Конспект урока по алгебре и началам анализа на тему "Тригонометрические уравнения"(11 класс)

03.04.2017.   Конспект   урока.   Автор:   Пимкина   Вера   Ивановна,   учитель   математики   МБОУ Волосатовская СОШ Селивановского района Владимирской области  Предмет: Алгебра и начала анализа.  11класс Тема урока: «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ» Тип урока: урок коррекции  и систематизации знаний. Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе  подготовки к ЕГЭ. Задачи урока. 1. Образовательные:  ­ закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений; применение свойств тригонометрических функций; ­ обобщение и систематизация материала; ­  создание  условий для  контроля и самоконтроля  усвоения знаний и умений; ­ исторические  сведения.       2. Воспитательные: ­ воспитание навыков делового общения, активности; ­формирование интереса к математике и ее приложениям.      3. Развивающие: ­ формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса  знаний в новую ситуацию, ­ развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и  памяти. Формы организации работы учащихся на уроке:  индивидуальная, фронтальная, парная, групповая. Методы обучения: частично­поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам,  работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения,  самопроверка, взаимопроверка. Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы  (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно­обобщающая схема; на партах   учащихся опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы  учета знаний,  карточки ­ задания с уравнениями, карточки с домашними заданиями. Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят, ученики в ходе урока:   Обоснование возможности использования системно­деятельностного подхода при изучении темы:   знание методов и этапов решения тригонометрических уравнений; умение решать тригонометрические уравнения,  выбирая наиболее рациональные методы.  Содержание изучаемого материала позволяет логически выстроить репродуктивные и творческие  учебные ситуации,  предполагает использование различных способов действий, в том числе и в области  адекватного оценивания учащимися своих действий. Ресурсы: • • • • • Учебники «Алгебра и начала  анализа 10­ 11»  А.Г. Мордкович  и др. Презентация в офисе MicrosoftPowerPoint   Демонстрационный и раздаточный материал  Интернет сайт: социальная сеть работников образования :nsportal.ru http   ://   www.yandex. Структура  урока: 1 этап ­ мотивационно ­ ориентировочный: разъяснение целей  учебной деятельности учащихся,  мотивация учащихся: выйти на результат. 2   этап  ­  подготовительный:  актуализация   опорных   знаний,  необходимых   для   решения тригонометрических уравнений – это основные формулы тригонометрии и примеры решения простейших тригонометрических уравнений. 3 этап ­ основной:  осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа с   проговариванием   правил);  совершенствование   или   коррекция   умений   учащихся  в   зависимости   от успешности   выполнения   предыдущего   этапа   (кто   быстро   справился   –   работает   с   более   сложными заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня); отчёт учащихся о выполнении заданий. 4 этап – компьютерное тестирование. Контроль знаний обучающихся через тестирование  5 этап ­ заключительный: подведение общих итогов, инструкция по выполнению домашнего задания, рефлексия. Ход урока Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Рене Декарт. 1 этап ­ мотивационно ­ ориентировочный – Доброе утро! Здравствуйте , ребята . Сегодня у нас необычный урок, потому что у нас   гости .  «Гости в дому — это к добру!». Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, и пожелайте мысленно  своим  друзьям удачи!   Эпиграфом нашего урока я взяла высказывание великого французского ученого Рене Декарта «Мало  иметь хороший ум, главное – хорошо его применять» …  У вас на столах лежат листы достижений. К концу урока вы их заполните и вернете мне. Итак, начинаем. 2 этап ­ подготовительный:  актуализация опорных знаний Скажите, пожалуйста, какие темы мы повторили на последних уроках?   Определения тригонометрических функций, свойства и графики  Основное тригонометрическое тождество  Формулы приведения  Формулы сложения  Формулы двойного угла  Формулы понижения степени (формулы половинного угла)  Тригонометрические выражения, тождества и уравнения Сегодня у нас урок закрепления навыков решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе   подготовки   к   ЕГЭ.   Мы   повторим,   обобщим   и   приведем   в   систему   изученные   виды,   типы, методы   и   приемы   решения   тригонометрических   уравнений.   Надо   сказать,   что   именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов.   Будем работать и вместе, и индивидуально.  «Сегодня мы учимся вместе: я, ваш учитель, и вы, мои ученики. Но в будущем ученик  должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса», ­ сказал Василий Александрович  Сухомлинский,  советский педагог. Вопросы для учащихся: 1) Какие уравнения называют тригонометрическими?  ( Уравнения, в которых переменная стоит под  знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими). 2) Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений?  ( cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a) 3) Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение? ( Зависит от а: может не иметь  корней, может иметь множество корней в силу периодичности тригонометрических функций). 4) Что значит решить тригонометрическое уравнение? ( Найти множество корней или убедиться, что  корней нет). 5) В уравнениях cos x = a; sin x = a оцените число а? ( Если а<­1 и а>1, то нет корней). 6) Решите  простейшие тригонометрические уравнения. Записывают на доске и в тетради cosx=a sinx=a tgx=a ctgx=a при   а∈[−1;1]x=±arccosa+2πn,n∈Z при   а∈[−1;1]х=arcsina+2πn, х=п­  arcsina+2πn,n∈Z   x=arctga+πn,n∈Z x=arcctga+πn,n∈Z Напомните типы  тригонометрических уравнений и  методы их  решения  Уравнения, сводящиеся к квадратнымasin2x + bsinx + c = 0  Однородные уравнения     а sinx +bcosx = 0asin2x + bcos2x +csinxcosx  = 0  Уравнения, решаемые разложением левой части на множители   а(х) ∙ b(x) =0  Уравнения вида        а sinx +bcosx = с 3 этап – основной.  1) Коллективная работа. Ответ учащихся у доски. 59 Задание 1. Найдите значение выражения     cos214°+cos2104° ¿ Решение. 59 = cos214°+cos2104° ¿ 59 cos214°+cos2(90°+14°) = 59 cos214°+s∈¿214°=59 1 =59 Определите тип уравнения Наметьте план решения Введите соответствующую замену переменной Найдите область допустимых значений введенной переменной Решите полученные простейшие уравнения Запишите верно ответ Ответ. 59. Задание 2. Решите уравнение   8 cos4x +3 sin2x = 8 Решение.   1 2 3 4 5 6 Учитывая, что из основного тригонометрического тождества sin2x = 1­ cos2x, получим  8 cos4x +3 (1­сos2x)  = 8 8 cos4x ­3 сos2x  ­ 5 = 0 Исходное уравнение свелось к  квадратному относительно     сos2x Пусть сos2x = t,   при условии   t∈[0;1] откуда t1=1,   t2= ­5/8­  не удовлетворяют условию t ,   тогда 8t2­3t­5=0, cos2 x =1,    cos x = ±1 ,   x= πn ,    n∈Z Ответ. x= πn ,    n∈Z 2) Групповая работа. Деление класса на 3 группы: Профиль и База(2 группы) Карточка (База). Учащимся выдаются справочные материалы (см. Приложение3) Карточка 1 Вычислить значение тригонометрических  выражений: , если  21 sin 2 3tg 11   sin   3 1 sin   x 2 5,1    sin( x  x ) , если  x  6  3sin  sin   3cos  cos 30 sin3 1020 0 1. 2. 3. 4. 5. Карточка 2 Вычислить значение тригонометрических  выражений: 1.    12 , если  2 sin 5tg 2. tg 2  ctg 2  , если  tg  ctg 2 3.    2 cos  2 sin4 2  2 cos  4. ­ 34 3 cos 930 0 2 sin sin2    2 ,    если  3tg 3  cos cos 2 2   5.  sin 20 0  sin 0 70  cos 20 0  0  cos 70 0 sin 50  Две группы (база) обсуждают результаты работы. Взаимопроверка. Карточка (Профиль) ( см. Приложение 1­ решение) 1) Решите уравнение   cos x – sinx=1. 2) Решите уравнение   cosx + sinx=7. 3) Решите уравнение      log4(sinx+sin 2x+16)=2 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  [−4π;−5π 2 ] 4 этап – Тестирование ( компьютерное). Проверка знаний. N Задание 1 Вычислить cos 600 1 √2 2 Вариант ответа 2 √3 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Вычислить sin 1200 Вычислить  tgπ 4 −1 2 √3 2 0 1 −√3 2 1 2 Решить уравнение  cos x= ­1 2Пп П+2Пп 0 1 2 √3 π 2 +2πn Решить уравнение  sin x = 1 Решить уравнение  cos x=0 Решить уравнениеtg x=1 Упростите выражение  sin⁡(π+α) Упростите выражение  Упростите выражение  3π 2 (¿−α) cos¿ π 2 (¿+α) sin ¿ 2Пп π 2 Пп П π 2 +πn π 2 +2πn π 4 2П 900 600 −sin∝ sin∝ −cosα cosα 1800 450 −cosα cosα sin∝ −sin∝ sin∝ −sin∝ cosα −cosα 5 этап ­ заключительный Информация о домашнем задании и инструктаж о её выполнении. 1) Всем подготовиться к тестовой работе по теме «Тригонометрия» База. 2) по учебнику: стр. 213 №№ 19.27, 19.28. Профиль. 2 ) по учебнику: стр.212 №18.45, стр. 214 №21.52. Итог урока. Оценивание (см. Приложение2) Оценивание:  ­ За работу у доски ­ За активное участие на уроке N 1     2   Этапы урока Повторение ранее изученного *Знание формул, правил  *Применение формул и правил на практике Закрепление ранее изученного материала   *Преобразование  выражений Оценка работы *Решение уравнений * Отбор корней Тестирование (компьютерное) Оценка за работу на уроке     3   Рефлексия.  Выразите свое отношение к уроку. Постройте на листах контроля график функции y=cosx и поставьте смайлик в том месте графика, которое отражает ваши ощущения на уроке: чувствовали ли вы себя на  гребне волны или же, наоборот, в самой нижней точке(см. Приложение2) Предлагаю закончить урок словами чешского педагога Яна  Амоса Коменского: «Считай несчастным  тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию». Спасибо за хорошую работу на уроке. До свидания. Задание 1(П). Решение: cos x – sinx=1. Приложение1 1 способ. Преобразование разности в произведение.            cosx – sinx = 1 (¿−x)−sin⁡x=1 π 2 sin ¿ π 2 −x+x 2 2cos sin π 2−x−x 2 =1 2cos π 4 sin(π 4−x)=1 √2sin(π 4 −x)=1,sin(π 4 −x)=√2 2 4−x=π π 4 +2πn,n∈Zπ 4 −x=π−π 4 +2πn,n∈Z x=2πn,n∈Zx=−π 2 +2πn,n∈Z Ответ. x=2πn,x=−π 2 +2πn,n∈Z 2 способ. Введение вспомогательного угла cosx− 1 √2 cosx – sinx=1, √12+(−1)2=√2 1 √2 sinx= 1 √2 Введем вспомогательный угол  φ  такой, что         cosφcosx−sinφsinx= 1 √2 x=±π 4 −π 4 +2πn,n∈Z Откуда  φ=¿ 1 √2 sin ¿ φ=¿ 1 √2 cos¿       Значит,  φ=π 4 Получим           (φ+x)=¿ 1 √2 π 4 +x=±π cos ¿ 4 +2πn,n∈Z x=2πn,x=−π 2 +2πn,n∈Z Ответ. x=2πn,x=−π 2 +2πn,n∈Z 3 способ. Использование формул двойного угла. cos x – sin x=1 cos2∙x 2−sin 2∙x 2=cos2 x 2−sin2x 2 cos2x 2−sin2 x 2−2sin x 2 cos x 2=cos2 x 2−sin2 x 2 −2sin2 x 2−2sin x 2 cos x 2=0 −2sin x 2 (sin x 2 +cos x 2)=0 2 +cosx 2=0 2+1=0 2=0илиsin x sin x x 2 =πn,n∈Ztgx tgx 2=−1 2 =−π x 4 +πn,n∈Z x=−π 2 +2πn,n∈Z Ответ. x=2πn,x=−π 2 +2πn,n∈Z 4 способ.  С учетом множества значений функций cosx – sinx = 1 Разность косинуса и синуса одного угла может быть равна 1,  если  а)    {cosx=1 sinx=0 и      б)  { cosx=0 sinx=−1 1 0 ­1 Откуда получим x=2πn,x=−π 2 +2πn,n∈Z Задание 2. Решите уравнение   cosx + sinx=7. Решение.  Учитывая множество значений функций y=cosx   и  y=sinx, которыми являются отрезки  [−1;1]     ,  сумма  не может быть равна 7. Поэтому, уравнение корней не имеет. Ответ. Корней нет. Тригонометрические выражения, уравнения и отбор корней присутствуют в заданиях ЕГЭ по  математике базового и профильного уровней.  Задание 3. Решение ЕГЭ. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся, стр.79,  5. Задачи повышенной сложности     5.1.13. а) Решите уравнение      log4(sinx+sin 2x+16)=2 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  [−4π;−5π 2 ] Определите тип уравнения Наметьте план решения Выберите подходящий способ отбора корней тригонометрического уравнения:     ­ с помощью оси ОХ,  ­ с помощью единичной окружности, ­ с помощью двойного неравенства, ­ с помощью последовательного перебора целых значений n log4(sinx+sin 2x+16)=2 а) Решите уравнение      Решение. log4(sinx+sin 2x+16)=2 log4(sinx+sin 2x+16)=log416 Решением данного уравнения является решение системы, состоящей из области определения логарифмической  функции и решения тригонометрического уравнения. {sinx+sin 2x+16>0, sinx+sin2x+16=16 1) sinx+sin2x+16>0 Учитывая множество значений функций y=sinx   и  y=sin2x, которыми являются отрезки  [−1;1]     , сумма  может быть в промежутке (­2;2), а множество значений функции  y=sinx+sin2x+16 заключено в промежутке (14; 18). Поэтому, неравенство    sinx+sin2x+16>0 выполняется при любых  значениях х. Значит,  x∈R 2) sinx+sin2x+16=16 sinx+2sinxcosx=0 sinx(1+2cosx)=0 sinx=0или1+2cosx=0 x=πn,n∈Zcosx=−1 2 x=±(π−π 3)+2πn,n∈Z x=±2π 3 +2πn,n∈Z Таким образом, получаем систему { Значит, решением уравнения является        x=πn,x=±2π x∈R x=πn,x=±2π 3 +2πn,n∈Z б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3 +2πn,n∈Z [−4π;−5π 2 ] -4П -3П −5П 2 -2П - П x 0 −2П 3 2П 3 П у 1 - 3П 0 -4П х −5П 2 Ответ. а)  x=πn,x=±2π ,х3=−3π,х4=−8π . 3 3 +2πn,n∈Z        б)  х1=−4π,х2=−10π 3 Задание 6. При каких значенияха  уравнение   sin4x+cos4x=a  имеет корни. Найдите эти  корни. Решение.  (продемонстрировать на слайде, используя опцию «шторка») sin4x+cos4x=a Преобразуем правую часть уравнения (sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=a 1− 1 2 sin22x=asin22x=2−2a Полученное уравнение имеет корни, если  0≤2−2a≤1 , откуда   1 2 ≤a≤1 Таким образом, при      1 2 ≤a≤1     исходное уравнение имеет корни. sin2x=±√2−2a sin2x=−√2−2asin2x=√2−2a 2x=(−1)n+1arcsin√2−2a+πn,n∈Z2x=(−1)narcsin√2−2a+πn,n∈Z или       2x=±arcsin √2−2a+πn,n∈Z x=±1 2 arcsin√2−2a+πn 2 ,n∈Z Ответ. При    1 2 ≤a≤1     уравнение имеет корни     x=±1 2 arcsin√2−2a+πn 2 ,n∈Z Приложение 2 Лист рефлексии                                   Фамилия, имя__________________ № 1 2 3 4 Вопрос Комфортно ли вам было на уроке? Поняли ли вы материал урока? Требовалась ли вам помощь: а) учителя б) учебника в) соседа по парте? Оцените свою работу на уроке по  пятибалльной системе. Ответ ( +  или  ­  ) . . . . . . Оценочный лист N 1     2     Этапы урока Повторение ранее изученного *Знание формул, правил  *Применение формул и правил на практике Закрепление ранее изученного материала   *Преобразование  выражений   *Решение уравнений Формулы тригонометрии    Оценка работы Приложение 3