: №240, №241.