ВВЕДЕНИЕ

Тема «Выражения и преобразования » изучается в 7 классе.

В данной теме рассматриваются следующие вопросы:

1. Числовые выражения и выражения с переменными.

2. Область определения выражения (область допустимых значений переменной).

3. Тождественно равные выражения. Тождество. Тождественные преобразования выражений.

4. Одночлен. Стандартный вид одночлена. Коэффициент одночлена.

5. Степень одночлена. Подобные одночлены. Действия с одночленами.

6. Многочлен. Приведение подобных слагаемых многочлена. Стандартный вид многочлена.

7. Степень многочлена. Сложение, вычитание многочленов. Умножение и деление многочлена на одночлен. Умножение многочленов.

8. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; разность квадратов двух выражений.

*Куб суммы и куб разности двух выражений, разность кубов, сумма кубов двух выражений.

9. Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки способом группировки, с помощью применения формул сокращенного умножения, группировки. Комбинации различных приемов разложения многочленов на множители.

Цель – формирование гибкого и мощного аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий. Переход к этому этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже известного материала усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований к ранее изученным видам добавляют преобразования тригонометрических выражений. Все эти преобразования можно назвать “алгебраическими” к “аналитическим” преобразованиям можно отнести те из них, в основе которых лежат правила дифференцирования и интегрирования и преобразования выражений, содержащих предельные переходы. Отличие этого типа – в характере множества, которое пробегают переменные в тождествах (определенные множества функций).

Простейшие преобразования выражений и формул, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся в начальной школе и 5 и 6 классах. Формирование умений и навыков выполнения преобразований происходит в курсе алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования.

§ 1. Числовые выражения и выражения с переменными

Найдите: а) сумму чисел 12 и ; б) разность чисел 4  и 6,9; в) произведение чисел −14,5 и 8 29; г) частное чисел 9  и 3.

1. Числовые выражения

Рассмотрим задачи. 1) Школьники в новом парке 4 дня сажали по 75 деревьев ежедневно, а 3 дня — по 80 деревьев. Сколько всего деревьев посадили школьники за эти дни? Решение этой задачи приводит к выражению 75·4 + 80·3.

2) Автобус шел 3 ч со скоростью 56 км/ч , а потом, чтобы уложиться в расписание, оставшиеся 4 ч двигался, увеличив скорость на 6 км/ч . Какова протяженность автобусного маршрута? Для решения этой задачи можно составить выражение 56·3 + (56 + 6) · 4.

При решении различных задач получают выражения, содержащие числа, знаки действий, скобки. Такие выражения называют числовыми.

 

Если в числовом выражении выполнить действия, то получится число, которое называется значением

Числовые выражения содержат: числа; Если в числовом выражении выполнить действия,

 

Если в числовом выражении выполнить действия, то получится число, которое называется значением числового выражения. Например: 75 · 4 + 80 · 3 = 540; 540 — значение числового выражения 75 · 4 + 80 · 3. Число 416 — значение числового выражения 56 · 3 + (56 + 6) · 4, поскольку 56 · 3 + (56 + 6) · 4 = 416.

 

Определение. Значение числового выражения — это число, полученное в результате выполнения указанных в выражении действий.

 

2. Выражения с переменными

Рассмотрим задачу. Один килограмм груш стоит 5 р., а килограмм яблок — y р. Чему равна стоимость двух килограммов груш и трех килограммов яблок вместе? Для решения задачи составим выражение 2 · 5 + 3 · y. Это выражение называется выражением с переменной.

 

Выражение с переменными — это запись, содержащая числа, знаки действий, скобки, переменные, обозначенные буквами.

 

Если в выражение с переменными вместо переменных

подставить их значения — числа, то получится числовое выражение. Его значение называется значением выражения с переменными при данных значениях переменных.

Выражения с переменными содержат: числа; знаки действий; скобки; переменные, обозначенные буквами

Пример 1. Найдите значение выражения 1050 - m · 7 при m =105.

Решение. Если m =105, то 1050 - m · 7 = 1050 - 105 · 7 = 1050 – 15 = 1035. Число 1035 — значение данного выражения при m = 105.

3. Область определения выражения с переменными

Если в выражение с переменной 105 −20 · (x −3) вместо x подставить какое-либо число (например, 2), то получится значение этого выражения при x =2, оно равно 125. А вот подстановка числа 3 приведет к выражению 105 -−20 · 0, которое не имеет смысла. Говорят, что число 3 не входит в область определения данного выражения с переменной.

 

Определение. Областью определения выражения с переменными называют все значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

 

Чтобы найти область определения выражения с переменными, нужно:

1) установить порядок действий в выражении с переменными;

2) записать область определения:

 • если в выражении нет действия деления на выражение с переменной, то область определения — все числа;

• если в выражении есть действие деления на выражение с переменной, то нужно исключить значение переменной, при котором деление не имеет смысла.

Пример 2. Найдите область определения выражения (4 + x) • 3x³ + 2.

Решение. Значение этого выражения можно найти при любом значении переменной x, так как все действия в этом выражении: сложение, умножение, возведение в степень с натуральным показателем — выполняются для любого значения переменной. Область определения этого выражения — все числа.

Пример 3. Найдите область определения выражения (4 + x) : (2 − x).

Решение. Чтобы выражение имело смысл при некотором значении переменной, т. е. чтобы можно было найти значение выражения, можно подставить вместо x любое число, кроме числа 2, так как подстановка числа 2 приводит к выражению 6 • 0, которое не имеет смысла. При всех остальных значениях переменной выражение имеет смысл. Значит, область определения выражения (4 + x) : (2 − x) — это все числа, кроме 2.

 

Областью определения выражения a • b являются все значения переменной, при которых b ≠ 0.

 

Числовые выражения
Найдите значение выражения: а) (1,27 +3,74)•2,43 – 1.53 : (3,72 - 1,92); б)  -   : (5 - ).	a) (1,27 + 3,74) • 2,43 - - 1,53 : (3,72 - 1,92) = = 5,01 • 2,43 - 1,53 : 1,8 = = 12,1743 - 0,85 = 11,3243; б)  - 4: (5 - 1) = =  - 4: (5-1) =  - 4: 4 = =  - 4=
Выражения с переменными
Найдите значение выражения  2- a : - 3 при: а) a = 4, b = -2; б) a = -3, b = 1.	а) 2- a : - 3 = 2 • 16 - - 4 : - 3 = 32 - 4 : 4 - 3 = = 32 - 1 - 3 = 28; б) 2a2 − a • b2 − 3 = 2 • 9 -(−3): :1 – 3= =18.

 

Область определения выражения с переменными
Найдите область определения выражения: а) b2 − b : (b − 3); б) b2 − b • (b − 3).	а) Так как в выражении b2 − b • (b − 3) выполняется действие деления на (b − 3), то областью определения данного выражения будут все числа, кроме числа 3, поскольку (b − 3) не может быть равным нулю. б) Так как в выражении b2 − b : (b − 3) нет действия деления на выражение с переменной, то область его определения — все числа.

 

 

§ 2. Тождество

1. Тождественно равные выражения

Найдем значения выражений 7x - 2x и 9x при:

а) x = −1; б) x = 0; в) x =

Получим: а) 7x + 2x =  7  (−1) + 2  (−1) =  −7 − 2 =  −9 и 9x = 9 • (−1) =  −9;

б) 7x - 2x = 7 • 0 + 2 • 0 = 0 и 9x = 9 • 0 - 0;

в) 7x + 2x =7 •  = 2 •  =  +  =   = 3.

Заметим, что при различных значениях переменной значения этих выражений равны. Эти выражения будут принимать равные значения и при других значениях переменных, так как 7x  2x  (7  2)x  9x по распределительному закону умножения относительно сложения. Такие выражения называются тождественно равными

 

 

Например, тождественно равными являются выражения: a  (b  8) и (a  b)  8; 5(bc) и (5b)c; 3(b  c)3b  3c — так как они выражают свойства действий умножения и сложения.

 

Определение. Два выражения называются тождественно равными, если они принимают одинаковые значения при всех значениях переменных из их общей области определения. Общей областью определения двух выражений называют все значения переменных, при которых имеют смысл и первое и второе выражение.

 

2. Тождество

Между тождественно равными выражениями обычно ставят знак равенства, т. е. a(b8)  (ab)8; a  (b  8)  (a  b)  8; a(b  8)  ab  8a. Такие равенства называют тождествами.

 

Определение. Тождеством называют равенство двух тождественно равных выражений.

Тождества a  3   3  a; b • 5   5 • b;   m4  m • m • m • m

 

Например, равенство 12 • 3x = 36x является тождеством. Равенство  = a² является тождеством для всех чисел, кроме нуля.

3. Тождественные преобразования выражений

В примере 12 • 3x = 36x мы одно выражение заменили другим, тождественно равным ему, т. е. выполнили тождественные преобразования.

Определение. Тождественным преобразованием выражений называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

Тождественные преобразования 3x + 2x =  5x (закон умножения) x8  x10 =  x−2 (свойство степени)

Например, a(b − c + d) = ab − ac + ad — тождественные преобразования выполнены на основании распределительного закона умножения;

3 • x² • x⁴ = 3x⁶ — тождественные преобразования выполнены на основании свойства степени с натуральным показателем.

 

Тождественно равные выражения
Являются ли тождественно равными выражения: а) a − b и b − a; б) a • b и b • a?	а) Выражения a − b и b − a не являются тождественно равными, так как b − a = − (a − b), т. е. при любых неравных значениях a и b данные выражения принимают противоположные значения. б) Выражения a • b и b • a являются тождественно равными на основании переместительного закона умножения.
Тождество
Является ли равенство тождеством: а) an • a−n =  a0; б) an : bn = в) a + a = 2a2?	а) Равенство an • a−n = a0 является тождеством согласно свойству умножения степеней с одинаковыми основаниями. б) Равенство an : bn  =  является тождеством по свойству степени частного. в) Равенство a + a = 2a2 не является тождеством, так как a + a = 2a.
Тождественные преобразования выражений
Является ли преобразование тождественным: а) 4x − 3x = x; б) a5 • a−5 = a0; в) −(x + z)2 = (x − z)2?	а) Преобразование 4x − 3x = x является тождественным на основании распределительного закона умножения. б) Преобразование a5 • a−5 = a0 является тождественным на основании свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями. в) Убедиться, что преобразование выражения −(x + z)2 = = (x − z)2 не является тождественным, можно, подставив в левую и правую части равенства какие-либо значения переменных. Например, при x = z = 1 получим −4 = 0.
Выполните тождественное преобразование, применив законы умножения: а) 4x(−3,5); б) 4,5x − 3,5x + 9x.	а) 4x(−3,5) = 4(−3,5)x = −14x; б) 4,5x − 3,5x + 9x = = (4,5 − 3,5 + 9)x = 10x.

 

 

§ 3. Одночлен

1. Определение одночлена

Рассмотрим задачи.  1)  Найдите площадь круга  с  диаметром  d.  Площадь  круга  вычисляется по формуле S =   πr², где r — радиус круга (рис.  3).  Так как радиус равен половине диаметра, то πr² = π d²=  π d²

2) Запишите выражение для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, если его основание — квадрат со стороной a, а высота равна 4 см (рис. 4).

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты, т. е. a²•4, или 4a². При решении многих задач получаются выражения, которые содержат произведение переменных, степеней переменных и чисел. Такие выражения называются одночленами.

Определение. Одночленом называется произведение чисел, переменных, натуральных степеней переменных.

 

Пример. Является ли одночленом выражение:

а) −2,9x³;       б) 0,7 • x² + y;

в) 4x • 2xy;     г) 12a²x⁴ − 3c³y⁷?

Решение. Выражения в пунктах а), в) — одночлены, так как содержат только произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Выражения в пунктах б), г) не являются одночленами, так как содержат не только действие умножения, но и сложение, деление на выражение с переменной.

 

 

2. Стандартный вид одночлена. Коэффициент

Упростим одночлен 4x • 2xy, применив переместительный и сочетательный законы умножения и свойства степеней: 4x • 2xy = 8x²y. Так же можно упростить одночлены −5a³x⁴3c³ = −15a³x⁴c³ и −2a²y²(−5a³y⁵) = 10a⁵y⁷. После упрощения в одночленах числовой множитель записан на первом месте, а остальные множители — это натуральные степени различных переменных. Такая запись одночлена называется стандартным видом одночлена.

 

Определение. Стандартным видом одночлена называется запись одночлена в виде произведения числового множителя, записанного на первом месте, и степеней переменных с разными основаниями. Числовой множитель, записанный на первом месте, называется коэффициентом одночлена.

 

Одночлены с коэффициентом 1 a = 1• a, mn4 = 1• mn4

Одночлены с коэффициентом −1 −x2 = −1  x2, −k8p = −1 • k8p

 

Например, коэффициент одночлена −15a³x⁴c³ равен −15, а коэффициент одночлена  равен 

3. Степень одночлена

Рассмотрим одночлены −3a³ и 5abc. Первый одночлен содержит третью степень переменной a, говорят, что и сам одночлен имеет третью степень. Второй одночлен содержит три различные переменные в первой степени; одночлен 5abc имеет третью степень.

 

Определение. Степенью одночлена с коэффициентом, отличным от нуля, называется сумма показателей степеней входящих в него переменных.

Если одночлен не содержит переменных, то его степень равна нулю. Например, одночлен 10a⁵y⁷ имеет двенадцатую степень (5 + 7); одно-

член 5xk⁸  имеет девятую степень (1 + 8); одночлен c имеет первую степень; одночлен 1024 имеет нулевую степень.

 

 

Определение одночлена
Является ли одночленом выражение: а) −2,8x3; б) −4x + 2y; в) 2y  • 5,1a; г) 0; д) ; е) 5k • p?	а) −2,8x3— одночлен, так как содержит произведение числа (−2,8) и натуральной степени переменной x; б) выражение −4x + 2y не является одночленом, так как содержит сумму −4x и 2y; в) 2y • 5,1a — одночлен, так как содержит произведение чисел 2 и 5,1 и переменных y и a; г) 0 — одночлен, число является одночленом; д) ;— одночлен, так как содержит произведение числа 13 и натуральной степени переменной m; е) выражение 5k • p не является одночленом, так как содержит деление на переменную p.
Стандартный вид одночлена. Коэффициент
Приведите одночлен к стандартному виду и назовите его коэффициент: а) 4x • 2xy; б) −7xy2x2; в) −a2y2(−a3y5); г) 12a2x4(−3x3y7).	а) 4x  2xy = 4  2  x2y = 8x2y, коэффициент равен 8;   б) −7xy2x2 = −7x3y2, коэффициент равен −7; в) −a2y2(−a3y5) = (−1)(−1)a5y7 =1  a5y7 = a5y7, коэффициент равен 1; г) 12a2x4(−3x3y7) = −36a2x7y7, коэффициент равен −36.
Степень одночлена
Приведите одночлен к стандартному виду и укажите его степень: а) x  2y2; б) −4xx5; в) x  52.	а) x  2y2 = 2xy2, степень одночлена равна трем (одночлен третьей степени);   б) −4xx5 = −4x6, степень одночлена равна шести (одночлен шестой степени);   в) x  52 = 25x, степень одно-члена равна одному (одно-член первой степени).

 

 

§ 4 Действия с одночленами

Рассмотрим задачу. Для оформления садовой дорожки нужно 3k штук квадратной плитки со стороной b (рис. 5). Какова площадь дорожки? Для решения этой задачи нужно одночлен 3k умножить на одночлен b². Так же как и числа, одночлены можно умножать, делить, возводить в степень.

 

1. Умножение одночленов

Чтобы умножить одночлены, нужно найти произведение:

1) коэффициентов одночленов;

2) степеней с одинаковыми основаниями;

3) остальных переменных и степеней переменных.

Например:

а) 2x²y • (0,3x³y²) = (2 • 0,3) • (x² • x³) • (y • y²) = 0,6 • x⁵ • y³ = 0,6x⁵y³;

б) −0,25a⁴b⁶ • (4a³bc) = (−0,25 • 4)  (a⁴ • a³)  (b⁶ • b)

 

Умножение одночленов является тождественным преобразованием. Результатом этого преобразования является одночлен.

2. Деление одночленов

Чтобы разделить один одночлен на другой, нужно:

1) разделить коэффициенты одночленов и записать частное коэффициентом результата деления;

2) разделить степени с одинаковыми основаниями и записать их

множителями в результат деления.

Например:

а) 15x⁴y³: (−3xy²) = (15 : (−3)) • (x⁴ :  x) : (y³ : y²) = −5  x³  y = −5x³y;

б) −1,2a⁸b³c : (0,2a⁵b³) = (−1,2 : 0,2) • (a⁸ : a⁵) • (b³ : b³) • c = −6a³c.

 

 

Результат деления одночленов может:

а) являться одночленом, например, (2a³b⁴) : (a²b) = 2ab³;

б) не являться одночленом, например, (2a³b⁴) : (a⁸b⁵) =2a⁻⁵b⁻¹.

3. Возведение одночлена в степень

Для возведения одночлена в натуральную степень необходимо воспользоваться свойством степени произведения и свойством степени.

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно:

1) возвести в эту степень каждый множитель одночлена;

2) результаты перемножить.

Например:

а) (0,1a⁶b³)² = (0,1)² • (a⁶)² • (b³)²= 0,01 • a¹² • b⁶ = 0,01a¹²b⁶;

б) (−x⁴y²z)³ = (−1)³ • (x⁴)³ • (y²)³ • z³ = −1 • x¹² • y⁶ • z³ = −x¹²y⁶z³.

 

 

 

Возведение одночлена в натуральную степень является тождественным преобразованием. Результатом этого преобразования является одночлен.

4. Подобные одночлены

Рассмотрим одночлены 3x³y и 5x³y. В их записи переменные и их степени одни и те же. Такие одночлены называются подобными. Коэффициенты подобных одночленов могут быть равными, а могут отличаться друг от друга.

 

Определение. Подобными называются одночлены, которые имеют одинаковую часть, содержащую степени и переменные.

Подобные одночлены 5a4b3 и −4a4b3, −m4n2k и m4n2k,  15x2y и x2y

 

Например, подобными являются одночлены −8x²y⁴z и 6x²y⁴z, так как в их записи переменные и их степени одни и те же.

5. Сложение одночленов

Складывать и вычитать можно только подобные одночлены. При сложении подобных одночленов используется распределительный закон умножения: складываются коэффициенты одночленов, а степени переменных и переменные не изменяются.

 

Например:

а) −5x⁴y + 8x⁴y = (−5 + 8)x⁴y = 3x⁴y;

б) 10b²c³ − 7b²c³ − 4b²c³ = (10 − 7 − 4)b²c³ = (−1)b²c³ = −b²c³;

в) 5xy − 2xy − 3xy = (5 − 2 − 3)xy = 0 • xy = 0.

Сложение одночленов является тождественным преобразованием. Результатом этого преобразования является одночлен.

 

Умножение одночленов
Выполните умножение одночленов −2a2y2c • (−5a3y5d).	Найдем произведение: 1) коэффициентов одночленов: −2 • (−5) = 10; 2) степеней с одинаковыми основаниями a2 • a3 = a5 и y2 • y5 = y7 остальных переменных и степеней переменных: c • d = cd. Таким образом, −2a2y2c • (−5a3y5d) = 10a5y7cd.
Деление одночленов
Выполните деление одночленов 100a5y7 : (4a2y6).	1) Выполним деление коэффициентов одночленов и запишем частное коэффициентом результата деления: 100 : 4 = 25. 2) Разделим степени с одинаковыми основаниями a5 : a2 = a3, y7 : y6 = y, запишем их множителями в результат деления: 100a5y7 : (4a2y6).= 25a3y.
Возведение одночлена в степень
Выполните возведение одночлена в степень (5x3y2)3.	1) Возведем в третью степень каждый множитель: 53 = 125; (x3)3 = x9; (y2)3 = y6. 2) Результаты перемножим: (5x3y2)3 = 125x9y6.
Подобные одночлены
Являются ли подобными одночлены: а) 6x5y4 и −16x5y4; б) 0,4xy2 и −1,6x2y; в) 1,4x2y2 и −1,6a2b2?	Являются ли подобными одночлены: а) 6x5y4  и −16x5y4 одночлены подобны так как отличаются только коэффициентами; б) 0,4xy2  и −1,6x2y не являются подобными по тому что отличаются коэффициенты в степени; в) 1,4x2y2 и −1,6a2b2 не являются подобными, по тому что отличаются переменными.
Сложение одночленов
Выполните сложение подобных одночленов 1,4m2n3 − 1,6m2n3.	Сложим коэффициенты одночленов (1,4 − 1,6 = −0,2), а степени переменных оставим без изменения: 1,4m2n3 − 1,6m2n3 = −0,2m2n3.

 

 

§ 5. Многочлен

1. Определение многочлена

Рассмотрим задачу. Найдите объем трех хранилищ зерна, если одно из них есть куб с ребром a м, а два других — одинаковые прямоугольные параллелепипеды с измерениями m, n и k м. Объем куба равен a³ м³, объем прямоугольного параллелепипеда — произведению mnk м³. Тогда объем трех хранилищ равен (a ³ + 2mnk) м³.

 При решении многих задач получаются выражения, которые имеют вид суммы одночленов. Такие выражения называются многочленами.

 

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

 

Рассмотрим многочлен 3x ³ − 2xy ² + y − 2. Он состоит из четырех одночленов:
 3x³, −2xy², y и −2. Их называют членами многочлена.

 

Двучлен — многочлен, содержащий два члена. 5x2 − 2y3 — двучлен

Трехчлен — многочлен, содержащий три члена. a2−ab + b2 — трехчлен

 

Например, членами многочлена:

а) 0,7x² − y + 6 являются одночлены 0,7x² , −y и 6;

б) 12a²x⁴− c³y⁷ являются одночлены 12a²x⁴ и −c³y⁷.

Одночлен также считается многочленом, состоящим из одного члена.

 

2. Приведение подобных слагаемых многочлена

В многочлене 27x³ − 3x² − 14x³ + 5x + 7x² − 2 – шесть членов. Первый и третий члены — подобные одночлены, сложим их по правилу сложения подобных одночленов: 27x³ − 14x³ = 13x³ . Подобны также второй и пятый члены многочлена, сложим их 3x² + 7x² = 4x² . Тогда данный многочлен будет тождественно равен многочлену 13 x³ + 4x ² + 5x − 2, т. е.

27x³ − 3x² − 14x³ + 5x + 7x² − 2 = 13x³ + 4x² + 5x − 2.

В таком случае говорят, что выполнено приведение подобных слагаемых многочлена 27x³ − 3x² −14x³ + 5x + 7x² − 2.

Чтобы привести подобные слагаемые многочлена, нужно:

 

1 Определить подобные слагаемые (их можно подчеркнуть). 2) Сложить подобные слагаемые в каждой группе. 3) Записать сумму полученных слагаемых и остальных членов многочлена.

Приведите подобные слагаемые многочлена хy3 − 5х 2y − 4хy3 + 7х2y – 12 хy3 − 5х 2y − 4хy3 + 7х2y − 12 Таким образом, хy3 – 5х2 y – 4хy3 + 7х2y – 12 =−3xy3  + 2x2 y − 12.

 

Приведение подобных слагаемых многочлена — тождественное преобразование.

 

3. Стандартный вид многочлена

Рассмотрим многочлены 2x³ + 5xxy − 7,5xxy и 2x³ − 2,5x². Второй многочлен получен из первого приведением его членов к стандартному виду и приведением подобных слагаемых. Такой вид многочлена называется стандартным.

 

Определение. Многочлен имеет стандартный вид, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.

 

Чтобы привести многочлен к стандартному виду,  нужно:

 

1)Каждый член многочлена записать в стандартном виде. 2)В полученном многочлене привести подобные слагаемые.

Приведите многочлен к стандартному виду 3x2yyz - 8 + 7xxyzz + 5xxyyz - 4 1)3x2y2z + 5x2y2z +7x2yz2 - 4 - 8 2) 8x 2 y 2 z + 7x 2 yz2  − 12. 3x2yyz - 8 +7xxyzz Выполните умножение одночлена на многочлен 5xxyyz • 4 = 8x 2 y 2 z + 7x 2 yz2 − 12.

 

4. Степень многочлена

Многочлен 3x ² yz + 12x ² y ²z – 12 − имеет три члена. Степень первого члена равна 4, степень второго равна 5, а третий член имеет нулевую степень. Степень многочлена 3x ² yz + 12x ² y ²z − 12 − равна степени одночлена с наибольшей степенью, т. е. равна 5.

 

Определение. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

 

Чтобы определить степень многочлена, нужно:

 

1)Привести многочлен к стандартному виду. 2)Определить член многочлена с наибольшей степенью. 3)Назвать эту степень степенью многочлена.

Определите степень многочлена −3x 5 y 4 + 3x 5 y − 9x 6 + 4x 5 y − 5x 5 y4 1) −8x 5 y 4 + 7x 5 y − 9x6 . 2) −8x 5 y4  — член многочлена с наибольшей степенью. 3)Степень многочлена равна девяти.

 

Определение многочлена
Назовите каждый член многочлена −5a 2 x 3 + 7ax 2 − 3a 2 x + a − x − 10.	В многочлене шесть членов: −5a 2 x3; 7ax2; −3a 2 x; a; −x и −10..
Приведение подобных слагаемых многочлена
Приведите подобные слагаемые многочлена −0,2x 4 + 3x 3 y − 0,3x 2 x2 − 12xxxy + 3x.	0,2x4 + 3x8y – 0,3x2x2 – 12xxxy + 3x = = - 0,2x4 + 3x8y – 0,3x4 – 12x8y + 3x = = - 0,5x4 – 9x8y +3x
Стандартный вид многочлена
Приведите многочлен   x  y 2  − 4xx 2  + x − 5   к стандартному виду   и определите его степень.	Приведем многочлен к стандартному виду: X • y 2 − 4xx 2 + x − 5 = xy 2 − 4x 3  + x − 5. Определим степень каждого члена: степень первого и второго членов равна 3, степень третьего равна 1, четвертого — нулю. Степень данного многочлена равна 3..

§ 6 Сложение и вычитание многочленов

Сумма и разность многочленов

Рассмотрим задачу: Мама купила m карандашей по 20 к., n ручек по 50 к. и k тетрадей по 10 к. для старшего сына, а также m карандашей по 10 к., n ручек по 40 к. и k тетрадей по 5 к. для младшего.

а) Сколько денег за всю покупку заплатила мама?

б) На сколько дороже стоит набор принадлежностей для старшего сына?

Составим выражения для решения задачи:

а) (20m + 50n + 10k) + (10m + 40n + 5k);

б) (20m + 50n + 10k) − (10m + 40n + 5k).

Полученные выражения представляют собой сумму и разность многочленов.

При сложении и вычитании многочленов нужно раскрывать скобки.

Если перед скобками стоит знак «плюс», то:

1) опускают скобки;

2) опускают знак «плюс»;

3) все знак «плюс»;

3) все знаки слагаемых в скобках оставляют без изменения.

Если перед скобками стоит знак «минус», то:

1) опускают скобки,

2) опускают знак «минус»,

3) все знаки слагаемых в скобках заменяют на противоположные.

Если перед скобками нет ни знака «плюс», ни знака «минус», то подразумевается, что стоит знак «плюс».

Чтобы сложить (вычесть) многочлены, нужно:

1) раскрыть скобки;

2) привести подобные слагаемые в полученном многочлене.

Например:

а) 3a ² − 5a − (2a ² − a + 1) = 3a ² − 5a − 2a ² + a − 1 = a ² − 4a − 1;

б) (−3x ² y ² + 2xy − 7) + x ² y ² + 4xy − 2) =−3x ² y ² + 2xy − 7 + x ² y ² + 4xy − 2 =

=−2x ² y ² + 6xy – 9.

 

(a + b − c ) − (l − n + k) = = a + b − c − l + n – k

a + b − c + (l −n + k) = = a + b − c + l − n + k

 

Сложение (вычитание) многочленов является тождественным преобразованием. Представление многочлена в виде суммы и разности многочленов. Чтобы представить многочлен в виде суммы двух

многочленов, нужно:

1) перед скобками поставить знак «плюс»;

2) заключить некоторые члены многочлена в скобки, не меняя знаки членов, внесенных в скобки.

Например,

− 6x ² y + 1,2xy + 0,6x ² y − xy ² − x = −6x ² y + 1,2xy + (0,6x ² y − xy ² − x).

 

 

Чтобы представить многочлен в виде разности двух многочленов, нужно:

1) перед скобками поставить знак «минус»;

2) заключить некоторые члены многочлена в скобки, изменив знак каждого члена, внесенного в скобки, на противоположный.

Например,

− 6x ² y + 1,2xy + 0,6x ² y − xy ² − x = − 6x ² y + 1,2xy − ( −0,6x ² y + xy ² + x).

 

 

Представление многочлена в виде суммы или разности многочленов является тождественным преобразованием.

 

Сложение и вычитание многочленов
Найдите сумму 2a 2 + ab − c 2 + (−2a 2 + ab − c2).	2a 2 + ab − c 2 + (−2a 2 + ab − c2)= 2a2+ab-c2-2a2+ab-c2=2ab-c2
Найдите разность 2a 2 + ab − c 2 − (−2a 2 + ab − c2).	2a2+ab-c2-(-2a2+ab-c2) = 2a2+ab-c2- -ab+c2=4a2
Представление многочлена в виде суммы и разности многочленов
Представьте двумя способами многочлен 7b 5 − 3b 4 + 5b 2 − b – 8 в виде суммы двух многочленов.	7b5 –  3b4 + 5b2 – b – 8 = 7b5 – 3b4 + (5b2 – b – – 8); 7b5 – 3b4 + 5b2 – b – 8 = 7b5 – 3b4 + 5b2 + + (– b –8);
Представьте двумя способами многочлен 7b 5 − 3b 4 + 5b 2 − b – 8 в виде разности двух многочленов.	7b5 –  3b4 + 5b2 – b – 8 = 7b5 – 3b4   – (5b2 + b+ +8); 7b5 – 3b4 + 5b2 – b – 8 = 7b5 – 3b4 + 5b2 – –  (b +8);

§ 7. Умножение и деление многочлена на одночлен

1. Умножение одночлена на многочлен

Рассмотрим задачу. При очистке парка от последствий урагана использовались контейнеры с измерениями a, b и c (рис. 6). В первый день было заполнено 3x таких контейнера, во второй — 4y, а в третий — 5z. Каков объем всех контейнеров, заполненных за три дня? Для решения этой задачи составим выражение abc(3x + 4y + 5z), которое представляет собой произведение одночлена и многочлена.
         Для умножения одночлена на многочлен применяется:

распределительный закон умножения чисел относительно сложения: a(b + c + d) = ab + ac + ad.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно:

1) умножить одночлен на каждый член многочлена;

2) полученные произведения сложить.

а) 3xy(4x − 7y) = 3xy  4x −3xy  7y = 12x² y − 21xy² ;

б) −5c(2a²c + 3ac − 4a) = −10a²c² − 15ac² + 20ac.

Умножение одночлена на многочлен является тождественным преобразованием.

2. Деление многочлена на одночлен

Правило «чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель» применяется при делении многочлена на одночлен.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно:

1) разделить каждый член многочлена на этот одночлен;

2) полученные частные сложить.

Например, (3m³n² − m²n − m) : m = (3m³n² ) : m − (m ²n ) : m − m : m =
= 3m²n² − mn − 1.

Результат деления многочлена на одночлен может:

 а) являться многочленом, например, (5x⁴y³ + 3x³y − xy) : (xy) = 5x³y² + 3x² -− 1;

б) не является многочленом, например, (5x⁴y³ + 3x³y −xy) : (x³y) = 5xy² + 3− −x⁻²

Умножение одночлена на многочлен
Выполните умножение одночлена на многочлен (7х 2 + 3х − 4) • 6х3.	(7x2 + 3x - 4) • 6x3 = =7x2 • 6x3 +6x3 • 3x +(-4) • 6x3 = 42x5 +18x4 – 24x3
Выполните деление многочлена на одночлен (27x10 + 3x5 +24x3) : (3x3).	(27x10 + 3x5 +24x3) : (3x3) = 27x10 : 3x3+3x5 : 3x3 + 24x3 :3x3 = 9x7 + x2 – 8.
Выполните действия и приведите результат к многочлену стандартного вида (9х2 − 6x) : (3х) − (3x + 2).	Установим порядок действий: 1)  деление многочлена на одночлен; 2)  вычитание многочлена из многочлена, полученного в результате деления. Выполним действия: (9х2 − 6x) : (3х) − (3x + 2) =  3x − 2 − 3x − 2 = −4.

 

 

§ 8. Умножение многочленов

Рассмотрим задачу. Для полива трех цветников площадью a, четырех цветников площадью b и семи цветников площадью с в июне затрачено 2k литров воды, а в июле — 3v литров воды. Сколько литров воды затрачено на полив цветников за оба летних месяца? Решение этой задачи приводит к произведению многочленов:

(2k + 3v )(3a + 4b + 7c).

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно применить распределительный закон умножения.

Например, найдем произведение (a + b )(c + d). Обозначим (c + d) через x и получим:

(a + b )(c + d ) = (a + b )x =  ax + bx = a (c + d ) + b (c + d).

Снова применим распределительный закон:

a (c + d ) + b (c + d) =  ac + ad + bc + bd.

Таким образом, (a + b )(c + d ) = ac + ad + bc + bd.

Получили правило умножения многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно:

1) умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена;

2) полученные произведения сложить.

Например:

а) (x + 3)(4x − 2) = x • 4x − x • 2 + 3 • 4x − 3 • 2 = 4x ² − 2x + 12x − 6 =
= 4x ² + 10x − 6;

б) (5m − n)(m − 3n) = 5m • m − 5m • 3n − n • m + n • 3n =
= 5m ² − 15mn – mn +3n² = 5m ² − 16mn + 3n²

Замена произведения многочленов на многочлен является тождественным преобразованием

Умножение многочленов
Выполните умножение многочленов (x2 + 3) • (x2 – 4)	(x 2 + 3)(x2 − 4) = x2 • x2 + x2 • (-4) + 3 • x2 + 3 • (-4)= = x4 – 4x2 + 3x2 – 12 = = x4 – x2 – 12.
Умножьте многочлен x + 3 на многочлен x 2 − 4x + 1.	(x + 3)(x2 − 4x + 1) = =x • x2 – x • 4x + x • 1 + 3 • x2 - - 3 • 4 x + 3 • 1 = x3 – 4x2 + x + + 3 x2 – 12 x + 3 = x3 - x2 -11 x + 3.
Докажите, что значение выражения (2x − y )(y − 3x ) + y (y − 5x) не зависит от значения переменной y.	Выполним действия по порядку: умножение многочленов, умножение многочлена на одночлен и сложение полученных многочленов: (2x − y )(y − 3x ) + y (y − 5x) =   = 2xy − 6x 2 − y 2 + 3xy + y2− 5xy = − 6x2 Полученный результат не зависит от y.

 

 

§ 9. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Рассмотрим произведение двух двучленов (a - b)(a - b), которое можно записать (a b)² и прочитать «квадрат суммы двух выражений a и b».

Выполним умножение двучленов (a - b)(a - b) по правилу умножения многочленов:

 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Квадрат суммы двух выражений (a и b) равен квадрату первого выражения (a2) плюс удвоенное произведение первого и второго выражений (2ab) плюс квадрат второго выражения (b2)

 

(a + b)² =  (a + b)(a + b) =  a² + ab + ba + b² =  a² + 2ab + b².

Рассмотрим квадрат разности выражений a и b:

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b². Таким образом, получили формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений. С помощью этих формул умножение равных двучленов можно выполнить сокращенно. Их называют формулами сокращенного умножения.

Чтобы представить квадрат суммы двух выражений в виде трехчлена, нужно:

1.         Назвать первое и второе выражения. 2.         Записать квадрат первого выражения и знак «плюс». 3.         Записать удвоенное произведение первого и второго 4.         Записать квадрат второго выражения.

1.         3a и 5b. 2.                                                           9a2   3.         9a 2 + 30ab + 4.            9a 2 + 30ab + 25b2      (3a + 5b)2 = 9a 2+ 30ab + 25b2.

 

Например:

а) (m + 4)² = m² + 2  m  4 + 4² = m² + 8m + 16;

б) (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1.

(2k + 7n)2 = (2k)2 + 2 2k 7n + (7n)2 = 4k2 + 28kn + 49n2

 

Чтобы представить квадрат разности двух выражений в виде трехчлена, нужно:

1.                     Назвать первое и второе выражения. 2.                     Записать квадрат первого выражения и знак «минус». 3.                     Записать удвоенное про- изведение первого и второго выражений и знак «плюс». 4.                     Записать квадрат второго

Представьте в виде трехчлена выражение (x − 2y)2. 1.         x и 2y. 2.         x2 – 3.         x 2  − 4xy + 4.         x 2  − 4xy + 4y2 (x − 2y )2 = x 2 − 4xy + 4y2.

 

Например:
а) (3n −  1)² = (3n)² − 2  3n  1 + 1² = 9n − 6n + 1;

б) (y³ − 2)² = y⁶ − 4y³ + 4.

(4a − 3b)2 = (4a )2 − 2 4a  3b + (3b)2 = 16a 2 − 24ab + 9b2

Формулы сокращенного умножения применяются как слева направо, так и справа налево:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2;

a 2 − 2ab + b 2 = (a − b)2.

Если члены трехчлена представляют собой квадрат одного выражения, квадрат второго выражения, удвоенное произведение этих выражений, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата двучлена.

Чтобы записать трехчлен в виде квадрата двучлена, нужно:

1.         Назвать два члена из трех, которые являются квадратами выражений. 2.         Определить выражения, которые были возведены в квадрат. 3.         Назвать удвоенное произведение этих выражений. 4.         Если удвоенное произведение совпадает с третьим членом трехчлена (со знаком «плюс» или «минус»), то записать квадрат суммы (квадрат разности) этих выражений.

Представьте в виде квадрата двучлена трехчлен   1.         x2 − 10xy + 25y2.   2.         x2 и 25y2.   3.         x и 5y.   4.         2 • x • 5y =  10xy. 5.         x2 − 10xy + 25y2 = (x − 5y)2.

 

Представим в виде квадрата двучлена трехчлен 36x² + 12xy + y²:

1.         36x² и y² — квадраты выражений;

2.         6x и y — выражения, которые были возведены в квадрат;

3.         12xy — удвоенное произведение этих выражений;

12xy совпадает со вторым членом трехчлена (со знаком «плюс»), значит,
36x² + 12xy + y² =  (6x + y)².

Представим в виде квадрата двучлена трехчлен 25m² − 20mn + 4n²:

1.        25m² и 4n² — квадраты выражений;

2.        5m и 2n — выражения, которые были возведены в квадрат;

3.        20mn — удвоенное произведение этих выражений;

20mn совпадает со вторым членом трехчлена (со знаком «минус»), значит,

25m² − 20mn + 4n² =  (5m − 2n)².

1. Тождественно равны выражения:

а) (a + b)²  и (−a − b)² ;

б) (a − b)²  и (b − a)² .

Покажем это:

а) (− a − b)² = (−1  (a + b))² = (−1)² (a + b)² = (a + b)² ;

б) (a − b)² = (−1  (−a + b))² = (−1)² (b − a)² = (b − a)² .

Формулы квадрата суммы и квадрата разности являются тождествами.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений
Представьте в виде трехчлена: а) (x+3)2 б) (7n − 1)2 ; в) (− 5a − 2b)2 ; г) (−c + 1)2.	а) (x + 3)2 = x 2 + 2  x  3 + 32 = x2  + + 6x + 9 б) (7n − 1)2 = (7n )2 − 2 • 7n • 1 + + 12 = 49n 2 − 14n + 1; в) (−5a − 2b )2 = (5a + 2b)2 = 25a 2 + 20ab + 4b2 ; г) (−c + 1)2 = (c − 1)2 = c 2 − 2c + 1.
Используя формулы сокращенного умножения, вычислите: а) 10012; б) 7,82	а) Запишем число 1001 как сумму чисел 1000 и 1 и воспользуемся формулой квадрата суммы: 10012 = (1000 + 1)2 = 10002 + 2 • 1000 • 1 + + 12 = 1 000 000 + 2000 + 1 = 1 002 001; б) 7,82 = (8 − 0,2)2 = 82 − 2 • 8 • 0,2 + 0,22 = = 64 − 3,2 + 0,04 = 60,84.
Используя алгоритм, представьте в виде квадрата двучлена трехчлен: а) x 2 − 8x + 16; б) a 4 + 6a + 9.	а) 1. x2  и 16 – квадраты выражений; 2. x и 4 выражения, которые возведены в квадрат; 3. 8x — удвоенное произведение этих выражений; 4. 8x совпадает со вторым членом трехчлена (со знаком «минус»), значит, x 2  − 8x + 16 = (x − 4)2 ; б) a 4 + 6a 2 + 9 = (a2 )2 + 2  a 2  3 + +32 = (a2 + 3)2.
Используя алгоритм, представьте, если возможно, в виде квадрата двучлена трехчлен 36m 2 − 12mn + 4n2	1.         36m2 и 4n2 — квадраты выражений; 2.         6m и 2n — выражения, которые были возведены в квадрат; 3.         24mn — удвоенное произведение этих выражений 4.         24mn не совпадает со вторым членом 12mn, значит, трехчлен 36m 2 − 12mn + 4n2 невозможно представить в виде квадрата двучлена.

§ 10. Формулы сокращенного умножения: произведение суммы и разности двух выражений

Рассмотрим произведение двучленов (a + b)(a − b). Первый множитель — это сумма выражений a и b, второй множитель — их разность. Все выражение —

произведение суммы и разности двух выражений. Выполним умножение по правилу умножения многочленов:

(a + b )(a − b ) = a ² − ab + ba − b² = a ² − b² .

Получили формулу сокращенного умножения суммы и разности двух выражений.

(a + b )(a − b ) = a 2 − b2 Произведение суммы (a + b) и разности (a − b) двух выражений равно разности квадратов (a 2 − b2 ) этих выражений

 

Чтобы выполнить сокращенное умножение суммы и разности двух выражений, нужно:

1.           Назвать сумму и разность выражений.   2.           Назвать первое и второе выражения.   3.           Записать квадрат первого выражения. 4.           Поставить знак «минус».   5.           Записать квадрат второго выражения.

Представьте в виде много- члена (2a + 3b )(2a − 3b).   2a + 3b и 2a − 3b.   1.         2a и 3b.   2.         4a2 3.         4a2 −   4.         4a2 − 9b2   (2a + 3b)(2a − 3b) =  4a2 − 9b2.

 

Например:

а) (x + 8y) (x - 8y) = x² − (8y)² = x² − 64y²

б) (a² + 5)(a² – 5) = (a²)² − 5² = a⁴ – 25

(6m + 7n)(6m − 7n) = (6m)2 − (7n)2 = 36m2 − 49n2

 

Формула произведения суммы и разности двух выражений применяется как слева направо, так и справа налево:

a² − b² = (a − b)(a + b).

Чтобы представить в виде произведения двучленов разность квадратов двух выражений, нужно:

1.           Назвать квадрат первого выражения.   2.            Назвать первое выражение.   3.            Назвать квадрат второго выражения.   4.            Назвать второе выражение.   5.            Записать произведение суммы и разности этих выражений.

Представьте в виде произведения разность квадратов выражений 9a2 −16b2.   1.            9a2. 2.            3a.   3.            16b2. 4.            4b.   5.           (3a + 4b)(3a − 4b). 9a2 − 16b2 = (3a + 4b)(3a − 4b).

 

Например:

а) x² − 4 = x² − 2² = (x + 2)(x − 2);
б) b⁴ − 25a⁴ = (b²)² − (5a²)² = (b² + 5a²)(b² − 5a²).

64c 2 − 81d2 = ( 8c )2 − ( 9d)2 = (8c + 9d )(8c − 9d)

 

Сокращенное умножение суммы и разности двух выражений
Представьте в виде много- члена выражение: а) (3b + 7c)(3b − 7c); б) (4x − 5)(4x + 5); в) (4m2  + n)(4m2  − n); г) (5y2 + 0,1x3)(0,1x3 − 5y2).	а) Выражение представляет собой произведение суммы (3b + 7c) и разности (3b − 7c) выражений 3b и 7c. Квадрат первого выражения равен 9b2 квадрат второго — 49с2. Таким образом, (3b + 7c )(3b − 7c) = (3b )2 − (7c )2 = = 9b2 − 49c2; б) (4x − 5)(4x + 5) = (4x )2 − 52 = 16x2 − − 25; в) (4m 2 + n )(4m 2 − n) = (4m 2 )2 − n 2 = 16m 4 − n2; г) (5y 2 + 0,1x 3)(0,1x 3 − 5y2) = = (0,1x 3 )2 − (5y2 )2 = 0,01x 6 − 25y4.
Вычислите 199 • 201.	199 201= (200 − 1)(200 + 1) = = 2002 – −12= 40000 − 1 = 39999
Используя алгоритм, представьте в виде произведения разность квадратов выражений 36m2 – 25.	а) 1. 36m2  — квадрат первого выражения; 2. 6m – первое выражение; 3. 25 — квадрат второго выражения; 4. 5 — второе выражение; 5. 36m2 – 25  (6m + 5)(6m – 5).
Представьте в виде произведения разность квадратов выражений: а) x4  − 9; б) 1 − 0,04a6	а) x 4 − 9 = (x2 )2 − 32 = (x 2 + 3)(x2 − 3); б) 1 – 0,04a6 = 13 – (0,2a3)2 = = (1 + 0,2a 3 )(1 − 0,2a3 ).

 

1. Верно ли, что произведение разности и суммы двух одночленов есть многочлен, содержащий: а) два члена; б) три члена?

2. Верно ли, что разность квадратов двух выражений можно записать в виде произведения: а) одночленов; б) двучлена и одночлена; в) двучленов?

 

 

§ 11. Разложение многочлена на множители

При умножении одночлена на многочлен в результате получается многочлен. Поставим обратную задачу: 1) представить многочлен в виде произведения одночлена и многочлена.

При умножении двух многочленов в результате так же получается многочлен. Обратная задача: 2) представить многочлен в виде произведения многочленов.

Задачи 1) и 2) можно объединить в одно задание: разложить многочлен на множители.

Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения одночлена и многочлена или произведения многочленов.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

Рассмотрим произведение одночлена и многочлена a(3b  c²). Результат умножения есть многочлен 3ab  ac².

Обратная задача: представить многочлен 3ab + ac² в виде произведения одночлена и многочлена, или разложить многочлен на множители. Один из множителей будет одночленом, а другой — многочленом. Общий множитель должен содержаться в каждом члене многочлена, а результат деления каждого члена данного многочлена на этот множитель дает второй множитель:

3ab + ac ² = a (3ab : a + ac² : a) = a (3b + c²).

Такой способ разложения многочлена на множители называется вынесением общего множителя за скобки.

Вынести общий множитель за скобки — это значит представить данный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена.

Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно:

1.           Определить общий множитель у всех членов многочлена. 2.           Записать его и открыть скобку. 3.           Разделить каждый член многочлена на множитель, записанный перед скобкой. 4.           Записать сумму полученных результатов деления каждого члена многочлена на одночлен и закрыть скобку.

Вынесите общий множитель за скобки в выражении 15x 2 y + 10xy2 . 1.         5xy. 2.         5xy( 3.         15x 2 y  (5xy ) = 3x; 10xy2  (5xy)  2y. 4.         5xy (3x + 2y). 15x 2y + 10xy 2 = 5xy (3x + 2y)

Например, 2ab + 4ac − 6ad =  2a(b + 2c − 3d).

В многочлен 2ab + 4ac − 6ad было три члена. После вынесения за скобки общего множителя в скобках получился многочлен b + 2c - 3d, содержащий также три члена.

12m5n2 − 18m8n = 6m5n(2n − 3m3)

 

Сколько слагаемых было до вынесения общего множителя за скобки, ровно столько же должно остаться в скобках после вынесения.

Если общий множитель совпадает с одним из слагаемых, на месте этого слагаемого после вынесения общего множителя за скобки остается единица (+1 или −1).

Например: а) 2ab + b = b(2a + 1);

б) 4x³ + 3x² − x = x(4x² + 3x − 1).

1. Разложение многочлена на множители способом группировки

Рассмотрим многочлен xy − 3x + 2y − 6. У всех членов этого многочлена нет общего множителя, но этот многочлен можно разбить на группы членов, которые имеют общий множитель, и заключить их скобки, т. е. сгруппировать.

Например, можно сгруппировать первый и второй, также третий и четвертый члены: (xy − 3x) + (2y − 6). Вынесем в каждой группе членов общий множитель: x(y − 3) + 2(y − 3). Заметим, что в полученных произведениях есть общий множитель (y − 3), обозначим его через z и вынесем за скобки: x(y − 3) + 2(y − 3) = = xz + 2z = z(x + 2) = (y − 3)(x + 2). Многочлен xy − 3x + + 2y − 6 разложили на множители (y − 3)(x + 2) способом группировки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

 

1.           Сгруппировать, т. е. заключить в скобки, члены многочлена, которые имеют общий множитель.   2.           В каждой группе членов вынести за скобки общие множители.   3.           Вынести за скобки общий множитель полученных произведений.

Разложите на множители многочлен 2ab − 4a + bc − 2c.   1.         (2ab − 4a ) + (bc − 2c).     2.         2a (b − 2) + c (b − 2).   3.         (b − 2)(2a + c).   2ab − 4a + bc − 2c = (b − 2)(2a + c).

 

Члены многочлена можно группировать по-разному.

Так, в многочлене 2ab − 4a + bc − 2c можно сгруппировать первый член с третьим и второй с четвертым:

2ab − 4a + bc − 2c = (2ab + bc ) + (−4a − 2c) =
= b (2a + c ) − 2(2a + c ) = (2a + c )(b − 2).

Не каждая группировка членов многочлена позволяет разложить его на множители.

Группируя в многочлене 2ab − 4a + bc − 2c первый член многочлена с четвертым и второй с третьим, не удается выполнить разложение его на множители:

2ab − 4a + bc − 2c = (2ab − 2c ) + (−4a + bc) = 2(ab − c ) + (−4a + bc).

Пример. Разложите на множители многочлен

a ³ + a + ab² − a ² b − b − b³ .

Решение.  Сгруппируем члены многочлена по два: первый — с четвертым, второй — с пятым, третий — с шестым:

(a³ − a²b) + (a − b) + (ab² − b³).

Из первых скобок вынесем общий множитель a², во вторых скобках общего множителя нет, из третьих — b²:

a ² (a − b ) + (a − b ) + b² (a − b).

 Общий множитель (a − b) вынесем за скобки:

(a − b)(a² + 1 + b²).

 Не забываем поставить единицу на место (a − b)! Таким образом, a³ + a +
+ab² − a²b − b − b³ = (a − b)(a² + 1 + b²).
Можно предложить и другой вариант группировки:
Сгруппируем члены многочлена по три: первый — со вторым и третьим, а четвертый — с пятым и шестым:

(a³ + a + ab² ) + (− a² b − b − b³ ).

      В первой группе вынесем общий множитель a, а во второй — (−b) и получим:

a(a² + 1 + b² ) − b(a² + 1 + b² ).

Общий множитель (a² + 1 + b²) вынесем за скобки:

(a² + 1 + b²)(a − b).

Таким образом,

a³ + a + ab² − a²b − b − b³ = (a² + 1 + b²)(a − b).

2. Применение формул сокращенного умножения для разложения многочлена на множители

При изучении формул сокращенного умножения мы уже раскладывали многочлены на множители. Если многочлен есть разность квадратов выражений, то он равен произведению суммы и разности этих выражений:

a² − b² = (a + b)(a − b)

Например, 36a² − b²  = (6a + b)(6a − b).

Если многочлен — сумма трех выражений: квадрата одного выражения, квадрата другого и удвоенного произведения этих выражений — то этот многочлен равен квадрату суммы или разности этих выражений:

a ² ± 2ab + b² = (a ± b)² .

Например, 25x ² + 10x + 1 = (5x + 1)².

3. Комбинации различных способов разложения многочленов на множители

При разложении многочленов на множители иногда приходится применять не один, а сразу несколько способов.

Например, при разложении на множители многочлена 25a³ -  a сначала вынесем общий множитель за скобки: 25a³ − a = a(25a² − 1). Затем применим формулу разности квадратов: a(25a² − 1) = a(5a + 1)(5a − 1).

Разложим на множители многочлен 9x ²− y ²+ 6x + 2y. Для этого воспользуемся способом группировки и формулой разности квадратов:

9x ² − y ² + 6x + 2y = (9x ² − y ² ) + (6x + 2y) =

= (3x + y )(3x − y ) + 2(3x + y ) = (3x + y )(3x − y + 2).

Применим формулы квадрата суммы и разности квадратов и разложим многочлен m ² + 4mn + 4n ² − k² на множители:

m ² + 4mn + 4n ² − k ²  = (m + 2n )² − k² = (m + 2n + k )(m + 2n − k).

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки
Вынесите общий множитель за скобки в выражении 6a 3 b 4 + 9a 2 b 2 c.	Так как НОД (6, 9) = 3, то в общий множитель войдет число 3. Переменная a входит в первое слагаемое в третьей степени, во второе — во второй, значит, в общий множитель войдет a2, также в него войдет b2. Переменная c не является общим множителем, так как не входит в первое слагаемое. Общий множитель членов многочлена равен 3a2b2 Поскольку 6a 3 b 4 : (3a 2 b 2 ) = 2ab2 ; 9a2 b2 c : (3a2 b2 ) = 3c, то 6a3 b4 + 9a2 b2 c = 3 a2 b2(2ab2+3c)
Разложите на множители многочлен: а) 7x 2 y − 3xy + 5xy2 ; б) 16c4k2 + 4c2k – 12c2k2.	а) Общим множителем членов многочлена 7x2y − 3xy + 5xy2 является одночлен xy. Тогда 7x2 y − 3xy + 5xy2 = xy(7x -3 + 5y) б) Общий  множитель  4c2k многочлена  16c4 k2 + 4c2 k − 12c2 k2 совпадает со вторым слагаемым. Не забываем записать 1 на месте этого слагаемого! 16c4 k2 + 4c2k − 12c2k2 = 4c2k (4c 2 k + + 1 − 3k).
Разложение многочлена на множители способом группировки
Разложите на множители многочлен ax+7a − 3x − 21.	Сгруппируем слагаемые попарно: (ax  + 7a) + (−3x − 21). Вынесем за скобки общий множитель в каждой группе: a(x  + 7) − 3(x + 7). Общий множитель (x + 7) вынесем за скобки: (x + 7)(a - 3). Получим: ax + 7a − 3x − 21 : (x + 7)(a - 3).
Разложите на множители многочлен 6x − 3y − 4x 2 y + 2xy2	6x − 3y − 4x 2 y + 2xy2 = = (6x − 3y ) + +(−4x 2y + 2xy2) = 3(2x − y ) − 2xy (2x – − y) = (2x − y )(3 − 2xy).
Представьте в виде произведения многочлен: а) a − 3b + 9b 2  − a2 ; б) (a + b)2 – a2 + b2 ; 9 - p2 + q2 - 6q.	а) a − 3b + 9b 2 − a2 = (a − 3b ) + (9b 2 – − a2 ) = (a − 3b ) − (a 2  − 9b2 ) = (a – − 3b ) − (a − 3b )(a + 3b) = (a − 3b ) – −(a − 3b )(a + 3b) = (a − 3b )(1 − a − −3b); б) (a + b )2 − a 2 + b2 = (a + b )2 − (a 2 – − b2 ) = (a + b )2  − (a + b )(a − b) = (a + + b )(a + b − a + b) = 2b (a + b); в) 9 − p 2 + q 2 − 6q = q 2 − 6q + 9 − p2 = =(q 2  − 6q + 9) − p2  = (q − 3)2 − p2 = =(q − 3 + p )(q − 3 − p).

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

 

1) a − 3b + 9b ² − a² = (a − 3b ) + (9b ² – a² ) = (a − 3b ) − (a ²  − 9b² ) = (a –

− 3b ) − (a − 3b )(a + 3b) = (a − 3b ) –(a − 3b )(a + 3b) = (a − 3b )(1 − a − −3b);

 

2) (a + b )² − a ² + b² = (a + b )² − (a ² – b² ) = (a + b )²  − (a + b )(a − b) = (a +

+ b )(a + b − a + b) = 2b (a + b);

 

3) 9 − p ² + q ² − 6q = q ² − 6q + 9 − p² =(q ²  − 6q + 9) − p²  = (q − 3)² − p² =

=(q − 3 + p )(q − 3 − p).

 

4) 6x − 3y − 4x ² y + 2xy² = = (6x − 3y ) +(−4x ²y + 2xy²) = 3(2x − y ) − 2xy (2x –

− y) = (2x − y )(3 − 2xy).

 

5) Выражение представляет собой произведение суммы (3b + 7c) и разности (3b − 7c) выражений 3b и 7c. Квадрат первого выражения равен 9b²

квадрат второго — 49с². Таким образом,

(3b + 7c )(3b − 7c) = (3b )² − (7c )² = 9b² − 49c²;

 

6) (4x − 5)(4x + 5) = (4x )² − 5² = 16x² − 25;

 

7) (4m ² + n )(4m ² − n) = (4m ² )² − n ² = 16m ⁴ − n²;

 

8) (5y ² + 0,1x ³)(0,1x ³ − 5y²)= (0,1x ³ )² − (5y² )² = 0,01x ⁶ − 25y⁴

 

9) x ⁴ − 9 = (x² )² − 3² = (x ² + 3)(x² − 3);

 

10) 1 – 0,04a⁶ = 1³ – (0,2a³)² = (1 + 0,2a ³ )(1 − 0,2a³ ).

 

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

 

Контрольная работа  по теме «Преобразование выражений»

Класс: 7

Вариант 1

 

1. Найдите значение выражения 6x - 8y, при x = 1/2, у = 1/4.

2. Сравните значения выражений -0,8x - 1 и 0,8x - 1 при x = 6.

3. Упростите выражение:

а) 2x - 3y - 11х + 8у; б) 5(2а + 1) - 3; в) 14x - (x - 1) + (2х + 6).

4. Упростите выражение и найдите его значение: -4 (2,5а - 1,5) + 5,5а – 8, при а = 6 

5. Раскройте скобки: 3x - (5x - (3x - 1)).

 

Вариант 2

1. Найдите значение выражения 16а + 2y, при а = 1/4, у = 1/6 .

2. Сравните значения выражений 2 + 0,3а и 2 - 0,3а, при а = - 9.

3. Упростите выражение:

а) 5а + 7b - 2а - 8b; б) 3 (4x + 2) - 5; в) 20b - (b - 3) + (3b - 10)

4. Упростите выражение и найдите его значение: -6 (0,5x - 1,5) - 4,5x – 8, при x = 5.

5. Раскройте скобки: 2р - (3р - (2р - с)).

 

Вариант 3

 

1. Найдите значение выражения 7x - 9y, при x = 1/5, у = 1/4.

2. Сравните значения выражений -0,9x - 1 и 0,9x - 1 при x = 10.

3. Упростите выражение:

а) 6x - 3y - 41х + 8у; б) 5(6а + 1) - 3; в) 14x - (5x - 1) + (2х + 8).

4. Упростите выражение и найдите его значение: -4 (2,5а - 1,5) + 5,5а – 8, при а = 6 

5. Раскройте скобки: 3x - (9x - (4x - 1)).

 

Вариант 4

1. Найдите значение выражения 19а + 5y, при а = 1/4, у = 1/6 .

2. Сравните значения выражений 2 + 0,3а и 2 - 0,3а, при а = -6.

3. Упростите выражение:

а) 5а + 7b - 2а - 8b; б) 3 (4x + 2) - 5; в) 20b - (b - 3) + (3b - 10)

4. Упростите выражение и найдите его значение: -6 (0,5x - 1,5) - 4,5x – 8, при x = 5.

5. Раскройте скобки: 2р - (8р - (9р - с)).

 

 

 

 

Контрольная работа  по теме: «Одночлены»

Вариант 1

1.                     Найдите одночлен, равный произведению одночленов:

3аb*2a

7c²ed*5c³e⁴d⁵

2.                     Приведите одночлен к стандартному виду:

16х⁴у³3х²у

3.                     Найдите сумму подобных одночленов:

7а²  + (-3а²) + (-  4а²)

4.                                                                       Найдите одночлен:

2а+4а+6а

-4в-6в

4уке-7уке

 

Вариант 2

1.                     Найдите одночлен, равный произведению одночленов:

5ар*7р

3c⁴ed*5ce⁴d

2.                     Приведите одночлен к стандартному виду:

12х³у⁴7ху²

3.                     Найдите сумму подобных одночленов:

9с²  + (-6с²) + (-  2с²)

4.                                                                       Найдите одночлен:

5р+14р+6р

18к-26к

7уке-4уке

 

Вариант 1

5.                     Найдите одночлен, равный произведению одночленов:

8аb*2a

7c²ed*5c³e⁴d⁵

6.                     Приведите одночлен к стандартному виду:

16х⁴у³3х²у

7.                     Найдите сумму подобных одночленов:

7а²  + (-3а²) + (-  4а²)

8.                                                                       Найдите одночлен:

2а+9а+6а

-4в-6в

9уке-7уке

Вариант 2

5.                     Найдите одночлен, равный произведению одночленов:

9ар*8р

8c⁴ed*7ce⁴d

6.                     Приведите одночлен к стандартному виду:

52х³у⁴7ху²

7.                     Найдите сумму подобных одночленов:

8с²  + (-6с²) + (-  2с²)

8.                                                                       Найдите одночлен:

5р+74р+6р

48к-26к

8уке-4уке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

 

Самостоятельная работа

Вариант 1

 

Вариант 2

 

Вариант 3

 

Вариант 4

 

 

 

Самостоятельная работа

 

Вариант 1

 

Вариант 2

 

Вариант 3

 

Вариант 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной работе рассмотрена тема «Выражения и их преобразования»

В результате проведения работы были решены все поставленные задачи, и, тем самым, достигнута основная цель.

Методический проект состоит из введения, теоретической части, самостоятельных и контрольных работ , заключения, списка использованной литературы и приложения.

Во введении отмечены основные теоретические и методические проблемы. Что учащиеся должны: правильно употреблять термины и использовать понятия, знать, уметь. Приведено планирование по теме «Преобразования и выражения» 7 класс 2017/2018 уч. г.

В данной работе  были рассмотрены теоретические сведения, типовые задачи, задания для отработки умений и навыков, а так же самостоятельные и контрольные работы. В приложении 1 представлен план-конспект урока по теме «Одночлены» и            в приложении 2 план-конспект урока по теме «Многочлены». Темы являются одноми из часто используемых в вычислениях и решении различных задач.

В приложение 3 представлены Нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся общеобразовательных учреждений по учебным предметам.

В приложение 4 рассматривается Оценка результатов деятельности учащихся по учебному предмету «Математика».

В приложение 5 приводятся Методические рекомендации по организации учебного процесса по учебному предмету «Математика» в 2017/2018 учебном году.

В конце представлена стенгазета по теме для недели математики в школе.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2014.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971.

3. Бурмистрова Т.А. Алгебра. 7—9 классы: программы общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2010.

4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1972.

5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: справочные материалы. М.: Просвещение, 2003.

6. Звавич Л.И., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс: дидактические материалы. М.: Просвещение, 2014.

7. Латотин Л. А. Математика. Учебник для 7 кл. Ч. 2. / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский; под ред. В. В. Казаков. – Минск: Адукацыя и выхаванне,            2013. – 192 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

План-конспект урока по теме: «Многочлен и его стандартный вид»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Продолжительность: 45 минут.

Задачи урока.

Обучающие:

·            ввести определение многочлена, стандартного вида многочлена

·            рассмотреть приведение подобных членов многочлена, как одно из действий с многочленами

Развивающие:

·            способствовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету

·            развитие у учащихся навыков быстрого мышления, умения анализировать, сопоставлять и делать выводы

·            развитие самостоятельности

Воспитательные:

·            создать условия для развития коммуникативных качеств учащихся и личностной рефлексии;

Ожидаемые результаты: Изучив тему «Многочлен и его стандартный вид» учащиеся должны:

Знать:

·            определение многочлена,

·            определение стандартного вида многочлена,

·            определение степени многочлена.

Уметь:

·            читать и различать многочлены,

·            приводить многочлен к стандартному виду,

·            определять степень многочлена,

·            приводить подобные члены многочлена,

·            анализировать полученные результаты.

Опорные слова

• Одночлен

• Одночлен стандартного вида

• Подобные одночлены

• Многочлен

• Многочлен стандартного вида

• Двучлен

• Трехчлен

• Полином

 

 

ХОД УРОКА

I.    Организационный момент

 

II. Сообщение темы и цели урока               Слайд 1-2

 

III.                 Повторение материала по теме «Одночлены. Арифметические операции над ними»

 

1.   Фронтальный опрос.

 

Что называется одночленом?

Назовите одночлены: 2ab; ; –3a²b; 7c; ; 9ca²ca; 2ab + 7c; 5a²b           Слайд 3

Какие одночлены называются одночленами стандартного вида?

Назовите одночлены стандартного вида.

Какие арифметические действия мы можем производить с одночленами?

 

2.   Устная работа

 

2.1. Выполните действия:                                                       Слайд 4

6y³ + 7y³                            25c³d  – 10c³d – 8c³d                         39a²b³c³ – 27a²b³c³

 

2.2. Найдите произведение данных одночленов                     Слайд 5

7c ∙ 5b                    6a³b² ∙ (- 3ab⁴ )                        0,2a³bc⁴ ∙ 0,6ab⁶c⁷

 

2.3. Возведите одночлен в степень                                Слайд 6

(4x³y² )²                  (2a³bc⁶)⁴

 

2.4. Выполните деление одночлена на одночлен          Слайд 7

21a : 7a                  16xyz : (-8y )                            -77a⁶b⁷c⁴ : (-7a⁵bc⁴)

 

IV.                Работа по теме урока

 

1.   Объяснение материала                                                                 Слайд 8

Если мы из одночленов 2ab, 7c, –3a²b, 5a²b  составим сумму, то мы получим выражение

2ab + 7c – 3a²b + 5a²b,

которое будет называться многочленом.                                         Слайд 9

 

 

2.   Определение многочлена с. 102 учебника.                                  Слайд 10

МНОГОЧЛЕНОМ называют сумму одночленов.

 

3.   Дается понятие многочлена стандартного вида (полинома)

Посмотрите внимательно на этот многочлен и скажите, нет ли в нем подобных одночленов?

Назовите их. (– 3a²b и 5a²b)

Подчеркнем их одинаковыми чертами и упростим (т.е. приведем подобные слагаемые)

                                                                                       Слайд 11

 

2ab + 7c – 3a²b + 5a²b

Получили многочлен                                                     Слайд 12

2ab + 7c + 2a²b

многочлен

стандартного вида

Какой же тогда многочлен называют многочленом стандартного вида?

Многочленом стандартного вида называют многочлен, не содержащий подобных одночленов, каждый из которых является одночленом стандартного вида.

                                                                                        Слайд 13

 

Многочлены обозначают p или P. С этой буквы начинается греческое слово polys  («многий», «многочисленный»). Многочлены в математике также называют полиномами.

2a + b                    двучлен

2a + b – bc             трехчлен                                          Слайд 14

 

                                                                                      

4.   Запись на доске

2ab · 3a²b – 5a – 7a + 3b² –  a²b³· 6a – 2b²

Как вы думаете, что это за выражение?

Нравится ли вам такая запись? Почему?

Каким одночленом можно заменить каждое произведение одночленов?

2ab · 3a²b = 6a³b³

^‘a²b³· 6a = 2a³b³

Получили запись

6a³b³ – 5a – 7a + 3b² – 2a³b³ – 2b²

Назовите подобные одночлены

6a³b³  и – 2a³b³;      – 5a и – 7a;          3b² и – 2b²

Подчеркнем их одинаковыми чертами

6a³b³ – 5a – 7a + 3b² – 2a³b³ – 2b²

Сложим подобные одночлены между собой (приведем подобные слагаемые).

Получим многочлен 4a³b³ – 12a + b², который является многочленом стандартного вида.

 

На доске получилась следующая запись

2ab · 3a²b – 5a – 7a + 3b² –  a²b³· 6a – 2b² = 6a³b³ – 5a – 7a + 3b² – 2a³b³ – 2b² = 4a³b³ – 12a + b²

5.   Физкультминутка

Упражнение для мобилизации внимания

1.   И.п.- стоя, руки вдоль туловища.

1 – правую руку на пояс,

2 – левую руку на пояс,

3 – правую руку на плечо,

4 – левую руку на плечо,

5 – правую руку вверх,

6 – левую руку вверх,

7-8 – хлопки руками над головой,

9 – опустить левую руку на плечо,

10 – правую руку на плечо,

11 – левую руку на пояс,

12 – правую руку на пояс,

13-14 – хлопки руками по бёдрам.

Повторить 2 раза.

 

V. Закрепление материала

 

1.   Решение задач

 

1.1. Какие выражения являются многочленами:                    Слайд 15

а) 4х²у           б) 4х²у + 5            в) 4х²у – 5ху + 5  

г) 3х                       д) 3х + 5у             е) 3х² + 5ху + 10

Назовите двучлены (трехчлены)

 

1.2.               № 24.4

Даны одночлены: 5а;     – 4аb;                   8а²;            12а;            – 2,5аb;      – а².

Составьте из них:

а) многочлен, в котором нет подобных членов

б) многочлен, в котором есть подобные члены

в) два многочлена, в каждом из которых нет подобных членов, используя при этом все одночлены

г) выражения, которые не являются многочленами

 

1.3.               № 24.6 – 24.8 (а-б) потоком у доски 6 человек

 

2.         Самостоятельная работа (тесты)

 

Теоретический тест

1)        Многочленом называется ____________________________________________________________

2)        Многочлен, состоящий из двух членов – это ____________________________________________

3)        Многочлен, состоящий из трех членов – это _______________________________________________

4)        Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, не являющихся подобными друг другу, называется _________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________

5)        Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно ____________________________________

_____________________________________________________________________________________

6)        Многочлены в математике называют _____________________________________________________

 

Практический тест

1) Даны одночлены:

5а;                – 4аb;                   8а²;             12а;            – 2,5аb;                – а².

Выделите многочлен, в котором нет подобных одночленов:

а) 5а + 8а²+12а;              б) 5а – 4аb – а²;             в) 8а² + 12а – а².

Составьте из них еще два многочлена, в котором нет подобных членов:

______________________________________                 _____________________________________

2) Представьте в стандартном виде многочлен: – 8х⁴ + 12х³ + 8х⁴ + 12х²

а) 16х⁴ + 12х³ +12х²;                 б) 12х³ + 12х²;                         в) 24х⁵.

3) Представьте в стандартном виде многочлен: 4а²х³ – ах³ – а⁴ – аах³ + аххх – а²а² 

а) 3а²х³ – 2а⁴;                           б) 3а²х³ + 2х³;                          в) 4а²х³ – 2а⁴.

 

Дополнительное задание: № 24.11- 24.12 а-б)

VI.                Итог урока.

Чему мы научились на уроке?

Что такое многочлен?

Какой многочлен называют многочленом стандартного вида?

Как в математике называют многочлены?

Что такое двучлен (трехчлен)?

 

VII.             Оценки.

 

VIII.          Домашнее задание: § 24, выучить определения, № 24.6 в-г, 24.7 в-г, 24.8 в-г)

(Доп: № 24.10 а,в, 24.18 в,г)

 

 

 

 

План –конспект урока по теме : Одночлен и его стандартный вид.

Цели:

создать условия для формирования понятия одночлена, коэффициента одночлена, стандартного вида одночлена; формировать способность к построению алгоритмов на примере построения алгоритма записи одночлена в стандартном виде; учить вычислять значение одночлена; тренировать умение решать задачи на пропорциональное деление.

 

Технология деятельностного метода обучения.

 

Оборудование: компьютерная презентация; раздаточный материал на карточках для работы в парах.

 

Методы обучения: наглядный, словесный, практический, самоконтроль.

 

Формы контроля: самостоятельная работа.

 

Ход урока.

1.                      Мотивация к учебной деятельности.

Здравствуйте, ребята. Вы написали контрольную работу, мы её проанализировали. Что вас ждёт сегодня на уроке?

 

Возможный  вариант ответа детей: новая тема.

 

Попробуйте определить, чем вы будете заниматься сегодня на уроке?

На слайде 1 : 3 определения

1). Алгебраическое выражение – это запись, составленная из чисел, букв, знаков арифметических действий.

2). Числовой множитель в произведении числа и буквенной части называется коэффициентом.

3).  Для любого рационального числа а и любых натуральных чисел n и m   a^m × aⁿ = a^{m + n}.

 

Возможный вариант ответа детей: изучаем алгебраические выражения и их преобразования.

 

2.                     Самостоятельная деятельность по известной норме и организация учебного затруднения

 

Задание 1. Диктант с последующей взаимопроверкой в парах по образцу:

a) представьте произведение в виде степени      

б) решите уравнение  

 

Задание 2. Запишите следующие выражения:

а) Удвоенный куб числа а.

б) Разность квадрата числа х и частного чисел у и z.

в) Сумма кубов чисел m, n и k.

г) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с.

После выполнения задания демонстрируется образец выполнения задания

а) 2а³            б) х² - у : z        в) m³ + n³ + k³             г) 3b²(c⁵)³

- Сопоставьте свои работы с образцом и в парах проанализируйте выполнение задания, зафиксировав места и причины возникших затруднений, исправьте ошибки.

- Выполнение, каких заданий вызвало затруднение, почему возникли затруднения.

Задание 3.

1) Определите, какие выражения получились, обосновав свой ответ.

2) Определите, на какие группы можно разделить выражения.

Дети выполняют задание, одна из пар представляет результат выполнения задания.

Возможный  вариант ответа детей :  получились алгебраические выражения, использовали определение алгебраического выражения . Выражения можно разбить на две группы: в одной группе – алгебраические суммы, а в другой группе – произведения числовых и буквенных множителей.

На доске фиксируются группы выражений:

б) х² - у : z;                                    а) 2а³;

в) m³ + n³ + k³;                               г) 3b²(c⁵)³.

- Сегодня на уроке будут рассматриваться выражения второй группы. Такие выражения называются одночленами. Посовещайтесь в парах и дайте определение понятию одночлен.

После озвучивания вариантов определения на экране фиксируется образец:

Определение одночлена.

Одночленом называется алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведённых в степень с натуральным показателем.

В частности одночленами являются все числа, переменные, степени переменных.

Задание 4.

1.  На карточке приведены примеры различных алгебраических выражений. Определите, какие из них являются одночленами, обосновав свой ответ?

а) а + в;   б)  ;  в)   ;  г)   ;   д)  ;     е) у × х × с × (- 2,5) × у × с × а;    ж)   2 - 3 + 5;    з)   ;  и)  - 2,5ас²ху²

При объяснении обращаем внимание, что

Пробное задание парам  №20.13 (а)

Приведите одночлен   к стандартному виду и укажите коэффициент и буквенную часть. На обсуждение 1 мин.

Возможный ответ детей:   надо записать данный одночлен в стандартном виде, нет знаний, которыми можно было бы воспользоваться, потому что нет определения стандартного вида одночлена и способа записи одночлена в стандартном виде.

3.                     Построение проекта выхода из затруднения

- Какова же цель нашей дальнейшей работы?

Возможный вариант ответа детей: узнать, какие одночлены называются одночленами стандартного вида, и составить алгоритм записи одночленов в стандартном виде.

 

Тема урока: «Одночлены. Одночлены стандартного вида».

 

Рассмотрите одночлены  е)   и   и) на карточке:  найдите сходство и различия, проанализируйте  запись второго одночлена.

Что можно сказать про одночлены е) у × х × с × (- 2,5) × у × с × а   и   и)  - 2,5ас²ху²

Возможный ответ детей: одночлены равны.

^{Комментарий учителя: выполняя запись}   у × х × с × (- 2,5) × у × с × а   =  - 2,5ас²ху²

^{математики говорят, что данный одночлен представили в стандартном виде.}

^{Что математики называют одночленом стандартного вида?}

Возможный ответ детей: стандартным видом одночлена называется его запись, при которой:

1) числовой множитель стоит на первом месте;

2) каждая переменная участвует в записи одночлена лишь один раз в виде соответствующей степени;

3) буквы в записи одночлена (если они есть) следуют в алфавитном порядке.

Фиксируем алгоритм записи одночлена в стандартном виде:

 

1. Вычислить произведение всех числовых множителей (коэффициент) одночлена и записать его на первом месте. 2. Определить, какие переменные входят в одночлен, и записать их в алфавитном порядке. 3. Найти и записать степени переменных.

 

4.                     Реализация построенного проекта

^{Возвращаемся к пробному заданию и выполняем его:}

Что называют  коэффициентом одночлена?

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.

5.                     Первичное закрепление во внешней речи

Цель: организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи.

№ 20.14

Задание выполняется у доски с проговариванием.

По алгоритму записи одночлена в стандартном виде надо:

1) найти произведение числовых множителей и записать его на первом месте:

2) найти степени всех переменных и записать в алфавитном порядке:

3) =

 

Коэффициент одночлена:   ;    буквенная часть 

 

Степенью одночлена называется сумма показателей всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, т.е. является числом, то его степень считают равной нулю.

В выполненном задании степень одночлена: 9 + 7 + 6 =22.

При решении следующего задания проводятся аналогичные рассуждения:

^г) 

Коэффициент одночлена:   ; буквенная часть  ; степень одночлена  13.

^{В парах , проговаривая соседу , выполнить № 20.15(в, г)}

^{Самопроверка по образцу, озвучить возникшие затруднения.}

6.                     Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

№20.13(б, г)

№20.13 б) Коэффициент одночлена: 400. Буквенная часть: Степень одночлена : 6.

1. Вычислить произведение всех числовых множителей (коэффициент) одночлена и записать его на первом месте. 2. Определить, какие переменные входят в одночлен, и записать их в алфавитном порядке. 3. Найти и записать степени переменных. Произведение всех множителей одночлена, записанных цифрами, называется коэффициентом одночлена. Степенью ненулевого одночлена называется сумма показателей степеней входящих в одночлен переменных.

Коэффициент одночлена: -64. Буквенная часть: Степень одночлена : 24.

 

7.                      Включение в систему знаний и повторение.

Пробное задание парам №20.7 (а) для устного решения.

Найти значение одночлена  ,  если х = 0,  х = 1,  х = - 1.

Как нужно изменить формулировку условия, чтобы задание стало знакомым?

Возможный ответ детей: Найти значение алгебраического выражения

,  если х = 0,  х = 1,  х = - 1.

Устное решение уравнения №20.10(а, в)

а)

в) =-1; х .

Повторяем решение задач на пропорциональное деление.

Задача 1 для устной фронтальной работы с классом.

В 7 классе 30 учеников.  Число девочек относится к числу мальчиков, как 6 : 4. Сколько в этом классе девочек и сколько мальчиков? (Обсудить алгебраический и арифметический способы решения)

Решить по выбору  №20.11  или  №20.19 (2 ученика работают по желанию на обратной стороне доски)

№20.11

х – коэффициент пропорциональности, тогда длина одной стороны прямоугольника 3х см, второй – 4х см. Площадь прямоугольника 3х 4х , по условию – 48 .

3х 4х = 48,   12 = 48,   = 4,  х = 2.

3х = 3

4х = 4

Ответ: 6см  и  8см.

№20.19

х – коэффициент пропорциональности, тогда длина параллелепипеда  2х дм, ширина – 3х дм, высота – 4х дм. Объём 2х 3х 4х  . по условию – 648

2х 3х 4х = 648, 24  = 648,

2х = 2  = 6 (дм);

3х = 3

4х = 4

Ответ: 6 дм, 9 дм, 12 дм.

 

8.                     Рефлексия деятельности на уроке

Карточка для анализа деятельности на уроке:

1) Определи новые знания, которые открыты на уроке. 2) Сформулируй цель, которая стояла перед тобой. 3) Определи, достигнута ли цель. 4) Как ты смог достичь цели. 5) Оцени свою деятельность на уроке. 6) Сформулируй неразрешённые затруднения на уроке, если они есть.

 

Карточка самооценки деятельности на уроке:

№	Название этапа работы	Оценка этапа: не смог выполнить – «0»; выполнил – «1»
1.
2.
3.

 

Задание на дом:№ 20.12(а), 20.16(б, г),20.17

Задание на смекалку:

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

 

ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «МАТЕМАТИКА»

Планируемые результаты обучения в предметно-деятельностной форме определены учебными программами в соответствии с требованиями Образовательного стандарта общего среднего образования учебного предмета “Математика” к уровню подготовки учащихся.

Поурочный контроль осуществляется в устной и письменной формах или в их сочетании посредством проведения опроса (индивидуального, группового, фронтального) с использованием контрольных вопросов и заданий, содержащихся в учебниках, учебных, учебно-методических пособиях и дидактических материалах, математических диктантов, собеседования, самостоятельных работ и других методов и средств контроля, которые определяются педагогом с учётом возрастных особенностей учащихся в целях получения объективной информации о качестве учебно-познавательной деятельности учащихся и их учебных достижениях.

Тематический контроль осуществляется посредством проведения самостоятельных и контрольных работ, других методов и средств контроля, которые определяются педагогом с учётом возрастных особенностей учащихся в целях получения объективной информации о качестве учебно-познавательной деятельности учащихся и их учебных достижениях.

Устанавливаются следующие показатели оценки результатов учебной деятельности учащихся при осуществлении контроля с использованием десятибалльной шкалы:

Баллы	Показатели оценки
1 (один)	Узнавание отдельных объектов изучения программного учебного материала, предъявленных в готовом виде (узнавание математических объектов, их свойств, признаков, математических формул, действий, правил, утверждений, моделей, составленных по условию задачи, других элементов математического знания, а также узнавание отдельных математических объектов в окружающей действительности)
2 (два)	Различение объектов изучения программного учебного материала, предъявленных в готовом виде, и осуществление соответствующих практических действий (различение математических объектов, их свойств, признаков, математических формул, действий, правил, утверждений, моделей, составленных по условию задачи, других элементов математического знания и выделение заданных объектов изучения среди предъявленных и в окружающей действительности)
3 (три)	Воспроизведение части программного учебного материала по памяти (описание математических объектов, перечисление их свойств и признаков; использование инструментов для измерения геометрических величин; выполнение заданий по образцу в одно-два действия)
4 (четыре)	Воспроизведение большей части учебного материала по памяти (формулирование в устной или письменной форме свойств и признаков математических объектов, правил, утверждений, выделение при сравнении математических объектов общих и отличительных признаков без их объяснения; использование инструментов для проведения основных геометрических построений; выполнение заданий по образцу)
5 (пять)	Осознанное воспроизведение значительной части программного учебного материала (описание математических объектов и связей между ними без их обоснования или доказательства, иллюстрация примерами окружающей действительности; решение типовых задач по заданному образцу)
6 (шесть)	Осознанное воспроизведение в полном объёме программного учебного материала (описание математических объектов и связей между ними с элементами обоснования или доказательства; решение типовых задач по известному алгоритму, проверка результатов решения задач с использованием изученных методов)
7 (семь)	Владение программным учебным материалом в знакомой ситуации (обоснование и доказательство математических утверждений при описании математических объектов с учётом внутрипредметных связей; решение типовых задач с использованием нескольких алгоритмов)
8 (восемь)	Владение и оперирование программным учебным материалом в знакомой ситуации (развёрнутое описание математических объектов, раскрытие сущности математических понятий, правил, утверждений, доказательство математических утверждений, формулирование выводов, подтверждение примерами использования учебного материала в практической деятельности человека; самостоятельное решение типовых задач с полным их обоснованием)
9 (девять)	Оперирование программным учебным материалом в частично изменённой ситуации (уверенное владение и оперирование учебным материалом для выполнения учебных заданий с использованием различных способов, приёмов, методов и учётом внутрипредметных и межпредметных связей)
10 (десять)	Свободное оперирование программным учебным материалом, применение знаний и умений в незнакомой ситуации (владение приёмами математического моделирования; самостоятельные действия по описанию, объяснению и преобразованию математических объектов; нахождение рациональных способов решения задач, решение творческих задач)

 

При оценке результатов учебной деятельности учащихся учитывается характер допущенных ошибок: существенных и несущественных.

К категории существенных относятся ошибки, свидетельствующие о том, что учащийся не знает формул, не усвоил математические понятия, правила, утверждения, не умеет оперировать ими и применять к выполнению заданий и решению задач.

К категории несущественных относятся отдельные ошибки вычислительного характера, погрешности в формулировке вопросов, определений, математических утверждений, небрежное выполнение записей, рисунков, графиков, схем, диаграмм, таблиц, а также грамматические ошибки в написании математических терминов.

Контрольная работа, самостоятельная работа, которые проводятся в рамках тематического контроля, должны включать по одному или по два задания в соответствии с показателями оценки результатов учебной деятельности учащихся при осуществлении контроля с использованием десятибалльной шкалы, установленными настоящими Нормами оценки результатов учебной деятельности.

Отметка за выполнение самостоятельных работ, которые проводятся в рамках тематического контроля, контрольных работ выставляется с применением следующих шкал: шкалы, определяющей максимальное количество баллов за каждое задание (шкалы 1, 3) и шкалы перевода суммарного количества баллов, полученных учащимся за выполнение соответствующей работы (шкалы 2, 4), в отметки по десятибалльной системе.

 

 

Шкала 1                                                   Шкала 2        

Шкала, определяющая максимальное количество баллов за каждое задание, если самостоятельная или контрольная работа содержит 5 заданий

Шкала перевода суммарного количества баллов, полученных учащимся за выполнение самостоятельной или контрольной работы, которая содержит 5 заданий

 

Номер задания	Максимальное количество баллов за выполнение задания
1	2
2	4
3	6
4	8
5	10
	Суммарный максимальный балл за выполнение всех заданий: 30

 

Количество баллов, полученных учащимся	Отметка по десятибалльной шкале оценки результатов учебной деятельности учащихся
1	1
2	2
3—5	3
6—8	4
9—11	5
12—14	6
15—18	7
19—23	8
24—28	9
29—30	10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шкала 3                                                          Шкала 4

Шкала, определяющая макимальное количество баллов за каждое задание, если самостоятельная или контрольная работа содержит 10 заданий

Шкала перевода суммарного количества баллов, полученных учащимся за выполнение самостоятельной или контрольной работы, которая содержит 10 заданий

 

Количество баллов, полученных учащимся	Отметка по десятибалльной шкале оценки результатов учебной деятельности учащихся
1	1
2—4	2
5—7	3
8—12	4
13—18	5
19—25	6
26—33	7
34—42	8
43—52	9
53—55	10

 

Номер задания	Максимальное количество баллов за выполнение задания
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10
	Суммарный максимальный балл за выполнение всех заданий: 55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Количество баллов за выполнение задания снижается не менее чем на 10 процентов, если в нём допущена несущественная ошибка.

Структура и механизм оценивания самостоятельных работ, которые проводятся в рамках поурочного контроля, определяются педагогом в соответствии с показателями оценки результатов учебной деятельности учащихся при осуществлении контроля с использованием десятибалльной шкалы, установленными настоящими Нормами оценки результатов учебной деятельности.

Отметка за выполнение экзаменационных работ за период обучения на уровнях общего базового и общего среднего образования выставляется с применением шкал 2 и 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

 

Основные требования к результатам учебной деятельности учащихся

Выражения и их преобразования

Учащиеся должны:

правильно  употреблять  термины и  использовать   понятия:

•тождественно равные выражения, тождество, тождественные преобразования выражений;

•одночлен, степень одночлена, стандартный вид одночлена, подобные одночлены;

•многочлен, степень многочлена;

•стандартный вид многочлена;

знать:

•формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; разность квадратов двух выражений;

•правила и алгоритмы действий с одночленами и многочленами;

•способы разложения многочлена на множители и алгоритмы их применения;

уметь:

•выводить формулы сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений;

•приводить одночлен и многочлен к стандартному виду, выполнять операции с одночленами и многочленами: умножение, деление и возведение в степень одночленов, приведение подобных слагаемых многочлена, умножение и деление многочлена на одночлен, сложение, вычитание, умножение многочленов;

•применять формулы сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений для тождественных преобразований многочленов, упрощения вычислений;

•раскладывать многочлены на множители способами: вынесения общего множителя за скобки, группировки, применения формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; применения комбинаций приемов.

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

 

Планирование по теме «Выражения и преобразования»

7 класс

 (3 ч в неделю)

7 Класс
№ урока	Тема урока	Часы
	Выражения и преобразования	29
1-7	Степень с натуральным показателем и ее свойства	4
8-11	Степень с целым показателем и ее свойства	4
12-14	Стандартный вид числа	3
15	Обобщение изученного материала по теме: «Степень с натуральным и целым показателям	1
16	Контрольная работа «Степень с натуральным и целым показателями» (Контрольная работа № 1)	1
17-18	Числовые выражения и выражения с переменной	2
19-20	Тождественно равные выражения. Тождество. Тождественные преобразования выражений	2
21-24	Одночлен. Подобные одночлены. Действия с одночленами	4
25-27	Многочлен. Сложение и вычитание многочленов	3
28-29	Умножение и деление многочлена на одночлен	2

 

 

Скачано с www.znanio.ru