Доказательство тождеств
Цели: закрепить умение умножать многочлены; рассмотреть применение данного умения при решении уравнений и текстовых задач; проверить уровень усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
Выполните умножение.
а) 2a3 · a5;г) 4а2
(2а – 7);ж) (а + 2) (b – 7);б) –0,7х2 ·
5х8; д)
x (2x – 5x2); з)
(х – 3) (2 – у);
в) y · (–6y4);
е) –3р4 (2р2 – 5р3); и)
(2х2 – 1) (х4 + 3);к) (–2 – п) (т
– 5).
II. Формирование умений и навыков.
№ 697.
Решение:
б) (1 – 2х) (1 – 3х) = (6х – 1) х – 1;
1 – 3х – 2х + 6х2 = 6х2 – х – 1;
6х2 – 5х + 1 – 6х2 + х + 1 = 0;
–4х = –2;
х = .
Ответ: .
г) (х + 4) (х + 1) = х – (х – 2) (2 – х);
х2 + х + 4х + 4 = х – 2х + х2 + 4 – 2х;
х2 + 5х + 4 – х2 + 4х – 4 = 0;
9х = 0;
х = 0.
Ответ: 0.
1. № 701.
Решение:
Пусть даны три последовательных нечётных числа: 2п + 1, 2п
+ 3,
2п + 5. Найдем произведение двух больших из них: (2п + 3) (2п
+ 5) и произведение двух меньших: (2п + 1) (2п + 3). По условию
разность между этими произведениями равна 76.
Составим и решим уравнение.
(2п + 3) (2п + 5) – (2п + 1) (2п + 3) = 76.
4п2 + 10п + 6п + 15 – 4п2 – 6п – 2п – 3 = 76;
8п + 12 = 76;
8п = 64;
п = 8.
Найдем числа: 2п + 1 = 2 · 8 + 1 = 17.
2п + 3 = 2 · 8 + 3 = 19.
2п + 5 = 2 · 8 + 5 = 21.
Ответ: 17, 19 и 21.
2. № 702.
Решение:
Пусть длина прямоугольника равна х см, тогда его ширина
равна
(35 – х) см. Значит, этот прямоугольник имеет площадь х (35 – х)
см2.
Длину уменьшили на 5 см, и она стала равна (х – 5) см, а ширину увеличили на 5 см, и она стала равна (40 – х) см. Тогда площадь нового прямоугольника стала (х – 5) (40 – х) см2. По условию эта площадь на 50 см2 больше, чем площадь данного прямоугольника.
Составим и решим уравнение:
(х – 5) (40 – х) – х (35 – х) = 50;
40х – х2 – 200 + 5х – 35х + х2 = 50;
10х – 200 = 50;
10х = 250;
х = 25.
Значит, длина исходного прямоугольника равна 25 см, тогда его ширина равна 10 см.
Ответ: 25 см и 10 см.
В процессе решения задач сильным учащимся дополнительно можно предложить выполнить задания на карточках.
Карточка № 1
1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:
2. Докажите, что значение выражения (163 – 83) (43 + 23) делится на 63.
3. Докажите, что произведение двух средних из четырех последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел.
Карточка № 2
1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:
2. Докажите, что значение выражения (1252 + 252)
(52 – 1) делится
на 39.
3. Докажите, что квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
Решение заданий на карточках
Карточка № 1
1.
+ 56m3 – 7m4 + 12m – 32m2 + 4m3 = 2m5 – 23m4 + 64m3 – 53m2 + 12m.
2. Преобразуем данное выражение и вынесем за скобки общий множитель:
(163 – 83)
(43 + 23) = (212 – 29) (26
+ 23) = 29(23 – 1) · 23 (23
+ 1) =
= 212 · 7 · 9 = 212 · 63.
Очевидно, что данное произведение делится на 63.
3. Пусть даны четыре последовательных целых числа: п, п + 1, п + 2, п + 3. Произведение средних чисел равно (п + 1) (п + 2), а произведение крайних чисел равно п (п + 3).
Составим разность и упростим её:
(п + 1) (п + 2) – п (п + 3) = п2 + 2п + п + 2 – п2 – 3п = 2.
Утверждение доказано.
Карточка № 2
1.
2. Преобразуем данное выражение и вынесем за скобки общий множитель:
(1252 + 252)
(52 – 1) = (56 + 54) (52 – 1) = 54
(52 + 1) (52 – 1) =
= 54 · 26 · 24 = 54 · 2 · 13 · 8 · 3 = 54 · 16
· 39.
Очевидно, что данное произведение делится на 39.
3. Пусть даны три последовательных
нечётных числа: 2п + 1, 2п + 3,
2п + 5. Квадрат среднего из них равен (2п + 3)2, а
произведение крайних равно (2п + 1) (2п + 5).
Составим разность и упростим её:
(2п + 3)2
– (2п + 1) (2п + 5) = (2п + 3) (2п + 3) – (2п
+ 1) (2п + 5) =
= 4п2 + 6п + 6п + 9 – 4п2 –
10п – 2п – 5 = 4.
Утверждение доказано.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1. При каком значении х равны значения следующих выражений:
(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 2
1. При каком значении а равны значения следующих выражений:
(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?
2. Упростите выражение.
а) б)
IV. Итоги урока.
Домашнее задание: № 698; № 700; № 703.
Вариант 1
1. При каком значении х равны значения следующих выражений:
(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 2
1. При каком значении а равны значения следующих выражений:
(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 1
1. При каком значении х равны значения следующих выражений:
(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 2
1. При каком значении а равны значения следующих выражений:
(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 1
1. При каком значении х равны значения следующих выражений:
(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 2
1. При каком значении а равны значения следующих выражений:
(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 1
1. При каком значении х равны значения следующих выражений:
(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 2
1. При каком значении а равны значения следующих выражений:
(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 1
1. При каком значении х равны значения следующих выражений:
(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 2
1. При каком значении а равны значения следующих выражений:
(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?
2. Упростите выражение.
а) б)
Вариант 2
1. При каком значении а равны значения следующих выражений:
(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?
2. Упростите выражение.
а) б)
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.