Допустимые значения переменных входящих в дробные выражения

Допустимые значения переменных,
входящих в дробное выражение

Цели: формировать умение находить допустимые значения переменных, входящих в дробные выражения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Подставьте вместо * какое-нибудь число и назовите полученную дробь:

а) ;                б) ;                 в) ;                    г) ;

д) ;          е) ;               ж) ;               з) .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала происходит в  т р и   э т а п а:

1. Актуализация знаний учащихся.

2. Рассмотрение вопроса о том, всегда ли рациональная дробь имеет смысл.

3. Вывод правила нахождения допустимых значений переменных, входящих в рациональную дробь.

При  актуализации  знаний  учащимся  можно  задать  следующие
в о п р о с ы:

– Какую дробь называют рациональной?

– Всякая ли дробь является дробным выражением?

– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?

Для выяснения вопроса о допустимых значениях переменных, входящих в рациональную дробь, можно предложить учащимся выполнить задание.

З а д а н и е. Найдите значение дроби при указанных значениях переменной:

     при х = 4; 0; 1.

Выполняя  данное  задание,  учащиеся  понимают,  что  при  х = 1  невозможно  найти  значение  дроби.  Это  позволяет  им  сделать  следующий  в ы в о д: в рациональную дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль (этот вывод должен быть сформулирован и произнесён вслух самими учащимися).

После этого учитель сообщает учащимися, что все значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Далее ставится вопрос: как находить допустимые значения переменных? При поиске ответа на этот вопрос учащиеся должны сформулировать  р я д   в о п р о с о в:

1) Если выражение является целым, то все значения входящих в него переменных будут допустимыми.

2) Чтобы найти допустимые значения переменных дробного выражения, нужно проверить, при каких значениях знаменатель обращается в нуль. Найденные числа не будут являться допустимыми значениями.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 10, № 11.

Ответ на вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в дробное выражение, может звучать по-разному. Например, рассматривая рациональную дробь , можно сказать, что допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме х = 4, или что в допустимые значения переменной не входит число 4, то есть х ≠ 4.

И та и другая формулировки являются верными, главное – следить за правильностью оформления.

О б р а з е ц   о ф о р м л е н и я:

№ 11.

г)

4х (х + 1) = 0

О т в е т: х ≠ 0 и х ≠ 1 (или все числа, кроме 0 и –1).

2. № 13.

3. № 14 (а, в), № 15.

При выполнении этих заданий следует обратить внимание учащихся на необходимость учёта допустимых значений переменных.

№ 15.

г)

О т в е т: х = 0.

4. № 17.

Следить за обоснованием всех рассуждений.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 18 и № 20.

№ 18.

Р е ш е н и е

а) .

Из всех дробей с одинаковым положительным числителем большей будет та, у которой знаменатель является наименьшим. То есть необходимо найти, при каком значении а выражение а² + 5 принимает наименьшее значение.

Поскольку выражение а² не может быть отрицательным ни при каких значениях а, то выражение а² + 5 будет принимать наименьшее значение при а = 0.

О т в е т: а = 0.

б) .

Рассуждая аналогично, получим, что необходимо найти то значение а, при котором выражение (а – 3)² + 1 принимает наименьшее значение.

О т в е т: а = 3.

№ 20.

Р е ш е н и е

.

Для ответа на вопрос предварительно нужно преобразовать выражение, стоящее в знаменателе дроби.

.

Дробь будет принимать наибольшее значение, если выражение (2х +
+ у)² + 9 принимает наименьшее значение. Поскольку (2х + у)² не может принимать отрицательные значения, то наименьшее значение выражения (2х + у)² + 9 равно 9.

Тогда значение исходной дроби равно  = 2.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Какие значения называются допустимыми значениями переменных, входящих в выражение?

– Каковы допустимые значения переменных целого выражения?

– Как найти допустимые значения переменных дробного выражения?

– Существуют ли рациональные дроби, для которых все значения переменных являются допустимыми? Приведите примеры таких дробей.

Домашнее задание: № 12, № 14 (б, г), № 212.