Числовые характеристики случайных величин

Простейшие характеристики законов распределения

Автор: преподаватель математики
Тимохина Людмила Николаевна

Цели урока: 1. Ввести понятие «Случайной величины»

Цели урока:

1. Ввести понятие «Случайной величины».
2. Познакомить с «Законом её распределения.
3. Ввести понятие «Математическое ожидание случайной величины, дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины» .
4. научить применять полученные знания при решении задач.

10:14

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Cлучайное событие Это событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти

Cлучайное событие

Это событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.
Достоверное событие
Это событие, которое при данных условиях обязательно произойдёт
Невозможное событие
Это событие, которое при данных условиях не может произойти
Равновероятные события
Это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы
для наступления.

10:14

Задача1. В корзине лежало 3 красных и 3 жёлтых яблока

Задача1. В корзине лежало 3 красных и 3 жёлтых яблока. Из сумки наугад вынимают яблоко. Среди следующих событий укажите случайные, достоверные, невозможные события.
А: Вынуто красное яблоко
В: Вынуто жёлтое яблоко
С: Вынуто зелёное яблоко
D: Вынуто яблоко
СЛУЧАНЫЕ
НЕВОЗМОЖНОЕ
ДОСТОВЕРНОЕ

10:14

Задача2. Три господина, придя в ресторан , сдали в гардероб свои шляпы

Задача2.
Три господина, придя в ресторан , сдали в гардероб свои шляпы.
Расходились они по домам последними, и притом в полной темноте,
поэтому разобрали свои шляпы наугад . Какие из следующих событий
случайные, невозможные, достоверные?
А: «каждый надел свою шляпу».

В: «все надели чужие шляпы».

С: « двое надели чужие шляпы , а один - свою».

D: « двое надели свои шляпы , а один - чужую».

ОТВЕТ: события А,В,С – случайные,
событие D - невозможное

10:14

Чтобы найти каковы шансы наступления события

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации , необходимо:

найти общее количество исходов этой ситуации ;
найти количество возможных исходов, при которых
произойдёт событие А;
найти ,какую часть составляют возможные исходы
от общего количества исходов.

10:14

1 2 3 4 5 6 10:14 8 Игральная кость

10:14

Игральная кость

Сравните возможность наступления следующих событий, используя при этом выражения : « более вероятно », « менее вероятно » , «равновероятно» событие

Сравните возможность наступления следующих событий,
используя при этом выражения : « более вероятно »,
« менее вероятно » , «равновероятно»

событие	Число возможных исходов	Общее число исходов	Доля возможных исходов

6
6

6
6
1
1
0
2
3

А: « выпало число 4»
В: « выпало число 3»
С: « выпало число 7»
Е: «выпало чётное число»
D: выпало число кратное 3
События А и В равновероятные .
Событие D менее вероятно чем событие Е .
Событие D более вероятно, чем событие В .

10:14

Случайная величина (СВ) СВ – количественная характеристика случайного явления

Случайная величина (СВ)

СВ – количественная характеристика случайного явления.
Случайной называется такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение,
причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайная величина (СВ) Обозначение

Случайная величина (СВ)

Обозначение СВ:
а ее возможные значения – соответствующими малыми буквами с индексами.
Напр., возм. знач. СВ X: x1, x2,...,xn
Для нас важно то, что результаты любых измерений являются случайными величинами.

Случайная величина (СВ) Каждое значение

Случайная величина (СВ)

Каждое значение СВ есть случайное событие.
Все возможные значения СВ составляют полную группу событий.

Различают СВ двух типов – дискретные (ДСВ) и непрерывные (НСВ)

Случайная величина (СВ) Дискретная (ДСВ) - такая

Случайная величина (СВ)

Дискретная (ДСВ) - такая СВ, возможные значения которой:
1) принимают отдельные изолированные значения;

2) их все можно указать заранее численно, если их число конечно.

Случайная величина (СВ) Например,

Случайная величина (СВ)

Например,
ДСВ X – число попаданий при 3-х выстрелах;
Ее возможные значения : 0, 1, 2, 3.

Число возможных значений ДСВ может быть конечным и бесконечным.

Случайная величина (СВ) Непрерывная (НСВ) - такая

Случайная величина (СВ)

Непрерывная (НСВ) - такая СВ, возможные значения которой:
в принципе нельзя указать заранее численно;
можно указать лишь границы ее изменения,
т.е. отрезок, на котором находятся все ее возможные значения.

Случайная величина (СВ) Важнейшей и исчерпывающей характеристикой

Случайная величина (СВ)

Важнейшей и исчерпывающей характеристикой СВ является:
закон распределения вероятностей ее значений.

Законом распределения случайной величины называют: отношение между возможными значениями и вероятностями 10:14 17

Законом распределения случайной величины называют: отношение между возможными значениями и вероятностями

10:14

Пример: Бросают игральную кость

Пример:

Бросают игральную кость. Случайная величина - число очков выпавших при подбрасывании. Закон распределения выглядит так:

X	1	2	3	4	5	6
Р

10:14

X – возможные значения
P – вероятности

Характеристики закона случайной величины

Характеристики закона случайной величины

Математическое ожидание

Математическое ожидание

Математическое ожидание - это сумма произведений всех возможных значений на вероятности

Математическое ожидание - это

сумма произведений всех возможных значений на вероятности.

М(Х) = Х1·Р1+ Х2·Р2 +….+ Хn·Рn

10:14

Пример: Найти математическое ожидание случайной величины

Пример:

Найти математическое ожидание случайной
величины Х, зная её распределение:

М(Х)= -1·0,5 + 0·0,2 + 1·0,4 + 2·0,3 + 3·0,05 = ?

X	-1	0	1	2	3
Р	0,5	0,2	0,4	0,3	0,05

10:14

Дисперсия

Дисперсия

Теорема Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания

Теорема

Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Пример

10:14

Пример M(X) =2,3 Найти D(X)

Пример

M(X)=2,3

Найти D(X)

X	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

10:14

Решение Найдем закон распределения для

Решение

Найдем закон распределения для

М(Х2)=1 ∙ 0,3 + 4 ∙ 0,5 + 25 ∙ 0,2 = 7,3

Ответ: D(X)=2,01

	1	4	25
p	0,3	0,5	0,2

10:14

Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из ее дисперсии… 10:14 27

Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из ее дисперсии…

10:14

Пример: Случайная величина задана следующим рядом распределения:

Пример:

Случайная величина задана следующим рядом распределения:

Найти среднее квадратическое отклонение.

X	-1	0	1	2
Р	0,1	0,3	0,4	0,2

10:14

Пример X -3 -2 -1 0 1 p 0,15 0,40 0,10 0,05 0,30

Пример

X	-3	-2	-1	0	1
p	0,15	0,40	0,10	0,05	0,30

Найти среднее квадратическое отклонение

10:14

Домашнее задание: X -2 3 5 9 p 0,4 0,1 0,2 0,3

Домашнее задание:

X	-2	3	5	9
p	0,4	0,1	0,2	0,3

D(X) = ?

M(X)=?

10:14

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

29.12.2020