ЕГЭ №11, №13 тела вращения

МБОУ ВСОШ г Конаково

Телами вращения называются объемные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченная кривой, вокруг оси, лежащий в той же плоскости.

Определение цилиндра:

Цилиндр – это тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Составляющие цилиндра:

Сечения цилиндра:

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между его плоскостями.
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований. Она параллельна образующим.
Осевое сечение – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Основания цилиндра равны.
У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.
У цилиндра образующие параллельны и равны.
Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Основные формулы

Sоснов= пR2

V= Sоснов* H = пR2 H - объём прямого кругового цилиндра
S = 2πrh - Площадь боковой поверхности цилиндра
(где r — радиус основания, h — высота).

Площадь полной поверхности цилиндра
складывается из площади боковой поверхности и площади оснований. Для прямого кругового цилиндра:
S = 2πrh + 2πr2.

Задача 1: высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания – 10 см. Найти площадь боковой поверхности.

Решение: формула площади боковой поверхности цилиндра - Sбок =2пRH.


R= 10 см,
H= 12 см

Sбок = 2п*10*12=240п см2.
Ответ: 240п см2.

Задача 2:

Найдите радиус основания цилиндра, если площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 80¶, а высота цилиндра 10.

Проверьте

Sбок =2пRH
Нам дано
Sбок = 80¶
H = 10
Подставим в формулу
80¶ = 2пR х 10
R = 80 : 20 = 4
Ответ: 4

Задача 3

Найдите высоту цилиндра, если радиус основания цилиндра равен 5, а площадь полной поверхности цилиндра равна 90¶

Проверьте

Известно, S = 2πrh + 2πr2 – формула полной
поверхности цилиндра
Нам дано
S = 90¶
R = 5
Подставим в нашу формулу
90¶ = 2¶ х 25 + 2¶ х 5 х Н
Сократим на ¶ и получим 90=50+10Н
Н = 40: 10 = 4
Ответ: 4

Ко́нус — тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Виды конусов:

Составляющие конуса:

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.
Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением.

Сечения конуса

Задача 4: высота конуса = 15 см, а радиус основания – 8 см. Найти образующую конуса.

Решение: Так как высота конуса перпендикулярна к его основанию, то используя теорему Пифагора, получим:
а2 = b2 + c2.
Где а- образующая,
b – высота,
C – радиус основания.
а = 17 см.
Ответ: 17см.

Задача 5 Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его
объем, деленный на ¶ .

Просят найти

Задача 6: Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 300. В ответе укажите .

Просят найти

Задача 7: Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный .

Просят найти

Задача 8: Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на ¶ .

Просят найти

Задача 9 :Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту
уменьшить в 3 раза?

Задача 10: Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус
основания увеличить в 1,5 раза?

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой отстоят на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а его оба конца — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Составляющие шара:

Сечения шара:

Купол здания может иметь форму части сферы, отсеченной плоскостью.

Земля имеет форму, близкую к шару.

Мячи для игры в футбол, теннис имеют форму шара.

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами
Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности (сферы), называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром.

Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая от него плоскостью.Шаровой слой – часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями.Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса: если шаровой сегмент меньше полушара, то сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основание является основанием сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него не удаляется.

Основные формулы:

Шар:

Sполн = 4пR2
V = 4/3пR3

Шаровой сегмент:
V = пН2(R –1/3H)
Sполн = 2пRH

Шаровой сектор:
V = 2/3пR2H
Sполн= пR(2H+(2RH-H2) 1/2)

Задача 11: дан шар, радиус которого равен 25 см, найти площадь полной поверхности шара.

Решение: используя формулу площади полной поверхности шара, имеем –
Sполн = 4п25 см = 100п см2

Ответ: 100п см2

В подготовке данной презентации нам помогли книги:1. Уч. Геометрия 10 – 11 классы (Л.С. Атанасян)2. Справочник по геометрии (В.А. Гусев)3. Математика в формулах 5 – 11 классы4. Справочник по математике (А.Г. Мордкович)5. Уч. Геометрия 10 -11 классы (А.В. Погорелов)