ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ по теме ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Министерство образования и науки Челябинской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение "Южно­Уральский многопрофильный колледж" ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ по дисциплине МАТЕМАТИКА тема 1.3 ОСНОВЫ  ТРИГОНОМЕТРИИ Для специальностей, реализующихся на базе  основного общего образования.  Гуманитарный  профиль Челябинск, 2018 ОДОБРЕНО                                                                          Цикловой методической  комиссией                                               ЕН  дисциплин (ЮК).                                                                                               Протокол №   7                                                              « 25 » апреля  2018 г. Председатель ЦМК ____________ О.Н.Суханова Составитель: М.А. Вуйлова, преподаватель математических дисциплин                       ГБПОУ «Южно­Уральский многопрофильный колледж» Рецензент: Н.А. Полоскова, преподаватель математики ГБПОУ «Южно­                        Уральский многопрофильный колледж» Пособие   предназначено   для   студентов   1   курса,   обучающихся   по гуманитарному профилю.  В   дидактических   материалах   по   теме   Тригонометрия   приведены базовые   темы   программы,   знание   которых   необходимо   для   дальнейшего успешного усвоения программного материала. По каждой теме проводится актуализация опорных знаний, приводятся  задания для практических работ, предлагаются индивидуальные задания  для  самостоятельной работы.         Пособие может быть использовано для организации работы по  устранению пробелов обучающихся по математике. 1. Какой знак имеет: α а) sin α, если   = 13°, 103°, 218°, 302°; α α , если  б) cos   = 41°, 179°, 273°, 354°; α α  = 14°, 86°, 191°, 311°; , если  в) tg  α α г) ctg  , если   = 67°, 98°, 195°, 279°?  2.   Какой знак имеет: 1) а) sin 169°;    б) cos 110°;    в) tg 203°;     г) ctg 288°; 2) а) sin 409°;     б) cos 373°;     в) tg 540°;     г) ctg 364°; 3) а) sin ( ­88°);     б) cos ( ­12°);     в) tg ( ­72°);     г) ctg ( ­110°)? 3. Укажите в таблице соответствующий знак синуса, косинуса, тангенса и  котангенса: 367° ­43° ­105° 116° 208° α sin α cos α tg α ctg α 4. Определите знак выражения: а) sin 16° cos 206°; б) sin 108° cos 300°; sin 267° sin 167° ; cos 140° cos14° ; в)  г)  д) sin 160° cos 205° tg 97°; е) sin 155° cos 88° tg 105°. α 5. Углом какой четверти является угол  α  < 0 и  а) sin α > 0 и tg α < 0;            в) cos  , если известно: tg  α  > 0? 6. Найдите значение выражения: 1) а) sin ( ­45°);     б) cos ( ­60°);     в) tg ( ­30°);     г) ctg ( ­45°); 2) а)  sin(−60°)+sin0° ;     б) sin(−30°)+cos(−60) sin(−90°)+cos(−90°) ;     в) ; г) cos(−60°)+tg(−45°) . 7. Вычислите: а)  sin 420° ;     б)  cos390° ;     в) tg 405°;     г) ctg 390°;  д)  sin750° ;     е)  cos720° . 8. Известно, что   π<α< 3π а)  sinαtgα ;     б)  2 . Сравните с нулем значение выражения: cos ³α sinα ;     в)  sin ³α cosα ;     г)  sinα+cosα . 9. Зная, что  cosα=а , найдите: а)  1 + cosα ;     б)  1−cos (−α) cos(α−720°) ; д)  sin(360°+α) ;     е)  sin(360°−α) . ;     в)  cos(α+720°) ;     г) 10. Какой координатной четверти принадлежит угол  α , если: sinα+cosα=−1.03° ? 11. Зная, что  φ  ­ угол третьей четверти, упростите выражение: а)  |sinφ|+sinφ ;     б)  cosφ−|cosφ| ;     в)  tgφ+|tgφ| ;     г) |sinφ|−|tgφ| . 12. Вычислите : ; 1) а) 3cos60°−2sin30°+6ctg60°−2ctg30° ; б)  sin(−30°)+cos(−60°)–2tg(−30°)ctg(−60°) в)  5sin (−45°)+5cos(−45°)−√3tg(−30°)+sin (−30°) 2)   а)  3cos π 3−2sin π б)  sin(−π)+2cos(−π 3 )ctg(−π в)  6tg(−π 6+3tgπ 2 )−3sin π 6 )+sin(−π 4 +3cos(−π 4 ) 2 )−5cos (−π) 4 −ctgπ 4 ; ; . ; 13. Найдите значение выражения: а)  sinα−cosα  при  α=0, π 2 б)  2sinα+cos2α  при  α=0, π 6 ,π,2π ; ,π 2 ,π; ,π 2 ; в)  3sinα−cos3α  при  α=0, π ,π 6 3 ,π г)  sin3α+cosα  при  α=0, π 6 3 14. Вычислите: 1)   а)  sin² π в)  tg² π 3 3 ;     б)  2sin ² π cosπ 6 ;     г)  sin π 4 4 ,π. 6 −cos² π ctg² π 4 )+cos ²(−π 4 ) 6 )+ctg²(−π 3 ) 4 +3cos² π 4 ; tg² π 6 . 6 )ctg²(−π 3 ) ;     б)  3cos²(−π ;     г)  tg²(−π 4 )ctg²(−π 4 ) . ; 2)   а)  sin²(−π в)  tg²(−π 15. Вычислите: 2sin ²π ctg² π 6 6−cos²π 6 cos π 3 3.5−sin ²(−π 4 )−cos²(−π 4 ) 2tg²(−π 4 ) . ;   б)  а)  а)  б)  в)  г)  16. Найдите значение выражения: sin 2α−cos2α sin (α−15°)+2tgα     при  α=45° ; sin (α+β)+sin (α−β) 2sin (α+β)     при  α=60°,β=30° ; sin 2α−cosαtgα cosα+sin(−α)+ctgα     при   α=π 4 ; sin (α−β)−3cosα    при  α=π ,β=π 6 . 3 3sin(α+β) 4 >1 ; 17. Верно ли неравенство: а)  sinπ б)  tgπ в)  sinπ г)  2sin π 4 +cos π 6 +tgπ 3 >1 ; 2 +sin π 4 >2 ; 3 +cos π 2 >2? 18. Докажите, что sin π 3 tgπ 3=ctg² π 6(1−sin² π 4) 2 <α<2π; ,π<α< 3π 2 ; 19. Вычислите: а)  cosαиtgα,еслиsinα=−0.8, 3π б)  sinαиtgα,еслиcosα=−24 25 в)  cosα,tgα,ctgα,еслиsinα=24 ,π 2 <α<π ; 25 г)  sinα,tgα,ctgα,еслиcosα=−12 ,π<α< 3π 2 ; 13 д)  sinαиcosα,еслиtg=2.4,π<α< 3π 2 ; ,0<α<π е)  sinαиcosαЮеслиctg= 5 2 . 12 20. Докажите, что не могут одновременно выполняться равенства: а)  sinα=3 4 б)  cosα=1иsinα=−1 . иcosα= 2 3 ; 21. Могут ли одновременно выполняться равентсва: а)  cosα=1 4 б)  sinα=0.7иctgα=2√2 ? иtgα=√3 ; π ; 22. Вычислите значения тригонометрических функций угла  β , зная, что: ,π 2 <β< 3 а)  sinβ=−40 2 41 б)  cosβ=4 ,0<β<π ; 5 в)  tgβ=−1,π<β<2π ; г)  ctgβ=2,0<β<π . 23. Выразите тригонометрические функции угла  24. Дано:  0°≤α≤90°,cosα=1+а.Найдитеsinα.  Каким может быть  α  через  sin α/ число а? 25. Могут ли синус и косинус некоторого угла равняться соответственно 1−аи√1−2а а 1−а , где а – число, не равное 1? 26. Упростите выражение: 1)   а)  sin²α+cos ²α+ctg²α ; ; б)  sin²α(1+tg²α) в)  1− 1 г) 4−tgαctgα ; sin²α ; 2)   а)  sin²β−cos²βsin ²β ; б)  sin ⁴β+sin ²βcos²β ; в)  tg²βctg²β−sin²β $ 1−cos²β sin²β−1 . г) 27. Докажите тождество: 1)   а) sinα=cosαtgα ; б)  2)    a)   б)  sin²α $ ctgα tgα+1= 1 ctgα tgα+ctgα=cos²α $ 1+ctgα 1+tgα =ctgα . 28. Упростите: (1−cos (−α))(1+cos(−α)) а)  в)  sin(−α)−sinαctg² (−α) ;     б) tgαctg(−α)+cos²(−α) −ctg(−β) 1+cos (−β) sin (−β) ;            г)  ; ; sin ²(−β)−sin ⁴ (−β) cos ²(−β) д)  ;                              е)  sin(−α) 1−cos(−α) −ctg(−α) . 29. Докажите, что при любых допустимых значениях  φ  значение  выражения  1+ctgφ+ctg²φ 1+tgφ+tg²φ −ctg²φнезависитотφ. 30. Найдите наименьшее значение выражения: 1−cos ⁴β а)  4cosβ+4cos³β ;     б) cos³βtg³β+9sin³β / 31. Найдите значение выражения  tgφ−ctgφ tgφ+ctgφ ,зная,чтоcosφ=3 5 . 32. Упростите выражение: cosα+ctgα 1+sinα ;     б) (1−cos²α) (1+tg²α) 1+cosα+ 1+cosα sinα 1−2sinαcosα sinα−cosα ;     е)  sin ⁴α−cos⁴α+cos²α ; 1+ctg⁴α ;      cosα 1+sinα− cosα sinα ;     г)  1−sinα ; cos ²α 1+tg²α− sin²α 1+ctg²α . ctg²α+tg²α ;     з) а)  в)  д)  ж)  sin ³α−cos ³α 1+sinαcosα=sinα−cosα. , найдите значение выражения  tg²α−sin ²α . 33. Докажите тождество: а)  ctg²α−cos²α=ctg²αcos ²α ;    б)  34. Зная, что  cosα=2 3 35. Докажите тождество: cos²α а)  tg²α−sin²α=ctg⁴α ;     б)  3sin ²α+cos ⁴α 1+sin ²α+sin ⁴α=1. cos²β−sinβcosβ sin²β−sinβcosβ , если известно, что 36. Найдите значение дроби    tg=−0.25 . 37 . Докажите, что при всех допустимых значениях  φ  выражение sin²φcos ²φ 1−sin ⁴φ−cos ⁴φ  принимает одно и то же значение. 38. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции   у=4cos²х−3sin²х 39. Найдите два значения х, при которых верно равенство  2cosх=√3 . 40. Вычислите с помощью формулы сложения: 1) а)  cos75° ;     б) cos 5 4 2) а)  cos72°cos18°−sin 72°sin 18° ; б)  cos 8π 3 в)  cos15°30´cos29°30´−sin15°30´sin 29°30´ ; 3 +sin 8π 3 sin 7π 3 ; cos 7π π ; 4),еслиsinα=0.8, π 3),еслиcosα=−15 3) а)  cos(α−π б)  cos(α+π в)  cos(α+β)иcos(α−β),еслиcosα=−15 17 sinβ=12 13 2 <α<π; ,3π 2 <α<2π ; ,3π 2 <α<2π,и 17 ,π 2 <β<π. 41. Упростите выражения: а)  cos2αcos3α−sin 2αsin 3α ; б)  cosαcos2α−sin (−α)sin2α ; 7 +α)cos(π 4−α)−sin( 3π в)  cos(3π 7 +α)−cos( 3π 7 −α)sin( 4π г)  sin( 3π 2 −β) 2 −α)sin(π д)  cos(α+β)−sin(π . 4−α) 7 +α)sin(π 7 +α) 7 −α)cos( 4π ; ; 42. Докажите тождество: cos(α+β) sinαsinβ=ctgαctgβ−1 . 43. Докажите формулы: 2 +α)=sinα ; а)  cos(3π б)  cos(π−α)=−cosα . π ; 44.Вычислите с помощью формул сложения: 1) а)  sin150°;      б) sin 3 4 2) а)  sin33°cos63°−cos33°sin 63° ; б)  sin 5π 7 в)  sin27°20´cos32°40´+cos27°20´sin 32°40´ ; 3) а)  sin(π 3 +α),еслиcosα=2 7 +cos 5π 7 2 <α<2π ; sin 2π 7 ; cos 2π и3π 5 2 <α<π ; 6),еслиsinα=0.6иπ б)  sin(α−π в)  sin(α−β)иsin (α+β),еслиsinα=−0.75,π<α< 3π 2 и  sinβ=0.8,0<π<π 2 . 45. Упростите: а)  sinαcos2α−cosαsin2α 4 б)  sin2αcos3α+cos2αsin3α ; 5 )+cos( 3π в)  sin( 3π г)  sin(α−β)+sin(π 5 −α)cos(α+ 2π 2 −α)sinβ . 5 −α)sin(α+2π 5 ) ; 46. Докажите тождество: sin(α−β)sin(α+β)=cos²β−cos²α . ,tgβ= 4 3 ,найдитеtg(α−β) . 47. Зная, что  tgα= 5 3 48. Вычислите: а)  ctg150° ; б)  tg120° ; в)  ctg(−240°) . 49. Найдите: 1)  tg2α , если: а)  tgα=1.1 ;     б)  ctgα= 3 √5 . 2)  cos2αиtg2α,еслиcosα=−5 13 50. Вычислите: 4tgπ 12 1−tg² π 12 ;     б)  а)  51. Найдите: а)   sin2α,еслиsinα+cosα=1 3 ; ,π<α< 3 2 π . 2sin 15°cos15° cos²67.5°−sin ²67.5° . α,еслиsin α 2−cosα sin ¿ 2=−¿ 1 3 . б)  52. Упростите: а)  2sinαsin(π 2−α) cosαsin 2α 2tgα ; ;     б) 1+cos2α ;     в)  cos2α+1 sin 2α ;    г) sin2α 2cos²α ;     ж) д)  2cos ²α−cos 2α ;     е)  з)  cos2α+2sin²(−α);    и)  ctg²α(1−cos2α)² ;   к) cos 2α−sin2α−2cos²α 1−sin2α (sinα−cosα)² ; cosα+sinα . 53. Докажите тождество: sin2α−sinα 1−cosα+cos 2α=tgα ;     б)  1+cos2α 1−cos2α=ctg²α . а)  54. Выразите: а) cos 2α только через sinα; /2.α б) cos   только через  sin  α Список использованной литературы 1. Пехлецкий И.Д. Математика, СПО. – М.: Академия, 2008. 2. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. – М.: Академия, 2009. 3. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. – М.: Академия, 2007. 4. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1980. 5. Подольский В.А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1974. 6. Башмаков М.И. Математика, 10 кл. – М.: Академия, 2009. 7. Башмаков М.И. Математика, 11 кл. – М.: Академия, 2009.