Диагностическая работа№2 Профильный уровень 15.12.2016
ВАРИАНТ№1
1. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 2500 рублей. До установки счётчиков за воду платили 800 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 600 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?
2. Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат – сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, при какой скорости (в километрах в час) подъемная сила достигает 1 тонн силы?
3. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 4. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.
5.
Найдите
корни уравнения: В
ответ запишите наибольший отрицательный корень.
6. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.
7. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
8. Объем куба равен .
Найдите его диагональ.
9. Найдите значение выражения .
10. Коэффициент полезного действия
(КПД) некоторого двигателя определяется формулой ,
где
–
температура нагревателя (в градусах Кельвина),
–
температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной
температуре нагревателя
КПД
этого двигателя будет не меньше
,
если температура холодильника
К?
Ответ выразите в градусах Кельвина.
11. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 300 метров меньше, чем скорый, и на путь в 420 км тратит времени на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите точку максимума функции
,
принадлежащую промежутку
.
13. а) Решите уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие
отрезку
14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.
15. Решите неравенство:
16. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 1 и 7. Найдите расстояние между их центрами.
17. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?
18. Найдите все значения а,
при каждом из которых решения неравенства образуют
отрезок длины 1.
19. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможнное значение суммы получившиъся чисел.
Диагностическая работа№2 15.12.2016
ВАРИАНТ№2
1. В доме, в котором живет Вася, один подъезд. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Вася живет в квартире №71. На каком этаже живет Вася?
2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за данный период не выпадало осадков.
3. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1
см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
5. Найдите корень уравнения .
6. Найдите периметр прямоугольника,
если его площадь равна 176, а отношение соседних сторон равно 4 : 11.
7. На рисунке изображен график производной
функции ,
определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки убывания
функции
.
В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
8. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
9. Найдите значение выражения .
10. Сила тока в цепи (в амперах)
определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора
по закону Ома:
,
где
—
напряжение в вольтах,
—
сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель,
который плавится, если сила тока превышает 2,5 А. Определите,
какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого
к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите
в омах.
11. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 96 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?
12. Найдите точку максимума функции
.
13. а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего
отрезку
14. В правильной четырехугольной
призме KLMNK1L1M1N1
точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3.
Через точки L и E проведена плоскость параллельная
прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость делит
ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью и
плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6 ,
KK1 = 4 .
15. Решите неравенство:
16. Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.
17. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
18. Найдите все положительные значения
а, при каждом из которых система имеет
единственное решение.
19. В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 и два центральных сектора. При попадании в наружный сектор игрок получает количество очков, совпадающее с номером сектора, а за попадание в центральные сектора он получает 25 или 50 очков соответственно. В каждом из наружных секторов есть области удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) дает 10 очков, в зону удвоения сектора ― 20 очков, в зону утроения ― 30 очков.
а) Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 167 очков?
б) Может ли игрок шестью бросками набрать ровно 356 очков?
в) С помощью какого наименьшего количества бросков, игрок может набрать ровно 1001 очко?
Диагностическая работа№2 Профильный уровень 15.12.2016
ВАРИАНТ№3
1. Бегун пробежал 180 метров за 20 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна. Ответ дайте в километрах в час.
2. На рисунке жирными точками показан курс австралийского доллара, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 по 27 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена доллара в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какой был курс доллара 12 октября. Ответ дайте в рублях.
3. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты (1;7), (5;5), (5;7), (1;9).
4. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет больше 2, но меньше 7?
5. Решите уравнение .
6. В треугольнике ABC AC = BC = 5,
Найдите
АВ.
7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
8. Площадь боковой поверхности цилиндра
равна ,
а высота — 4. Найдите диаметр основания.
9. Найдите значение выражения .
10. Мяч бросили под углом к
плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах)
определяется по формуле
.
При каком значении угла
(в
градусах) время полeта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной
скоростью
м/с?
Считайте, что ускорение свободного падения
м/с
.
11. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
12. Найдите точку минимума функции
.
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
14. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.
Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
15. Решите неравенство:
16. В треугольнике известны
стороны:
Окружность,
проходящая через точки
и
пересекает
прямые
и
соответственно
в точках
и
отличных
от вершин треугольника. Отрезок
касается
окружности, вписанной в треугольник
Найдите
длину отрезка
17. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
18. При каких значениях параметра
система
имеет
решения?
19. Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a1 = 5, a2 = 8, ..., aN и b1 = 9, b2 = 14, ..., bM совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии.
Диагностическая работа№2 Профильный уровень 15.12.2016
ВАРИАНТ№4
1. Поезд Москва-Оренбург отправляется в 17:25, а прибывает в 19:25 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?
2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день.
3. Найдите площадь параллелограмма,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
5. Решите уравнение . = -
ответе напишите наименьший положительный
корень.
6.В треугольнике ABC угол
C равен 90°,
АС = 4.
Найдите АВ.
7. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции y = f(x) отрицательна.
8. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 4 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.
9. Найдите значение выражения .
10. Водолазный колокол, содержащий
моля
воздуха при давлении
атмосферы,
медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое
сжатие воздуха до конечного давления
.
Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением
,
где
—
постоянная,
К
— температура воздуха. Найдите, какое давление
(в
атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена
работа в 6900 Дж.
11. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 9 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
12. Найдите точку максимума функции
.
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
14. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки C до прямой AD1
15. Решите неравенство:
16. Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.
а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.
б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 120.
17. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
19. Винтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же винтики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 винтика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее число винтиков может быть при таких условиях?
Диагностическая работа№2 Профильный уровень 15.12.2016
ВАРИАНТ№5
1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым
хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек
следует взять
фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога,
рассчитанного на 6 человек. Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.
2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало более 3 миллиметров осадков.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.
4. Игорь с папой решил покататься на колесе обозрения. Всего на колесе сорок кабинок, из них 21 – серые, 13 – зеленые, остальные – красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится в красной кабинке.
5. Найдите корень уравнения .
6. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 42. Найдите радиус окружности.
7. Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.
8. Объем треугольной пирамиды равен 30. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 7:8, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
9. Найдите значение выражения при
.
10. Груз массой 0,4 кг колеблется
на пружине. Его скорость v меняюется по закону где
—
время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний,
м/с.
Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле
где
m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите
кинетическую энергию груза через 36 секунд после начала колебаний.
Ответ дайте в джоулях.
11. Две трубы наполняют бассейн за 48 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 1 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
12. Найдите наибольшее значение
функции на
отрезке
.
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны AB = 2, AD = AA1 = 1. Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.
15. Решите неравенство .
16. В треугольнике АВС проведены
две высоты ВМ и CN, причём и
.
а) Докажите, что угол АВС тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
17. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.
18. Найдите все значения параметра
при
каждом из которых система уравнений
имеет
ровно четыре решения.
19. Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3n − 2m = 1.
Диагностическая работа№2 Профильный уровень 15.12.2016
ВАРИАНТ№6
1. В городе N живет 1 500 000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?
2. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах.
Определите по рисунку, какое напряжение будет в цепи через 2 часа работы фонарика. Ответ дайте в вольтах.
3. Найдите площадь трапеции, изображенной
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1
см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
5. Найдите корень уравнения
6. В треугольнике
,
угол
равен
.
Найдите высоту
.
7. Материальная точка движется прямолинейно
по закону (где
x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах,
измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент
времени
с.
8. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
9. Найдите значение выражения .
10. Перед отправкой тепловоз
издал гудок с частотой Гц.
Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта
Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит
от скорости тепловоза по закону
(Гц),
где c — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий
на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются более
чем на 3 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался
к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а
м/с.
Ответ выразите в м/с.
11. Смешав 41-процентный и 63-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 49-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 54-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 41-процентного раствора использовали для получения смеси?
12. Найдите точку максимума функции
.
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB1.
а) Пусть прямые C1D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.
15. Решите неравенство:
16. В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Найдите CP.
17. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у% годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
18. Найдите все значения a, при которых любое решение уравнения
принадлежит отрезку
19. Найдите все простые числа b,
для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь можно
сократить на b.
Диагностическая работа№2 Профильный уровень 15.12.2016
ВАРИАНТ№7
1. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 30 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 63 руб. 80 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?
2. На графике показано изменение температуры двигателя в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель со второй по пятую минуту разогрева.
3. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1
см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 45 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
5. Решите уравнение .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из
корней.
6. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
7. На рисунке изображён график —
производной функции
,
определённой на отрезке (−11; 2). Найдите абсциссу точки, в которой
касательная к графику функции
параллельна
оси абсцисс или совпадает с ней.
8. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.
9. Найдите значение выражения
при
.
10. Для сматывания кабеля на заводе
используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на
катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со
временем по закону ,
где t — время в минутах,
мин —
начальная угловая скорость вращения катушки, а
мин2 —
угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен
проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки
достигнет
.
Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий
должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.
11. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 900 рублей, через два года был продан за 16 929 рублей.
12. Найдите наименьшее значение
функции на
отрезке
.
13. Решите уравнение
14. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1.
15. Решите неравенство:
16. В треугольнике известны
стороны:
.
Окружность, проходящая через точки
и
,
пересекает прямые
и
соответственно
в точках
и
,
отличных от вершин треугольника. Отрезок
касается
окружности, вписанной в треугольник
.
Найдите длину отрезка
.
17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год |
Июль 2016 |
Июль 2017 |
Июль 2018 |
Июль 2019 |
Долг |
S |
0,7S |
0,4S |
0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
18. Найдите все значения параметра
a, при которых уравнение имеет
единственное решение.
19. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2100} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?
Диагностическая работа№2 Профильный уровень 15.12.2016
ВАРИАНТ№8
1. В доме, в котором живет Катя, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Катя живет в квартире № 63. В каком подъезде живет Катя?
2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.
3. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.
5. Решите уравнение
6. В треугольнике угол
равен
,
,
3,
—
высота. Найдите
.
7. Материальная точка движется прямолинейно
по закону где
х — расстояние от точки отсчёта (в метрах), t — время движения
(в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени
t = 6 с.
8. На рисунке изображён многогранник,
все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния
между вершинами и
.
9. Найдите значение выражения .
10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T0 + bt + at2 , где t — время в минутах, T0 = 1380 К, а = −15 К/мин2, b= 165 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
11. Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 110 км — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите наименьшее значение
функции на
отрезке
13. а) Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку .
14. В правильной четырёхугольной
призме ABCDA1B1C1D1
сторона основания AB=6, а боковое ребро На
рёбрах AB, A1D1 и C1D1
отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
15. Решите неравенство:
16. Окружность радиуса вписана
в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается
с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами
окружностей равно 6. Найдите MN.
17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
18. Найдите все значения параметра
при
каждом из которых система
имеет ровно
решений.
19. Найдите все тройки натуральных
чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению
Ответы ключи
Вариант№1 Вариант№2 Вариант№3 Вариант№4
1 |
13 |
1 |
18 |
1 |
32,4 |
1 |
26 |
2 |
200 |
2 |
3 |
2 |
29,4 |
2 |
2 |
3 |
21 |
3 |
6 |
3 |
8 |
3 |
4 |
4 |
0,16 |
4 |
0,275 |
4 |
0,4 |
4 |
0,2 |
5 |
-4 |
5 |
3,75 |
5 |
2 |
5 |
1 |
6 |
8 |
6 |
60 |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
4 |
7 |
-18 |
7 |
6 |
7 |
8 |
8 |
0,3 |
8 |
24 |
8 |
9 |
8 |
4 |
9 |
-22 |
9 |
-2 |
9 |
-28 |
9 |
16 |
10 |
400 |
10 |
88 |
10 |
30 |
10 |
6 |
11 |
42 |
11 |
12 |
11 |
8 |
11 |
150 |
12 |
1,5 |
12 |
-4 |
12 |
-6 |
12 |
-10 |
Вариант№5 Вариант№6 Вариант№7 Вариант№8
1 |
72 |
1 |
780000 |
1 |
31 |
1 |
2 |
2 |
3 |
2 |
1,2 |
2 |
32 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
2,5 |
3 |
2,5 |
4 |
0;15 |
4 |
0,32 |
4 |
0,2 |
4 |
0,65 |
5 |
-42 |
5 |
6 |
5 |
-3 |
5 |
3 |
6 |
4 |
6 |
2 |
6 |
42 |
6 |
1,8 |
7 |
4 |
7 |
59 |
7 |
-7 |
7 |
72 |
8 |
16 |
8 |
7 |
8 |
4 |
8 |
11 |
9 |
15 |
9 |
20 |
9 |
144 |
9 |
25 |
10 |
0,072 |
10 |
3,5 |
10 |
20 |
10 |
4 |
11 |
4 |
11 |
35 |
11 |
10 |
11 |
99 |
12 |
295 |
12 |
-15 |
12 |
0 |
12 |
-13 |
Ответы вариант№1
13. а) Решите уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие
отрезку
Решение.
а) По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла:
Тогда
или
Откуда
или
б) С помощью единичной окружности
отберём корни на отрезке Это
числа
и
(см.
рис.).
Ответ:
а) б)
14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.
Так как прямая пересекается
с прямой
параллельной
прямой
и
лежит в плоскости
параллельной
то
расстояние между прямыми
и
равно
расстоянию от прямой
до
плоскости
Пусть —
высота треугольника
перпендикулярна
грани
так
как перпендикулярна двум пересекающимся прямым (
и
),
лежащим в плоскости
Таким
образом, искомое расстояние — длина отрезка
Из
равностороннего треугольника
находим:
.
Ответ:
.
15. Решите неравенство:
Решение.Решим первое неравенство
системы. Сделаем замену .
Тогда ,
откуда находим решение первого неравенства системы:
Ответ:
16. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 1 и 7. Найдите расстояние между их центрами.
Решение.Рассмотрим прямоугольный
треугольник с
катетами
и
гипотенузой
Пусть
окружность с центром
радиуса
касается
гипотенузы в точке
продолжений
катетов
и
−
в точках
и
соответственно,
а
−
полупериметр треугольника
Из
равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной
точки, следует, что
и
поэтому
а так как ,
то
Далее,
пусть окружность с центром
радиуса
касается
катета
в
точке
а
продолжений сторон
и
−
в точка
и
соответственно.
Рассуждая аналогично, получаем
Четырехугольники
и
−
квадраты, поэтому
значит,
Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 1.
Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 7, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 1, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 1 и 7.
Предположим, что и
(рис.
1).
Опустим перпендикуляр из
центра меньшей окружности на
Тогда
Следовательно,
Пусть теперь и
(рис
2)
Центр окружности, вписанной в угол,
лежит на биссектрисе угла, поэтому точки и
лежат
на оной прямой. Следовательно,
Ответ:
или
17. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?
Решение.
Пусть у Степана было х тыс. руб.,
первый банк дает а% годовых, второй — b% годовых. Тогда в
конце года сумма вклада в первом банке увеличится в раз,
а во втором банке в
раз.
Степан положил в первый и второй банк
60% и 40% своего капитала, по прошествии одного года на счетах в банках
было тыс.
руб. соответственно. Если бы Степан первоначально положил 40% капитала
в первый банк, а 60% капитала во второй банк, то через год на счетах было
бы
тыс.
руб.
Решая систему уравнений
относительно xm и xn находим:
К концу второго года сумма вкладов достигла величины
По условию, она равна 701 тыс. руб., откуда
имеем:
Тогда а
искомая величина суммы вклада к концу второго года при вложении 40%
капитала в первый банк и 60% во второй равна
тыс. руб.
Ответ: 749 000 руб.
18. Найдите все значения а,
при каждом из которых решения неравенства образуют
отрезок длины 1.
Решение.
Перенесем двойку:
Построим схематично графики функций
и
На рисунке видно, что неравенство
имеет решения только при или
1)
Решения образуют отрезок длины 1,
если откуда
2)
Решения образуют отрезок длины 1,
если откуда
Ответ:
19. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможнное значение суммы получившиъся чисел.
Решение.
Пусть исходные числа равны и
пусть суммы цифр, стоящих в разряде единиц и десятков, соответственно
и
а) Решим систему уравнений:
Примером исходного набора чисел может быть 70 двузначных чисел, заканчивающихся единицей, сумма десятков которых дает 290. Например, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё пример (его можно построить, обратив внимание, что сумма десятков примерно в 4 раза больше суммы единиц): 32 раза число 92 и число 26.
б) Решим систему уравнений:
Поскольку нулей в записи чисел нет, сумма цифр, стоящих в разряде единиц, не меньше количества чисел. Тем самым, чисел не больше 30. Но тогда сумма цифр, стоящих в разряде десятков, не может быть больше 270. Противоречие.
Иначе: поскольку в записи нет нулей,
а цифры в разряде десятков не превышают 9, справедливы соотношения:
то
есть
что
противоречит полученной системе, в которой
в) Требуется определить, для какого наименьшего S имеет решения система уравнений
Из полученной системы следует, что
величина S кратна 9 и 11 то есть кратна 99. Тогда Тогда
Наименьшему значению соответствует
наименьшее значение
причем
из второго уравнения системы ясно, что
Улучшим
оценку: заметим, что
откуда
тогда
и, тем самым,
Если то:
заданным
набором чисел, например, являются 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51,
сумма чисел в наборе равна
Ответ: а) например, 32 раза число 92 и число 26, б) нет, в) 693.
Вариант№2
13. а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего
отрезку
Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде:
Уравнение
корней
не имеет. Значит,
откуда
или
б) С помощью числовой окружности
отберём корни, принадлежащие отрезку Получим
число
Ответ: а) б)
14. В правильной четырехугольной
призме KLMNK1L1M1N1
точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3.
Через точки L и E проведена плоскость параллельная
прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость делит
ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью и
плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6 ,
KK1 = 4 .
Решение.
Пусть четырёхугольник
ELGF — сечение данной призмы плоскостью α (см. рисунок).
Прямая KM параллельна плоскости α, а плоскость KMG пересекает
плоскость α по прямой EG, следовательно EG || KM
и, значит, KMGE — прямоугольник. Прямые NL и KM являются
соответственно проекциями прямых FL и EG на плоскость KLM,
значит, точка пересечения прямых KM и NL (точка H)
является проекцией точки пересечения прямых FL и EG
(точки O) на эту плоскость. Таким
образом, C
другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника FLN
и, следовательно,
откуда
и следует доказываемое утверждение.
б) Пусть точка D ― середина
отрезка FN. Тогда EK = FD и EK || FD,
следовательно, EKDF ― параллелограмм и, значит, EF || KD.
Так как и EG || KM , то (KDM) || (EFG)
и, значит, Поскольку
KLMN ― квадрат, то NH ⊥ KM, но тогда, согласно
теореме о трех перпендикулярах, и DH ⊥ KM.
Таким образом,
―
линейный угол двугранного угла
.
Из прямоугольного треугольника DNH находим
Ответ: б)
15. Решите неравенство:
Решение.
После замены получаем
Значит,
или
Решим первую систему неравенств:
Возвращаясь к исходной переменной,
получаем:
Решим вторую систему неравенств:
Возвращаясь к исходной переменной,
получаем:
Таким образом,
решением исходного неравенства является множество
Ответ:
16. Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.
Решение.
Точка лежит
на окружности с диаметром
поэтому
По
теореме Пифагора
Пусть —
высота треугольника
Тогда:
.
Из прямоугольного треугольника находим:
Если точка лежит
между точками
и
,
то
Следовательно,
Если точка лежит
между
и
то
Следовательно,
Ответ:
17. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
Задание 17 № 508585
Решение.
Пусть вкладчик в банк первоначально
положил х руб. Тогда за 3 года хранения этих денег вклад вырос бы до 1,331 х
р, т. е. до р.
За первый год хранения вклада он вырос
до 1,1 р. Однако, через год вкладчик снял 2000 р. На счету осталось р.
В конце второго года хранения вклада на эту сумму были начислены проценты,
вклад стал
р.
Однако, вкладчик снова внес 2000 р. Сумма вклада стала
р.
К концу третьего года хранения вклада ее сумма стала
И эту сумму снял вкладчик в итоге вместо
первоначально запланированной р.
Найдем искомую разность.
Ответ: на 220 р.
18. Найдите все положительные значения
а, при каждом из которых система имеет
единственное решение.
Задание 18 № 507190
Решение.
Если ,
то уравнение
задаёт
окружность
,
с центром в точке
радиуса
2, а если
,
то оно задаёт окружность
с
центром в точке
того
же радиуса (см. рис.).
При положительных значениях параметра
а уравнение задает
окружность
с
центром в точке
радиуса
а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра
а, при каждом из которых окружность
имеет
единственную общую точку с объединением окружностей
и
.
Из точки С проведём луч и
обозначим
и
точки
его пересечения с окружностью
,
где
лежит
между С и
.
Так как ,
то
,
.
При или
окружности
и
не
пересекаются. При
окружности
и
имеют
две общие точки. При
или
окружности
и
касаются.
Из точки С проведём луч и
обозначим
и
точки
его пересечения с окружностью
,
где
лежит
между С и
.
Так как ,
то
,
.
При или
окружности
и
не
пересекаются. При
окружности
и
имеют
две общие точки. При
или
окружности
и
касаются.
Исходная система имеет единственное
решение тогда и только тогда, когда окружность касается
ровно одной из двух окружностей
и
,
и не пересекается с другой. Так как
,
то условию задачи удовлетворяют только числа
и
.
Ответ: 11; .
19. В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 и два центральных сектора. При попадании в наружный сектор игрок получает количество очков, совпадающее с номером сектора, а за попадание в центральные сектора он получает 25 или 50 очков соответственно. В каждом из наружных секторов есть области удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) дает 10 очков, в зону удвоения сектора ― 20 очков, в зону утроения ― 30 очков.
а) Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 167 очков?
б) Может ли игрок шестью бросками набрать ровно 356 очков?
в) С помощью какого наименьшего количества бросков, игрок может набрать ровно 1001 очко?
Задание 19 № 509048
Решение.
а) Да, например, при попадании в утроение сектора 20, утроение сектора 19 и центральный сектор 50 получаем: 60 + 57 + 50 = 167.
б) Наибольшее количество очков, которое может набрать игрок одним броском ― 60 (утроение 20), далее идут: 57 очков (утроение 19) и 54 очка (утроение 18). Попадание во все остальные сектора и зоны дает меньше 54 очков. Если все шесть бросков были по 60 очков, то игрок набрал 360 очков, что больше 356. Если хотя бы один бросок на 60 очков заменить броском на 54 очка или меньше, то сумма уменьшится как минимум на 6, а, значит, станет не больше 354 очков, что меньше 356 очков. Следовательно, бросок на 60 очков можно заменять только броском на 57 очков. Но одна такая замена дает итоговый результат 357 очков, а хотя бы две замены ― не более 354 очков. Значит, 356 очков шестью бросками набрать невозможно.
в) Как было показано в пункте б) каждый бросок приносит игроку не более 60 очков. Значит, за 16 бросков он наберет не более 960 очков, а тогда для того, чтобы набрать 1001 очко понадобится не менее 17 бросков.
Покажем, что игрок может набрать 1001 очко за 17 бросков. Предположим, что он сделал 15 бросков на 60 очков (итого 900), один бросок в зону утроения сектора 17 (51 очко) и один бросок в центральный сектор 50 очков. Тогда в сумме он наберет 900 + 51 + 50 = 1001 очко.
Ответ: а) да; б) нет; в) за 17 бросков.
Вариант№3
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
Задание 13 № 514526
Решение.
а) Пусть
тогда
исходное уравнение запишется в виде
откуда
или
При получим:
значит,
что
невозможно.
При получим:
значит,
откуда
б) C помощью числовой окружности
отберём корни, принадлежащие отрезку
Получим число:
Ответ: а) б)
14. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.
Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Задание 14 № 512357
Решение.
Проведём медиану
S1M треугольника SS1B, которая
пересекает медиану BB1 основания BCD в точке
T. Тогда ВТ : ТВ1 = 4 : 5,
поскольку BB1 также является медианой треугольника
SS1B.
Точка L, в свою очередь, делит отрезок B1D в отношении DL : LВ1 = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7 и отрезок BB1 — медиана треугольника BCD.
Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.
Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобокая трапеция.
б) Большее основание PL трапеции
равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание
MK равно 4,5, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника
SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна
Ответ: 5,75.
15. Решите неравенство:
Задание 15 № 511554
Решение.
Имеем:
Ответ:
16. В треугольнике известны
стороны:
Окружность,
проходящая через точки
и
пересекает
прямые
и
соответственно
в точках
и
отличных
от вершин треугольника. Отрезок
касается
окружности, вписанной в треугольник
Найдите
длину отрезка
Задание 16 № 501069
Решение.
Обе точки
и
не
могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок
не
может касаться вневписанной окружности. Значит, по крайней мере одна
из этих точек лежит на стороне треугольнике.
Пусть обе точки и
лежат
на сторонах треугольника (рис. 1).
Четырёхугольник —
вписанный, следовательно,
Значит, треугольник подобен
треугольнику
так
как угол
—
общий. Пусть коэффициент подобия равен
тогда
Суммы противоположных сторон описанного
четырехугольника равны:
Подставляя известные значения сторон,
находим Следовательно,
Пусть точка лежит
на продолжении стороны
(рис.
2) Углы
и
равны,
поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник
подобен
треугольнику
так
как угол
—
общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно,
коэффициент подобия равен 1, то есть треугольники
и
равны,
поэтому
Заметим,
что
и
точка
действительно
лежит на продолжении стороны
Если точка лежит
на продолжении стороны
то
но
аналогично предыдущему случаю получаем
Значит,
этот случай не достигается.
Ответ:
17. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
Задание 17 № 508585
Решение.
Пусть вкладчик в банк первоначально
положил х руб. Тогда за 3 года хранения этих денег вклад вырос бы до 1,331 х
р, т. е. до р.
За первый год хранения вклада он вырос
до 1,1 р. Однако, через год вкладчик снял 2000 р. На счету осталось р.
В конце второго года хранения вклада на эту сумму были начислены проценты,
вклад стал
р.
Однако, вкладчик снова внес 2000 р. Сумма вклада стала
р.
К концу третьего года хранения вклада ее сумма стала
И эту сумму снял вкладчик в итоге вместо
первоначально запланированной р.
Найдем искомую разность.
Ответ: на 220 р.
18. При каких значениях параметра
система
имеет
решения?
Задание 18 № 511307
Решение.
Перепишем исходную систему в виде
Исходная система имеет решения,
тогда и только тогда, когда относительно имеет
решения система:
Решая первое уравнение этой системы,
находим, что
Требование задачи будет выполнено,
если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые
значения находятся
из совокупности неравенств
решая которое, получаем
Ответ: .
19. Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a1 = 5, a2 = 8, ..., aN и b1 = 9, b2 = 14, ..., bM совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии.
Задание 19 № 507808
Решение.
Ясно, что
Общие члены прогрессий удовлетворяют уравнению:
Левая часть последнего уравнения делится
на 3, поэтому то
есть
или
где
Найдём
Общие
члены двух прогрессий сами образуют арифметическую прогрессию с первым
членом равным 14, а последним — равным
Значит,
откуда
Поэтому
Ответ: 49 и 29.
ВАРИАНТ№4
11. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 9 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Задание 11 № 116387
Решение.
Скорость поезда равна
м/с.
За 9 секунд поезд проходит мимо придорожного столба расстояние равное своей длине:
метров.
Ответ: 150.
12. Найдите точку максимума функции
.
Задание 12 № 124817
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума .
Ответ: −10.
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
Задание 13 № 513365
Решение.
а) Имеем
откуда
б) Корни, принадлежащие отрезку отберём
с помощью единичной окружности. Получим
Ответ: а) б)
14. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки C до прямой AD1
Задание 14 № 507651
Решение.
Проведем отрезки CD1
и AC. Искомое расстояние равно длине перпендикуляра CH,
проведенного к прямой AD1. Этот перпендикуляр является
медианой равностороннего треугольника ACD1 со стороной
Ответ:
15. Решите неравенство:
Задание 15 № 511566
Решение.
Решим неравенство методом интервалов:
Ответ:
16. Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.
а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.
б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 120.
Задание 16 № 511389
Решение.
а) Обозначим
точки пересечения лучей с отрезком BM — буквами P и R
(см. рисунок), и пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма,
а N — точка пересечения луча AP и прямой BC.
Точка R делит медиану BM треугольника ABD в отношении 2 :1 считая от B. Следовательно, R лежит на медиане AO этого треугольника, то есть луч AR содержит диагональ AC .
б) Пусть L — точка пересечения AN
и BD. Нужно найти площадь четырёхугольника LNCO. Пусть площадь
параллелограмма равна S . Площадь треугольника BOC равна
Найдём
площадь треугольника BNL . Из подобия треугольников BPN
и MPA следует, что
откуда
Теперь из подобия треугольников BNL
и DAL следует, что их соответствующие высоты относятся как
1:4 , а поэтому высота треугольника BNL, проведённая к BN,
составляет высоты
параллелограмма, проведённой к стороне BC.
Поэтому
Следовательно, площадь четырёхугольника LNCO равна
Ответ: 27.
17. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
Решение.
Пусть вкладчик в банк первоначально
положил х руб. Тогда за 3 года хранения этих денег вклад вырос бы до 1,331 х
р, т. е. до р.
За первый год хранения вклада он вырос
до 1,1 р. Однако, через год вкладчик снял 2000 р. На счету осталось р.
В конце второго года хранения вклада на эту сумму были начислены проценты,
вклад стал
р.
Однако, вкладчик снова внес 2000 р. Сумма вклада стала
р.
К концу третьего года хранения вклада ее сумма стала
И эту сумму снял вкладчик в итоге вместо
первоначально запланированной р.
Найдем искомую разность.
Ответ: на 220 р.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение.
Запишем исходное уравнение в виде
Пусть t = cosx, тогда исходное
уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение имеет
хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком
функции
является
парабола, ветви которой направлены вверх,
следовательно, уравнение имеет
хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии
(рис.
1)
откуда
либо
при условии
(рис.
2)
откуда
Ответ:
19. Винтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же винтики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 винтика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее число винтиков может быть при таких условиях?
Решение.
Пусть в каждой из коробок
лежит три пакетика, по
винтиков
в каждом. Во втором случае коробок
пакетиков
в коробке 2, а винтиков в пакетике
По
условию задачи получаем:
Откуда Учитывая,
что числа
и
натуральные,
получаем, что
—
натуральный делитель числа 36. Количество винтиков при этом
Решение находим перебором делителей.
Ответ: 840.
Примечание.
Перебор можно заменить исследованием функции.
Функция монотонно
убывает при
и
монотонно возрастает при
Следовательно,
наибольшее значение функции
достигается,
если
—
наибольший или наименьший натуральный делитель числа 36.
Если то
Если то
ВАРИАНТ№5
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
Задание 13 № 513365
Решение.
а) Имеем
откуда
б) Корни, принадлежащие отрезку отберём
с помощью единичной окружности. Получим
Ответ: а) б)
14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны AB = 2, AD = AA1 = 1. Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.
Задание 14 № 500024
Решение.
Плоскости
и
перпендикулярны.
Перпендикуляр из точки
к
плоскости
лежит
в плоскости
и
пересекает прямую
в
точке
.
Значит, искомый угол равен углу
.
В прямоугольном треугольнике
катет
,
гипотенуза
.
Поэтому
.
Тогда .
Ответ: .
Примечание.
Возможны другие формы ответа: .
15. Решите неравенство .
Задание 15 № 514448
Решение.
Пусть тогда
имеем:
Вернёмся к исходной переменной. Имеем:
Ответ:
16. В треугольнике АВС проведены
две высоты ВМ и CN, причём и
.
а) Докажите, что угол АВС тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
Задание 16 № 514047
Решение.
а) Поскольку
,
точки C и M лежат по одну сторону от точки А, а так как AM < CM,
точка M лежит на отрезке АС.
Положим АМ = 2x, CM = 3x. Из прямоугольного треугольника ABM находим, что
По теореме Пифагора
По теореме косинусов
Следовательно,
б) Из прямоугольных треугольников ANC и BNC находим, что
значит B — середина AN.
Обозначим .
Тогда
Следовательно,
Ответ:
17. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы.
Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.
Задание 17 № 513431
Решение.
К началу 2-го года получится млн
вложений, а к началу 3-го года —
По условию Наименьшее
целое решение n = 4. Тогда к началу 3-го года получится
млн.
К началу 4-года имеем млн,
а в конце проекта
По условию Получаем,
что m = 1 — наименьшее целое решение.
Ответ: 4 и 1 млн руб.
18. Найдите все значения параметра
при
каждом из которых система уравнений
имеет
ровно четыре решения.
Задание 18 № 484641
Решение.
Преобразуем данную систему:
Сделав замену переменной ,
получаем систему
Заметим, что количество решений полученной
системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим
графики уравнений (1) и (2) в системе координат
График первого уравнения — ромб,
диагонали которого, равные 8 и 6, лежат соответственно на осях и
а
графиком второго уравнения является окружность с центром в начале
координат и радиусом
(см.
рисунок).
Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет условию
.
В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами, равными 3 и 4, откуда
,
.
Во втором случае получаем ,
откуда
или
.
Ответ:
19. Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3n − 2m = 1.
Решение.
Пусть —
четное число
Тогда
Правая
часть — произведение двух последовательных четных чисел, каждое из
которых является степенью числа 2. Значит,
и
откуда
и
При
этом
следовательно,
Пусть теперь —нечетное
число. Все нечетные степени тройки
делятся
на 4 с остатком 3. Значит,
делится
на 4 с остатком 2. Из равенства
получаем,
что в этом случае
(если
то
делится
на 4 без остатка). При этом
откуда
Ответ: или
ВАРИАНТ№6
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
Решение.
а) Запишем уравнение
в виде
Значит, или —
уравнение не имеет корней, или
,
откуда
,
.
б) С помощью числовой окружности отберем
корни уравнения, принадлежащие отрезку
Получим число
Ответ: а) б)
14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB1.
а) Пусть прямые C1D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.
Решение.
а) В треугольнике отрезок
BD — средняя линия (так как параллелен
и
равен его половине), значит EB = BC = AB
и треугольник
—
равнобедренный. Тогда
И
б) Поскольку
и
(так
как
),
имеем
Поскольку
плоскости ABC и
пересекаются
по прямой AE, имеем
Ответ:
15. Решите неравенство:
Решение.
Сделаем замену
Возвращаясь к исходной переменной,
получим: или
Ответ:
16. В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Найдите CP.
Решение.
Возможны два случая.
Первый случай: хорды PQ и CD не пересекаются (рис. 1), тогда ∠PQC = 180° − ∠PDC.
В треугольниках PQC и PDC
Значит, откуда
Второй случай: хорды PQ и
CD пересекаются (рис. 2), тогда
В треугольниках PQC и PDC
откуда
Ответ:
4 или
17. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у% годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
Решение.
Пусть в январе 2000 года вкладчик положил
на счет у.
е. Тогда в январе 2001 года на счету сумма станет
у.
е. Но в январе же 2001 года вкладчик снял
у.
е. На счету осталось:
у.
е.
В январе 2002 года сумма на счету будет равна:
Функция является
квадратичной от
.
У нее есть наибольшее значение
при
Ответ: 25.
18. Найдите все значения a, при которых любое решение уравнения
принадлежит отрезку
Решение.
Рассмотрим функцию Она
определена при
возрастает
на области определения и принимает все значения от
до
Значит,
уравнение
имеет
единственное решение. Это решение принадлежит отрезку
тогда
и только тогда, когда
и
Получаем
систему неравенств:
Ответ:
19. Найдите все простые числа b,
для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь можно
сократить на b.
Решение.
Если целые числа и
делятся
на b, то целое число
также делится на b. Тогда число
тоже делится на b.
Тогда число
также делится на b.
Таким образом, искомое b — простой делитель числа 56, то есть 2 или 7. Осталось проверить, для каких из найденных чисел можно подобрать а. Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби — четные числа, поэтому дробь можно сократить на 2. Если а кратно 7, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 7, поэтому дробь можно сократить на 7.
Ответ: 2, 7.
ВАРИАНТ№7
11.
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 900 рублей, через два года был продан за 16 929 рублей.
Задание 11 № 107949
Решение.
Пусть цена холодильника ежегодно снижалась
на процентов
в год. Тогда за два года она снизилась на
,
откуда имеем:
Ответ: 10.
12.
Найдите наименьшее значение функции
на
отрезке
.
Задание 12 № 130803
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная
функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном
отрезке. Найдем это наименьшее значение:
.
Ответ: 0.
13. Решите уравнение
Задание 13 № 507668
Решение.
Левая часть уравнения
имеет смысл при
и
Выражение
положительно
при всех допустимых
Значит,
Учитывая, что и
получаем,
что решениями являются числа
Ответ:
14. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1.
Задание 14 № 484571
Решение.
Пусть
—
середина
—
середина
значит,
Кроме
того,
следовательно,
плоскость
Опустим
перпендикуляр
из
точки
на
прямую
кроме
этого,
(так
как лежит в плоскости
),
следовательно,
и
является искомым расстоянием.
Искомый отрезок является
высотой прямоугольного треугольника
с
прямым углом
Поэтому
Ответ:
15. Решите неравенство:
Задание 15 № 508442
Решение.
По теореме, обратной теореме Виета,
сумма корней уравнения равна ,
а их произведение равно
.
Поэтому корни этого уравнения — числа
и
.
Тогда неравенство можно решить так:
Ответ:
16. В треугольнике известны
стороны:
.
Окружность, проходящая через точки
и
,
пересекает прямые
и
соответственно
в точках
и
,
отличных от вершин треугольника. Отрезок
касается
окружности, вписанной в треугольник
.
Найдите длину отрезка
.
Задание 16 № 511338
Решение.
Обе точки
и
не
могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок
не
может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из
этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки и
лежат
на сторонах треугольника. Четырехугольник
—
вписанный, следовательно,
Значит, треугольник подобен
треугольнику
,
так как угол
—
общий. Пусть коэффициент подобия равен
,
тогда
,
,
.
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника
равны:
Подставляя известные значения сторон,
находим .
Следовательно,
.
Пусть точка лежит
на продолжении стороны
.
Углы
и
равны,
поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник
подобен
треугольнику
,
так как угол
—
общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно,
коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники
и
равны,
поэтому
.
Заметим, что
и
точка
действительно
лежит на продолжении стороны
.
Если точка лежит
на продолжении стороны
,
то
,
но, аналогично предыдущему случаю, получаем
.
Значит, этот случай не достигается.
Ответ: .
17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год |
Июль 2016 |
Июль 2017 |
Июль 2018 |
Июль 2019 |
Долг |
S |
0,7S |
0,4S |
0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
Задание 17 № 514627
Решение.
Долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль каждого года должен уменьшиться до нуля следующим образом:
По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 15% значит, долг в январе каждого года равен:
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:
По условию, числа
должны быть целыми. Значит, число S должно делиться на 20, 200 и 50. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 200.
Ответ: 200.
18. Найдите все значения параметра
a, при которых уравнение имеет
единственное решение.
Задание 18 № 501419
Решение.
Неравенство
задает
на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с границей
а
уравнение
при
―
окружность с центром
и
радиусом
(см.
рисунок).
Окружность и полуплоскость имеют ровно
одну общую точку тогда и только тогда, когда радиус окружности равен половине
диагонали PO квадрата APBO, т. е., откуда
При уравнение,
а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при
решением
уравнения является пара
которая
не удовлетворяет неравенству
Ответ:
19. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2100} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?
Решение.
а) Разобьём множество {200, 201, 202, ..., 299} на два множества пятидесятиэлементных множества следующим образом:
{200, 299, 202, 297, 204, 295, ..., 248, 251},
{201; 298; 203; 296; 205, 294, ..., 249, 250}.
Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)
б) Заметим, сумма чисел в подмножестве,
которое будет содержать число будет
больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку
больше
суммы всех остальных чисел:
Следовательно, множество {2; 4; 8; ...; 2100} не является хорошим.
в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.
Подмножества множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}, удовлетворяющие первому случаю, — это {1; 2; 4; 7} и {2; 4; 5; 11}.
Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, четные числа 2 и 4 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.
Если 2 и 4 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 6, это подмножество {1; 2; 4; 5}, либо разность двух других чисел равна 2, это подмножества:
{1; 2; 4; 5}; {2; 4; 5; 7}; {2; 4; 7; 9}; {2; 4; 9; 11}.
Если 2 и 4 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве {1; 5; 7; 9; 11}. Получаем хорошие подмножества:
{1; 5; 7; 11} и {5; 7; 9; 11}.
Всего найдено 8 хороших подмножеств. Других вариантов нет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 8.
ВАРИНТ№8
11. Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 110 км — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пройденный путь равен 120 + 100 + 110 = 330 км. Средняя скорость автомобиля равна
км/ч.
Ответ: 99.
12. Найдите наименьшее значение
функции на
отрезке
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наименьшим значением функции на отрезке является:
Ответ: −13.
13. а) Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку .
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
б) Найдем корни, лежащие на заданном отрезке. Составим двойное неравенство:
,
откуда
.
Следовательно, или
,
тогда искомые корни
и
Ответ:
а) б)
и
14. В правильной четырёхугольной
призме ABCDA1B1C1D1
сторона основания AB=6, а боковое ребро На
рёбрах AB, A1D1 и C1D1
отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Решение.
а) Плоскость MNK
пересекает плоскости оснований ABCD и A1B1C1D1
по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны,
а CL = 1.
Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:
Поэтому MNKL — квадрат.
б) Пусть W — точка пересечения
прямых NK и A1B1. Тогда, так как ,
получаем
поэтому
прямая WM, а значит и плоскость MWK пересекает ребро AA1
в его середине E. Аналогично, плоскость MNK пересекает
ребро CC1 в его середине F.
В прямоугольнике AEFC противоположные
стороны: Сечение
MENKFL состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF,
причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая
площадь сечения равна
Ответ: а) доказано; б) 55.
15. Решите неравенство:
Решение.
Решим неравенство методом интервалов:
Ответ:
16. Окружность радиуса вписана
в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается
с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между
центрами окружностей равно 6. Найдите MN.
Решение.
Пусть O1
— центр окружности радиуса
O2
— центр второй окружности, A — вершина прямого угла, тогда
Возможны два случая. Первый случай:
точка O1 лежит между точками A и O2
(рис. 1), тогда O2A = O1A + O1O2 = 14,
откуда радиус второй окружности
В треугольнике O1MO2
имеем O1O2 = 6, Поскольку
общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2
и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2
равна половине MN.
В треугольнике O1MO2
полупериметр
откуда
Второй случай: точка O2
лежит между точками A и O1 (рис. 2), тогда O2A = O1A − O1O2
откуда радиус второй окружности
В треугольнике O1MO2
имеем O1O2 = 12, Аналогично
первому случаю, высота MH треугольника O1MO2
равна половине MN.
В треугольнике O1MO2
полупериметр
откуда
Ответ:
или
17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Решение.
В июле 2017, 2018 и 2019 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют 0,2S тыс. рублей.
В январе 2020 года долг (в тыс. рублей) равен 1,2S, а в июле — 1,2S − 360.
В январе 2021 года долг равен 1,44S − 432, а в июле 1,44S − 792.
По условию, долг будет выплачен полностью, значит, 1,44S — 792 = 0, откуда S = 550.
Таким образом, первые три выплаты составляют по 110 тыс. рублей, а последние две — по 360 тыс. рублей.
Общая сумма выплат составляет:
Ответ: 1050 тыс. рублей.
18. Найдите все значения параметра
при
каждом из которых система
имеет ровно решений.
Решение.
Преобразуем систему, получим:
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рисунок):
Второе уравнение задает окружность
радиусом с
центром
На
рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если
окружность проходит через точки
и
пересекая
параболу еще в четырех точках.
При этом радиус окружности равен откуда
или
Ответ:
19. Найдите все тройки натуральных
чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению
Решение.
1. Так как то
и
2. Пусть тогда
откуда
и
3. Пусть тогда
откуда
и
4. Далее конечным перебором значений
находим
все решения:
Можно заметить, что это уравнение симметрично отн. значений n и k и мы можем перебрать меньше вариантов.
n |
k |
|
m |
5 |
5 |
|
6 |
5 |
4 |
|
нет решений |
5 |
3 |
|
нет решений |
5 |
2 |
|
нет решений |
5 |
1 |
|
нет решений |
4 |
4 |
|
нет решений |
4 |
3 |
|
нет решений |
4 |
2 |
|
нет решений |
4 |
1 |
|
нет решений |
3 |
3 |
|
нет решений |
3 |
2 |
|
4 |
3 |
1 |
|
нет решений |
2 |
2 |
|
нет решений |
2 |
1 |
|
нет решений |
1 |
1 |
|
3 |
Ответ:
Скачано с www.znanio.ru
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.