Ֆունկցիաների  ինտերպոլացում

   Որոշ խնդիրների լուծման ընթացքում օգտագործում են աղյուսակով տրված ֆունկցիայի արժեքները: Նման դեպքերում, եթե անհրաժեշտ է որոշել ֆունկցիայի այն արժեքները, որոնք չկան աղյուսակում, ապա կարելի է ընտրել աղյուսակային ֆունկցիային ինչ որ իմաստով մոտ որևէ պարզագույն ֆունկցիա և հաշվումը կատարել նրա անալիտիկ տեսքից օգտվելով: Այդպիսի ֆունկցիայի որոշման ձևերից մեկը ինտերպոլացումն է: Դիցուք` x կետերում տրված են y= f( x)  ֆունկցիայի  արժեքները: Պահանջվում է կառուցել այնպիսի y= F( x)  ֆունկցիա,որը  նեւյն `  x0, x1,..., xn կետերում ընդունի  նույն  արժեքներըը: x-ի այլ արժեքների համար F (x) ֆունկցիան կոչվում է ինտերպոլացնող, իսկ նրա կառուցման պրոցեսը` ինտերպոլացում:

                  Տարբեր    կարգի  վերջավոր  աճեր

Տված  է  y=f(x)  ֆունկցիան:Արգումենտի  աճը  նշանակենք  h-ով՝  ∆x=h:Այդ  դեպքում   y  ֆունկցիայի    առաջին  կարգի  վերջավոր   աճը  կլինի.

∆y≡∆f(x)=f(x+∆x) - f(x) 

Նույն  կերպ  կստացվի ֆունկցիայի բարձր  կարգի  վերջավոր   աճերը.

∆^n y=∆(∆^(n-1) y)

Ընդհանրապես   ճիշտ  է  հետևյալ  բազմանդամի   վերջավոր  աճի  հաշվարկը,եթե

pn (x)=a0 x^n+a1 x^(n-1)+...+a_n

ապա ∆^n p_n  (x)=n! a_0 h^n=const,որտեղ ∆x=h,        (1)

իրոք

∆pn  (x)=pn(x+h)-pn(x)= a0[(x+h)^n-x^n ]+a_1[...

Եթե  կլոր  փակագծերը  բացենք …կստանանք  n-1  աստիճանի  բազմանդամ ,այնահետև նույն  կերպ  շարունակելով  ի վերջո կստացվի    (1)-ը:

∆^s pn(x)=0,եթե s>n:

Նյուտոնի առաջին ինտերպոլացիոն բազմանդամ

Խնդրի դրվածքը

Դիցուկ տված y=f(x)  ֆունկցիան,որը X_i=x₀+ih  հավասարահեռ  կետերում  ըհդունում  է

Y_i = f(x_i)  արժեքներ, որտեղ  h-ը  ինտերպոլացիայի   քայլն է:Պահանջվում  է  ընտրել  այնպիսի P_n(x) բազմանդամ(աստիճանը չի  գերազանցում  n-ին),որը հանգուցային   կետերում  ընդում  է   նույն  արժեքը՝ P_n(X_i)= Y_{i , (i=0,1,2,...,n):Պարզվում  է,որ այդ  պահանջը  համարժեք}  է  հետևյալին՝

,             m=0,1,2,…,n                        (1) 

Որոնելի  բազմանդամը  փնտրվում  է  հետևյալ  կերպ.

,m=1,2,…,n   (2)

           (3)

=

=

=

Տեղադրենք ,կստանանք՝

==2!,       որտեղից՝,    շարունակելով,   կստանանք`

՝,    0!=1,և  :Գործակիցները   տեղադրելով   (3)-ի մեջ.

+...+,որին անվանում

են Նյուտոնի առաջին ինտերպոլացիոն բազմանդամ:Գործնական    աշխատանքի  դոպքում  նշանակենք:

Նյուտոնի  2-րդ  ինտերպոլացիոն  բազմանդամ 

Դիցուկ տված y=f(x)  ֆունկցիան,որը X_i=x₀+ih  հավասարահեռ  կետերում  ըհդունում  է

Y_i = f(x_i)  արժեքներ, որտեղ  h-ը  ինտերպոլացիայի   քայլն է: Նյուտոնի  1-ին  ինտերպոլացիոն  բազմանդամը  կատարում  էր  ինտերպոլացիա  x_{0  կետի  շրջակայքում:} x_n   կետի  շրջակայքում  օգտագործվում  է  2-րդ  բազմանդամը:Հետևաբար պահանջվում  է  ընտրել  այնպիսի P_n(x) բազմանդամ(աստիճանը չի  գերազանցում  n-ին),որը հանգուցային   կետերում  ընդում  է   նույն  արժեքը՝ P_n(X_i)= Y_{i , (i=0,1,2,...,n):Պարզվում  է,որ այդ  պահանջը  համարժեք}  է  հետևյալին՝

           ΔⁱP_n(x_n-i)= ΔⁱY_n-i         (1)

Բազմանդամը  կառուցվում  է  հետևյալ  կերպ՝

P_n(x)=a₀+a₁(x- x_n )+a₂(x-x_n)(x-x_n-1)+…+a_n(x-x_n)(x-x_n-1)…(x-x₁), (2),որը ընդհանրացված  աստիճանով կլինի  հետևյալը՝

P_n(x)=a₀+a₁(x-x_n)^[1] + a₂(x-x_n-1)^[2] + … + a_n(x-x₁)^[n]                           

^{Ինչպես  նկատում  ենք.} X_i      հայտնի  է,  x-ի արժենքը  մենք  ենք  տալիս,մնում  է  գտնել  a_i  արժեքները ,,որոնք  որոշում   ենք, օգտվելով    (1)  բանաձևից:Այսպիսով՝                        

P_n(x_n)=a₀=Y_n,կազմում  ենք հերթական  վերջավոր  աճերը և որոշում  a_i  -ն:

ΔP_n(x)=1*a_1*h+2h*a₂(x-x_n-1)^[1] +…+ nha_n(x-x₁)^[n-1]

ΔP_n(x_n-1)= 1 *a₁h= ΔY_n-1                           a₁=

Δ² P_n(x)=1*2*h²*a₂x +…+ n(n-1)h² a_n(x-x_n)^[n-2]

Δ² P_n(x_n-2)=1*2*h²a₂=Δ²Y_n-2           a₁=   ,  … ,a_n=

Տեղադրելով   (2)-ի  մեջ,կստանանք Նյուտոնի  2-րդ  բանաձևը՝                                                                   

P_n(x)=Y_n + (x-x_n) +….+  (x-x_n)….(x-x₁): Գործնական  աշխատանքի  համար նշանակենք      նմանապես  կստացվի

P_n(x)=Y_n + qΔ Y_n-1 +  Δ² Y_n-2 +….+  ΔⁿY₀  

Ինտերպոլացիայի  բազմանդամներ ȳ·ñ³ÝÅÇ  ÇÝï»ñåáɳóÇáÝ  µ³½Ù³Ý¹³Ù

ȳµáñ³ïáñ ³ß˳ï³Ýù N 1

            ¸ÇóáõÏ n=1-Ç ¹»åùáõÙ, áõÝ»Ýù »ñÏáõ Ï»ï`  x₀ ¨ x₁

 Ծրագիրը   TP   լեզվով

 Program Lang1;                                                              

 Var  x0, x1, y0, y1, A, B, X, L : real;                                          

                begin Write('x='); read(x);                                                 

                                begin                                                                       

                                      Write('x0='); read(x0);                                                 

                                      Write('Y0='); read(Y0);                                                

                                       Write('x1='); read(x1);                                                 

                                       Write('Y1=1); read(Y1)                                                  

                                end;                                                                        

                                         begin A:=(x-x1) / (x0-x1);                                               

                                          B:=(x-x0)/(x1-x0);                                               

                    L:=A*Y0+B*Y1;                                                    

                          Writeln('L=', L)                                                    

                                         end

end.                                          

Օրինակ,  տված է y=f(x) ֆունկցիան, որը xi կետերում ընդունում է yi արժեք (i=0,1) տե’ս աղյուսակը: Հաշվել L1(37)-ը:

x              y

35,7         7,62

40,22       12,78

Պատ. L= 9,104            

ȳݷñ³ÝÅÇ  ÇÝï»ñåáɳóÇáÝ  µ³½Ù³Ý¹³Ù

ȳµáñ³ïáñ ³ß˳ï³Ýù N 2

n=2,   i=0,1, 2

Ìñ³·ÇñÁ   TP   É»½íáí

program Lang2;                                                  

 Var  x0, y₀,  x1,  y1, x₂, y₂:real; L, A, B: real; x:real;                                         

                begin

writeln; writeln (‘vvedite znachenie’);

read(x0, y₀,  x1,  y1, x₂, y₂); read(x);                                                 

                                begin  A:=(x-x₁) * (x-x₂) /((x₀-x₁)*(x₀-x₂);

                                                B:= (x-x₀) * (x-x₂) /((x₁-x₀)*(x₁-x₂);

                                                C:=(x-x₀) *(x-x₁) /((x₂-x₀)*(x₂-x₁);

                                                L:=A*y₀+B*y₁+C*y₂;                                                                

                                      Write('L=',L);                                                      

                                  end; 

end.                                                                  

Օրինակ,  տված է y=f(x) ֆունկցիան, որը xi կետերում ընդունում է yi արժեք (i=0,1,2) տե’ս աղյուսակը: Հաշվել L(323,5)-ը:

x              y

321,0     2,50651

322,8     2,50893

324,2     2,51081

Պատ. L(323,5)=2,5098