ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ1

Доказательство тождеств

Цели: закрепить умение умножать многочлены; рассмотреть применение данного умения при решении уравнений и текстовых задач; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

Выполните умножение.

а) 2a³ · a⁵;г) 4а² (2а – 7);ж) (а + 2) (b – 7);б) –0,7х² · 5х⁸;        д) x (2x – 5x²);                 з) (х – 3) (2 – у);

в) y · (–6y⁴);            е) –3р⁴ (2р² – 5р³);  и) (2х² – 1) (х⁴ + 3);к) (–2 – п) (т – 5).

II. Формирование умений и навыков.

№ 697.

Решение:

б) (1 – 2х) (1 – 3х) = (6х – 1) х – 1;

    1 – 3х – 2х + 6х² = 6х² – х – 1;

    6х² – 5х + 1 – 6х² + х + 1 = 0;

    –4х = –2;

    х = .

Ответ: .

г) (х + 4) (х + 1) = х – (х – 2) (2 – х);

    х² + х + 4х + 4 = х – 2х + х² + 4 – 2х;

    х² + 5х + 4 – х² + 4х – 4 = 0;

    9х = 0;

    х = 0.

Ответ: 0.

1. № 701.

Решение:

Пусть  даны  три  последовательных  нечётных  числа:  2п + 1,  2п + 3,
2п + 5. Найдем произведение двух больших из них: (2п + 3) (2п + 5) и произведение двух меньших: (2п + 1) (2п + 3). По условию разность между этими произведениями равна 76.

Составим и решим уравнение.

(2п + 3) (2п + 5) – (2п + 1) (2п + 3) = 76.

4п² + 10п + 6п + 15 – 4п² – 6п – 2п – 3 = 76;

8п + 12 = 76;

8п = 64;

п = 8.

Найдем числа:                        2п + 1 = 2 · 8 + 1 = 17.

                                                       2п + 3 = 2 · 8 + 3 = 19.

                                                       2п + 5 = 2 · 8 + 5 = 21.

Ответ: 17, 19 и 21.

2. № 702.

Решение:

Пусть  длина  прямоугольника  равна  х см,  тогда  его  ширина  равна
(35 – х) см. Значит, этот прямоугольник имеет площадь х (35 – х) см².

Длину уменьшили на 5 см, и она стала равна (х – 5) см, а ширину увеличили на 5 см, и она стала равна (40 – х) см. Тогда площадь нового прямоугольника стала (х – 5) (40 – х) см². По условию эта площадь на 50 см² больше, чем площадь данного прямоугольника.

Составим и решим уравнение:

(х – 5) (40 – х) – х (35 – х) = 50;

40х – х² – 200 + 5х – 35х + х² = 50;

10х – 200 = 50;

10х = 250;

х = 25.

Значит, длина исходного прямоугольника равна 25 см, тогда его ширина равна 10 см.

Ответ: 25 см и 10 см.

В процессе решения задач сильным учащимся дополнительно можно предложить выполнить задания на карточках.

Карточка № 1

1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

2. Докажите, что значение выражения (16³ – 8³) (4³ + 2³) делится на 63.

3. Докажите, что произведение двух средних из четырех последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел.

Карточка № 2

1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

2. Докажите,  что  значение  выражения  (125² + 25²) (5² – 1)  делится
на 39.

3. Докажите, что квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.

Решение заданий на карточках

Карточка № 1

1.

+ 56m³ – 7m⁴ + 12m – 32m² + 4m³ = 2m⁵ – 23m⁴ + 64m³ – 53m² + 12m.

2. Преобразуем  данное  выражение  и  вынесем  за  скобки  общий множитель:

(16³ – 8³) (4³ + 2³) = (2¹² – 2⁹) (2⁶ + 2³) = 2⁹(2³ – 1) · 2³ (2³ + 1) =
= 2¹² · 7 · 9 = 2¹² · 63.

Очевидно, что данное произведение делится на 63.

3. Пусть даны четыре последовательных целых числа:  п,  п + 1,  п + 2, п + 3. Произведение средних чисел равно (п + 1) (п + 2), а произведение крайних чисел равно п (п + 3).

Составим разность и упростим её:

(п + 1) (п + 2) – п (п + 3) = п² + 2п + п + 2 – п² – 3п = 2.

Утверждение доказано.

Карточка № 2

1.

2. Преобразуем  данное  выражение  и  вынесем  за  скобки  общий множитель:

(125² + 25²) (5² – 1) = (5⁶ + 5⁴) (5² – 1) = 5⁴ (5² + 1) (5² – 1) =
= 5⁴ · 26 · 24 = 5⁴ · 2 · 13 · 8 · 3 = 5⁴ · 16 · 39.

Очевидно, что данное произведение делится на 39.

3. Пусть даны три последовательных нечётных числа:  2п + 1,  2п + 3,
2п + 5. Квадрат среднего из них равен (2п + 3)², а произведение крайних равно (2п + 1) (2п + 5).

Составим разность и упростим её:

(2п + 3)² – (2п + 1) (2п + 5) = (2п + 3) (2п + 3) – (2п + 1) (2п + 5) =
= 4п² + 6п + 6п + 9 – 4п² – 10п – 2п – 5 = 4.

Утверждение доказано.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1)    и    (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3)    и    (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) б)

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 698; № 700; № 703.

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1)    и    (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3)    и    (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1)    и    (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3)    и    (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1)    и    (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3)    и    (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1)    и    (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3)    и    (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1)    и    (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3)    и    (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) б)

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3)    и    (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) б)