Численные методы решения задач.

Презентации учебные
ppt
27.02.2021

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Добавить материал

Методы численного решения математических задач всегда составляли неотъемлемую часть математики и неизменно входили в содержание естественно-математического и инженерного образования. Как самостоятельная математическая дисциплина вычислительная математика оформилась в начала 20-го века. К этому времени в основном были разработаны разнообразные, достаточно эффективные и надежные алгоритмы приближенного решения широкого круга математических задач, включающего стандартный набор задач из алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений.

Численные методы решения задач.ppt

Численные методы решения задач

Численные методы являются одним из мощных математических средств решения инженерных задач.
Современные численные методы и мощные ЭВМ дали возможность решать такие задачи, о которых полвека назад могли только мечтать. Но применять численные методы далеко не просто. Цифровые ЭВМ умеют выполнять только арифметические действия и логические операции. Поэтому помимо разработки математической модели, требуется еще разработка алгоритма, сводящего все вычисления к последовательности арифметических и логических действий.
Выбирать модель и алгоритм надо с учетом скорости и объема памяти ЭВМ: чересчур сложная модель может оказаться машине не под силу, а слишком простая – не даст физической точности.
Сам алгоритм и программа для ЭВМ должны быть тщательно проверены. Даже проверка программы нелегка, о чем свидетельствует популярное утверждение: «В любой сколь угодно малой программе есть по меньшей мере одна ошибка».
Однако численные методы не всесильны. Они не отменяют все остальные математические методы. Начиная исследовать проблему, целесообразно использовать простейшие модели, аналитические методы и прикидки.
И только разобравшись в основных чертах явления, надо переходить к полной модели и сложным численным методам; даже в этом случае численные методы выгодно применять в комбинации с точными и приближенными аналитическими методами.

Численные методы нахождения корней уравнения

В инженерной практике часто возникает задача нахождение значения аргумента функции (аппроксимированной или нет) при котором эта функция равна определенному значению. Частный случай решения этой задачи – это нахождение корней уравнения.
Метод хорд
1) Выбираем x1=a и x2= b, для которых функция имеет разные знаки (например, y(a)>0 и y(b)<0 );
2) Вычисляем значение функции в этих точках y1= y(х1) и y2= y(х2);
3) Между этими двумя точками (y1, х1) и (y2, х2) провести прямую – хорду. Уравнение этой хорды

4) Находим значение аргумента х0 при котором хорда y(х0) = 0
5) Вычисляем значение функции y(х0) в точке х0;
6) Если y(х0) > 0 , то х1=х0. Если y(х0) < 0 , то х2=х0.
8) далее процесс повторяется с п.2 по п.6 пока значение функции в этой точке y(х0) не будут меньше заданной точности (погрешности) ε.
Если на отрезки от а до b вообще нет корней, или корней несколько, то время поиска решения по данному алгоритму может приближаться к бесконечности.

Численные методы нахождения корней уравнения

Метод дихотомии (деление пополам)
1) Пусть мы нашли такие точки a и b что f(a)·f(b)<0, т.е. на отрезке [a,b] лежит не менее одного корня 2) Найдем середину отрезка x0=(a+b)/2 и вычислим значение функции на середине этого отрезка f(x0) 3) Из двух получившихся половинок отрезка выберем ту, для которой f(x0)·f(a) или f(b) ≤ 0, т.е. отрезок на котором функция меняет знак.
4) новый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д.
Если требуется найти корень с точностью ε, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока значение функции в средней точке не будет меньше ε. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью.
Метод прост и надежен сходится для любых непрерывных функций , в том числе не дифференцируемых.
Для начала расчета надо найти отрезок, на котором функция меняет знак. Если в этом отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс (хотя к одному из них сойдется).
Применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна.

Численные методы нахождения корней уравнения

Метод касательных (метод Ньютона), (метод линеаризации)
1) В точке f(x1) =a или f(x1) =b строится касательная
2) Следующая точка приближения – это точка пересечения, полученной касательной с осью абсцисс x2
3) Процесс продолжается вплоть до достижения заданной точности ε
Из рис. 3.3 очень легко получить итерационную формулу метода, используя геометрический смысл производной. Если f(x) имеет непрерывную производную, тогда получим:

Аналогично можно получить x2, x3, … Таким образом, можно записать общую формулу:

Численные методы нахождения корней уравнения

Метод секущих
В данном методе, в отличие от метода Ньютона, проводятся
не касательные, а секущие. Из рисунка легко получить
итерационную формулу:
1) задаться первоначальными значениями x1 и x2
2) вычислить x3 по формуле, представленной выше
3) вычислить значение функции f(x3) в этой точке, сравнить с заданной погрешностью ε
5) если f(x3) > ε заменить x2 на x3 , если f(x3) ≤ ε прекратить расчет
6) повторить действия с п.2 по п.3, пока заданная точность не будет достигнута.
В качестве начального приближения необходимо задать не только x1, но и x2. Метод секущих имеет одно преимущество перед методом Ньютона – здесь не нужно вычислять производную.
Но этот метод имеет также существенные недостатки. Сходимость итераций может быть немонотонной не только вдали, но и в малой окрестности корня. В знаменателе формулы стоит разность значений функции. Вдали от корня это не существенно, но вблизи корня значения функции малы и очень близки. Возникает проблема деления на очень малые числа или даже ноль, что приводит к потере значащих цифр, т.е. точности, или, как говорят к «разболтке» счёта.

Численные методы нахождения корней уравнения

Решение уравнений, функции fzero и roots
Для уточнения корня в MATLAB предназначена функция fzero. В самом простом варианте существует два способа обращения к ней:
с указанием начального приближения к корню x0 x = fzero(fun, x0)
с указанием отрезка [a, b], на котором отделен корень x = fzero(fun, [a, b])
Если работа алгоритма fzero окончится успешно, то в выходном аргументе x возвращается найденное приближенное к корню значение.
По умолчанию, корень находится с точностью, близкой к машинной, т.е. порядка 10−16 .
Входной аргумент fun задает функцию. Он может быть строкой с выражением для функции, заключенной в апострофы, inline- функцией или m-функцией.
Перед вызовом fzero полезно установить формат long e для того, чтобы видеть все значащие цифры. Для этого выполняем команду
format long e
(или в меню File выбираем пункт Preferences, в левой части окна Preferences переходим к разделу Command Window, а в правой части в списке Numeric format выбираем long e).

Численные методы нахождения корней уравнения

Решение уравнений, функции fzero и roots
Рассмотрим простой пример. Требуется решить уравнение cos(x) − x = 0
1. Для этого сначала отделяем корень.
В нашем примере он будет лежать на отрезке [0, π/2] , т.к. корень — абсцисса точки пересечения графиков функций g(x)=cos(x) и h(x)=x . На границах этого отрезка функция принимает значения разных знаков и это существенно для начала работы fzero.
2. Определим inline - функцию
fun = inline('cos(x)-x');
3. Вызовем fzero для нахождения корня
x = fzero(fun, [0 pi/2])
x = 7.390851332151607e-001
Для проверки того, что корень найден с точностью 10−16 можно воспользоваться простым, но эффективным способом, а именно вычислить значения функции в точках (x + 10−16 ) и (x - 10−16 ). Если знаки функции в этих точках различны, то точный корень находится на расстоянии не больше 10−16 от найденного значения x.
fun(x-1e-16)
ans = 1.110223024625157e-016
fun(x+1e-16)
ans = -2.220446049250313e-016
Проверка показывает, что знаки разные, следовательно корень найден с точностью 10−16