Диагностическая работа по математике 11 класс Профильный уровень

  • Контроль знаний
  • docx
  • 06.01.2017
Публикация на сайте для учителей

Публикация педагогических разработок

Бесплатное участие. Свидетельство автора сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Диагностическая работа по математике для 11 класса Профильный уровень для проверки знаний учащихся при подготовке к Е Г Э составлена на основе генератора задач открытого банка заданий на сайте " решу егэ " с учетом пройденных тем на декабрь месяц по учебнику Мордковича
Иконка файла материала Диагностическая работа№2 решу егэ.docx

Диагностическая работа№2        Профильный уровень                           15.12.2016

ВАРИАНТ№1

1. Уста­нов­ка двух счётчи­ков воды (хо­лод­ной и го­ря­чей) стоит 2500 руб­лей. До уста­нов­ки счётчи­ков за воду пла­ти­ли 800 руб­лей еже­ме­сяч­но. После уста­нов­ки счётчи­ков еже­ме­сяч­ная опла­та воды стала со­став­лять 600 руб­лей. Через какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ме­ся­цев эко­но­мия по опла­те воды пре­вы­сит за­тра­ты на уста­нов­ку счётчи­ков, если та­ри­фы на воду не из­ме­нят­ся?

2.  Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат – сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, при какой ско­ро­сти (в ки­ло­мет­рах в час) подъ­ем­ная сила до­сти­га­ет 1 тонн силы?

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=20281                         315124_13.0.eps

 

3. На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ра­же­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 4. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

  4. На чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду вы­сту­па­ют 50 спортс­ме­нов, среди них 8 пры­гу­нов из Рос­сии и 10 пры­гу­нов из Мек­си­ки. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пят­на­дца­тым будет вы­сту­пать пры­гун из Рос­сии.

5. Най­ди­те корни урав­не­ния:    https://ege.sdamgia.ru/formula/d1/d17fcea8457b601ebd38b519ac8c01d8p.png  В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

6. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 4. Най­ди­те ги­по­те­ну­зу этого тре­уголь­ни­ка.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=1488                             https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=19225

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны во­семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на?

 

8. Объем куба равен    https://ege.sdamgia.ru/formula/5b/5b62d0c99e240e8228d42a0d07092b86p.png. Най­ди­те его диа­го­наль.

 

 

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния              https://ege.sdamgia.ru/formula/21/21a6e9808243c1a55618b943b551a0a9p.png.

10. Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) не­ко­то­ро­го дви­га­те­ля опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой https://ege.sdamgia.ru/formula/38/38995fca101afe38e53eff84353fb308p.png, где https://ege.sdamgia.ru/formula/24/2452fee413f58bb9509e88d80d4b9f8dp.png– тем­пе­ра­ту­ра на­гре­ва­те­ля (в гра­ду­сах Кель­ви­на), https://ege.sdamgia.ru/formula/6a/6a058d102910f33a7d4cf9ea23067b8cp.png– тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка (в гра­ду­сах Кель­ви­на). При какой ми­ни­маль­ной тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля https://ege.sdamgia.ru/formula/24/2452fee413f58bb9509e88d80d4b9f8dp.pngКПД этого дви­га­те­ля будет не мень­ше https://ege.sdamgia.ru/formula/4a/4a84be5a0f11822bb3bf1c929c71423ep.png, если тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/2c/2c23caa55fe2b62d7875e465bbf3b4efp.pngК? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Кель­ви­на.

11. То­вар­ный поезд каж­дую ми­ну­ту про­ез­жа­ет на 300 мет­ров мень­ше, чем ско­рый, и на путь в 420 км тра­тит вре­ме­ни на 3 часа боль­ше, чем ско­рый. Най­ди­те ско­рость то­вар­но­го по­ез­да. Ответ дайте в км/ч.

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции     https://ege.sdamgia.ru/formula/d7/d77c0ecdd6c9bae45aa516130f8142a0p.png,   при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/3e/3ebf7070586c05e0e953f6a27a21ca90p.png.

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние      https://ege.sdamgia.ru/formula/a8/a8775d1cfa78abac3b4b2b0879e5e9ecp.png

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/7a/7adcacb0d2a8d8e4e70860bc15222e05p.png

14. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1, все рёбра ко­то­рой равны 1, най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AA1 и BC1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/07/07dc22ff94f2bbc0da3cacd7b7d1087ep.png

16. Внев­пи­сан­ной окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся одной сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и про­дол­же­ний двух дру­гих его сто­рон. Ра­ди­у­сы двух внев­пи­сан­ных окруж­но­стей пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 1 и 7. Най­ди­те рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми.

17. Из­вест­но, что вклад, на­хо­дя­щий­ся в банке с на­ча­ла года, воз­рас­та­ет к концу года на опре­де­лен­ный про­цент, свой для каж­до­го банка. В на­ча­ле года Сте­пан по­ло­жил 60% не­ко­то­рой суммы денег в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть суммы во вто­рой банк. К концу года сумма этих вкла­дов стала равна 590 000 руб., а к концу сле­ду­ю­ще­го года 701 000 руб. Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% своей суммы во вто­рой банк, а остав­шу­ю­ся часть в пер­вый, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вкла­дов стала бы рав­ной 610 000 руб. Ка­ко­ва была бы сумма вкла­дов в этом слу­чае к концу вто­ро­го года?

18. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых ре­ше­ния не­ра­вен­ства https://ege.sdamgia.ru/formula/62/62e279367008fb24d8bdf104862eccc8p.pngоб­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1.

19. На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 2970. В каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 16 за­ме­ни­ли на число 61).

а) При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 3 раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б) Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 5 раз мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в) Най­ди­те наи­мень­шее воз­можн­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­шиъ­ся чисел.

 

Диагностическая работа№2                                   15.12.2016

ВАРИАНТ№2

 

1. В доме, в ко­то­ром живет Вася, один подъ­езд. На каж­дом этаже на­хо­дит­ся по 4 квар­ти­ры. Вася живет в квар­ти­ре №71. На каком этаже живет Вася?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Эли­сте с 7 по 18 де­каб­ря 2001 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней за дан­ный пе­ри­од не вы­па­да­ло осад­ков.

https://math-ege.sdamgia.ru/pic?id=a3033             https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=163

3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см https://ege.sdamgia.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9dbp.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

4. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 3 дня. Всего за­яв­ле­но 40 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день 18 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния               https://ege.sdamgia.ru/formula/9e/9e990335f30f71d4147c65843ad5a9c5p.png.

6. Най­ди­те пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка, если его пло­щадь равна 176, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон https://math-ege.sdamgia.ru/pic?id=p1372равно 4 : 11.

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png, опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png. В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

8. Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара.

 

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния https://ege.sdamgia.ru/formula/c1/c1798f2db19c720c0b6680b8e40a2e6cp.png.

10. Сила тока в цепи https://ege.sdamgia.ru/formula/dd/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7fp.png(в ам­пе­рах) опре­де­ля­ет­ся на­пря­же­ни­ем в цепи и со­про­тив­ле­ни­ем элек­тро­при­бо­ра по за­ко­ну Ома: https://ege.sdamgia.ru/formula/f9/f9672fa5d7dd8204dc4cd3b43bf489d3p.png, где https://ege.sdamgia.ru/formula/4c/4c614360da93c0a041b22e537de151ebp.png — на­пря­же­ние в воль­тах, https://ege.sdamgia.ru/formula/e1/e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6p.png — со­про­тив­ле­ние элек­тро­при­бо­ра в омах. В элек­тро­сеть включeн предо­хра­ни­тель, ко­то­рый пла­вит­ся, если сила тока пре­вы­ша­ет 2,5 А. Опре­де­ли­те, какое ми­ни­маль­ное со­про­тив­ле­ние долж­но быть у элек­тро­при­бо­ра, под­клю­ча­е­мо­го к ро­зет­ке в 220 вольт, чтобы сеть про­дол­жа­ла ра­бо­тать. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

11. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 4 литра воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 96 лит­ров она за­пол­ня­ет на 4 ми­ну­ты быст­рее, чем пер­вая труба?

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/73/7355112e2b162b8f8d00f4e73ae54a9cp.png.

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние          https://ege.sdamgia.ru/formula/07/07487e40905eb1890881b8fc1e9698b5p.png

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/d9/d97affd02569167a130b3ee4e69bf169p.png

14. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме KLMNK1L1M1N1 точка E делит бо­ко­вое ребро KK1 в от­но­ше­нии KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E про­ве­де­на плос­кость https://ege.sdamgia.ru/formula/2a/2a6ccaea07db0dd364bbe96c2ca411ecp.pngпа­рал­лель­ная пря­мой KM и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро NN1 в точке F.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.pngделит ребро NN1 по­по­лам.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.pngи плос­ко­стью грани KLMN, если из­вест­но, что KL = 6 , KK1 = 4 .

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/59/599a8fef182e024da7da6d78d3dbc146p.png

16. Точка M лежит на от­рез­ке AB. На окруж­но­сти с диа­мет­ром AB взята точка C, уда­лен­ная от точек A, M и B на рас­сто­я­ния 20, 14 и 15 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMC.

17. В банк был по­ло­жен вклад под бан­ков­ский про­цент 10%. Через год хо­зя­ин вкла­да снял со счета 2000 руб­лей, а еще через год снова внес 2000 руб­лей. Од­на­ко, вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния вкла­да он по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы по­лу­чил в итоге вклад­чик?

18. Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма https://ege.sdamgia.ru/formula/26/2625707ade486a416d1c279eea5e5bd9p.png     имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

19. В игре «Дро­ти­ки» есть 20 на­руж­ных сек­то­ров, про­ну­ме­ро­ван­ных от 1 до 20 и два цен­траль­ных сек­то­ра. При по­па­да­нии в на­руж­ный сек­тор игрок по­лу­ча­ет ко­ли­че­ство очков, сов­па­да­ю­щее с но­ме­ром сек­то­ра, а за по­па­да­ние в цен­траль­ные сек­то­ра он по­лу­ча­ет 25 или 50 очков со­от­вет­ствен­но. В каж­дом из на­руж­ных сек­то­ров есть об­ла­сти удво­е­ния и утро­е­ния, ко­то­рые, со­от­вет­ствен­но, удва­и­ва­ют или утра­и­ва­ют но­ми­нал сек­то­ра. Так, на­при­мер, по­па­да­ние в сек­тор 10 (не в зоны удво­е­ния и утро­е­ния) дает 10 очков, в зону удво­е­ния сек­то­ра ― 20 очков, в зону утро­е­ния ― 30 очков.

а) Может ли игрок тремя брос­ка­ми на­брать ровно 167 очков?

б) Может ли игрок ше­стью брос­ка­ми на­брать ровно 356 очков?

в) С по­мо­щью ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства брос­ков, игрок может на­брать ровно 1001 очко?

 

Диагностическая работа№2     Профильный уровень                               15.12.2016

ВАРИАНТ№3

1. Бегун про­бе­жал 180 мет­ров за 20 се­кунд. Най­ди­те сред­нюю ско­рость бе­гу­на. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс ав­стра­лий­ско­го дол­ла­ра, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни с 1 по 27 ок­тяб­ря 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена дол­ла­ра в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какой был курс дол­ла­ра 12 ок­тяб­ря. Ответ дайте в руб­лях.

 

https://math-ege.sdamgia.ru/pics/1.eps               https://math-ege.sdamgia.ru/pic?id=p26242

 

3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;7), (5;5), (5;7), (1;9).

4. На кла­ви­а­ту­ре те­ле­фо­на 10 цифр, от 0 до 9. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но на­жа­тая цифра будет боль­ше 2, но мень­ше 7?

 5. Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/eb/eb5f327a0c9f0782fb9c5dc0e49cc09ep.png.

6. В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC = 5,      https://ege.sdamgia.ru/formula/fc/fc0756eef1440b78fb36831c9f931545p.png       Най­ди­те АВ.

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=6966                          https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=1100

8. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна https://ege.sdamgia.ru/formula/14/14da37bdc1dd0833af9a42b95d47ad7ep.png, а вы­со­та — 4. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния                 https://ege.sdamgia.ru/formula/87/8778125d7cbcf6ed7beb3b0aca660903p.png.

10. Мяч бро­си­ли под углом https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.pngк плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Время полeта мяча (в се­кун­дах) опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле     https://ege.sdamgia.ru/formula/0b/0bb9391c73887b9df8c2957a37439e83p.png. При каком зна­че­нии угла https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.png(в гра­ду­сах) время полeта со­ста­вит 3 се­кун­ды, если мяч бро­са­ют с на­чаль­ной ско­ро­стью https://ege.sdamgia.ru/formula/fa/fa6ab33eb0891a5057d2c72ee26d2678p.pngм/с? Счи­тай­те, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния https://ege.sdamgia.ru/formula/11/112f48e4093c514cc217aced1a5dfb3bp.pngм/сhttps://ege.sdamgia.ru/formula/02/02850d6a647bc6cdb7f44baeb1f90089p.png.

11. Игорь и Паша кра­сят забор за 9 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 12 часов, а Во­ло­дя и Игорь – за 18 часов. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втро­ем?

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/52/52b1f17582e99698b436d3f6c4407701p.png.

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние        https://ege.sdamgia.ru/formula/60/60fa76e5e6ad0e9af209b3d2ba346cc1p.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку      https://ege.sdamgia.ru/formula/74/74d985298a443fcf6cdcfdbfb71fc5e4p.png

14. Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SBCD с вер­ши­ной S равны 9.

Ос­но­ва­ние O вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS1, M — се­ре­ди­на ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SBCD плос­ко­стью S1LM — рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б) Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой тра­пе­ции.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/21/21c634a74a65f21b7013ba2295d3e5c6p.png

16. В тре­уголь­ни­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngиз­вест­ны сто­ро­ны: https://ege.sdamgia.ru/formula/d6/d6091227299a38e345266af06a4e9bf6p.pngОкруж­ность, про­хо­дя­щая через точки https://ege.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/b8/b89e5a133abfb103cd888ed2cad06dc5p.pngпе­ре­се­ка­ет пря­мые https://ege.sdamgia.ru/formula/5f/5fc810cf62601df84b7923b9964c53e6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.pngсо­от­вет­ствен­но в точ­ках https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/df/dfcc92637e9462725e6a9502ae267b78p.pngот­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.pngка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61febp.pngНай­ди­те длину от­рез­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/45/45c91fd18f42506b20013996891fe6c6p.png

17. В банк был по­ло­жен вклад под бан­ков­ский про­цент 10%. Через год хо­зя­ин вкла­да снял со счета 2000 руб­лей, а еще через год снова внес 2000 руб­лей. Од­на­ко, вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния вкла­да он по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы по­лу­чил в итоге вклад­чик?

18. При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра https://ege.sdamgia.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661p.pngси­сте­ма https://ege.sdamgia.ru/formula/2b/2b4a1f9dfe776bc4e67b2c933a4216aep.pngимеет ре­ше­ния?

19. По­след­ние члены двух ко­неч­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий a1 = 5, a2 = 8, ..., aN и b1 = 9, b2 = 14, ..., bM сов­па­да­ют, а сумма всех сов­па­да­ю­щих (взя­тых по од­но­му разу) чле­нов этих про­грес­сий равна 815. Най­ди­те число чле­нов в каж­дой про­грес­сии.

 

 

 

Диагностическая работа№2     Профильный уровень                               15.12.2016

ВАРИАНТ№4

1. Поезд Москва-Орен­бург от­прав­ля­ет­ся в 17:25, а при­бы­ва­ет в 19:25 на сле­ду­ю­щий день (время мос­ков­ское). Сколь­ко часов поезд на­хо­дит­ся в пути?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, во сколь­ко раз наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей боль­ше, чем наи­мень­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей за день.

 https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=97             https://math-ege.sdamgia.ru/pics/b6-100500-203-1.eps

3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.svg1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

4. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 4 дня. Всего за­яв­ле­но 50 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день 20 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

5. Ре­ши­те урав­не­ние      .   = - от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень. https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/51/518b6fe7a0756f8604e91dc62af5222f.svg6.В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, . tg - Описание: https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/84/84950ad0cf229d8c3a629bdb6d3f0032.svgАС = 4.   Най­ди­те АВ

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-5;5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции  y = f(x)   от­ри­ца­тель­на.

 https://math-ege.sdamgia.ru/pic?id=a2707                https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=12936

8. Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 4 и 16. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

10. Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий https://ege.sdamgia.ru/formula/c5/c57168ae819172a49d6a1a92198aedb7p.pngмоля воз­ду­ха при дав­ле­нии https://ege.sdamgia.ru/formula/6a/6a1753868f19a93be889ea8cba140719p.pngат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоёма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го дав­ле­ния https://ege.sdamgia.ru/formula/6f/6fe97b358b528edc477ba63d50b652afp.png. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем https://ege.sdamgia.ru/formula/16/166b11616490cb955532624488c05e1ap.png, где https://ege.sdamgia.ru/formula/e4/e4c171c6e5d08da1111fc11d7098a731p.png— по­сто­ян­ная, https://ege.sdamgia.ru/formula/f2/f2846cf06838102fe3844e367fd5dc26p.pngК — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Най­ди­те, какое дав­ле­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/6f/6fe97b358b528edc477ba63d50b652afp.png(в атм) будет иметь воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха была со­вер­ше­на ра­бо­та в 6900 Дж.

11. Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 60 км/ч, про­ез­жа­ет мимо при­до­рож­но­го стол­ба за 9 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/a3/a3febbb99dea0d6622657e721d70f290p.png.

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d990c5a76002e15394f4328a4f52688p.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/f6/f6611fa6cb1cbf10e8776ed9091b6ab2p.png

14. В кубе ABCDA1B1C1D1 все реб­ра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой AD1

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/ba/ba2dff8a4a4539a0f804e49264767378p.png

16. Точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD . Из вер­ши­ны A про­ве­де­ны два луча, ко­то­рые раз­би­ва­ют от­ре­зок BM на три рав­ные части.

а) До­ка­жи­те, что один из лучей со­дер­жит диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го двумя про­ведёнными лу­ча­ми и пря­мы­ми BD и BC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 120.

17. В банк был по­ло­жен вклад под бан­ков­ский про­цент 10%. Через год хо­зя­ин вкла­да снял со счета 2000 руб­лей, а еще через год снова внес 2000 руб­лей. Од­на­ко, вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния вкла­да он по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы по­лу­чил в итоге вклад­чик?

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 https://ege.sdamgia.ru/formula/71/71f25cc30574880f6bd967641457a3fep.png   имеет хотя бы один ко­рень.

19. Вин­ти­ки можно раз­ло­жить в па­ке­ти­ки, а па­ке­ти­ки упа­ко­вать в ко­роб­ки, по 3 па­ке­ти­ка в одну ко­роб­ку. Можно эти же вин­ти­ки раз­ло­жить в па­ке­ти­ки так, что в каж­дом па­ке­ти­ке будет на 3 вин­ти­ка боль­ше, чем рань­ше, но тогда в каж­дой ко­роб­ке будет ле­жать по 2 па­ке­ти­ка, а ко­ро­бок по­тре­бу­ет­ся на 2 боль­ше. Какое наи­боль­шее число вин­ти­ков может быть при таких усло­ви­ях?

 

 

Диагностическая работа№2     Профильный уровень                               15.12.2016

ВАРИАНТ№5

1. В книге Елены Мо­ло­хо­вец «По­да­рок мо­ло­дым хо­зяй­кам» име­ет­ся ре­цепт пи­ро­га с чер­но­с­ли­вом. Для пи­ро­га на 10 че­ло­век сле­ду­ет взять  https://ege.sdamgia.ru/formula/68/68bade7151c02e1faf2763fb629da842p.png   фунта чер­но­сли­ва. Сколь­ко грам­мов чер­но­сли­ва сле­ду­ет взять для пи­ро­га, рас­счи­тан­но­го на 6 че­ло­век. Счи­тай­те, что 1 фунт равен 0,4 кг.

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Ка­за­ни с 3 по 15 фев­ра­ля 1909 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней из дан­но­го пе­ри­о­да вы­па­да­ло более 3 мил­ли­мет­ров осад­ков.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=18539   https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=12770

3. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну AB.

 4. Игорь с папой решил по­ка­тать­ся на ко­ле­се обо­зре­ния. Всего на ко­ле­се сорок ка­би­нок, из них 21 – серые, 13 – зе­ле­ные, осталь­ные – крас­ные. Ка­бин­ки по оче­ре­ди под­хо­дят к плат­фор­ме для по­сад­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Игорь про­ка­тит­ся в крас­ной ка­бин­ке.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния https://ege.sdamgia.ru/formula/31/318c0f683e2ae84cefbff29b171f9e6ep.png.

6. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равен 100, ее боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на равна 42. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

 https://math-ege.sdamgia.ru/pic?id=a3376                https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=21434

7. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся от на­чаль­но­го до ко­неч­но­го по­ло­же­ния. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её дви­же­ния. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в се­кун­дах, на оси ор­ди­нат — рас­сто­я­ние от на­чаль­но­го по­ло­же­ния точки (в мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния точки. Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.

 

8. Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 30. Плос­кость про­хо­дит через сто­ро­ну ос­но­ва­ния этой пи­ра­ми­ды и пе­ре­се­ка­ет про­ти­во­по­лож­ное бо­ко­вое ребро в точке, де­ля­щей его в от­но­ше­нии 7:8, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды. Най­ди­те боль­ший из объ­е­мов пи­ра­мид, на ко­то­рые плос­кость раз­би­ва­ет ис­ход­ную пи­ра­ми­ду.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния      https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cf05f46ebedbcb708d070d8a90ca48efp.pngпри https://ege.sdamgia.ru/formula/9d/9d34cdbb94fcc091b5b16cb7faeac526p.png.

10. Груз мас­сой 0,4 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость v ме­ня­ю­ется по за­ко­ну https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e3a112b1d3ae024030b580f42d5a04bp.pngгде https://ege.sdamgia.ru/formula/e3/e358efa489f58062f10dd7316b65649ep.png— время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T = 2 с — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, https://ege.sdamgia.ru/formula/d8/d872ab29c1c29ba3acda1e98836b6724p.pngм/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле https://ege.sdamgia.ru/formula/32/32e4a22c8a84dada0cc510a3ad44b9fdp.pngгде m — масса груза в ки­ло­грам­мах, v — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 36 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

11. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 48 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 1 час. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции    https://ege.sdamgia.ru/formula/78/78613e19ba60c44bac10f9394ad2ea00p.png    на от­рез­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/44/44cd341e730e9995393193afd9ff94adp.png.

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние         https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d990c5a76002e15394f4328a4f52688p.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/f6/f6611fa6cb1cbf10e8776ed9091b6ab2p.png

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны AB = 2, AD = AA1 = 1. Най­ди­те угол между пря­мой AB1 и плос­ко­стью ABC1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство https://ege.sdamgia.ru/formula/e9/e978d2480969748d40551d8dc5ebbb8ep.png.

16. В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны две вы­со­ты ВМ и CN, причём https://ege.sdamgia.ru/formula/65/6552c9b392359f754092a482cbc7f24ap.png  и https://ege.sdamgia.ru/formula/31/316f4d08438be459ecb4731fe891fa20p.png.

а) До­ка­жи­те, что угол АВС тупой.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BMN и ABC.

17. По биз­нес-плану пред­по­ла­га­ет­ся вло­жить в четырёхлет­ний про­ект 10 млн руб­лей. По ито­гам каж­до­го года пла­ни­ру­ет­ся при­рост вло­жен­ных средств на 15% по срав­не­нию с на­ча­лом года. На­чис­лен­ные про­цен­ты оста­ют­ся вло­жен­ны­ми в про­ект. Кроме этого, сразу после на­чис­ле­ний про­цен­тов нужны до­пол­ни­тель­ные вло­же­ния: целое число n млн руб­лей в пер­вый и вто­рой годы, а также целое число m млн руб­лей в тре­тий и четвёртый годы.  Най­ди­те наи­мень­шие зна­че­ния n и m, при ко­то­рых пер­во­на­чаль­ные вло­же­ния за два года как ми­ни­мум удво­ят­ся, а за че­ты­ре года как ми­ни­мум утро­ят­ся.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра   https://ege.sdamgia.ru/formula/3d/3ded2184a3e467984dba5788f82cc430p.png    при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний https://ege.sdamgia.ru/formula/20/20bd66293f1e68f20d934ed0979d9ea0p.png    имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

19. Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 3n − 2m = 1.

 

 

Диагностическая работа№2     Профильный уровень                               15.12.2016

ВАРИАНТ№6

1. В го­ро­де N живет 1 500 000 жи­те­лей. Среди них 20% детей и под­рост­ков. Среди взрос­лых 35% не ра­бо­та­ет (пен­си­о­не­ры, сту­ден­ты, до­мо­хо­зяй­ки и т. п.). Сколь­ко взрос­лых жи­те­лей ра­бо­та­ет?

2. При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах.

Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какое на­пря­же­ние будет в цепи через 2 часа ра­бо­ты фо­на­ри­ка. Ответ дайте в воль­тах.

 

https://math-ege.sdamgia.ru/pics/lamp1.eps              https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=5503

 

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см https://ege.sdamgia.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9dbp.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

   4. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 3 дня. Всего за­яв­ле­но 50 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день 18 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния        https://ege.sdamgia.ru/formula/0f/0f135230ba8932164bc1bb12796b7952p.png

6. В тре­уголь­ни­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png   https://ege.sdamgia.ru/formula/19/19e28002dddf5bbb97890d050f6630d8p.png, угол https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.png  равен https://ege.sdamgia.ru/formula/6c/6ca6317dd2a458af42244417c133698fp.png. Най­ди­те вы­со­ту https://ege.sdamgia.ru/formula/e9/e99c19dec2b574bc5d4990504f6cf550p.png.   

7. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну https://ege.sdamgia.ru/formula/cd/cdf6a7b3f95853bd67c511d6db7759f5p.png(где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни https://ege.sdamgia.ru/formula/b2/b277b7438901594b437aaaca333e415bp.pngс.

 8. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

 https://math-ege.sdamgia.ru/pic?id=p27435

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния         https://ege.sdamgia.ru/formula/be/be95e12d568f0a1fa4051728734b4b76p.png.

 10. Перед от­прав­кой теп­ло­воз издал гудок с ча­сто­той https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d3624748e32a0fa928085dc343811c08p.png Гц. Чуть позже издал гудок подъ­ез­жа­ю­щий к плат­фор­ме теп­ло­воз. Из-за эф­фек­та До­пле­ра ча­сто­та вто­ро­го гудка f боль­ше пер­во­го: она за­ви­сит от ско­ро­сти теп­ло­во­за по за­ко­ну https://ege.sdamgia.ru/formula/cd/cdbcedd2cf76dab7ac92d074d9dc2d5ep.png (Гц), где c — ско­рость звука в звука (в м/с). Че­ло­век, сто­я­щий на плат­фор­ме, раз­ли­ча­ет сиг­на­лы по тону, если они от­ли­ча­ют­ся более чем на 3 Гц. Опре­де­ли­те, с какой ми­ни­маль­ной ско­ро­стью при­бли­жал­ся к плат­фор­ме теп­ло­воз, если че­ло­век смог раз­ли­чить сиг­на­лы, а https://ege.sdamgia.ru/formula/a6/a68d1cf5a3d3a5f6d8cf54da0017dce0p.png м/с. Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

11. Сме­шав 41-про­цент­ный и 63-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 49-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 54-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 41-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/e6/e6a3b1523cbab0c137b81f0cf5f1bb31p.png.

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние        https://ege.sdamgia.ru/formula/46/46944fb56d30310be5607f78b02c2a88p.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку     https://ege.sdamgia.ru/formula/11/11a6b01a374902f581b6cd1df3017863p.png

14. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 4, бо­ко­вые рёбра равны 7, точка D — се­ре­ди­на ребра BB1.

а) Пусть пря­мые C1D и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что угол EAC — пря­мой.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и ADC1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:         https://ege.sdamgia.ru/formula/93/930406c4be2b884d241e8b3573d997b6p.png

16. В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Най­ди­те CP.

17. В ян­ва­ре 2000 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х % го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года — у% го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000 года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых любое ре­ше­ние урав­не­ния

 https://ege.sdamgia.ru/formula/1a/1a7b72dbb947486bba0c69f23d699907p.png   при­над­ле­жит от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/b1/b1129369be969aa89286396fff340fb9p.png

19. Най­ди­те все про­стые числа b, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число а, что дробь https://ege.sdamgia.ru/formula/c6/c64cc21efb8876842ad15857e2c793abp.pngможно со­кра­тить на b.

 

 

 

Диагностическая работа№2     Профильный уровень                               15.12.2016

ВАРИАНТ№7

1. На ав­то­за­прав­ке кли­ент отдал кас­си­ру 1000 руб­лей и по­про­сил за­лить бен­зин до пол­но­го бака. Цена бен­зи­на 30 руб. 20 коп. Сдачи кли­ент по­лу­чил 63 руб. 80 коп. Сколь­ко лит­ров бен­зи­на было за­ли­то в бак?

2. На гра­фи­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры дви­га­те­ля в про­цес­се разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, на сколь­ко гра­ду­сов на­гре­ет­ся дви­га­тель со вто­рой по пятую ми­ну­ту разо­гре­ва.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=18303               https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=5547

3. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см https://ege.sdamgia.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9dbp.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 4. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 4 дня. Всего за­яв­ле­но 45 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день 18 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

5. Ре­ши­те урав­не­ние   https://ege.sdamgia.ru/formula/31/311b37bb772ff0422bfce4fac988230ap.png. Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те боль­ший из кор­ней.

6. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 6, бо­ко­вая сто­ро­на, рав­ная 7, об­ра­зу­ет с одним из ос­но­ва­ний тра­пе­ции угол 150°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик https://ege.sdamgia.ru/formula/e2/e2c1ce798d292c465ee19f8924e3dcc9p.png— про­из­вод­ной функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png, опре­делённой на от­рез­ке (−11; 2). Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngпа­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней.                 https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=24008

8. В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния       https://ege.sdamgia.ru/formula/96/96a880b8840955bbc646ee3a0e34c827p.png      при https://ege.sdamgia.ru/formula/2a/2a3bacee5abb1225ed6131685c6cd75bp.png.

10. Для сма­ты­ва­ния ка­бе­ля на за­во­де ис­поль­зу­ют лебeдку, ко­то­рая рав­но­уско­рен­но на­ма­ты­ва­ет ка­бель на ка­туш­ку. Угол, на ко­то­рый по­во­ра­чи­ва­ет­ся ка­туш­ка, из­ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну https://ege.sdamgia.ru/formula/11/1159331caa7ac0d3ffdfdd62e7d42fd7p.png, где t — время в ми­ну­тах, https://ege.sdamgia.ru/formula/60/60d65efc73fc6f8f4f64dcd895c3dcf4p.pngмин — на­чаль­ная уг­ло­вая ско­рость вра­ще­ния ка­туш­ки, а https://ege.sdamgia.ru/formula/7d/7dd58842b23d25006812f5469b09bcd7p.pngмин2 — уг­ло­вое уско­ре­ние, с ко­то­рым на­ма­ты­ва­ет­ся ка­бель. Ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить ход его на­мот­ки не позже того мо­мен­та, когда угол на­мот­ки https://ege.sdamgia.ru/formula/87/87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6fp.pngдо­стиг­нет https://ege.sdamgia.ru/formula/05/0503cfb5136533577fc2defcc3ade588p.png. Опре­де­ли­те время после на­ча­ла ра­бо­ты лебeдки, не позже ко­то­ро­го ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить еe ра­бо­ту. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

11. Цена хо­ло­диль­ни­ка в ма­га­зи­не еже­год­но умень­ша­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов от преды­ду­щей цены. Опре­де­ли­те, на сколь­ко про­цен­тов каж­дый год умень­ша­лась цена хо­ло­диль­ни­ка, если, вы­став­лен­ный на про­да­жу за 20 900 руб­лей, через два года был про­дан за 16 929 руб­лей.

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/d6/d61188e9a32fdfacfe59b0e63aa15a89p.pngна от­рез­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d33dee1f2fff8addd2abb58d602dc205p.png.

13. Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/22/22125f1a2a5eba57d4c1da7430b5ef3dp.png

14. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны от­рез­ка BC1 до плос­ко­сти AB1D1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/0a/0aa5d78495242f5dc11def804d012f7ep.png

16. В тре­уголь­ни­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngиз­вест­ны сто­ро­ны: https://ege.sdamgia.ru/formula/9b/9ba93aabd00e0d17d7fc4a59aad6d42dp.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/76/76922c7fcc8f77fb13ce072dc884cf1cp.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/11/11e090cc5f7398ccfd0684cb242bc939p.png. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки https://ege.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.png, пе­ре­се­ка­ет пря­мые https://ege.sdamgia.ru/formula/5f/5fc810cf62601df84b7923b9964c53e6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.pngсо­от­вет­ствен­но в точ­ках https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587p.png, от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.pngка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png. Най­ди­те длину от­рез­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.png.

17. В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S тыс. руб­лей, где S — на­ту­раль­ное число, на 3 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

 Месяц и год

Июль 2016

Июль 2017

Июль 2018

Июль 2019

Долг
(в тыс. руб­лей)

S

0,7S

0,4S

0

 Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет со­став­лять целое число тысяч руб­лей.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/89/899218b9058a229783839e8c91bc7464p.pngимеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

19. Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {200; 201; 202; ...; 299} хо­ро­шим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2100} хо­ро­шим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

 

 

Диагностическая работа№2        Профильный уровень                           15.12.2016

ВАРИАНТ№8

1. В доме, в ко­то­ром живет Катя, 9 эта­жей и не­сколь­ко подъ­ез­дов. На каж­дом этаже на­хо­дит­ся по 4 квар­ти­ры. Катя живет в квар­ти­ре № 63. В каком подъ­ез­де живет Катя?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сим­фе­ро­по­ле за каж­дый месяц 1988 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 20 гра­ду­сов Цель­сия.

 https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=87       https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=5498

3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.svg1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

4. В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов про­ис­хо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,25. Такая же ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру во вто­ром ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе». Ве­ро­ят­ность того, что кофе к ве­че­ру за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,15. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ве­че­ру дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

5. Ре­ши­те урав­не­ние        https://ege.sdamgia.ru/formula/ad/ad44ec5d9b2cba48e3b7be63329089a7p.png

6. В тре­уголь­ни­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png угол https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.pngравен https://ege.sdamgia.ru/formula/9c/9c681101fc18cf752605e01408c57765p.png, https://ege.sdamgia.ru/formula/28/285ddae147957784857b5d666a0337e1p.png, https://ege.sdamgia.ru/formula/b9/b9c427ca2000816dea9c6b505b8a349dp.png3, https://ege.sdamgia.ru/formula/1e/1ee0bf89c5d1032317d13a2e022793c8p.png — вы­со­та. Най­ди­те https://ege.sdamgia.ru/formula/1b/1baa5a77aeff33338948c1e0c4466462p.png. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=20489                    https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=684

7. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну    https://ege.sdamgia.ru/formula/85/85d6fcb98831d269107002f9a2d8185ap.pngгде х — рас­сто­я­ние от точки отсчёта (в мет­рах), t — время дви­же­ния (в се­кун­дах). Най­ди­те её ско­рость (в мет­рах в се­кун­ду) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с.

8. На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми https://ege.sdamgia.ru/formula/a0/a05b716cef7f0761f7afde252bb798e4p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/d0/d084da84b036809368df16e41cc66cf6p.png.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния         https://ege.sdamgia.ru/formula/d9/d96ea600906ae9edb1539d0823e23997p.png.

10. Для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра экс­пе­ри­мен­таль­но была по­лу­че­на за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в кель­ви­нах) от вре­ме­ни ра­бо­ты: T(t) = T0 + bt + at2 , где t — время в ми­ну­тах, T0 = 1380 К, а = −15 К/мин2, b= 165 К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1800 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чить. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чить при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

11. Пер­вые 120 км ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 90 км/ч, сле­ду­ю­щие 100 км — со ско­ро­стью 100 км/ч, а затем 110 км — со ско­ро­стью 110 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции    https://ege.sdamgia.ru/formula/4d/4d6bf28d858d0d7e6b1fb0a06ddc0014p.png     на от­рез­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/60/6015149c1ca24652fa9b2b136a372c35p.png

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние        https://ege.sdamgia.ru/formula/1f/1faedcb65d14f5232c91dfdb63f1343ap.png.

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/07/0710e963f6abae91cd7f9375764e2cb0p.png.

14. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 сто­ро­на ос­но­ва­ния AB=6, а бо­ко­вое ребро https://ege.sdamgia.ru/formula/17/178f39ba66ceabb3c940a40f246772c9p.pngНа рёбрах AB, A1D1 и C1D1 от­ме­че­ны точки M, N и K со­от­вет­ствен­но, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNK с реб­ром BC. До­ка­жи­те, что MNKL — квад­рат.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MNK.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:      https://ege.sdamgia.ru/formula/91/91659b99ac597482acbdc692661ae7e6p.png

16. Окруж­ность ра­ди­у­са https://ege.sdamgia.ru/formula/12/122d7f0ee2f6b1bc4317d4050d2e2b92p.pngвпи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 6. Най­ди­те MN.

17. В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на пять лет в раз­ме­ре S тыс руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся рав­ным S тыс. руб­лей;

− вы­пла­ты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. руб­лей;

− к июлю 2021 долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму вы­плат за пять лет.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра https://ege.sdamgia.ru/formula/3d/3ded2184a3e467984dba5788f82cc430p.pngпри каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

 https://ege.sdamgia.ru/formula/99/997c872a66c69e5e28ee124d4be42d5bp.png          имеет ровно     https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dcp.png     ре­ше­ний.

19. Най­ди­те все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию https://ege.sdamgia.ru/formula/f9/f9564114446ad5231843364ce38fa0b6p.png

 

 

Ответы   ключи

Вариант№1                          Вариант№2            Вариант№3              Вариант№4

           1

13

1

18         

1

32,4

1

26

 2

200

2

3

2

29,4

2

2

3

21

3

6

3

8

3

4

4

0,16

4

0,275

4

0,4

4

0,2

5

-4

5

3,75

5

2

5

1

6

8

6

60

6

6

6

7

7

4

7

-18

7

6

7

8

8

0,3

8

24

8

9

8

4

9

-22

9

-2

9

-28

9

16

10

400

10

88

10

30

10

6

11

42

11

12

11

8

11

150

12

1,5

12

-4

12

-6

12

-10

 Вариант№5                         Вариант№6            Вариант№7              Вариант№8

            1

72

1

780000

1

31

1

2

 2

3

2

1,2

2

32

2

2

3

3

3

3

3

2,5

3

2,5

4

0;15

4

0,32

4

0,2

4

0,65

5

-42

5

6

5

-3

5

3

6

4

6

2

6

42

6

1,8

7

4

7

59

7

-7

7

72

8

16

8

7

8

4

8

11

9

15

9

20

9

144

9

25

10

0,072

10

3,5

10

20

10

4

11

4

11

35

11

10

11

99

12

295

12

-15

12

0

12

-13

 

 

Ответы вариант№1

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/a8/a8775d1cfa78abac3b4b2b0879e5e9ecp.png

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/7a/7adcacb0d2a8d8e4e70860bc15222e05p.png

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=12004

а) По фор­му­ле при­ве­де­ния и фор­му­ле ко­си­ну­са двой­но­го угла:

https://ege.sdamgia.ru/formula/90/90f87296d8212fb25804a209e5d02606p.png

Тогда https://ege.sdamgia.ru/formula/a7/a7a02ab965a7c1c8fea42a6118b2bccdp.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/b1/b1cce0179b26d1a6c4838ac88f9f41c6p.pngОт­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/c1/c1d294a75ccac84b5294e8bbf3b1236cp.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/93/9314b78ea85966d6fedc2aeef668037fp.png

б) С по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти отберём корни на от­рез­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/7a/7adcacb0d2a8d8e4e70860bc15222e05p.pngЭто числа https://ege.sdamgia.ru/formula/d4/d48152af82314cb3d5bf8719e0a7a531p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/1d/1dc535bd91961d7b2bcd997f72f8fc1ep.png(см. рис.).

Ответ:

а) https://ege.sdamgia.ru/formula/b5/b5a426af4d0764909d2860b68777737bp.png    б) https://ege.sdamgia.ru/formula/95/956059d613609139644936a68f944918p.png

14. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1, все рёбра ко­то­рой равны 1, най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AA1 и BC1.

Так как пря­мая https://ege.sdamgia.ru/formula/c6/c6c6640da93834f19fdbb51f64f132adp.pngпе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой https://ege.sdamgia.ru/formula/3e/3e885d8cc2b3a7fc96f4fedee82f3de2p.pngпа­рал­лель­ной пря­мой https://ege.sdamgia.ru/formula/49/49f3ee9283b111edad91e72f33f0c9b0p.pngи лежит в плос­ко­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/9f/9f2c2abc16423b6f7ebdeccf019e5c1ep.pngпа­рал­лель­ной https://ege.sdamgia.ru/formula/ac/acbebc79bdeae6f394cd16480558d5e7p.pngто рас­сто­я­ние между пря­мы­ми https://ege.sdamgia.ru/formula/49/49f3ee9283b111edad91e72f33f0c9b0p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/bb/bb0eae7613103277f5524aca43828b53p.pngравно рас­сто­я­нию от пря­мой https://ege.sdamgia.ru/formula/49/49f3ee9283b111edad91e72f33f0c9b0p.pngдо плос­ко­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/53/53031807e0ccaa006c83c7395ad28264p.png

 

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=1312

Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/63/631de3eab18d35e667a73157e91a8aa6p.png — вы­со­та тре­уголь­ни­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/c4/c421e976ebbd59d6cb94c35b8f59f4c8p.pngпер­пен­ди­ку­ляр­на грани https://ege.sdamgia.ru/formula/59/5991886766d8c31bce642ec206b9052ep.pngтак как пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым (https://ege.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png и https://ege.sdamgia.ru/formula/3e/3e885d8cc2b3a7fc96f4fedee82f3de2p.png), ле­жа­щим в плос­ко­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/53/53031807e0ccaa006c83c7395ad28264p.pngТаким об­ра­зом, ис­ко­мое рас­сто­я­ние — длина от­рез­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/37/372d6b61a58d204bdb53ea1694e057b6p.pngИз рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngна­хо­дим:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/c1/c1749e01b8182d4f37d098166d23e8adp.png.         Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/ae/aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbdep.png.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/07/07dc22ff94f2bbc0da3cacd7b7d1087ep.png

Ре­ше­ние.Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Сде­ла­ем за­ме­ну https://ege.sdamgia.ru/formula/2c/2cdac4c6344cae123b4c35c500a79170p.png.

 https://ege.sdamgia.ru/formula/32/327f9b86aefdff90483f0d220436f435p.png

Тогда https://ege.sdamgia.ru/formula/15/152d6dcf4f255cb850cec071b8197ea8p.png, от­ку­да на­хо­дим ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: https://ege.sdamgia.ru/formula/1a/1ae58d9d9f2a02974bc6339ccfdefb7ap.png

 Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/49/49f8219d04d3764aff75b878e5bc8e6bp.png

16. Внев­пи­сан­ной окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся одной сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и про­дол­же­ний двух дру­гих его сто­рон. Ра­ди­у­сы двух внев­пи­сан­ных окруж­но­стей пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 1 и 7. Най­ди­те рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми.

Ре­ше­ние.Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngс ка­те­та­ми https://ege.sdamgia.ru/formula/3f/3fcc83a3b88db97f3f11f802206abe30p.pngи ги­по­те­ну­зой https://ege.sdamgia.ru/formula/4e/4e7f9c9e1b8248e63759a3afdc8f8a72p.pngПусть окруж­ность с цен­тром https://ege.sdamgia.ru/formula/c0/c0c3547734214a0fa1361940cb6b0918p.pngра­ди­у­са https://ege.sdamgia.ru/formula/a1/a18e1e38de62b917d6932c0da501d9e9p.pngка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы в точке https://ege.sdamgia.ru/formula/c5/c5933572239739dc5232c0eda503d0ffp.pngпро­дол­же­ний ка­те­тов https://ege.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bcp.png− в точ­ках https://ege.sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/b9/b9e87a2ccf7871b6ae7f89d2b02565c0p.pngсо­от­вет­ствен­но, а https://ege.sdamgia.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47ap.png− по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61febp.pngИз ра­вен­ства от­рез­ков ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, сле­ду­ет, что https://ege.sdamgia.ru/formula/21/212a6bd7416232139d405197e6f86449p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/b7/b725480984e73df074216dd236af7ee3p.pngпо­это­му

  https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d3d647b280e8392f4cb6c90c36fe685ep.png

 https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=6839               https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=6838

а так как https://ege.sdamgia.ru/formula/87/87befdd4d33fef3a3b13388754eac70dp.png, то https://ege.sdamgia.ru/formula/6d/6dfa91d7bf6c3e0a72f090e13d823e60p.pngДалее, пусть окруж­ность с цен­тром https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d6deb5cd56787557efa7f281aa6aa5fp.pngра­ди­у­са https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a54b2f4f8830a23303cf6380e1f1efc2p.pngка­са­ет­ся ка­те­та https://ege.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.pngв точке https://ege.sdamgia.ru/formula/20/203b72e01aead089a31554ab7f19520ep.pngа про­дол­же­ний сто­рон https://ege.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bcp.png− в точка https://ege.sdamgia.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaap.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aeep.pngсо­от­вет­ствен­но. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем https://ege.sdamgia.ru/formula/0c/0c2ec800d4b58740cce032ae1c5a529bp.pngЧе­ты­рех­уголь­ни­киhttps://ege.sdamgia.ru/formula/5d/5daff0d0cbd9a0455724f271130f9fa1p.png и https://ege.sdamgia.ru/formula/67/67e5bc5ec855090d79f4530bc473479ep.png− квад­ра­ты, по­это­му

 https://ege.sdamgia.ru/formula/b6/b6d52f2f4095b42a18fb6495e54cc3f9p.png   зна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/30/3023b2cbdd17e704f87c0e97fa7dae33p.png

Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ги­по­те­ну­зы дан­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, не может быть равен 1.

Таким об­ра­зом, воз­мож­ны толь­ко такие слу­чаи: Либо ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ги­по­те­ну­зы, равен 7, а ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся од­но­го из ка­те­тов, равен 1, либо ра­ди­у­сы окруж­но­стей, ка­са­ю­щих­ся ка­те­тов, равны 1 и 7.

Пред­по­ло­жим, что https://ege.sdamgia.ru/formula/2e/2eaa699dd9ceb7d4840c4377c49b5d2ep.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/66/66f53cba4b202fb2dfa3c6bf4048e22ep.png(рис. 1).

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1654d1e344512718f3cb0c1367ff3d45p.pngиз цен­тра мень­шей окруж­но­сти на https://ege.sdamgia.ru/formula/2a/2a2674045060c13a6bb64f51b37ac259p.pngТогда

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/6e/6ebcfa661d1ce6c800d7bc34ebaeb921p.png

 https://ege.sdamgia.ru/formula/04/0424733413183669e5811b99f7ba0804p.png

 

Сле­до­ва­тель­но,             https://ege.sdamgia.ru/formula/03/034c612c7e10f4b875371791ecd87c8dp.png

 Пусть те­перь https://ege.sdamgia.ru/formula/db/db6bbdf1e13929d2956aada9b851d8d6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/6e/6e9e73a4c38a5cdc2c8512b19081f214p.png(рис 2)

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му точки https://ege.sdamgia.ru/formula/c8/c8baabe904163fab7b6bc1be13856226p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/d6/d6283e8b2879d609a8517e7b891f6c28p.pngлежат на оной пря­мой. Сле­до­ва­тель­но,

 https://ege.sdamgia.ru/formula/7a/7a01c3feda8bb52f9f5fb5952dbad7bdp.png

 Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d3d9446802a44259755d38e6d163e820p.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/10/100b83cd1586847758776d727f898867p.png

17. Из­вест­но, что вклад, на­хо­дя­щий­ся в банке с на­ча­ла года, воз­рас­та­ет к концу года на опре­де­лен­ный про­цент, свой для каж­до­го банка. В на­ча­ле года Сте­пан по­ло­жил 60% не­ко­то­рой суммы денег в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть суммы во вто­рой банк. К концу года сумма этих вкла­дов стала равна 590 000 руб., а к концу сле­ду­ю­ще­го года 701 000 руб. Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% своей суммы во вто­рой банк, а остав­шу­ю­ся часть в пер­вый, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вкла­дов стала бы рав­ной 610 000 руб. Ка­ко­ва была бы сумма вкла­дов в этом слу­чае к концу вто­ро­го года?

Ре­ше­ние.

Пусть у Сте­па­на было х тыс. руб., пер­вый банк дает а% го­до­вых, вто­рой — b% го­до­вых. Тогда в конце года сумма вкла­да в пер­вом банке уве­ли­чит­ся в https://ege.sdamgia.ru/formula/ff/ff49ab3f0d76a9f1fd464ed6224d6928p.pngраз, а во вто­ром банке в https://ege.sdamgia.ru/formula/6a/6a68c1181cc5569867e9e6fdab7c1815p.pngраз.

Сте­пан по­ло­жил в пер­вый и вто­рой банк 60% и 40% сво­е­го ка­пи­та­ла, по про­ше­ствии од­но­го года на сче­тах в бан­ках было https://ege.sdamgia.ru/formula/9f/9f3a1fe48a87bf7083b833ccb96633dep.pngтыс. руб. со­от­вет­ствен­но. Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 40% ка­пи­та­ла в пер­вый банк, а 60% ка­пи­та­ла во вто­рой банк, то через год на сче­тах было бы https://ege.sdamgia.ru/formula/6d/6d594d1f4c6262f1644c40230b94da32p.pngтыс. руб.

Решая си­сте­му урав­не­ний

https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/ef50d490dc1c4d33b5ab94ba4ecfab28p.png

от­но­си­тель­но xm и xn на­хо­дим: https://ege.sdamgia.ru/formula/38/3815e6fcb68997ff707d30429959efe8p.png

К концу вто­ро­го года сумма вкла­дов до­стиг­ла ве­ли­чи­ны

 https://ege.sdamgia.ru/formula/d1/d113c9cc5d864deb60b89356de5201a2p.png

По усло­вию, она равна 701 тыс. руб., от­ку­да имеем:       https://ege.sdamgia.ru/formula/6f/6fe694223fe778c718bb69ccf537433dp.png

 

Тогда https://ege.sdamgia.ru/formula/bc/bcaf81f12d1bb74fd05136e1750142f9p.pngа ис­ко­мая ве­ли­чи­на суммы вкла­да к концу вто­ро­го года при вло­же­нии 40% ка­пи­та­ла в пер­вый банк и 60% во вто­рой равна

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/31/316709ccc95bba67fe5181501d8567dfp.pngтыс. руб.

Ответ: 749 000 руб.

18. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых ре­ше­ния не­ра­вен­ства https://ege.sdamgia.ru/formula/62/62e279367008fb24d8bdf104862eccc8p.pngоб­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1.

Ре­ше­ние.

Пе­ре­не­сем двой­ку: https://ege.sdamgia.ru/formula/ca/ca2343c9ab235e436904ceebc955bd41p.png

По­стро­им схе­ма­тич­но гра­фи­ки функ­ций https://ege.sdamgia.ru/formula/39/39c912a697bfa5633c7af4868aab3cb3p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/ab/ab56c192bbada3e82369c29af162eddfp.png

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=17982

На ри­сун­ке видно, что не­ра­вен­ство имеет ре­ше­ния толь­ко при https://ege.sdamgia.ru/formula/1f/1ff664d5a33a39a84e04bba1ff375042p.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/40/401a29d91c79f7aee8216230fa52f059p.png

1) https://ege.sdamgia.ru/formula/89/893932ef9bd8be91bb12fb7e21254aa8p.png

Ре­ше­ния об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если https://ege.sdamgia.ru/formula/1c/1cf04e20293127f81b50f25db9546e9cp.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/62/622a095dc9edee90d21fc439afb1ab02p.png

2) https://ege.sdamgia.ru/formula/3a/3a9b75522c8c272a7fafd75b23c92616p.png

Ре­ше­ния об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если https://ege.sdamgia.ru/formula/9a/9ae05a6a1976bec7028e4d421fcfd78ap.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/5b/5b149106381bfb11bfc513f4ab80d031p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/b7/b7301a7a06d55c8d013ddac8cb4eb7a6p.png

19. На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 2970. В каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 16 за­ме­ни­ли на число 61).

а) При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 3 раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б) Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 5 раз мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в) Най­ди­те наи­мень­шее воз­можн­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­шиъ­ся чисел.

Ре­ше­ние.

Пусть ис­ход­ные числа равны https://ege.sdamgia.ru/formula/fa/fadf9856db796a853aadffccf24e5256p.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/f6/f6bf5af002c2192461a54c1083250d9bp.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/18/182c464239ca2468d596328faf98de69p.pngи пусть суммы цифр, сто­я­щих в раз­ря­де еди­ниц и де­сят­ков, со­от­вет­ствен­но https://ege.sdamgia.ru/formula/ff/fffaef29c895a207d254893c0c627413p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/93/93efd056e88d5084b65abf74bbf93477p.png

а) Решим си­сте­му урав­не­ний: 

https://ege.sdamgia.ru/formula/88/884ad0ecaaf3cde3cf424e725b765419p.png

При­ме­ром ис­ход­но­го на­бо­ра чисел может быть 70 дву­знач­ных чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся еди­ни­цей, сумма де­сят­ков ко­то­рых дает 290. На­при­мер, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё при­мер (его можно по­стро­ить, об­ра­тив вни­ма­ние, что сумма де­сят­ков при­мер­но в 4 раза боль­ше суммы еди­ниц): 32 раза число 92 и число 26.

б) Решим си­сте­му урав­не­ний: 

https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cff271f0f3b6f0905e97e72fce179731p.png

 

По­сколь­ку нулей в за­пи­си чисел нет, сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де еди­ниц, не мень­ше ко­ли­че­ства чисел. Тем самым, чисел не боль­ше 30. Но тогда сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де де­сят­ков, не может быть боль­ше 270. Про­ти­во­ре­чие.

Иначе: по­сколь­ку в за­пи­си нет нулей, а цифры в раз­ря­де де­сят­ков не пре­вы­ша­ют 9, спра­вед­ли­вы со­от­но­ше­ния: https://ege.sdamgia.ru/formula/9e/9e1e3148b9ffb3f6ca3aa876bc4722cdp.pngто есть https://ege.sdamgia.ru/formula/67/6737dd0288ef1ad5409087da5fcc09bap.pngчто про­ти­во­ре­чит по­лу­чен­ной си­сте­ме, в ко­то­рой https://ege.sdamgia.ru/formula/f2/f25e40b8afcc7f488a839242d8f84c51p.png

в) Тре­бу­ет­ся опре­де­лить, для ка­ко­го наи­мень­ше­го S имеет ре­ше­ния си­сте­ма урав­не­ний

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/07/07de0abdd8ee8bde4573edd1b8c32b6ap.png

 

Из по­лу­чен­ной си­сте­мы сле­ду­ет, что ве­ли­чи­на S крат­на 9 и 11 то есть крат­на 99. Тогда https://ege.sdamgia.ru/formula/e2/e28c02b5da19b9001b05cfce44602647p.pngТогда

https://ege.sdamgia.ru/formula/74/74a35aad0859ee0e4f282d8744f22373p.png

Наи­мень­ше­му зна­че­нию https://ege.sdamgia.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546ep.pngсо­от­вет­ству­ет наи­мень­шее зна­че­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/00/00884c5e389a26ffde2fb1e712dac2e2p.pngпри­чем из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы ясно, что https://ege.sdamgia.ru/formula/07/0750d84a98679606a910b05f598dc499p.pngУлуч­шим оцен­ку: за­ме­тим, что https://ege.sdamgia.ru/formula/06/06d0aceab0c3e9d3a63f2980091a5716p.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/2d/2dff51489458d7d50467d0b272852711p.pngтогда

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/fd/fdcd5ca1d9b773c763b4dc9afadb9580p.png

и, тем самым, https://ege.sdamgia.ru/formula/8c/8c71e67e91d6fd3129533a7734db5b04p.png

Если https://ege.sdamgia.ru/formula/2a/2a0379fe993f26736a24933d9c12558ap.pngто: https://ege.sdamgia.ru/formula/4f/4f8d8fff723b2170a4980e9bac0837b2p.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/10/1069e5b14ef0f9990aa9a83311685d2bp.pngза­дан­ным на­бо­ром чисел, на­при­мер, яв­ля­ют­ся 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в на­бо­ре равна https://ege.sdamgia.ru/formula/cd/cdc5ca06163715188677824461f9cc93p.png

 

Ответ: а) на­при­мер, 32 раза число 92 и число 26, б) нет, в) 693.

Вариант№2

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/07/07487e40905eb1890881b8fc1e9698b5p.png

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/d9/d97affd02569167a130b3ee4e69bf169p.png

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=23998

а) За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/38/38f91fafeb584e6863740ff3c5260a34p.png

 

Урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/d9/d98b50e104075557eba737d8df75ea43p.pngкор­ней не имеет. Зна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a995e146a86eee5e65bcd2ffde970716p.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/bf/bfeaf6c0fdfb4ec07cd03f5103a11d1ap.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/67/67c784dff24bd63558869ae626a1b5f1p.png

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/c0/c0c51fa1c4a78da26868418f6dde2307p.pngПо­лу­чим число https://ege.sdamgia.ru/formula/98/98cd372badea9460e808d252eb7cf160p.png

Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/63/63078f75fbbbc738a5433810e978c1edp.pngб) https://ege.sdamgia.ru/formula/98/98cd372badea9460e808d252eb7cf160p.png

14. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме KLMNK1L1M1N1 точка E делит бо­ко­вое ребро KK1 в от­но­ше­нии KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E про­ве­де­на плос­кость https://ege.sdamgia.ru/formula/2a/2a6ccaea07db0dd364bbe96c2ca411ecp.pngпа­рал­лель­ная пря­мой KM и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро NN1 в точке F.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.pngделит ребро NN1 по­по­лам.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.pngи плос­ко­стью грани KLMN, если из­вест­но, что KL = 6 , KK1 = 4 .

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=23203Пусть четырёхуголь­ник ELGF — се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью α (см. ри­су­нок). Пря­мая KM па­рал­лель­на плос­ко­сти α, а плос­кость KMG пе­ре­се­ка­ет плос­кость α по пря­мой EG, сле­до­ва­тель­но EG || KM и, зна­чит, KMGE — пря­мо­уголь­ник. Пря­мые NL и KM яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но про­ек­ци­я­ми пря­мых FL и EG на плос­кость KLM, зна­чит, точка пе­ре­се­че­ния пря­мых KM и NL (точка H) яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей точки пе­ре­се­че­ния пря­мых FL и EG (точки O) на эту плос­кость. Таким

об­ра­зом, https://ege.sdamgia.ru/formula/4c/4c4227b4e8c7d962f94c90d9e7a90e8fp.pngC дру­гой сто­ро­ны, от­ре­зок OH — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка FLN и, сле­до­ва­тель­но, https://ege.sdamgia.ru/formula/d6/d60ddefa00074ad39fa137c5d2dd7b66p.pngот­ку­да и сле­ду­ет до­ка­зы­ва­е­мое утвер­жде­ние.

б) Пусть точка D ― се­ре­ди­на от­рез­ка FN. Тогда EK = FD и EK || FD, сле­до­ва­тель­но, EKDF ― па­рал­ле­ло­грамм и, зна­чит, EF || KD. Так как и EG || KM , то (KDM) || (EFG) и, зна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/a0/a0709f6b248d6b8dd9a5554c210c2b37p.pngПо­сколь­ку KLMN ― квад­рат, то NH  KM, но тогда, со­глас­но тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, и DH  KM. Таким об­ра­зом, https://ege.sdamgia.ru/formula/02/02c36ff23b32e932c504e6c33644d3f8p.png― ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла https://ege.sdamgia.ru/formula/7f/7fa892003bad6d6e0da7677ac7e10201p.png. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка DNH на­хо­дим https://ege.sdamgia.ru/formula/63/6371e41287cc061dcc0b6479005e219ap.png

 

Ответ: б) https://ege.sdamgia.ru/formula/e4/e4984cd2e7ac9cb63ff0566de102e430p.png

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/59/599a8fef182e024da7da6d78d3dbc146p.png

Ре­ше­ние.

После за­ме­ны https://ege.sdamgia.ru/formula/63/63719988699d5887922edd8dbfa20b2bp.pngпо­лу­ча­ем https://ege.sdamgia.ru/formula/7f/7f5b7a40730c71b6d054d3069df24ef1p.pngЗна­чит,

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/52/5255f01adafb255b291edc1dd3718b89p.png     или     https://ege.sdamgia.ru/formula/88/88932d4f3e8f93008bd61c4e621a0c5fp.png

 

Решим первую си­сте­му не­ра­венств:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/6b/6b1ef94e83ed54f05e2c29399ba852ddp.png

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:https://ege.sdamgia.ru/formula/33/33f4e13dd2b8f0fb68d17451d1cd25f4p.png

 Решим вто­рую си­сте­му не­ра­венств: 

https://ege.sdamgia.ru/formula/9a/9a118fe146b4fcf8cb25c9c71ed98fe1p.png

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:https://ege.sdamgia.ru/formula/69/6938dec0a97e39406a47a2282b7465b2p.png

 Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство https://ege.sdamgia.ru/formula/a6/a62e192679b7666445e5b1d28acb6734p.png

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/a6/a62e192679b7666445e5b1d28acb6734p.png

16. Точка M лежит на от­рез­ке AB. На окруж­но­сти с диа­мет­ром AB взята точка C, уда­лен­ная от точек A, M и B на рас­сто­я­ния 20, 14 и 15 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMC.

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=2990                  https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=2991

Точка https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.pngлежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром https://ege.sdamgia.ru/formula/0e/0ece6084c14c4498d927715935731914p.pngпо­это­му https://ege.sdamgia.ru/formula/53/531bf13fa919f353ab385c07e6c41347p.pngПо тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 https://ege.sdamgia.ru/formula/3c/3cad9ea805395f2a52d2239e51f49634p.png

Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/41/4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605p.png— вы­со­та тре­уголь­ни­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61febp.pngТогда: https://ege.sdamgia.ru/formula/db/db3ffb9f88683fbda158ae859fea3b4ep.png.

https://ege.sdamgia.ru/formula/e4/e40b17191d8979ad4fc9e3abb3f22ac5p.png

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/e0/e0d7d4b215e2dd70cb30c616709e29cep.png

Если точка https://ege.sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.pngлежит между точ­ка­ми https://ege.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5p.png, то https://ege.sdamgia.ru/formula/9d/9d31aa47850b3971d02ba9d93c2e1dd0p.png

Сле­до­ва­тель­но,https://ege.sdamgia.ru/formula/e1/e1c87fc3f388dae2ad38ffc17929afeep.png

 

Если точка https://ege.sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.pngлежит между https://ege.sdamgia.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/e1/e14181e6d130ce861cf7b8fd3c47e695p.pngто https://ege.sdamgia.ru/formula/41/41ea8b858e6552e8287bbd0f2fb541c6p.pngСле­до­ва­тель­но,

https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b4ec92e0b0ea9bad8f9c794e90e2d74p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/7f/7f904d3ff6920e6d25b1b3565b2666c2p.png

17. В банк был по­ло­жен вклад под бан­ков­ский про­цент 10%. Через год хо­зя­ин вкла­да снял со счета 2000 руб­лей, а еще через год снова внес 2000 руб­лей. Од­на­ко, вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния вкла­да он по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы по­лу­чил в итоге вклад­чик?

За­да­ние 17 № 508585

Ре­ше­ние.

Пусть вклад­чик в банк пер­во­на­чаль­но по­ло­жил х руб. Тогда за 3 года хра­не­ния этих денег вклад вырос бы до 1,331 х р, т. е. до https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1633e0d50cb46d06dbe6db8b25c4cb74p.pngр.

За пер­вый год хра­не­ния вкла­да он вырос до 1,1 р. Од­на­ко, через год вклад­чик снял 2000 р. На счету оста­лось https://ege.sdamgia.ru/formula/d1/d14b95552404e788b9ef21e37581357ep.pngр. В конце вто­ро­го года хра­не­ния вкла­да на эту сумму были на­чис­ле­ны про­цен­ты, вклад стал https://ege.sdamgia.ru/formula/cb/cb6ab3199e8b1d74f5ad1d9bae16a216p.pngр. Од­на­ко, вклад­чик снова внес 2000 р. Сумма вкла­да стала https://ege.sdamgia.ru/formula/94/9437ea255cb7771a49621c4d3438c2cap.pngр.

К концу тре­тье­го года хра­не­ния вкла­да ее сумма стала

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/00/00fbd0efc5cf3713c4f843ad444ea4bdp.png

 

И эту сумму снял вклад­чик в итоге вме­сто пер­во­на­чаль­но за­пла­ни­ро­ван­ной https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1633e0d50cb46d06dbe6db8b25c4cb74p.pngр.

Най­дем ис­ко­мую раз­ность.

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/f2/f2c9994be38ac6ebbc1e183ab0d523b5p.png

 

Ответ: на 220 р.

18. Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма https://ege.sdamgia.ru/formula/26/2625707ade486a416d1c279eea5e5bd9p.pngимеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

За­да­ние 18 № 507190

Ре­ше­ние.

Если https://ege.sdamgia.ru/formula/18/1875901a60e57216ed47ab4356063ff8p.png, то урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/3c/3ca568620b9bfbcc693aa3d2f5a54563p.pngзадаёт окруж­ность https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e712e17cc42f55612c4062fc3ef8611p.png, с цен­тром в точке https://ege.sdamgia.ru/formula/08/087692374d912199aacb2ae9a6fb033cp.pngра­ди­у­са 2, а если https://ege.sdamgia.ru/formula/97/97fdf90850f660f05349f4ad145b62dcp.png, то оно задаёт окруж­ность https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cfe224394ba492cf3a2f3f99638241c2p.pngс цен­тром в точке https://ege.sdamgia.ru/formula/a4/a4639bdddac30027464f5ce82d925615p.pngтого же ра­ди­у­са (см. рис.).

 

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=17463

При по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра а урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/68/68c823989c067ccfff76ebca8c07c215p.pngза­да­ет окруж­ность https://ege.sdamgia.ru/formula/4d/4d1b7b74aba3cfabd624e898d86b4602p.pngс цен­тром в точке https://ege.sdamgia.ru/formula/63/6390e402f2ed91997a875ba2f6ad5511p.pngра­ди­у­са а. По­это­му за­да­ча со­сто­ит в том, чтобы найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых окруж­ность https://ege.sdamgia.ru/formula/4d/4d1b7b74aba3cfabd624e898d86b4602p.pngимеет един­ствен­ную общую точку с объ­еди­не­ни­ем окруж­но­стей https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e712e17cc42f55612c4062fc3ef8611p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cfe224394ba492cf3a2f3f99638241c2p.png.

 

Из точки С про­ведём луч https://ege.sdamgia.ru/formula/6d/6de5244803c3cdf4bb0a65c2e0af9e1fp.pngи обо­зна­чим https://ege.sdamgia.ru/formula/ab/ab60523bf7770ce5470b4f37c8df5f24p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/84/8444c3c0d7ccbef154cdf70a1d1e5eeap.pngточки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e712e17cc42f55612c4062fc3ef8611p.png, где https://ege.sdamgia.ru/formula/ab/ab60523bf7770ce5470b4f37c8df5f24p.pngлежит между С и https://ege.sdamgia.ru/formula/24/2476e4fa82792c21d45892e9b7b8caedp.png.

Так как https://ege.sdamgia.ru/formula/63/63a3f2fb274b2094bb56eb36b72dda88p.png, то  https://ege.sdamgia.ru/formula/df/dfddb0c807cad6bcd339751bcf29ff66p.png, https://ege.sdamgia.ru/formula/34/34354f00512f032d6209533635e78402p.png.

 

При https://ege.sdamgia.ru/formula/1c/1c26bc175a68e127850b17e455129eadp.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/4b/4bd853ca4ec7ddeaa31526d0f94601bdp.pngокруж­но­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e712e17cc42f55612c4062fc3ef8611p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/efe3f64121ec0732c6299e61470569a6p.pngне пе­ре­се­ка­ют­ся. При https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d3c9948400348550a83315bdb85362c7p.pngокруж­но­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e712e17cc42f55612c4062fc3ef8611p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/efe3f64121ec0732c6299e61470569a6p.pngимеют две общие точки. При https://ege.sdamgia.ru/formula/46/4659c50911ad9b04696cc5d1e280074fp.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/5e/5e580f2ede4e9adce94ccb24d514fa39p.pngокруж­но­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e712e17cc42f55612c4062fc3ef8611p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/efe3f64121ec0732c6299e61470569a6p.pngка­са­ют­ся.

Из точки С про­ведём луч https://ege.sdamgia.ru/formula/b5/b58c3655fde7a686b94d9db6fc13920fp.pngи обо­зна­чим https://ege.sdamgia.ru/formula/b6/b6c5b262d5617e05f571afd9d1fe513fp.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/a0/a05b716cef7f0761f7afde252bb798e4p.pngточки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cfe224394ba492cf3a2f3f99638241c2p.png, где https://ege.sdamgia.ru/formula/b6/b6c5b262d5617e05f571afd9d1fe513fp.pngлежит между С и https://ege.sdamgia.ru/formula/5c/5cecf623727e4a59a4cb53d5887736e2p.png.

 Так как https://ege.sdamgia.ru/formula/b8/b8c71603ebd5057a01eab90dca33a251p.png, то    https://ege.sdamgia.ru/formula/b1/b169a758565cdffa20ddee5adb5473b2p.png, https://ege.sdamgia.ru/formula/59/59ddd17c3b90f94b2dc64098432174c3p.png.

При https://ege.sdamgia.ru/formula/ea/eaf4009d15fe91dca29b86daf996bcb6p.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/5e/5e1c645d224ef4ad5575fb8d18dea937p.pngокруж­но­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/efe3f64121ec0732c6299e61470569a6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cfe224394ba492cf3a2f3f99638241c2p.pngне пе­ре­се­ка­ют­ся. При https://ege.sdamgia.ru/formula/b1/b1220cef8ef9d137a30fadfaf4f5811bp.pngокруж­но­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/efe3f64121ec0732c6299e61470569a6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cfe224394ba492cf3a2f3f99638241c2p.pngимеют две общие точки. При https://ege.sdamgia.ru/formula/18/18241f25541687aa9a9e30d652c2c632p.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/58/58955fa7c0122c3aaf9a91a7ad80c24ap.pngокруж­но­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/efe3f64121ec0732c6299e61470569a6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cfe224394ba492cf3a2f3f99638241c2p.pngка­са­ют­ся.

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность https://ege.sdamgia.ru/formula/4d/4d1b7b74aba3cfabd624e898d86b4602p.pngка­са­ет­ся ровно одной из двух окруж­но­стей https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e712e17cc42f55612c4062fc3ef8611p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cfe224394ba492cf3a2f3f99638241c2p.png, и не пе­ре­се­ка­ет­ся с дру­гой. Так как https://ege.sdamgia.ru/formula/0a/0a5299e276d98ef6d0f0ad0ebf8209fdp.png, то усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют толь­ко числа https://ege.sdamgia.ru/formula/91/91f7e354530bbea8daba590ce0f3550ap.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/8a/8aae021b79bbc7399ae1f75d2a1b8c25p.png.

 Ответ: 11; https://ege.sdamgia.ru/formula/da/da2dc4852c82e0083acf03ad23db824dp.png.

19. В игре «Дро­ти­ки» есть 20 на­руж­ных сек­то­ров, про­ну­ме­ро­ван­ных от 1 до 20 и два цен­траль­ных сек­то­ра. При по­па­да­нии в на­руж­ный сек­тор игрок по­лу­ча­ет ко­ли­че­ство очков, сов­па­да­ю­щее с но­ме­ром сек­то­ра, а за по­па­да­ние в цен­траль­ные сек­то­ра он по­лу­ча­ет 25 или 50 очков со­от­вет­ствен­но. В каж­дом из на­руж­ных сек­то­ров есть об­ла­сти удво­е­ния и утро­е­ния, ко­то­рые, со­от­вет­ствен­но, удва­и­ва­ют или утра­и­ва­ют но­ми­нал сек­то­ра. Так, на­при­мер, по­па­да­ние в сек­тор 10 (не в зоны удво­е­ния и утро­е­ния) дает 10 очков, в зону удво­е­ния сек­то­ра ― 20 очков, в зону утро­е­ния ― 30 очков.

а) Может ли игрок тремя брос­ка­ми на­брать ровно 167 очков?

б) Может ли игрок ше­стью брос­ка­ми на­брать ровно 356 очков?

в) С по­мо­щью ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства брос­ков, игрок может на­брать ровно 1001 очко?

За­да­ние 19 № 509048

Ре­ше­ние.

а) Да, на­при­мер, при по­па­да­нии в утро­е­ние сек­то­ра 20, утро­е­ние сек­то­ра 19 и цен­траль­ный сек­тор 50 по­лу­ча­ем: 60 + 57 + 50 = 167.

б) Наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое может на­брать игрок одним брос­ком ― 60 (утро­е­ние 20), далее идут: 57 очков (утро­е­ние 19) и 54 очка (утро­е­ние 18). По­па­да­ние во все осталь­ные сек­то­ра и зоны дает мень­ше 54 очков. Если все шесть брос­ков были по 60 очков, то игрок на­брал 360 очков, что боль­ше 356. Если хотя бы один бро­сок на 60 очков за­ме­нить брос­ком на 54 очка или мень­ше, то сумма умень­шит­ся как ми­ни­мум на 6, а, зна­чит, ста­нет не боль­ше 354 очков, что мень­ше 356 очков. Сле­до­ва­тель­но, бро­сок на 60 очков можно за­ме­нять толь­ко брос­ком на 57 очков. Но одна такая за­ме­на дает ито­го­вый ре­зуль­тат 357 очков, а хотя бы две за­ме­ны ― не более 354 очков. Зна­чит, 356 очков ше­стью брос­ка­ми на­брать не­воз­мож­но.

в) Как было по­ка­за­но в пунк­те б) каж­дый бро­сок при­но­сит иг­ро­ку не более 60 очков. Зна­чит, за 16 брос­ков он на­бе­рет не более 960 очков, а тогда для того, чтобы на­брать 1001 очко по­на­до­бит­ся не менее 17 брос­ков.

По­ка­жем, что игрок может на­брать 1001 очко за 17 брос­ков. Пред­по­ло­жим, что он сде­лал 15 брос­ков на 60 очков (итого 900), один бро­сок в зону утро­е­ния сек­то­ра 17 (51 очко) и один бро­сок в цен­траль­ный сек­тор 50 очков. Тогда в сумме он на­бе­рет 900 + 51 + 50 = 1001 очко.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) за 17 брос­ков.

Вариант№3

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/60/60fa76e5e6ad0e9af209b3d2ba346cc1p.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/74/74d985298a443fcf6cdcfdbfb71fc5e4p.png

За­да­ние 13 № 514526

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=24127а) Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/5e/5ef6aaf5ac1579e23863fc4c0a41ebc4p.pngтогда ис­ход­ное урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде https://ege.sdamgia.ru/formula/ac/ac2e490f0bff3ddf6979dd2c1b49444cp.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/b2/b277b7438901594b437aaaca333e415bp.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/83/83e1219d347f5a95684857ebb96a0c8bp.png

При https://ege.sdamgia.ru/formula/b2/b277b7438901594b437aaaca333e415bp.pngпо­лу­чим: https://ege.sdamgia.ru/formula/af/af851fe6ed6dfc55752df62197fad7cep.pngзна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/90/90fed13789c3c78a40ec106b69d6068fp.pngчто не­воз­мож­но.

При https://ege.sdamgia.ru/formula/51/519d077ead1c9e3f0b9a4f26d4c91ae5p.pngпо­лу­чим: https://ege.sdamgia.ru/formula/d4/d404556ef448027fc0f9c23a0a04a718p.pngзна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/12/1289df6e705bf1d9e821f83b3e47a3c5p.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/1e/1ead1b621ae7f770086dee02a7a13014p.png

б) C по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/74/74d985298a443fcf6cdcfdbfb71fc5e4p.png

По­лу­чим число: https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d2cd797c5d988cf3304894b35840e7d2p.png

Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/68/68998cb540fedff2276133ef0aa36dcap.pngб) https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d2cd797c5d988cf3304894b35840e7d2p.png

14. Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SBCD с вер­ши­ной S равны 9.

Ос­но­ва­ние O вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS1, M — се­ре­ди­на ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SBCD плос­ко­стью S1LM — рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б) Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой тра­пе­ции.

За­да­ние 14 № 512357

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=21455Про­ведём ме­ди­а­ну S1M тре­уголь­ни­ка SS1B, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну BB1 ос­но­ва­ния BCD в точке T. Тогда ВТ : ТВ1 = 4 : 5, по­сколь­ку BB1 также яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка SS1B.

Точка L, в свою оче­редь, делит от­ре­зок B1D в от­но­ше­нии DL : 1 = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7 и от­ре­зок BB1 — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка BCD.

Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точки L и T, па­рал­лель­на сто­ро­не BD ос­но­ва­ния BCD. Пусть пря­мая LT пе­ре­се­ка­ет BC в точке P.

Про­ведём через точку M сред­нюю линию в тре­уголь­ни­ке SBD, пусть она пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну SD в точке K. Тогда PMKL — ис­ко­мое се­че­ние, причём BP = DL и BM = KD. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков BMP и DKL по­лу­чим MP = KL, а зна­чит, PMKL — рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б) Боль­шее ос­но­ва­ние PL тра­пе­ции равно 7, по­сколь­ку тре­уголь­ник LPC пра­виль­ный. Вто­рое ос­но­ва­ние MK равно 4,5, по­сколь­ку MK — сред­няя линия пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка SBD. Сле­до­ва­тель­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна https://ege.sdamgia.ru/formula/64/643c4d3975d66189d1a294bcc2158735p.png

 

Ответ: 5,75.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/21/21c634a74a65f21b7013ba2295d3e5c6p.png

За­да­ние 15 № 511554

Ре­ше­ние.

Имеем:

https://ege.sdamgia.ru/formula/79/7917f29bd0741345d882b36b3946dc86p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a9fdc9612a7390232acafe4ece8ecce6p.png

16. В тре­уголь­ни­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngиз­вест­ны сто­ро­ны: https://ege.sdamgia.ru/formula/d6/d6091227299a38e345266af06a4e9bf6p.pngОкруж­ность, про­хо­дя­щая через точки https://ege.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/b8/b89e5a133abfb103cd888ed2cad06dc5p.pngпе­ре­се­ка­ет пря­мые https://ege.sdamgia.ru/formula/5f/5fc810cf62601df84b7923b9964c53e6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.pngсо­от­вет­ствен­но в точ­ках https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/df/dfcc92637e9462725e6a9502ae267b78p.pngот­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.pngка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61febp.pngНай­ди­те длину от­рез­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/45/45c91fd18f42506b20013996891fe6c6p.png

За­да­ние 16 № 501069

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=7046Обе точки https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587p.pngне могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.pngне может ка­сать­ся внев­пи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ке.

Пусть обе точки https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587p.pngлежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка (рис. 1).

Четырёхуголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/36/36a6b2fd4197167df7cda9daed233e2bp.png— впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но, https://ege.sdamgia.ru/formula/3b/3b7f61f1234efd1a8b4bce25baa70260p.png

Зна­чит, тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngпо­до­бен тре­уголь­ни­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/e8/e85f7bc210cf51d1aabea49f71121467p.pngтак как угол https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png— общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен https://ege.sdamgia.ru/formula/9a/9a2e3983721474f18eaedbc0594dfa18p.pngтогда https://ege.sdamgia.ru/formula/fc/fc3360681e9f21f6d68759665fe425b1p.png

Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/36/36a6b2fd4197167df7cda9daed233e2bp.pngравны:

https://ege.sdamgia.ru/formula/78/78c250e74b29c1c83a73046124e87b99p.pnghttps://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=7047

Под­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим https://ege.sdamgia.ru/formula/e0/e0d6764c2f24673ed55be5a95fb403d2p.pngСле­до­ва­тель­но, https://ege.sdamgia.ru/formula/99/99e1e9b3f057250c4a45469de4743c35p.png

Пусть точка https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngлежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны https://ege.sdamgia.ru/formula/0c/0c6ed112a9eb109891082295b6e83622p.png(рис. 2) Углы https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/ef7f95debd782bfb71ed799a2395b2f6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/5b/5bec55d452dbea99476cd51a1c821b8ap.pngравны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngпо­до­бен тре­уголь­ни­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/e8/e85f7bc210cf51d1aabea49f71121467p.pngтак как угол https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png— общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 1, то есть тре­уголь­ни­ки https://ege.sdamgia.ru/formula/27/275afbf40342c6617de8827f232f9955p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngравны, по­это­му https://ege.sdamgia.ru/formula/e4/e464624507ee38449fd488a68b5f1918p.pngЗа­ме­тим, что https://ege.sdamgia.ru/formula/07/07dbe5e58f49c0d9f0c0cbb86ebf8bbfp.pngи точка https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngдей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны https://ege.sdamgia.ru/formula/0c/0c6ed112a9eb109891082295b6e83622p.png

Если точка https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587p.pngлежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны https://ege.sdamgia.ru/formula/13/1386a33c8084d2507f95822d41bc77e1p.pngто https://ege.sdamgia.ru/formula/af/af4ddee8cc17d4fe04679181def68f80p.pngно ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю по­лу­ча­ем https://ege.sdamgia.ru/formula/d1/d1530b70ab8f04fa666a26195817e818p.pngЗна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/60/6094a0d9bed26c05730740cac71d0e62p.png

17. В банк был по­ло­жен вклад под бан­ков­ский про­цент 10%. Через год хо­зя­ин вкла­да снял со счета 2000 руб­лей, а еще через год снова внес 2000 руб­лей. Од­на­ко, вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния вкла­да он по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы по­лу­чил в итоге вклад­чик?

За­да­ние 17 № 508585

Ре­ше­ние.

Пусть вклад­чик в банк пер­во­на­чаль­но по­ло­жил х руб. Тогда за 3 года хра­не­ния этих денег вклад вырос бы до 1,331 х р, т. е. до https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1633e0d50cb46d06dbe6db8b25c4cb74p.pngр.

За пер­вый год хра­не­ния вкла­да он вырос до 1,1 р. Од­на­ко, через год вклад­чик снял 2000 р. На счету оста­лось https://ege.sdamgia.ru/formula/d1/d14b95552404e788b9ef21e37581357ep.pngр. В конце вто­ро­го года хра­не­ния вкла­да на эту сумму были на­чис­ле­ны про­цен­ты, вклад стал https://ege.sdamgia.ru/formula/cb/cb6ab3199e8b1d74f5ad1d9bae16a216p.pngр. Од­на­ко, вклад­чик снова внес 2000 р. Сумма вкла­да стала https://ege.sdamgia.ru/formula/94/9437ea255cb7771a49621c4d3438c2cap.pngр.

К концу тре­тье­го года хра­не­ния вкла­да ее сумма стала

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/00/00fbd0efc5cf3713c4f843ad444ea4bdp.png

 

И эту сумму снял вклад­чик в итоге вме­сто пер­во­на­чаль­но за­пла­ни­ро­ван­ной https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1633e0d50cb46d06dbe6db8b25c4cb74p.pngр.

Най­дем ис­ко­мую раз­ность.

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/f2/f2c9994be38ac6ebbc1e183ab0d523b5p.png

 

Ответ: на 220 р.

18. При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра https://ege.sdamgia.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661p.pngси­сте­ма https://ege.sdamgia.ru/formula/2b/2b4a1f9dfe776bc4e67b2c933a4216aep.pngимеет ре­ше­ния?

За­да­ние 18 № 511307

Ре­ше­ние.

Пе­ре­пи­шем ис­ход­ную си­сте­му в виде

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/36/361dc7f084920a716f87bd8fb0f1c08ep.png

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ния, тогда и толь­ко тогда, когда от­но­си­тель­но https://ege.sdamgia.ru/formula/41/415290769594460e2e485922904f345dp.pngимеет ре­ше­ния си­сте­ма:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/3c/3c8ecf37786b7c09c6bdc35adbe29170p.png

Решая пер­вое урав­не­ние этой си­сте­мы, на­хо­дим, что https://ege.sdamgia.ru/formula/c5/c50cf4506f755b5a1441a32c42d33d9cp.png

Тре­бо­ва­ние за­да­чи будет вы­пол­не­но, если по­след­няя сме­шан­ная си­сте­ма имеет хотя бы одно ре­ше­ние. Ис­ко­мые зна­че­ния https://ege.sdamgia.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661p.pngна­хо­дят­ся из со­во­куп­но­сти не­ра­венств

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/01/01b1234f7ece151d0a4e1b083545a033p.png

решая ко­то­рое, по­лу­ча­ем https://ege.sdamgia.ru/formula/92/92d876f1524e7e0e414c07c9aea197bcp.png

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/d6/d66611a2d391348bc19a91782cfb8834p.png.

19. По­след­ние члены двух ко­неч­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий a1 = 5, a2 = 8, ..., aN и b1 = 9, b2 = 14, ..., bM сов­па­да­ют, а сумма всех сов­па­да­ю­щих (взя­тых по од­но­му разу) чле­нов этих про­грес­сий равна 815. Най­ди­те число чле­нов в каж­дой про­грес­сии.

За­да­ние 19 № 507808

Ре­ше­ние.

Ясно, что

https://ege.sdamgia.ru/formula/49/49644a9751db78db63c62f5a2776cc85p.png

 

Общие члены про­грес­сий удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/31/3180a75b87118c66a34da930e1736740p.png

 

Левая часть по­след­не­го урав­не­ния де­лит­ся на 3, по­это­му https://ege.sdamgia.ru/formula/a3/a3a5f7d2ab0a7be49d9544b8b522b3c3p.pngто есть https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0dc833a2f1f2661a7ff626ae7b494d64p.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/85/850feafa2cf6947db19fbad8e4d47fd9p.pngгде https://ege.sdamgia.ru/formula/03/03342de31eab8b4d8508c1fbcfd380d4p.pngНайдём https://ege.sdamgia.ru/formula/ca/ca0b0549db85f718a48e0505ac9273a2p.pngОбщие члены двух про­грес­сий сами об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном рав­ным 14, а по­след­ним — рав­ным https://ege.sdamgia.ru/formula/ce/ceb64a7e96193fb952718b885026a261p.pngЗна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/ed/ed50ba7fb05e90f6828b73022c5a1effp.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/bf/bffaee0c01707245be5580956eda54f6p.pngПо­это­му https://ege.sdamgia.ru/formula/0a/0ac7cb5b2a33259711371f5f30ebf76bp.png

 

Ответ: 49 и 29.

ВАРИАНТ№4

11. Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 60 км/ч, про­ез­жа­ет мимо при­до­рож­но­го стол­ба за 9 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

За­да­ние 11 № 116387

Ре­ше­ние.

Ско­рость по­ез­да равна

https://ege.sdamgia.ru/formula/fc/fc36f8a08ddc295171e34c7d9bd9668ap.png м/с.

За 9 се­кунд поезд про­хо­дит мимо при­до­рож­но­го стол­ба рас­сто­я­ние рав­ное своей длине:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/19/19b6eda3e5a8aca2f59a1113adc4a22bp.pngмет­ров.

Ответ: 150.

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/a3/a3febbb99dea0d6622657e721d70f290p.png.

За­да­ние 12 № 124817

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

https://ege.sdamgia.ru/formula/ad/ad1238dfb33c50b2fdd3bf594f624e6ep.png

Най­дем нули про­из­вод­ной:

https://ege.sdamgia.ru/formula/f1/f15bdf68d13d752821bfb0f5c01203f8p.png

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=20210

 

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма https://ege.sdamgia.ru/formula/bf/bfc284860290e8581952b2c9854ced9ep.png.

 

Ответ: −10.

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d990c5a76002e15394f4328a4f52688p.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/f6/f6611fa6cb1cbf10e8776ed9091b6ab2p.png

За­да­ние 13 № 513365

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=23029

а) Имеем

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/c6/c6fa9be814f80ae0a5c380beea1c2e9ep.png

 

от­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/e1/e196d44e7d4ed24fbd256250fd38d674p.png

б) Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/11/11cf7bb3f0b50c14c3075d81dbd22187p.pngотберём с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти. По­лу­чим https://ege.sdamgia.ru/formula/8f/8f3dc8b63ec1f5c6428ea421e775e79cp.png

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=22576

Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/29/295cbfb4811fdcc1e52099fd3344521dp.pngб) https://ege.sdamgia.ru/formula/8f/8f3dc8b63ec1f5c6428ea421e775e79cp.png

14. В кубе ABCDA1B1C1D1 все реб­ра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой AD1

За­да­ние 14 № 507651

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=18046

Про­ве­дем от­рез­ки CD1 и AC. Ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно длине пер­пен­ди­ку­ля­ра CH, про­ве­ден­но­го к пря­мой AD1. Этот пер­пен­ди­ку­ляр яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ACD1 со сто­ро­ной https://ege.sdamgia.ru/formula/59/59e6ed269715680d8e7a3d3fe05b94d5p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/a7/a7e4c9cdb6fbaaf2e6c06cdc1ad49c01p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5a7b8b85561af9f407cdd6a288885dcp.png

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/ba/ba2dff8a4a4539a0f804e49264767378p.png

За­да­ние 15 № 511566

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/3a/3a86ce4631ed8ce76ba54e99b9e9c31ep.png

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=23565

https://ege.sdamgia.ru/formula/5b/5b3ab886c6090344144fc5bff68ccb2bp.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/c2/c2c2bff84684b6d8f28b5946214142d0p.png

16. Точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD . Из вер­ши­ны A про­ве­де­ны два луча, ко­то­рые раз­би­ва­ют от­ре­зок BM на три рав­ные части.

а) До­ка­жи­те, что один из лучей со­дер­жит диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го двумя про­ведёнными лу­ча­ми и пря­мы­ми BD и BC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 120.

За­да­ние 16 № 511389

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=13918а) Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния лучей с от­рез­ком BM — бук­ва­ми P и R (см. ри­су­нок), и пусть O — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма, а N — точка пе­ре­се­че­ния луча AP и пря­мой BC.

Точка R делит ме­ди­а­ну BM тре­уголь­ни­ка ABD в от­но­ше­нии 2 :1 счи­тая от B. Сле­до­ва­тель­но, R лежит на ме­ди­а­не AO этого тре­уголь­ни­ка, то есть луч AR со­дер­жит диа­го­наль AC .

 

б) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния AN и BD. Нужно найти пло­щадь четырёхуголь­ни­ка LNCO. Пусть пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна S . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOC равна https://ege.sdamgia.ru/formula/35/35d99c40bb20456984a114870365a935p.pngНайдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNL . Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BPN и MPA сле­ду­ет, что

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/98/989ca6a3e3f703165b07252d09622ca4p.png

от­ку­да

https://ege.sdamgia.ru/formula/3e/3e735cde4488861bbe5f6991fb1a677ep.png

 

Те­перь из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BNL и DAL сле­ду­ет, что их со­от­вет­ству­ю­щие вы­со­ты от­но­сят­ся как 1:4 , а по­это­му вы­со­та тре­уголь­ни­ка BNL, про­ведённая к BN, со­став­ля­ет https://ege.sdamgia.ru/formula/22/22417f146ced89939510e270d4201b28p.pngвы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к сто­ро­не BC.

По­это­му

https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a9610e1fdd74a011be591080d7d39413p.png

 

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь четырёхуголь­ни­ка LNCO равна

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/68/68c7d144568a533b6e191785b462cba8p.png

 

Ответ: 27.

17. В банк был по­ло­жен вклад под бан­ков­ский про­цент 10%. Через год хо­зя­ин вкла­да снял со счета 2000 руб­лей, а еще через год снова внес 2000 руб­лей. Од­на­ко, вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния вкла­да он по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы по­лу­чил в итоге вклад­чик?

Ре­ше­ние.

Пусть вклад­чик в банк пер­во­на­чаль­но по­ло­жил х руб. Тогда за 3 года хра­не­ния этих денег вклад вырос бы до 1,331 х р, т. е. до https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1633e0d50cb46d06dbe6db8b25c4cb74p.pngр.

За пер­вый год хра­не­ния вкла­да он вырос до 1,1 р. Од­на­ко, через год вклад­чик снял 2000 р. На счету оста­лось https://ege.sdamgia.ru/formula/d1/d14b95552404e788b9ef21e37581357ep.pngр. В конце вто­ро­го года хра­не­ния вкла­да на эту сумму были на­чис­ле­ны про­цен­ты, вклад стал https://ege.sdamgia.ru/formula/cb/cb6ab3199e8b1d74f5ad1d9bae16a216p.pngр. Од­на­ко, вклад­чик снова внес 2000 р. Сумма вкла­да стала https://ege.sdamgia.ru/formula/94/9437ea255cb7771a49621c4d3438c2cap.pngр.

К концу тре­тье­го года хра­не­ния вкла­да ее сумма стала

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/00/00fbd0efc5cf3713c4f843ad444ea4bdp.png

 

И эту сумму снял вклад­чик в итоге вме­сто пер­во­на­чаль­но за­пла­ни­ро­ван­ной https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1633e0d50cb46d06dbe6db8b25c4cb74p.pngр.

Най­дем ис­ко­мую раз­ность.

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/f2/f2c9994be38ac6ebbc1e183ab0d523b5p.png

 

Ответ: на 220 р.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/71/71f25cc30574880f6bd967641457a3fep.png

 

имеет хотя бы один ко­рень.

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=25350

За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде https://ege.sdamgia.ru/formula/c5/c56f109c9ca1374a718bfcb7a6d86691p.png

Пусть t = cosx, тогда ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, если урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/1f/1f991579f571a2be4ccefbca9ff5cf66p.pngимеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1]. Гра­фи­ком функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/6e/6e9bd1824152e2335515f7e1e13379c4p.pngяв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, https://ege.sdamgia.ru/formula/83/83889118e59730310451d75b9669b23ep.png

сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/c8/c8d0d2ff41ad17014c8b26df69a92949p.pngимеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1], либо при усло­вии https://ege.sdamgia.ru/formula/5c/5c89dc8f03dc3f26ee196ae925c68443p.png(рис. 1) https://ege.sdamgia.ru/formula/9b/9bf616cef522bf8b1e9cd236993f3a44p.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/92/92e97c69216230082c05fc3456da9966p.pngлибо при усло­вии https://ege.sdamgia.ru/formula/6d/6ded53baccd97682ef02983c72103c3bp.png(рис. 2) https://ege.sdamgia.ru/formula/1b/1b743c922bed1fcdcb26253c9f5b48fap.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/8e/8e06f583f4a1b42e4faf47fde00166e9p.png

 Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/a7/a78a2e9d02c6adc15bac29b4607827c2p.png

19. Вин­ти­ки можно раз­ло­жить в па­ке­ти­ки, а па­ке­ти­ки упа­ко­вать в ко­роб­ки, по 3 па­ке­ти­ка в одну ко­роб­ку. Можно эти же вин­ти­ки раз­ло­жить в па­ке­ти­ки так, что в каж­дом па­ке­ти­ке будет на 3 вин­ти­ка боль­ше, чем рань­ше, но тогда в каж­дой ко­роб­ке будет ле­жать по 2 па­ке­ти­ка, а ко­ро­бок по­тре­бу­ет­ся на 2 боль­ше. Какое наи­боль­шее число вин­ти­ков может быть при таких усло­ви­ях?

Ре­ше­ние.

Пусть в каж­дой из https://ege.sdamgia.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6p.pngко­ро­бок лежит три па­ке­ти­ка, по https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1p.pngвин­ти­ков в каж­дом. Во вто­ром слу­чае ко­ро­бок https://ege.sdamgia.ru/formula/07/072b71141e8b173b10b8bf8fd8074388p.pngпа­ке­ти­ков в ко­роб­ке 2, а вин­ти­ков в па­ке­ти­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/c4/c4fc400a27323661f4c3cc0aeba5b2bbp.pngПо усло­вию за­да­чи по­лу­ча­ем:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e72d5f8c39434a5ada2b6b1bebf915bp.png

 

От­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/06/06159f3ac67570211033328952a71129p.pngУчи­ты­вая, что числа https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6p.pngна­ту­раль­ные, по­лу­ча­ем, что https://ege.sdamgia.ru/formula/22/22891d5edbe44d91c8abb5685506f514p.png— на­ту­раль­ный де­ли­тель числа 36. Ко­ли­че­ство вин­ти­ков при этом

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/ed/ed5c73b84c729f09be4aa27f0b698c64p.png

 

Ре­ше­ние на­хо­дим пе­ре­бо­ром де­ли­те­лей.

 Ответ: 840.

При­ме­ча­ние.

Пе­ре­бор можно за­ме­нить ис­сле­до­ва­ни­ем функ­ции.

Функ­ция https://ege.sdamgia.ru/formula/c2/c23e832829c3d63331fdd90364543c34p.pngмо­но­тон­но убы­ва­ет при https://ege.sdamgia.ru/formula/dd/ddc5f28e50af93409330bb95ba2f180ap.pngи мо­но­тон­но воз­рас­та­ет при https://ege.sdamgia.ru/formula/a6/a6a545e97c8632769b668eb186aca82dp.pngСле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngдо­сти­га­ет­ся, если https://ege.sdamgia.ru/formula/22/22891d5edbe44d91c8abb5685506f514p.png— наи­боль­ший или наи­мень­ший на­ту­раль­ный де­ли­тель числа 36.

Если https://ege.sdamgia.ru/formula/86/863a5006fe273a133200c13ed1adbe25p.pngто https://ege.sdamgia.ru/formula/e3/e3ea26bcc2e8798e48070e8192a0d2ebp.png

Если https://ege.sdamgia.ru/formula/3b/3beaaf8efa07aa75b0230fe2ebe71dc1p.pngто https://ege.sdamgia.ru/formula/98/98a60992f6dc2b987249304c3b03b9e2p.png

 

ВАРИАНТ№5

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d990c5a76002e15394f4328a4f52688p.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/f6/f6611fa6cb1cbf10e8776ed9091b6ab2p.png

За­да­ние 13 № 513365

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=23029

а) Имеем

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/c6/c6fa9be814f80ae0a5c380beea1c2e9ep.png

 

от­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/e1/e196d44e7d4ed24fbd256250fd38d674p.png

б) Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/11/11cf7bb3f0b50c14c3075d81dbd22187p.pngотберём с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти. По­лу­чим https://ege.sdamgia.ru/formula/8f/8f3dc8b63ec1f5c6428ea421e775e79cp.png

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=22576

Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/29/295cbfb4811fdcc1e52099fd3344521dp.pngб) https://ege.sdamgia.ru/formula/8f/8f3dc8b63ec1f5c6428ea421e775e79cp.png

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны AB = 2, AD = AA1 = 1. Най­ди­те угол между пря­мой AB1 и плос­ко­стью ABC1.

За­да­ние 14 № 500024

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=3477Плос­ко­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/db/db62166b1760232bb02df1890b389b35p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/23/237aad47e54a653e0143b8229a9174ffp.pngпер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пер­пен­ди­ку­ляр из точки https://ege.sdamgia.ru/formula/26/262e0afc75c8a9fc536a7dce57e6ebe1p.pngк плос­ко­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/db/db62166b1760232bb02df1890b389b35p.pngлежит в плос­ко­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/23/237aad47e54a653e0143b8229a9174ffp.pngи пе­ре­се­ка­ет пря­мую https://ege.sdamgia.ru/formula/bb/bb0eae7613103277f5524aca43828b53p.pngв точке https://ege.sdamgia.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94dap.png. Зна­чит, ис­ко­мый угол равен углу https://ege.sdamgia.ru/formula/49/4902fa8485444f59720474c2f5234f11p.png. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/49/4902fa8485444f59720474c2f5234f11p.pngкатет https://ege.sdamgia.ru/formula/fd/fd38322b4fbbfca027fa5f413a3d7d8dp.png, ги­по­те­ну­за https://ege.sdamgia.ru/formula/df/df5c2020973010031b3c4171cc6cfaacp.png. По­это­му

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/c6/c610cee650a10eeb36a50c5ee783e983p.png.

 

Тогда https://ege.sdamgia.ru/formula/1b/1b31f628d3cb7ee0807831469885314dp.png.

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/e3/e37f71c1e714893bdc5277bdc1f297bap.png.

 

При­ме­ча­ние.

Воз­мож­ны дру­гие формы от­ве­та: https://ege.sdamgia.ru/formula/94/9466162f2c1a5fbcca5c11dc02279aa0p.png.

 

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство https://ege.sdamgia.ru/formula/e9/e978d2480969748d40551d8dc5ebbb8ep.png.

За­да­ние 15 № 514448

Ре­ше­ние.

Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/dd/ddf9daa92e0f3bc961b10a9bd639362dp.pngтогда имеем:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/ef1d003b97622c86c906a053788120d1p.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/ce/cea5fc76634cf3800884d73ad051604ap.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/f7/f75a122997dfad87818c81981affa77bp.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/57/57a5ad7e66abe2eb82baa2092409d77dp.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/40/4038da05a1e23b10eb77a8a7753180e8p.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a9dc668ce00dba30e4d9771ccbb2420ap.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/cb/cb638789d8a99437f31c517604c7e508p.png

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной. Имеем:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/67/67944447aa5c12066d7226a8016b1b12p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/ff/ffd3b1a0e1e243a7dc23a20e7605630fp.png

16. В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны две вы­со­ты ВМ и CN, причём https://ege.sdamgia.ru/formula/65/6552c9b392359f754092a482cbc7f24ap.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/31/316f4d08438be459ecb4731fe891fa20p.png.

а) До­ка­жи­те, что угол АВС тупой.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BMN и ABC.

За­да­ние 16 № 514047

Ре­ше­ние.

а) https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=23646По­сколь­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/95/954fa64eb8cdd88a3795b5e06998e2b5p.png, точки C и M лежат по одну сто­ро­ну от точки А, а так как AM < CM, точка M лежит на от­рез­ке АС.

По­ло­жим АМ = 2x, CM = 3x. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABM на­хо­дим, что

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/01/011716c2e99248d484f094b3058ef634p.png

 

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/25/2550dcb14078ffbd61cc636b01761f80p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/3c/3c6cdaa78324f6993251a34bc16a1903p.png

 

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/33/33b8dcdfecf1d61a29d2bbfbacc957c6p.png

 

Сле­до­ва­тель­но, https://ege.sdamgia.ru/formula/d8/d8a007e27dcc7627eaa487175899cfacp.png

 

б) Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ANC и BNC на­хо­дим, что

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/39/39526fda947aa6c2b06cf11198c6e514p.png

 

зна­чит B — се­ре­ди­на AN.

Обо­зна­чим https://ege.sdamgia.ru/formula/04/04b59fc72adccac3799eef260ff26872p.png. Тогда

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/10/106ea8501605b6c3362287c86d7c013fp.png

 

Сле­до­ва­тель­но,

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/e2/e27c6bcb42876666c455907b0bb61786p.png

 

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/15/159af48af79de178a5ca440c4340b11bp.png

17. По биз­нес-плану пред­по­ла­га­ет­ся вло­жить в четырёхлет­ний про­ект 10 млн руб­лей. По ито­гам каж­до­го года пла­ни­ру­ет­ся при­рост вло­жен­ных средств на 15% по срав­не­нию с на­ча­лом года. На­чис­лен­ные про­цен­ты оста­ют­ся вло­жен­ны­ми в про­ект. Кроме этого, сразу после на­чис­ле­ний про­цен­тов нужны до­пол­ни­тель­ные вло­же­ния: целое число n млн руб­лей в пер­вый и вто­рой годы, а также целое число m млн руб­лей в тре­тий и четвёртый годы.

Най­ди­те наи­мень­шие зна­че­ния n и m, при ко­то­рых пер­во­на­чаль­ные вло­же­ния за два года как ми­ни­мум удво­ят­ся, а за че­ты­ре года как ми­ни­мум утро­ят­ся.

За­да­ние 17 № 513431

Ре­ше­ние.

К на­ча­лу 2-го года по­лу­чит­ся https://ege.sdamgia.ru/formula/ae/aef770e7df9a2d2a60147071fb386958p.pngмлн вло­же­ний, а к на­ча­лу 3-го года —

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a937b993ab6312ae681a32b0d6321a9bp.png

 

По усло­вию https://ege.sdamgia.ru/formula/6e/6e435c3c0485b0240c785fc98418fadbp.pngНаи­мень­шее целое ре­ше­ние n = 4. Тогда к на­ча­лу 3-го года по­лу­чит­ся

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/f1/f1de1da84a4408c8db14c9de3409798cp.pngмлн.

 

К на­ча­лу 4-года имеем https://ege.sdamgia.ru/formula/79/799cef4b9e08033df8319050c4c29223p.pngмлн, а в конце про­ек­та

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/ce/cedb9e42f99ef181df282fc0cc35d8a5p.png

 

По усло­вию https://ege.sdamgia.ru/formula/a1/a1d693972e3f5b896d0f92243304de28p.pngПо­лу­ча­ем, что m = 1 — наи­мень­шее целое ре­ше­ние.

 

Ответ: 4 и 1 млн руб.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра https://ege.sdamgia.ru/formula/3d/3ded2184a3e467984dba5788f82cc430p.pngпри каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний https://ege.sdamgia.ru/formula/20/20bd66293f1e68f20d934ed0979d9ea0p.pngимеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

За­да­ние 18 № 484641

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем дан­ную си­сте­му:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/f0/f0a87f1d2c2cb7839f69a6657d024527p.png

Сде­лав за­ме­ну пе­ре­мен­ной https://ege.sdamgia.ru/formula/c8/c8eff944d0e0cda8690fcabc7dcdf121p.png, по­лу­ча­ем си­сте­му

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/bc/bcc3f18ca2125bd16ac866efc8cf3c7bp.png

За­ме­тим, что ко­ли­че­ство ре­ше­ний по­лу­чен­ной си­сте­мы сов­па­да­ет с ко­ли­че­ством ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы. По­стро­им гра­фи­ки урав­не­ний (1) и (2) в си­сте­ме ко­ор­ди­нат https://ege.sdamgia.ru/formula/53/533e4e3083538661f7b539dd1f534fb1p.png

 

Гра­фик пер­во­го урав­не­ния — ромб, диа­го­на­ли ко­то­ро­го, рав­ные 8 и 6, лежат со­от­вет­ствен­но на осях https://ege.sdamgia.ru/formula/09/091fecdb12323ff7cfcbf10225acebd9p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/cc/cce86d23ecf9819ae0e7366cb1cdd539p.pngа гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом https://ege.sdamgia.ru/formula/0c/0c71df7c19541153b57bedef652320c6p.png(см. ри­су­нок).

 

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=1682

Гра­фи­ки урав­не­ний си­сте­мы имеют ровно че­ты­ре общих точки, и, сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния, тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность либо впи­са­на в ромб, либо ее ра­ди­ус удо­вле­тво­ря­ет усло­вию

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/6f/6f4785a1a23103baa4ac4f152efa741bp.png.

В пер­вом слу­чае ра­ди­ус окруж­но­сти яв­ля­ет­ся вы­со­той пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми, рав­ны­ми 3 и 4, от­ку­да

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/4c/4c587f05be5fee161ad3b6962cd19692p.png, https://ege.sdamgia.ru/formula/89/89ce5d0032f2bf3e6beced502cece469p.png.

Во вто­ром слу­чае по­лу­ча­ем https://ege.sdamgia.ru/formula/5f/5f1e96d0b18595588671225f52d6c73fp.png, от­ку­да

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/3c/3cf85141f95798d76a99613d273ef9c2p.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/0c/0c0744578f658f8da19cc2c9cb16a3c7p.png.

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/86/867898fc08288f65f61a5adf32ef8d7dp.png

19. Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 3n − 2m = 1.

Ре­ше­ние.

Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1p.png— чет­ное число https://ege.sdamgia.ru/formula/50/50c881558c19cfaa31b2dd10d877eb19p.pngТогда https://ege.sdamgia.ru/formula/07/07ee62091aa7ce78ce27f66600e5847cp.pngПра­вая часть — про­из­ве­де­ние двух по­сле­до­ва­тель­ных чет­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых яв­ля­ет­ся сте­пе­нью числа 2. Зна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/82/82d5a8f63e88131303dd08dc009ab706p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/2f/2f5a52914adcc49673434e55d254dbe6p.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/d4/d466962342c69e0ac1b0532a493d2908p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/5d/5d801b6f94f28ec55e59123578cb13aap.pngПри этом https://ege.sdamgia.ru/formula/8c/8c370287a86a472632a41650d1d3a096p.pngсле­до­ва­тель­но, https://ege.sdamgia.ru/formula/bf/bf864c7651bfa851b558ea6b0f214fe0p.png

Пусть те­перь https://ege.sdamgia.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1p.png—не­чет­ное число. Все не­чет­ные сте­пе­ни трой­ки https://ege.sdamgia.ru/formula/b4/b4fcbaff8ded1487e16083d6d83fc1a6p.pngде­лят­ся на 4 с остат­ком 3. Зна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/c4/c4acb22d4b31864afbf077e1cb6fa8b1p.pngде­лит­ся на 4 с остат­ком 2. Из ра­вен­ства https://ege.sdamgia.ru/formula/be/be4ca85382041f5062b82516eccde1c2p.pngпо­лу­ча­ем, что в этом слу­чае https://ege.sdamgia.ru/formula/40/40aa2227f8ab9f9737e2ce467090bb9cp.png(если https://ege.sdamgia.ru/formula/5c/5c2600cdb9f77350e0ec21e8ce821dedp.pngто https://ege.sdamgia.ru/formula/f3/f3902fac7e9690e09a9f5225f267bd7dp.pngде­лит­ся на 4 без остат­ка). При этом https://ege.sdamgia.ru/formula/85/85ac6e2399c0716f4fc704f0fec1f7e5p.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/64/6428a22a2bd0ffaa75cd72e9e3da4597p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/52/5208df0651312d9d0b08cdb8d0264500p.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/8c/8c98b1a8aa808398517d8324afae5ad1p.png

 

ВАРИАНТ№6

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/46/46944fb56d30310be5607f78b02c2a88p.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/11/11a6b01a374902f581b6cd1df3017863p.png

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=4889а) За­пи­шем урав­не­ние в виде

 https://ege.sdamgia.ru/formula/ba/bad6604c975e24f75aa16b43b6608712p.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/c4/c428f8304d61ca06478902277c95611dp.png

Зна­чит, или https://ege.sdamgia.ru/formula/ea/ea5c9c9149d7da92e9e0aca9f7b8d107p.png — урав­не­ние не имеет кор­ней, или https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7ebd5672d33699da65f48eff2c218edbp.png, от­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/6c/6c053f9c02e02a5eda4c167f3f608822p.png, https://ege.sdamgia.ru/formula/41/411625ce1b4810774a6dd8dc00101f17p.png.

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/11/11a6b01a374902f581b6cd1df3017863p.png

По­лу­чим число https://ege.sdamgia.ru/formula/af/af820e47f297aa5d7018b38cdc7b55a0p.png

Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/1d/1d72f352e261e70e361d6c9614fd55fap.pngб) https://ege.sdamgia.ru/formula/af/af820e47f297aa5d7018b38cdc7b55a0p.png

14. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 4, бо­ко­вые рёбра равны 7, точка D — се­ре­ди­на ребра BB1.

а) Пусть пря­мые C1D и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что угол EAC — пря­мой.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и ADC1.

Ре­ше­ние.

а) В тре­уголь­ни­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/53/533528b511dd4da04f6f073c2ff816cap.pngот­ре­зок BD — сред­няя линия (так как па­рал­ле­лен https://ege.sdamgia.ru/formula/1d/1d1a5eb698955091aadf0a6a26c747c0p.pngи равен его по­ло­ви­не), зна­чит EB = BC = AB и тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/c7/c7a3a3daf0f9dff53331be9c302eaeb4p.png— рав­но­бед­рен­ный. Тогда

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/db/dbdcc8ddd3e7aab3c4f87f82ebc40f06p.png

И       https://ege.sdamgia.ru/formula/13/1399a06c42bffad74ba9ffab8bc13f26p.png

б) По­сколь­куhttps://ege.sdamgia.ru/formula/2d/2d0edc73e671cddad7e0bee17cc3a1f0p.png и https://ege.sdamgia.ru/formula/dc/dc20e96b12e197e33926a54a137a0f5dp.png(так как https://ege.sdamgia.ru/formula/2a/2ac1f61705e44da2db43457e14663cf2p.png), имеем https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d323071fe8c383cccb4071cb0f032509p.pngПо­сколь­ку плос­ко­сти ABC и https://ege.sdamgia.ru/formula/7d/7db4c68e0a85031797c43decd8fa42c8p.pngпе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой AE, имеем

 https://ege.sdamgia.ru/formula/86/86e9049ddd6ec1d9b3b62ef3b3a3a2b3p.png

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/d4/d41b501612b3837e90056237e22cf609p.png

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/93/930406c4be2b884d241e8b3573d997b6p.png

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну https://ege.sdamgia.ru/formula/da/dad786ed2e70f4d8b38a3c5a8426e9e8p.png

 https://ege.sdamgia.ru/formula/2e/2ea9a6a9a8e1eb15caf06b566230a262p.png

 Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим: https://ege.sdamgia.ru/formula/ee/ee23ae271f995017778041a8da8daabep.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/15/1532fb28372dd1e7a169cfd76e84b505p.png 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/a2/a256925b6796bf798b752da9ab25a763p.png

16. В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Най­ди­те CP.

Ре­ше­ние.

Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: хорды PQ и CD не пе­ре­се­ка­ют­ся (рис. 1), тогда PQC = 180° − PDC.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=11178

 

В тре­уголь­ни­ках PQC и PDC 

https://ege.sdamgia.ru/formula/b9/b96a9050dd2dcf04103dd88d5311f828p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/6d/6df8b6a1a33e576de56e075fcbf313adp.png

Зна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/3d/3dd9725000c6b78b563b04689048fb60p.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/37/37c80f6a89da59b5d8e2e9ba49037a53p.png

Вто­рой слу­чай: хорды PQ и CD пе­ре­се­ка­ют­ся (рис. 2), тогда https://ege.sdamgia.ru/formula/65/65d3b84a0197cfcde587410c90c61f8ep.png

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=11179

В тре­уголь­ни­ках PQC и PDC  

https://ege.sdamgia.ru/formula/1e/1e41d35c429676dd9dd386ebdea46680p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/ed/ed4a77824c2f13818d3b36749978a951p.png

от­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/4d/4d65fad04b85003b65fdea182918a21cp.png

 Ответ: 4 или https://ege.sdamgia.ru/formula/20/2073d0bbb77e47abdc1a7b96daa1332ap.png

17. В ян­ва­ре 2000 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х % го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года — у% го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000 года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

Ре­ше­ние.

Пусть в ян­ва­ре 2000 года вклад­чик по­ло­жил на счет https://ege.sdamgia.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546ep.pngу. е. Тогда в ян­ва­ре 2001 года на счету сумма ста­нет https://ege.sdamgia.ru/formula/bc/bc050297d9e0a49bbe8948daf9dfbb61p.pngу. е. Но в ян­ва­ре же 2001 года вклад­чик снял https://ege.sdamgia.ru/formula/9c/9ca34dc306584f1bd6ec3bed7180fb17p.pngу. е. На счету оста­лось:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/ed/ed45b6c4e74ec4e93c813a6a264ad28dp.pngу. е.

В ян­ва­ре 2002 года сумма на счету будет равна:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/bf/bf715056bedbd4c1303c59f94a8ccdd3p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/51/51f7f94c497309e1aae610caee21ef82p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/d5/d5c735ae29c108f2a0373e13c6389acfp.png

Функ­ция https://ege.sdamgia.ru/formula/c1/c108e1eac037568203fe3ac6d16c7977p.pngяв­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной от https://ege.sdamgia.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6p.png.

 У нее есть наи­боль­шее зна­че­ние при https://ege.sdamgia.ru/formula/46/4680d63673c35eafe4c644520fec1038p.png

 Ответ: 25.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых любое ре­ше­ние урав­не­ния

 https://ege.sdamgia.ru/formula/1a/1a7b72dbb947486bba0c69f23d699907p.png

при­над­ле­жит от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/b1/b1129369be969aa89286396fff340fb9p.png

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим функ­цию https://ege.sdamgia.ru/formula/73/731bc709040bb5b8361bed1041b3c996p.pngОна опре­де­ле­на при https://ege.sdamgia.ru/formula/64/6446887d6007f64521c8c545e8341000p.pngвоз­рас­та­ет на об­ла­сти опре­де­ле­ния и при­ни­ма­ет все зна­че­ния от https://ege.sdamgia.ru/formula/aa/aad18c0a88969b4c1bdc3711475796c2p.pngдо https://ege.sdamgia.ru/formula/4d/4d86e55c4fec3869a264c088f048641ep.pngЗна­чит, урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/fd/fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bcp.pngимеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Это ре­ше­ние при­над­ле­жит от­рез­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/56/56ef804e7aa90124474d45420750c957p.pngтогда и толь­ко тогда, когда https://ege.sdamgia.ru/formula/de/de05dc7b07da0315aa3b179c5edc239bp.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/86/860432482eb5b5e656f61892791ad129p.pngПо­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/b6/b6d52a7502611e58f412b1def4a7e226p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/d8/d890d364201a0d59d0027ad345a1631ap.png

19. Най­ди­те все про­стые числа b, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число а, что дробь https://ege.sdamgia.ru/formula/c6/c64cc21efb8876842ad15857e2c793abp.pngможно со­кра­тить на b.

Ре­ше­ние.

Если целые числа https://ege.sdamgia.ru/formula/a1/a14c06987efb38f4adc5620bc43630d6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/ec/ecfbc5c3b65e18294d69cdef045b6119p.pngде­лят­ся на b, то целое число

 https://ege.sdamgia.ru/formula/5d/5d681cb33f90172d7c56f58c71379345p.png

также де­лит­ся на b. Тогда число  

https://ege.sdamgia.ru/formula/e5/e5192ba5163dda94361d5b38d87f78c4p.png

тоже де­лит­ся на b.

 Тогда число  https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d2453a0158fb1ddf72032fab447dbe8ap.png   также де­лит­ся на b.

 Таким об­ра­зом, ис­ко­мое b — про­стой де­ли­тель числа 56, то есть 2 или 7. Оста­лось про­ве­рить, для каких из най­ден­ных чисел можно по­до­брать а. Если а не­чет­ное, то чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дан­ной дроби — чет­ные числа, по­это­му дробь можно со­кра­тить на 2. Если а крат­но 7, то чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дан­ной дроби также крат­ны 7, по­это­му дробь можно со­кра­тить на 7.

 

Ответ: 2, 7.

 

ВАРИАНТ№7

11.

Цена хо­ло­диль­ни­ка в ма­га­зи­не еже­год­но умень­ша­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов от преды­ду­щей цены. Опре­де­ли­те, на сколь­ко про­цен­тов каж­дый год умень­ша­лась цена хо­ло­диль­ни­ка, если, вы­став­лен­ный на про­да­жу за 20 900 руб­лей, через два года был про­дан за 16 929 руб­лей.

За­да­ние 11 № 107949

Ре­ше­ние.

Пусть цена хо­ло­диль­ни­ка еже­год­но сни­жа­лась на https://ege.sdamgia.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47ap.pngпро­цен­тов в год. Тогда за два года она сни­зи­лась на https://ege.sdamgia.ru/formula/c6/c64a1baf497f753a9df4f1222274f26ap.png, от­ку­да имеем:

https://ege.sdamgia.ru/formula/da/dabd2cbfeab69a03e60cc1513dddc68fp.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/d7/d7d233636d5b586a64173f05152cc582p.png

Ответ: 10.

12.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/d6/d61188e9a32fdfacfe59b0e63aa15a89p.pngна от­рез­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d33dee1f2fff8addd2abb58d602dc205p.png.

За­да­ние 12 № 130803

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/94/94eb70b6d1bf34619b3977dff983a19bp.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/4e/4ef69558a2fedc7abce6f32c70a2566dp.png

 

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cfcd59de401f06c6f7a8699c0bba383ap.png

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=5271

В точке https://ege.sdamgia.ru/formula/a4/a40d7e6a6be92c0f47213c4f4a295549p.pngза­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

https://ege.sdamgia.ru/formula/91/91820ef389d32629d537bc69b23a0e0fp.png.

 

Ответ: 0.

13. Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/22/22125f1a2a5eba57d4c1da7430b5ef3dp.png

За­да­ние 13 № 507668

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=18057Левая часть урав­не­ния имеет смысл при https://ege.sdamgia.ru/formula/e0/e0649f875c181ec6a82125f85f288473p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a90944db2747a1bd06ee29ada3506f51p.pngВы­ра­же­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/ad/ad3663b3dc09ff88c59f0bb3e3ab8c49p.pngпо­ло­жи­тель­но при всех до­пу­сти­мых https://ege.sdamgia.ru/formula/fd/fd3500a59568ee1c126a5e50c6bc8b91p.pngЗна­чит,

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/26/26712f703864541e54bbe4f7e3cc59f9p.png

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/dd/dd63d7f75a79fd65978df8c7e3e68a8ep.png

 

Учи­ты­вая, что https://ege.sdamgia.ru/formula/2d/2d9a4145a2d9d920f930aecc4d50f126p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/81/8181199af26cc77725ca07eabd969ffdp.pngпо­лу­ча­ем, что ре­ше­ни­я­ми яв­ля­ют­ся числа https://ege.sdamgia.ru/formula/91/9170cf1275f410b197a8803b1e9e8873p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/91/9170cf1275f410b197a8803b1e9e8873p.png

14. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны от­рез­ка BC1 до плос­ко­сти AB1D1.

За­да­ние 14 № 484571

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=18009Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.png — се­ре­ди­на https://ege.sdamgia.ru/formula/a2/a2e18d738958c67477fdd7ca88276942p.png — се­ре­ди­на https://ege.sdamgia.ru/formula/00/001b7353c3bac6a9f8d3c9618c323b4ap.pngзна­чит, https://ege.sdamgia.ru/formula/65/6591a7696d7ac77d6f1523e678b74696p.pngКроме того, https://ege.sdamgia.ru/formula/31/31d3915c9f2586402a2dd824b88303e1p.pngсле­до­ва­тель­но, плос­кость https://ege.sdamgia.ru/formula/82/824159c5f3c0d2287c53cb394bfdda18p.pngОпу­стим пер­пен­ди­ку­ляр https://ege.sdamgia.ru/formula/d4/d41b7e52a4d4a8b4368f46611d066ecep.pngиз точки https://ege.sdamgia.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaap.pngна пря­мую https://ege.sdamgia.ru/formula/29/299e3a1f89e8fca0c6f5928940475d26p.pngкроме этого, https://ege.sdamgia.ru/formula/81/81f1113109b8dd7eed9746933de58a2cp.png(так как лежит в плос­ко­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/31/312205c54c5f4ec4a436616cdb92d844p.png), сле­до­ва­тель­но, https://ege.sdamgia.ru/formula/d4/d48a60c2838d51b69d52ce8909e2a53ap.pngи яв­ля­ет­ся ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем.

Ис­ко­мый от­ре­зок https://ege.sdamgia.ru/formula/d4/d41b7e52a4d4a8b4368f46611d066ecep.pngяв­ля­ет­ся вы­со­той пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/a6/a6006bc6ec06fc3ab77f1ae8f9de53eap.pngс пря­мым углом https://ege.sdamgia.ru/formula/2c/2c45f80c650c95d1b2dc2b9115fe543bp.png

По­это­му

https://ege.sdamgia.ru/formula/e0/e07554d8d1e4e5493cf57b421419fbbbp.png

 

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/af/af590d733fbe2316b9e3d7824b4c1870p.png

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/0a/0aa5d78495242f5dc11def804d012f7ep.png

За­да­ние 15 № 508442

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней урав­не­ния равна https://ege.sdamgia.ru/formula/d4/d47597abe012e8d4f686527269d78422p.png, а их про­из­ве­де­ние равно https://ege.sdamgia.ru/formula/01/017d99bbe7c4d92d18cb2f09df1cf312p.png. По­это­му корни этого урав­не­ния — числа https://ege.sdamgia.ru/formula/5d/5d7b9adcbe1c629ec722529dd12e5129p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/4a/4a68ac0136e5c8446ca046abe9e88800p.png. Тогда не­ра­вен­ство можно ре­шить так:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/f5/f5957056aea047c5e72e86436523e96fp.png

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/fd/fd9330bda0fe49ba7ad7f2c34c168663p.png

16. В тре­уголь­ни­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngиз­вест­ны сто­ро­ны: https://ege.sdamgia.ru/formula/9b/9ba93aabd00e0d17d7fc4a59aad6d42dp.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/76/76922c7fcc8f77fb13ce072dc884cf1cp.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/11/11e090cc5f7398ccfd0684cb242bc939p.png. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки https://ege.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.png, пе­ре­се­ка­ет пря­мые https://ege.sdamgia.ru/formula/5f/5fc810cf62601df84b7923b9964c53e6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.pngсо­от­вет­ствен­но в точ­ках https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587p.png, от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.pngка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png. Най­ди­те длину от­рез­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.png.

За­да­ние 16 № 511338

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=4418Обе точки https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587p.pngне могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок https://ege.sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638fp.pngне может ка­сать­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка.

Пусть обе точки https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587p.pngлежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка. Че­ты­рех­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/36/36a6b2fd4197167df7cda9daed233e2bp.png — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/73/73d3a5114e0a299d17377deb6f2726f0p.png

 

Зна­чит, тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngпо­до­бен тре­уголь­ни­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/27/275afbf40342c6617de8827f232f9955p.png, так как угол https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен https://ege.sdamgia.ru/formula/8c/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3p.png, тогда https://ege.sdamgia.ru/formula/a1/a180aaaeec5aabc305e486aae51185dcp.png, https://ege.sdamgia.ru/formula/de/de8f6bb478acdf8dab33497f4b1060d8p.png, https://ege.sdamgia.ru/formula/8f/8f29834456aacba31698a51818ac0a1ep.png. Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка https://ege.sdamgia.ru/formula/36/36a6b2fd4197167df7cda9daed233e2bp.pngравны:

https://ege.sdamgia.ru/formula/fa/fab58a2d528cbc4e048d179f4403abdep.png

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/52/520f8a98abe1d03de805bb5450d49e45p.png

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=4420

 

Под­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/ef551a75f6fc75b495486be3d8002578p.png. Сле­до­ва­тель­но, https://ege.sdamgia.ru/formula/08/08118a195c9d40a8d05b73efd6ae5e45p.png.

Пусть точка https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngлежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны https://ege.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png. Углы https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/ef7f95debd782bfb71ed799a2395b2f6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/5b/5bec55d452dbea99476cd51a1c821b8ap.pngравны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngпо­до­бен тре­уголь­ни­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/27/275afbf40342c6617de8827f232f9955p.png, так как угол https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 1, то есть, тре­уголь­ни­ки https://ege.sdamgia.ru/formula/27/275afbf40342c6617de8827f232f9955p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngравны, по­это­му https://ege.sdamgia.ru/formula/7c/7c3638b0fd496b667426975f66ab8be2p.png. За­ме­тим, что https://ege.sdamgia.ru/formula/07/07dbe5e58f49c0d9f0c0cbb86ebf8bbfp.pngи точка https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188p.pngдей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны https://ege.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png.

Если точка https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587p.pngлежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны https://ege.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png, то https://ege.sdamgia.ru/formula/af/af4ddee8cc17d4fe04679181def68f80p.png, но, ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю, по­лу­ча­ем https://ege.sdamgia.ru/formula/44/44c3a0301c7bffe3ae1847e10f25fb08p.png. Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/ef3db36819de48de757cbf240e36e4a0p.png.

17. В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S тыс. руб­лей, где S — на­ту­раль­ное число, на 3 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

 

Месяц и год

Июль 2016

Июль 2017

Июль 2018

Июль 2019

Долг
(в тыс. руб­лей)

S

0,7S

0,4S

0

 

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет со­став­лять целое число тысяч руб­лей.

За­да­ние 17 № 514627

Ре­ше­ние.

Долг перед бан­ком (в тыс. руб­лей) по со­сто­я­нию на июль каж­до­го года дол­жен умень­шить­ся до нуля сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/13/13b2485830e21b4d260e6010bfd7b41fp.png

 

По усло­вию, в ян­ва­ре каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% зна­чит, долг в ян­ва­ре каж­до­го года равен:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/66/66521a63b0cf333d7a64b7cb839b37efp.png

 

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года со­став­ля­ют:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/11/117e8769c4302167f8d7dbd16d7ce59cp.png

 

По усло­вию, числа

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/54/54593b850238e86da4d7360277f86d6cp.png

 

долж­ны быть це­лы­ми. Зна­чит, число S долж­но де­лить­ся на 20, 200 и 50. Наи­мень­шее общее крат­ное этих чисел равно 200.

 

Ответ: 200.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/89/899218b9058a229783839e8c91bc7464p.pngимеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

За­да­ние 18 № 501419

Ре­ше­ние.

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/06/065789df2ee544f5566f80ea7a8f6509p.png

 

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=7353Не­ра­вен­ство https://ege.sdamgia.ru/formula/cc/ccc295a7acc9bf667d26b3a8dbb34070p.pngза­да­ет на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти «верх­нюю» по­лу­плос­кость с гра­ни­цей https://ege.sdamgia.ru/formula/d0/d0dc5c141d61f183f389c9f070124d00p.pngа урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/b0/b0a81fc87de5fe6108de9eead80ee164p.pngпри https://ege.sdamgia.ru/formula/1c/1c0e84be37292b53b0e5a80483b214d9p.png ― окруж­ность с цен­тром https://ege.sdamgia.ru/formula/38/38a63c963352d157f6075b81f36e7c99p.pngи ра­ди­у­сом https://ege.sdamgia.ru/formula/e0/e0e76308018675e78d617752522c3eebp.png(см. ри­су­нок).

 

Окруж­ность и по­лу­плос­кость имеют ровно одну общую точку тогда и толь­ко тогда, когда ра­ди­ус окруж­но­сти равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли PO квад­ра­та APBO, т. е., https://ege.sdamgia.ru/formula/67/67108bc53208040a6f421e76ae9cdc75p.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0dc6bcf575571d3f8c965e2facbe5957p.png

При https://ege.sdamgia.ru/formula/46/46d4a23187551132f80c979c6d02fe67p.pngурав­не­ние, а, сле­до­ва­тель­но, и вся си­сте­ма ре­ше­ний не имеют, а при https://ege.sdamgia.ru/formula/c9/c957a1146ad8631a6ea0fcb6555cd4c5p.pngре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся пара https://ege.sdamgia.ru/formula/82/827374a0fea9a9b176ec5bef3c502545p.pngко­то­рая не удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству https://ege.sdamgia.ru/formula/97/97642e7b5809f8c3fa0b9f3fcb53d24ep.png

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/0d/0dc6bcf575571d3f8c965e2facbe5957p.png

19. Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {200; 201; 202; ...; 299} хо­ро­шим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2100} хо­ро­шим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Ре­ше­ние.

а) Разобьём мно­же­ство {200, 201, 202, ..., 299} на два мно­же­ства пя­ти­де­ся­ти­эле­мент­ных мно­же­ства сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 

{200, 299, 202, 297, 204, 295, ..., 248, 251},

{201; 298; 203; 296; 205, 294, ..., 249, 250}.

 

Сумма чисел в этих двух под­мно­же­ствах оди­на­ко­ва, по­это­му ис­ход­ное множе­ство яв­ля­ет­ся хо­ро­шим. (Воз­мож­ны и дру­гие при­ме­ры.)

 б) За­ме­тим, сумма чисел в под­мно­же­стве, ко­то­рое будет со­дер­жать число https://ege.sdamgia.ru/formula/2c/2c492375dfc4bdd6886670e65a484aa9p.pngбудет боль­ше суммы чисел в дру­гом под­мно­же­стве, по­сколь­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/fd/fd13c5523439f225738c19cd71bf97dfp.pngболь­ше суммы всех осталь­ных чисел:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/a5/a5e14eda95fea62c1f43a43e7cb688a3p.png

Сле­до­ва­тель­но, мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2100} не яв­ля­ет­ся хо­ро­шим.

 в) За­ме­тим, что четырёхэле­мент­ное мно­же­ство яв­ля­ет­ся хо­ро­шим в двух слу­ча­ях: либо одно число яв­ля­ет­ся сум­мой трёх дру­гих, либо мно­же­ство со­дер­жит две пары чисел с рав­ны­ми сум­ма­ми.

Под­мно­же­ства мно­же­ства {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}, удо­вле­тво­ря­ю­щие пер­во­му слу­чаю, — это {1; 2; 4; 7} и {2; 4; 5; 11}.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай и за­ме­тим, что если мно­же­ство со­дер­жит две пары чисел с рав­ны­ми сум­ма­ми, то сумма всех чисел чётна. Сле­до­ва­тель­но, чет­ные числа 2 и 4 либо од­но­вре­мен­но вхо­дят в хо­ро­шее четырёхэле­мент­ное под­мно­же­ство, либо од­но­вре­мен­но не вхо­дят в него.

Если 2 и 4 вхо­дят в под­мно­же­ство, то либо сумма двух дру­гих чисел равна 6, это под­мно­же­ство {1; 2; 4; 5}, либо раз­ность двух дру­гих чисел равна 2, это под­мно­же­ства:

 {1; 2; 4; 5}; {2; 4; 5; 7}; {2; 4; 7; 9}; {2; 4; 9; 11}.

Если 2 и 4 не вхо­дят в под­мно­же­ство, то хо­ро­шее под­мно­же­ство лежит во мно­же­стве {1; 5; 7; 9; 11}. По­лу­ча­ем хо­ро­шие под­мно­же­ства:

 {1; 5; 7; 11} и {5; 7; 9; 11}.

Всего най­де­но 8 хо­ро­ших под­мно­жеств. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет.

 Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

ВАРИНТ№8

11. Пер­вые 120 км ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 90 км/ч, сле­ду­ю­щие 100 км — со ско­ро­стью 100 км/ч, а затем 110 км — со ско­ро­стью 110 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Чтобы найти сред­нюю ско­рость на про­тя­же­нии пути, нужно весь путь раз­де­лить на все время дви­же­ния. Прой­ден­ный путь равен 120 + 100 + 110  =  330 км. Сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля равна

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/db/db5c3dc78633618dce5ea8e364208b67p.pngкм/ч.

Ответ: 99.

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции https://ege.sdamgia.ru/formula/4d/4d6bf28d858d0d7e6b1fb0a06ddc0014p.pngна от­рез­ке https://ege.sdamgia.ru/formula/60/6015149c1ca24652fa9b2b136a372c35p.png

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

https://ege.sdamgia.ru/formula/8e/8e250a84daebb0a6c4f5a4c098c8b3f5p.png

Най­дем нули про­из­вод­ной:

https://ege.sdamgia.ru/formula/41/4108992ff513a1bf6e3209cf32ffc174p.png

 Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=3546

 Най­ден­ная про­из­вод­ная не­от­ри­ца­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция воз­рас­та­ет на нем, по­это­му наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/94/9491870b3f82520244eba55c071490fbp.png

 Ответ: −13.

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние https://ege.sdamgia.ru/formula/1f/1faedcb65d14f5232c91dfdb63f1343ap.png.

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку https://ege.sdamgia.ru/formula/07/0710e963f6abae91cd7f9375764e2cb0p.png.

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

 

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/f5/f59b06995a0bf0bc12ad697d014980bfp.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/5e/5e9ab3ea27e031a10a7cb9490afa81c3p.png

 б) Най­дем корни, ле­жа­щие на за­дан­ном от­рез­ке. Со­ста­вим двой­ное не­ра­вен­ство:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/94/94615cf0f58961ba4d8540e9dfe6946cp.png,

от­ку­да

https://ege.sdamgia.ru/formula/e2/e299361fa87b1db2494e628d59f20be3p.png.

Сле­до­ва­тель­но, https://ege.sdamgia.ru/formula/ce/ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19dp.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/38/38c9abaca4c0e762d42281e967e45959p.png, тогда ис­ко­мые корни https://ege.sdamgia.ru/formula/71/71a017e9f2496a692d7773c8d9a782c6p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/45/45e94a742b14fa488c9857ef7c5a392dp.png

 Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/77/776f24fb960d308a2f2e3fa54fcff47cp.pngб) https://ege.sdamgia.ru/formula/07/074c133b54c70ff3aa5034673daafdf8p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/e1/e1da474ebecddc504343e50fc4402d9cp.png

14. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 сто­ро­на ос­но­ва­ния AB=6, а бо­ко­вое ребро https://ege.sdamgia.ru/formula/17/178f39ba66ceabb3c940a40f246772c9p.pngНа рёбрах AB, A1D1 и C1D1 от­ме­че­ны точки M, N и K со­от­вет­ствен­но, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNK с реб­ром BC. До­ка­жи­те, что MNKL — квад­рат.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MNK.

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=23027а) Плос­кость MNK пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти ос­но­ва­ний ABCD и A1B1C1D1 по па­рал­лель­ным пря­мым, сле­до­ва­тель­но, пря­мые NK и ML па­рал­лель­ны, а CL = 1.

По­ка­жем, что сто­ро­ны четырёхуголь­ни­ка MNKL равны и диа­го­на­ли равны:

https://ege.sdamgia.ru/formula/ca/ca178ed72f0c68011c986ef57a1f020ap.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/92/923985018ef69a4fa1f12c155694c63bp.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/62/62c6fb5da27e2b7c5c5ad40f230436e7p.png

По­это­му MNKL — квад­рат.

б) Пусть W — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых NK и A1B1. Тогда, так как https://ege.sdamgia.ru/formula/c1/c11cbee136d8e5f0e458ce142db5a66fp.png, по­лу­ча­ем https://ege.sdamgia.ru/formula/18/18f36273777375db97a37e9036779da3p.pngпо­это­му пря­мая WM, а зна­чит и плос­кость MWK пе­ре­се­ка­ет ребро AA1 в его се­ре­ди­не E. Ана­ло­гич­но, плос­кость MNK пе­ре­се­ка­ет ребро CC1 в его се­ре­ди­не F.

В пря­мо­уголь­ни­ке AEFC про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны: https://ege.sdamgia.ru/formula/49/49d23a8c620152a0a7a7100dfb30d5ddp.pngСе­че­ние MENKFL со­сто­ит из двух рав­ных тра­пе­ций ENKF и EMLF, причём пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на их ос­но­ва­ни­ям. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь се­че­ния равна

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/4f/4f9cff6328315656549c2573f184830cp.png

Ответ: а) до­ка­за­но; б) 55.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: https://ege.sdamgia.ru/formula/91/91659b99ac597482acbdc692661ae7e6p.png

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

https://ege.sdamgia.ru/formula/08/0836f0891afc9b7d0286546dceb0f2c0p.png

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/95/957b9d835cbc5b808fda29cb30052fe4p.png

16. Окруж­ность ра­ди­у­са https://ege.sdamgia.ru/formula/12/122d7f0ee2f6b1bc4317d4050d2e2b92p.pngвпи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 6. Най­ди­те MN.

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=11511Пусть O1 — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са https://ege.sdamgia.ru/formula/55/559872d4446a044e5b1fe3c3bda66818p.pngO2 — центр вто­рой окруж­но­сти, A — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

https://ege.sdamgia.ru/formula/db/dbf6cfbec5071a6f2fdf9d402b33bfbbp.png

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точка O1 лежит между точ­ка­ми A и O2 (рис. 1), тогда O2A = O1A + O1O2 = 14, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/48/486240466513b830d432f9d2d8a75f2ep.png

 В тре­уголь­ни­ке O1MO2 имеем O1O2 = 6, https://ege.sdamgia.ru/formula/5d/5df8002fd4d4109218ac736d594087c3p.pngПо­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O1O2 и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O1MO2 равна по­ло­ви­не MN.

 В тре­уголь­ни­ке O1MO2 по­лу­пе­ри­метр https://ege.sdamgia.ru/formula/80/80ce649018832f45c2184228a5ad73c2p.png

 https://ege.sdamgia.ru/formula/bc/bc59738e85fc4cf0b8446e2c1b34a2f9p.png

от­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/30/30965b0d90305e0cb8b451913f7d8235p.png

 Вто­рой слу­чай: точка O2 лежит между точ­ка­ми A и O1 (рис. 2), тогда O2A = O1A − O1O2 от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти https://ege.sdamgia.ru/formula/aa/aafeab0dd8ecba17655379a4048ed0dep.png

В тре­уголь­ни­ке O1MO2 имеем O1O2 = 12, https://ege.sdamgia.ru/formula/c3/c3be04329814a6012594803f077aae84p.pngАна­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O1MO2 равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O1MO2 по­лу­пе­ри­метр https://ege.sdamgia.ru/formula/49/49e952fdfb2e6ce6b2a0d9a15d199e01p.png

 https://ege.sdamgia.ru/formula/fd/fd8b1146edf8a767362f8a011cd6a2d4p.png

от­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/e1/e15882f8346fda14fd82bd0dae922deap.png

 Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/18/1801cfc88edd59ca7296ac197514e703p.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/80/8088ac3c04bbe5768acc91622f1fc9e5p.png

17. В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на пять лет в раз­ме­ре S тыс руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся рав­ным S тыс. руб­лей;

− вы­пла­ты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. руб­лей;

− к июлю 2021 долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму вы­плат за пять лет.

Ре­ше­ние.

В июле 2017, 2018 и 2019 годов долг перед бан­ком не ме­ня­ет­ся, а еже­год­ные вы­пла­ты со­став­ля­ют 0,2S тыс. руб­лей.

В ян­ва­ре 2020 года долг (в тыс. руб­лей) равен 1,2S, а в июле — 1,2S − 360.

В ян­ва­ре 2021 года долг равен 1,44S − 432, а в июле 1,44S − 792.

По усло­вию, долг будет вы­пла­чен пол­но­стью, зна­чит, 1,44S — 792 = 0, от­ку­да S = 550.

Таким об­ра­зом, пер­вые три вы­пла­ты со­став­ля­ют по 110 тыс. руб­лей, а по­след­ние две — по 360 тыс. руб­лей.

Общая сумма вы­плат со­став­ля­ет:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/84/84244994341fb4b14ca050b86ab8d5a7p.png

 Ответ: 1050 тыс. руб­лей.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра https://ege.sdamgia.ru/formula/3d/3ded2184a3e467984dba5788f82cc430p.pngпри каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

 https://ege.sdamgia.ru/formula/99/997c872a66c69e5e28ee124d4be42d5bp.png

имеет ровно https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dcp.pngре­ше­ний.

Ре­ше­ние.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=20544

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му, по­лу­чим:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/84/841c8c0fbca1ad1cc6eb3eac198bcac8p.png

Пер­вое урав­не­ние за­да­ет части двух па­ра­бол (см. ри­су­нок): 

https://ege.sdamgia.ru/formula/b1/b18f6e67f030e14996e98c0b857a2ca8p.png

 

Вто­рое урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­сом https://ege.sdamgia.ru/formula/da/dac58885b42dda89f2cecff1e86d3dfcp.pngс цен­тром https://ege.sdamgia.ru/formula/ac/accaaf153e636cfc219a9452fef9091fp.pngНа ри­сун­ке видно, что шесть ре­ше­ний си­сте­мы по­лу­ча­ют­ся, толь­ко если окруж­ность про­хо­дит через точки https://ege.sdamgia.ru/formula/ea/ea4ca8674b25613e1d6aec82bc6d0c88p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/46/4670774a273392d37fa1b92848f4e718p.pngпе­ре­се­кая па­ра­бо­лу еще в че­ты­рех точ­ках.

При этом ра­ди­ус окруж­но­сти равен https://ege.sdamgia.ru/formula/c5/c59471f3ce70ca3107957a84ae0d3d9dp.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/ec/ec4813201d54837a97eb255b9c70ea6cp.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/b9/b974388f7d5ec29004a76bf40d90b202p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/19/19905a2314f5eb8c0ab3d803b7759411p.png

19. Най­ди­те все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию https://ege.sdamgia.ru/formula/f9/f9564114446ad5231843364ce38fa0b6p.png

Ре­ше­ние.

1. Так как https://ege.sdamgia.ru/formula/13/137518b6db1d37bd86fc738bbc9a3c8ep.pngто https://ege.sdamgia.ru/formula/ae/ae390809ea53e689da14225a49b05429p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/af/af25f9d4acdbc521602e2f45debcad13p.png

2. Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/e4/e45779404e07d86bbb8db1461704b6b3p.pngтогда https://ege.sdamgia.ru/formula/8c/8cf3b7470eebafb58d9a6f4a25e123dap.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/58/586192da84264521cfe9f1f44b2ec6dep.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a9c50b1d0a637d87fab72a405ba3bcc8p.png

3. Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/de/ded9ea5889503020989f87ba83cab6aap.pngтогда https://ege.sdamgia.ru/formula/a3/a3fca70be58d327169ce848c1af05176p.pngот­ку­да https://ege.sdamgia.ru/formula/4d/4d305cf04d84a791389fd86b1382abe5p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/77/77ef15f3c95339086ae0497447d10e9bp.png

4. Далее ко­неч­ным пе­ре­бо­ром зна­че­ний https://ege.sdamgia.ru/formula/52/523febeec5131dbfa377846a8e5a800cp.pngна­хо­дим все ре­ше­ния:

Можно за­ме­тить, что это урав­не­ние сим­мет­рич­но отн. зна­че­ний n и k и мы можем пе­ре­брать мень­ше ва­ри­ан­тов.

 

 

 n 

 k 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/d5/d578dd520b9c962009b9417b708a6c65p.png 

 m 

 5 

 5 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/5f/5f2c22cb4a5380af7ca75622a6426917p.png 

 6 

 5 

 4 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/24/248e844336797ec98478f85e7626de4ap.png 

 нет ре­ше­ний 

 5 

 3 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/8b/8bf1211fd4b7b94528899de0a43b9fb3p.png 

 нет ре­ше­ний 

 5 

 2 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/5e/5ef698cd9fe650923ea331c15af3b160p.png 

 нет ре­ше­ний 

 5 

 1 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/00/00411460f7c92d2124a67ea0f4cb5f85p.png 

 нет ре­ше­ний 

 4 

 4 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/0a/0a09c8844ba8f0936c20bd791130d6b6p.png 

 нет ре­ше­ний 

 4 

 3 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/86/8613985ec49eb8f757ae6439e879bb2ap.png 

 нет ре­ше­ний 

 4 

 2 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/35/35f4a8d465e6e1edc05f3d8ab658c551p.png 

 нет ре­ше­ний 

 4 

 1 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/d0/d09bf41544a3365a46c9077ebb5e35c3p.png 

 нет ре­ше­ний 

 3 

 3 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/19/19ca14e7ea6328a42e0eb13d585e4c22p.png 

 нет ре­ше­ний 

 3 

 2 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/1f/1ff1de774005f8da13f42943881c655fp.png 

 4 

 3 

 1 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/3c/3c59dc048e8850243be8079a5c74d079p.png 

 нет ре­ше­ний 

 2 

 2 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/c2/c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710p.png 

 нет ре­ше­ний 

 2 

 1 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/45/45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26p.png 

 нет ре­ше­ний 

 1 

 1 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/16/1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dcp.png 

 3 

 

 

 

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/ca/ca6391c9bd6413540cc99d3c8dff4a8ep.png


 

Скачано с www.znanio.ru