Брошюра "Планиметрия на клетчатой бумаге"

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №4»  г. Краснослободска Планиметрия на клетчатой бумаге Работу выполнила: ученица 9А класса Кириякиди Софья Учитель математики: Лабутова Людмила Владимировна Как и многие другие науки, математика возникла  из практических нужд человека: ­из измерения площадей земельных участков и  вместимости сосудов; ­из счисления времени и их механики. В курсе геометрии часто встречаются задачи на  нахождение площади сложной фигуры. Подобные задачи встречаются в банке заданий по подготовке к ГИА. Мне  предстоит в этом году сдавать экзамены за курс  основной школы и , чтобы лучше запомнить формулы, я  заинтересовалась вычислением площадей сложных  многоугольников. Оказалось, что существует несколько  методов вычисления площадей многоугольников.  Рассмотрим основные методы, знакомые нам из курса  математики. Особенно меня заинтересовали задачи на  вычисление площади многоугольника, изображенного на  клетчатой бумаге. 1. Метод применения формул. В школьном курсе изучаются формулы нахождения  площадей многоугольников: треугольника, квадрата,  прямоугольника, параллелограмма, ромба.  Нахождение площади сводится к вычислению длин  нужных элементов по клеточкам. 2. Метод сложения площадей. Данная фигура разбивается так, чтобы  многоугольник полностью заполняли  прямоугольники и прямоугольные треугольники.  Сумма всех площадей, полученных в результате  разбиения, равна площади многоугольника. 3. Метод вычитания площадей простых фигур из площади многоугольника, построенного вокруг данного. Вокруг данного многоугольника строится  четырёхугольник так, чтобы его стороны  содержали максимальное количество вершин многоугольника. Эти фигуры являются  прямоугольниками и прямоугольными  треугольниками. 4. Формула Пика Автор формулы – Георг Александр Пик­  австрийский математик. Георга, который был  одаренным ребёнком, обучал отец, возглавлявший  частный институт. В 16 лет Георг закончил школу  и поступил в Венский университет. В 20 лет он получил право преподавать математику и физику.  Ознакомление с формулой Пика актуально  накануне сдачи ОГЭ. Маленькая формула заменит  целый комплект формул. Дата рождения Место рождения: 10 августа 1859 Вена Дата смерти: Место смерти: Научная сфера: Место работы: Учёная степень: Учёное звание: Альма-матер: 13 июля 1942 (82 года) концлагерь Терезиенштадт математика Немецкий университет в Праге доктор философии (PhD) по математике, хабилитированный доктор профессор Венский университет, Немецкий университет в Праге Исследование формулы Пика. При решении задач на клетчатой бумаге  необходимы понятия решетки и узла. Клетчатая  бумага является одним из примеров точечной  решетки на плоскости, а пересечение прямых –  узлами решетки. Формула Пика связывает  площадь многоугольника и количество узлов,  лежащих внутри и на границе многоугольника. S= В + Г/2 – 1, Где В­ число узлов решетки, расположенные внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенные на границе многоугольника, включая вершины. Доказательство теоремы Пика.  формула Пика верна для единичного квадрата.  Действительно, в этом случае мы имеем В= 0, Г =4 и  получаем S= 0+4/2 ­1= 1 Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими  на линиях решетки.  Пусть длины его сторон равны а и в. Имеем в этом  случае Г= 2а + 2в, В =(а­1)(в­1) и, по формуле Пика,  S= (ав­а –в +1) + (2а +2в )/2 ­1= ав.   Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его  можно получить, отрезав от прямоугольника  несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для  прямоугольника, и для прямоугольного треугольника  формула Пика верна, мы получаем, что она будет  справедлива и для произвольного треугольника. Практическое применение результатов. Рассмотрим задачу на нахождение площади  трапеции.  1. Метод применения формул: 1 2  (а +в)*h= 1 2  (5 +12)*4=34 S= 2. Метод сложения площадей: 1 2   *2*4= 4; S2= 5*4= 20; S3= 1 2   *4*5=  S1 =  10;  Sтрапеции= 20 +4+ 10=34 3. Метод вычитания площадей: 1 2   *2*4= 4; S2= 1 2   *4*5= 10;  S1 =  Sпрямоугольника=4*12=48 Sтрапеции= 48 – 10 – 4= 34 4. Формула Пика. В(узлы внутри)= 24, Г(узлы на границе)= 22 Sтрапеции=24 + 22/2 – 1= 34. Применение формулы Пика в заданиях №1. ОГЭ S= 6 + 1,5 ­1= 6,5 №2. S=4+4­1=7. №3. S=10+2­1=11 №4. S= 9 + 2 – 1 = 10 №5. S= 8 + 5 ­1= 12 №6. S= 29 +2 ­=1 =30 №7. S= 7 + 3,5 – 1=9,5 №8.   S=10+5­1=14 №9.  S= 6 + 2,5 – 1=7,5 Интересные многоугольники. №10. №11. №12.  S= 4 + 8 – 1= 11  S= 5 + 6 – 1=10 S= 12 + 13 – 1=24 Основной вывод. Формула Пика имеет ряд преимуществ перед  другими формулами вычисления площади  многоугольника на клетчатой бумаге: 1. Надо знать только одну формулу S= В + Г/2 – 1 2. Формула проста для запоминания 3. Многоугольник может быть любой, даже самой  разнообразной формы. Результатом моей работы стал сборник «Планиметрия  на клетчатой бумаге», с которым я познакомила  одноклассников и некоторые выдержки использовала  для создания брошюры. СОДЕРЖАНИЕ. 1. Введение 2. Методы вычисления площадей  многоугольников 3. Исследование формулы Пика 4. Практическое применение результатов 5. Применение формулы Пика для вычисления  площади в заданиях ОГЭ 6. Литература ЛИТЕРАТУРА. 1.Рисс Е.А., Жарковская Н.М., Геометрия клетчатой  бумаги. Формула Пика. – Москва, 2009, №17. 2. Смирнова И.М., Смирнов В.А., Геометрия на  клетчатой бумаге. – Москва, 2009    /  ru   /  or   /  ege. Задачи открытого банка   ://   mathege 3. http  заданий по математике.