Доказанные теоремы о новом треугольнике с углами находящимися в геометрической последовательности

Треугольник с углами
π/7, 2π/7 и 4π/7.

Доказательство:
Используя теорему синусов: a/sin⁡А =b/sin⁡В =c/sin⁡С =2R
Получим:a/(sin π/7)=2R;b/(sin 2π/7)=2R; c/(sin 4π/7) =2R
Тогда:a/(sin π/7)=b/(sin2π/7)=c/(sin4π/7).
Используя формулу двойного угла синуса sin(2α) = 2sin(α)cos(α) получаем
a/(sin π/7) = b/(2sin π/7 • cos π/7) =>a=b/(2 cos π/7) =>в = 2а * cos π/7.
Аналогично
b/(sin 2π/7)=c/(sin 4π/7); b/(sin 2π/7) = c/(2sin 2π/7 • cos 2π/7)
b=c/(2 cos 2π/7) =>c = 2b * cos 2π/7.
Далее используя формулу приведенияSin π/7= sin( π-3/7 π)= sin (3π/7)
a/(sin π/7)=c/(sin 3π/7)
Sin π/7=Sin ( π-6π/7)= Sin 6π/7=2 sin 3π/7 cos 3π/7
c/(sin 3π/7) = a/(2sin 3π/7 • cos 3π/7)
Тогда длина стороны а может быть выражена следующим равенством
a=c/(2 cos 3π/7) => в = 2а * cos π/7.

Сложим теперь все три равенства, предварительно возведя каждое в квадрат
a2+ b2+c2=4a2 cos 2 𝐴 cos 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 𝐴 𝐴𝐴 cos 2 𝐴 +4b2 cos 2 𝐵 cos 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 𝐵 𝐵𝐵 cos 2 𝐵 +4c2 cos 2 С cos 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 С С cos 2 С

С другой стороны:




Откуда окончательно
a2+ b2+c2=4R2( sin 2 𝐴+ sin 2 sin sin 2 2 sin 2 sin 2 𝐴+ 𝐴𝐴+ sin 2 𝐴+ sin 2 𝐵+ sin 2 𝐶 sin 2 sin sin 2 2 sin 2 sin 2 𝐵+ sin 2 𝐶 𝐵𝐵+ sin 2 𝐶 sin 2 sin sin 2 2 sin 2 sin 2 𝐶 𝐶𝐶 sin 2 𝐶 sin 2 𝐵+ sin 2 𝐶 )=
=4R2(2+2cosA•cosB•cosC)=4R2• 7 4 7 7 4 4 7 4 =7R2

𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 =4 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 A

𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 =4 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 B

𝑐 2 𝑐𝑐 𝑐 2 2 𝑐 2 =4 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 C

Теорема 2:
Если a, b, c стороны треугольника АВС с углами π/7, 2π/7и4π/7 , то сторона а равна половине среднего гармонического двух других его сторон.

Доказательство:
Известно, что в нашем треугольнике
sin⁡(3А)=(sin⁡4А), тогда
sin⁡А= sin2A/2cosA=
=(sin2A*sin4A)/(2cosA*sin3A)=
=(sin2A*sin4A)/(sin2A+sin4A)
Учитывая, что
a/sinA =b/sinB=c/sinC=2R
получим: a=bc/(b+c).
Что и требовалось доказать.
Используя это утверждение можно показать, что b=ac/(c-a), c=ab/(b-a).

Теорема 3;
Если ℎ 𝑎 ℎ ℎ 𝑎 𝑎𝑎 ℎ 𝑎 ℎ 𝑏 ℎ ℎ 𝑏 𝑏𝑏 ℎ 𝑏 ℎ 𝑐 ℎ ℎ 𝑐 𝑐𝑐 ℎ 𝑐 - высоты, опущенные соответственно на стороны а,b,c треугольника АВС с углами ∠A= π/7, ∠B= 2π/7 , ∠C= 4π/7 ,
то ℎ 𝑎 ℎ ℎ 𝑎 𝑎𝑎 ℎ 𝑎 = ℎ 𝑏 ℎ ℎ 𝑏 𝑏𝑏 ℎ 𝑏 + ℎ 𝑐 ℎ ℎ 𝑐 𝑐𝑐 ℎ 𝑐

Доказательство:
Используя предыдущие результаты, можем написать
1/а = 1/в+1/с
Кроме того, пользуясь обычной формулой площади, запишем
ha= 2S/a ; ℎ 𝑏 ℎ ℎ 𝑏 𝑏𝑏 ℎ 𝑏 = 2S/b ; ℎ 𝑐 ℎ ℎ 𝑐 𝑐𝑐 ℎ 𝑐 = 2S/c,
где
S - площадь исходного треугольника АВС, откуда сразу же получим
результат ha = hb + hc

Основные числовые соотношения,
Элементами треугольника АВС,углы которого равны:
∠A= π/7, ∠B= 2π/7 , ∠C= 4π/7
cos A • cos В • cos C =-1/8
sin2 A + sin2 В + sin2 C=7/4
sin 2 A + sin 2 В + sin 2 C=√7/2
cos2 A + cos2 В + cos2 C =5/4
cos2 A + cos2B + cos2 C = - 1/2
sin2 A • sin2 В• sin2 C = 7/64
sin A • sin В• sin C =√7/8
sin2A • sin2 В+ sin2 A• sin2 C+ sin2 В• sin C=7/8
sin4 A + sin4 В + sin4 C=21/16
cos4 A + cos4 В + cos4 C =13/16
cos2 A • cos2 В +cos2 A • cos2 C+ cos2 В• cos2 C=3/8
tg2A+ tg2B+ tg2C=21
ctg2A+ ctg2B+ ctg2C=5
tgA• tgB• tgC=-√7
ctgA+ ctgB+ ctgC= √7
sin A + sin В + sin C=√7/2

sin A + sin В + sin C=√7/2

Теорема 4:

Суммы квадратов высот треугольника АВС с

углами π/7, 2π/7 и 4π/7

равны половине суммы квадратов его

сторон:

ℎ 𝑎 2 ℎ ℎ 𝑎 2 𝑎𝑎 ℎ 𝑎 2 2 ℎ 𝑎 2 + ℎ 𝑏 2 ℎ ℎ 𝑏 2 𝑏𝑏 ℎ 𝑏 2 2 ℎ 𝑏 2 + ℎ 𝑐 2 ℎ ℎ 𝑐 2 𝑐𝑐 ℎ 𝑐 2 2 ℎ 𝑐 2 = ( 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐𝑐 𝑐 2 2 𝑐 2 )/2

sin A + sin В + sin C=√7/2

Доказательство:
Запишем высоты и стороны исходного треугольника с помощьютригонометрических функций
ℎ 𝑎 ℎ ℎ 𝑎 𝑎𝑎 ℎ 𝑎 = (c•sinα)/2=(c•sinπ/7)/2
ℎ 𝑏 ℎ ℎ 𝑏 𝑏𝑏 ℎ 𝑏 = ( a•sin β )/2=(a•sin 2π/7)/2
ℎ 𝑐 ℎ ℎ 𝑐 𝑐𝑐 ℎ 𝑐 = (b•sinγ)/2=(b•sin 4π/7)/2
и сложив квадраты равенств, получаем откуда
ℎ 𝑎 2 ℎ ℎ 𝑎 2 𝑎𝑎 ℎ 𝑎 2 2 ℎ 𝑎 2 + ℎ 𝑏 2 ℎ ℎ 𝑏 2 𝑏𝑏 ℎ 𝑏 2 2 ℎ 𝑏 2 + ℎ 𝑐 2 ℎ ℎ 𝑐 2 𝑐𝑐 ℎ 𝑐 2 2 ℎ 𝑐 2 = ( 𝑐 2 𝑐𝑐 𝑐 2 2 𝑐 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 π/7+ 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 2π/7+ 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 4π/7)/2
и далее применяя известные соотношения,
получим искомое
ℎ 𝑎 2 ℎ ℎ 𝑎 2 𝑎𝑎 ℎ 𝑎 2 2 ℎ 𝑎 2 + ℎ 𝑏 2 ℎ ℎ 𝑏 2 𝑏𝑏 ℎ 𝑏 2 2 ℎ 𝑏 2 + ℎ 𝑐 2 ℎ ℎ 𝑐 2 𝑐𝑐 ℎ 𝑐 2 2 ℎ 𝑐 2 = ( 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐𝑐 𝑐 2 2 𝑐 2 )/2

sin A + sin В + sin C=√7/2

 
Если a,b,c стороны треугольника ABC
с углами π/7; 2π/7;4π/7, то
𝐛 𝟐 𝐛𝐛 𝐛 𝟐 𝟐𝟐 𝐛 𝟐 – 𝐚 𝟐 𝐚𝐚 𝐚 𝟐 𝟐𝟐 𝐚 𝟐 =ac,
𝐜 𝟐 𝐜𝐜 𝐜 𝟐 𝟐𝟐 𝐜 𝟐 - 𝐛 𝟐 𝐛𝐛 𝐛 𝟐 𝟐𝟐 𝐛 𝟐 = ab,
𝐜 𝟐 𝐜𝐜 𝐜 𝟐 𝟐𝟐 𝐜 𝟐 - 𝐚 𝟐 𝐚𝐚 𝐚 𝟐 𝟐𝟐 𝐚 𝟐 =bc.
 
2) В треугольнике АВС со сторонами а, в. с и
углами π 7 π π 7 7 π 7 ; 2π 7 2π 2π 7 7 2π 7 ; 4π 7 4π 4π 7 7 4π 7
𝐛 𝟐 𝐚 𝟐 𝐛 𝟐 𝐛𝐛 𝐛 𝟐 𝟐𝟐 𝐛 𝟐 𝐛 𝟐 𝐚 𝟐 𝐚 𝟐 𝐚𝐚 𝐚 𝟐 𝟐𝟐 𝐚 𝟐 𝐛 𝟐 𝐚 𝟐 + 𝐜 𝟐 𝐛 𝟐 𝐜 𝟐 𝐜𝐜 𝐜 𝟐 𝟐𝟐 𝐜 𝟐 𝐜 𝟐 𝐛 𝟐 𝐛 𝟐 𝐛𝐛 𝐛 𝟐 𝟐𝟐 𝐛 𝟐 𝐜 𝟐 𝐛 𝟐 + 𝐚 𝟐 𝐜 𝟐 𝐚 𝟐 𝐚𝐚 𝐚 𝟐 𝟐𝟐 𝐚 𝟐 𝐚 𝟐 𝐜 𝟐 𝐜 𝟐 𝐜𝐜 𝐜 𝟐 𝟐𝟐 𝐜 𝟐 𝐚 𝟐 𝐜 𝟐 = 5

Приведены и доказаны теорем о свойствах треугольника, углы которых составляют геометрическую прогрессию

Проведено исследование треугольников, углы которых составляют геометрическую прогрессию