Билеты к зачёту по геометрии 11 класс

Зайцева Татьяна Евгеньевна МБОУ СОШ № 13, г. Новосибирск БИЛЕТ № 1. 1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (формулировки и примеры). 2. Касательная плоскость к шару. 3. ЗАДАЧА. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а апофема – 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды. 4. ЗАДАЧА. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его  диагонали, соединяющей две другие вершины. БИЛЕТ № 2. 1. Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры). 2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 3. ЗАДАЧА, Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов – 8 см, вращается около этого катета. Найдите площадь поверхности тела  вращения. 4. ЗАДАЧА. Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания равна  S, а двугранные углы при основании равны  .α БИЛЕТ № 3. 1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (формулировки и  примеры). 2. Объём цилиндра. 3. ЗАДАЧА. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см, а сторона основания – 6 см. Найдите объём пирамиды. 4. ЗАДАЧА. Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их  поверхности. БИЛЕТ № 4. 1. Свойства параллельных плоскостей. 2. Теорема о боковой поверхности призмы. 3. ЗАДАЧА. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30  , а  его высота равна 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности. 4. ЗАДАЧА. Через основания трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого  основания на расстоянии а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей  трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как m : n. 1. Перпендикуляр и наклонные к плоскости (формулировки и примеры). 2. Свойство противолежащих граней параллелепипеда. БИЛЕТ № 5. 3. ЗАДАЧА. Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см, проведённого на  расстоянии 9 см от центра. 4. ЗАДАЧА. Через концы отрезка АВ, пересекающего плоскость  проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  Найдите длину отрезка ММ1, если АА1 = а, ВВ1 = b. α , и его середину М  1, В1 и М1.  α  в точках А 1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировка и пример). 2. Площадь боковой поверхности конуса. 3. ЗАДАЧА. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза  БИЛЕТ № 6. которого  равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения,  проведённого через середину высоты пирамиды, параллельно её основанию.  пересекаются по прямой с и перпендикулярны  4. ЗАДАЧА. Плоскости  α β  и  плоскости  γ γ . Докажите, что прямая с перпендикулярна плоскости  . БИЛЕТ № 7. 1. Угол между скрещивающимися прямыми (формулировка и пример). 2. Объём призмы. 3. ЗАДАЧА. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна      10  см, а высота – 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 4. ЗАДАЧА. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол  между диагональю её боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен  высоте цилиндра. БИЛЕТ № 8. 1. Угол между прямой и плоскостью (формулировка и пример). 2. Объём пирамиды. 3. ЗАДАЧА. Высота прямой призмы равна 10 см, а её основанием является  прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите площадь  диагонального сечения. 4. ЗАДАЧА. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями.  Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико  сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности. БИЛЕТ № 9. 1. Угол между плоскостями (формулировка и пример). 2. Площадь сферы. 3. ЗАДАЧА. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 7 см, а боковое  ребро наклонено к плоскости основания под углом 45  . Найдите объём пирамиды. 4. ЗАДАЧА. Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где d –  диагональ куба. БИЛЕТ № 10. 1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла (формулировки и примеры). 2. Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды. 3. ЗАДАЧА. Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около  меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения. 4. ЗАДАЧА. Докажите, что данная прямая параллельна двум пересекающимся  плоскостям, то она параллельна линии их пересечения. БИЛЕТ № 11. 1. Трёхгранный и многогранный углы (формулировка и примеры). 2. Площадь боковой поверхности цилиндра. 3. ЗАДАЧА. Основание четырёхугольной призмы – квадрат со стороной 10 см.  Высота призмы 12 см. Диагональное сечение разбивает данную призму на две  треугольные призмы. Найдите площади боковых поверхностей треугольных призм. 4. ЗАДАЧА. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания.  Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. БИЛЕТ № 12. 1. Призма (формулировки и примеры). 2. Признак перпендикулярности плоскостей. 3. ЗАДАЧА. Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения,  проведённого перпендикулярно его оси через середину. 4. ЗАДАЧА. В цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все его вершины лежат на  окружностях основания. Найдите сторону квадрата, если высота цилиндра равна    2 см, а радиус основания равен 7 см. БИЛЕТ № 13. 1. Прямая и правильная призмы (формулировки и примеры). 2. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости (доказательство одного из них). 3. ЗАДАЧА. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объём шара, если АВ = 21 см, а ВD = 29 см. 4. ЗАДАЧА. Определите, на каком расстоянии от вершины надо провести плоскость,  параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади  основания, если высота конуса равна h. БИЛЕТ № 14. 1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед (формулировки и примеры). 2. Признак параллельности плоскостей. 3. ЗАДАЧА. Сферу на расстоянии 8 см от центра пересекает плоскость. Радиус  сечения равен 15 см. Найдите площадь сферы. 4. ЗАДАЧА. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы  проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между  которыми равен  . Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы. γ БИЛЕТ № 15. 1. Пирамида (формулировки и примеры). 2. Объём конуса.  3. ЗАДАЧА. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 проведено сечение через  вершину С1 и ребро АВ. Найдите периметр сечения, если сторона основания равна  24 см, а боковое ребро – 10 см. 4. ЗАДАЧА. Докажите, что если точка Х равноудалена от концов данного отрезка  АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину АВ и перпендикулярной  прямой АВ. БИЛЕТ № 16. 1. Правильная пирамида (формулировки и примеры). 2. Свойства изображения пространственных тел на плоскости. 3. ЗАДАЧА. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 23  см. Найдите площадь поверхности цилиндра. 4. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит боковую поверхность на две  части, площади которых равны. В каком отношении (считая от вершины) эта  плоскость делит высоту конуса? БИЛЕТ № 17. 1. Цилиндр (формулировки и примеры). 2. Признак параллельности прямой и плоскости. 3. ЗАДАЧА. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого  равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда – 8 см. Найдите площадь его полной  поверхности. 4. ЗАДАЧА. Найдите боковую поверхность правильной четырёхугольной пирамиды,  диагональное сечение которой равновелико основанию, если сторона основания  равна а. БИЛЕТ № 18. 1. Конус. (формулировки и примеры). 2. Признак параллельности прямых. 3. ЗАДАЧА. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 12  см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45  .  Найдите высоту параллелепипеда. 4. ЗАДАЧА. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Q. Найдите площадь  осевого сечения. БИЛЕТ № 19. 1. Сфера и шар (формулировки и примеры). 2. Теорема о трёх перпендикулярах. 3. ЗАДАЧА. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12 см, а апофема  – 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды. 4. ЗАДАЧА. Дан прямоугольный параллелепипед. Угол между диагональю основания  и одной из его сторон равен  параллелепипеда равен  если диагональ основания равна k α . Угол между этой стороной и диагональю  β . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда,