Элективный курс "Методы доказательства неравенств"

МОУ Гришино ­Слободская средняя общеобразовательная школа Программа  модуля элективного курса  «За страницами учебника математики» по теме:  « Методы доказательства неравенств»                                             Составил:  учитель математики  Панкова Е.Ю 2007 Пояснительная записка     «Математику называют тавтологической наукой: другими  словами, про математиков говорят, что они тратят время на  доказательство того, что предметы равны самим себе. Это  утверждение  весьма неточно по двум причинам. Во­первых,  математика, несмотря на свойственный ей научный язык, не  является наукой; скорее ее можно назвать искусством. Во­ вторых  основные результаты математики чаще выражаются неравенствами,  а не равенствами.»   Неравенства используются в практической работе математика  постоянно. Они применяются для получения ряда интересных и  важных экстремальных свойств «симметричных» фигур: квадрата,  куба, равностороннего треугольника, а также для доказательства  сходимости итерационных процессов и вычисления некоторых  пределов. Важна роль неравенств и в различных вопросах  естествознания и техники.    Задачи на доказательство неравенств самые трудные и интересные  из традиционных. Доказательства неравенств требуют истинной  изобретательности, творчества, которые делают математику тем  захватывающим воображение предметом, каким она является.   Обучение доказательствам играет большую роль в развитии  дедуктивно­ математического мышления и общих мыслительных  способностей учащихся. Как же научить школьников  самостоятельно проводить доказательства неравенств? Ответ  гласит: только путем рассмотрения многих приемов и методов  доказательств и регулярного их применения.   Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же  разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях  общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но  неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств  удается лишь немногим школьникам. И, кроме того, ничто не  мешает ученику в каждом конкретном случае поискать лучшее  решение, нежели полученное общим методом. По этой причине  доказательства неравенств нередко относят к области искусства. И как во всяком искусстве здесь  есть свои технические приемы, набор которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно, но каждый  учитель должен стремится к расширению имеющегося в его запасе  математического инструмента.      Данный курс рекомендуется для учащихся  10­11 классов. Здесь  рассматриваются не все возможные методы доказательства  неравенств (не затронуты метод замены переменной, доказательство  неравенств с помощью производной, метод исследования и  обобщения, прием упорядочения). Предложить рассмотреть  остальные методы можно на втором этапе (например, в 11 классе),  если данный элективный курс вызовет интерес у учащихся, а также  ориентируясь на успехи усвоения первой части курса. №п./п. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Кол­ во часов 1 1 Содержание учебного материала Введение. Доказательство неравенств на  основании определения. 1 Метод математической индукции. 1 Применение классических неравенств. 1 1 Метод от противного. 1 Прием рассмотрения неравенств  Графический метод. относительно одной из переменных. 1 Идея усиления. 1 Урок ­ контроль. Урок1. Введение.   Доказательство неравенств ­увлекательная и непростая тема элементарной  математики. Отсутствие единого подхода к проблеме доказательства  неравенств, приводит к поиску ряда приемов, пригодных для доказательства  неравенств определенных видов. На данном элективном курсе будут  рассматриваться следующие методы доказательства неравенств:     1.Доказательство неравенств на  основании определения. 2.Метод математической индукции. 3.Применение классических неравенств. 4.Графический метод. 5.Метод от противного. 6.Прием рассмотрения неравенств  относительно одной из переменных. 7.Идея усиления.    Повторение: 1) Определение: Говорят, что действительное число a больше (меньше)  действительного числа b, если их разность a­b –положительное  (отрицательное) число. 2) Свойства: 1) Если a>b и b>c, то a>c. 2) Если a>b , то a+c>b+c. 3) Если a>b и m>0, то am>bm. 4) Если a>b и m<0, то amb и b>c, то a>c. 6) Если a>b и c>d, то a+c>b+d. 7) Если a>b и c>d, то ac>bd, a,b,c,d>0. 8) Если a>b , то an>bn ,a,b  0, n 9) Если a>b , то an>bn ,n­нечетное. Провести доказательства некоторых свойств. . 3) Классические неравенства: ba   2 1  a 2 sin 1 1 cos aab ,  0 ,0 b    1  1 a    (неравенство Коши) 1)  2)  3)  4)  Историческая справка:   Неравенство (1) называют в честь французского математика Огюста   называют средним арифметическим чисел a и b; Коши. Число   число   ab  называют средним геометрическим  чисел a и b. Таким  образом, неравенство означает, что среднее арифметическое двух  положительных чисел не меньше их среднего геометрического. ba  2 Дополнительно: Рассмотреть несколько математических софизмов с неравенствами.  Математический софизм ­ удивительное утверждение, в  доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и  довольно тонкие ошибки.   Софизмы – это ложные результаты, полученные с помощью  рассуждений, которые только кажутся правильными, но  обязательно содержат ту или иную ошибку. Пример: Четыре больше двенадцати                   7>5                7­8>5­8                 ­1>­3                  4>12 Урок2.Доказательство неравенств на основании  определения.  Суть этого метода заключается в следующем: для того чтобы установить  справедливость неравенства F(x,y,z)>S(x,y,z) составляют разность F(x,y,z)­ S(x,y,z) и доказывают, что она положительна. Применяя этот метод, часто  выделяют  квадрат, куб суммы или разности, неполный квадрат суммы или  разности. Это помогает определить знак разности. Пример. Доказать неравенство (x+y)(x+y+2cosx)+2  2sin2x Доказательство: Рассмотрим разность (x+y)(x+y+2cosx)+2 ­ 2sin2x =(x+y)(x+y+2cosx) +2cos2x=(x+y)(x+y+2cosx)+ cos2x +cos2x= (x+y)2+2(x+y)cosx+ cos2x  +cos2x=((x+y)+cosx)2+ cos2x  0. a 2 ,   0 ,0 b Задания для работы в классе и дома Доказать неравенство: 1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)  6abc 1  2. a  ba 3. aab 2 4 7 x x 4. 2 2 4 x x 5.   6.(a+b)(b+c)(c+a)  8abc a 7.  cb 3 x  8. >2x­20   4 0 b  ca 3 x   y c  ba y y  3 2 ( xx 2 ,0 y  )0  2 x 3  2  Урок3.Метод математической индукции.  При доказательстве неравенств, в которые входят натуральные числа часто  прибегают к методу математической индукции. Метод состоит в следующем: 1) проверяем истинность теоремы для n=1; 2)допускаем, что теорема верна для некоторого n=k, и исходя из этого   допущения доказываем истинность теоремы для n=k+1; 3) на основании первых двух шагов и принципа математической индукции  заключаем, что теорема верна для любого n. Пример. Доказать неравенство  Доказательство: 1) при n=2 неравенство верно:    1( )    (21  , n . кт    )0  ,1 ,1  0 1 n n , 2 2 n    k 1   (*)  (1 k  )1  .   2  3)Из п1.и п.2  k  k   1( )1  1)( 1)   k  (1)   2) 1( 2)Пусть неравенство верно для n=k т.е.        21  k  k ) 1(  1   1( ) Докажем, что неравенство верно при n=k+1, т.е.  Умножим обе части неравенства (*) на  1 получим   1(  k  (1 делаем вывод, что неравенство верно для любого n. Задания для работы в классе и дома Доказать неравенство:  2 2 1)  1( n 4  1 n 74  n  n 1  1 na )!2( n 2 )!( n  5 2 n a n )  3) 4) 2) ,5 )1   ,0  1 n    k , a n n n , n n 5 5)   n ,1  n 52  n n  23 6) Урок4. Применение классических неравенств. . Суть этого метода заключается в следующем: с помощью ряда  преобразований выводят требуемое неравенство с помощью некоторых  классических неравенств. Пример. Доказать неравенство: log  Доказательство: В качестве опорного неравенства используем  4 Приведем данное неравенство к следующему виду: log log log log log dcba  log 4,4 abcd    8 7 6 5 8 5  .  7 6 5 4 4  1,1 , тогда   4 log 4 5 , но  log log 5 4 8  5 6 5 6 7 6 7 6 7    log log log  4 log  4 log log log    5 6 7 6 log log log   6 7 8 log log log   5 6 7 4 4 4 5 4 7 4 4 4 8 = 7 , тогда  4 log 4 5 log  5 6 log  6 7 log  7 8 log 4 5  log 5 6 log 6 7  log 7 8  4  4 3 2 log 2 2  4 3 2  .1,1 Задания для работы в классе и дома. Доказать неравенство: 1)(p+2)(q+2)(p+q) 16pq(для док­ва используется неравенство  2)  a 1  a 2 (для док­ва используется неравенство  ba  2  ab ) 3) (a+b)(b+c)(c+a)  8abc (для док­ва используется неравенство  ba  2  ab ) ba  2  ab ) )( 2 2  cba  2 )  9 (для док­ва используется неравенство 4)  2 (  1 2 1 1  2 cba 1  2 ). a a Урок5. Графический метод. Доказательство неравенств графическим методом заключается в  следующем: если доказываем неравенство f(x)>g(x)(f(x)0 4) 5) 2 x приx log2 x x  , x  2  2 x  ,2 x 2 . Урок6.Метод от противного   Суть этого метода заключается в следующем: пусть нужно доказать  истинность неравенства F(x,y,z)  S(x,y,z)(1). Предполагают противное, т. е  что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство  F(x,y,z)  S(x,y,z) (2). Используя свойства неравенств, выполняют преобразования  неравенства (2). Если в результате этих преобразований получается ложное  неравенство, то это означает, что предположение о справедливости  неравенства (2) неверно, а потому верно неравенство (1). Пример. Доказать неравенство:   d )( , a ,0 c ,0 b d ) ( a ,0 cd ab  0 bc   Доказательство: Предположим противное, т. е  Возведем обе части неравенства в квадрат, получим  2  bc ab  bc ad   2 предположение неверно, т. е справедливо неравенство  , откуда  dbca abcd ad cd ab cd  )   (  )(      2 abcd ab . Но это противоречит неравенству Коши. Значит наше  abcd ad bc cd  и далее  . ( a  )( bc  d ) ab  cd . Задания для работы в классе и дома. Доказать неравенство: 1) cos 360 > tg 360. cos( 2)  ) cos(   )  cos2  Урок7. Прием рассмотрения неравенств относительно одной из переменных.  Суть метода заключается в рассмотрении неравенства и его решения  относительно одной переменной. Пример. Доказать неравенство: x  ,01 Доказательство: Рассмотрим неравенство относительно переменной x. 1 Рассмотрим функцию  парабола, ветви которой направлены вверх. Решим уравнение  , графиком которой является  z x  RyRx 22 22  sin sin  01 xy xy   x x , x  1 22  x sin 2 cos xy xy  D sin  2 xy 0 , т. е неравенство верно для любых x и y. Задания для работы в классе и дома. Доказать неравенство: 1) 3   0 x 2 xy  2 x  4 x 3 y  0 2 2 2 2 2  y 2  6 y y x   3 2 xy 2 4 yx yx  4 a sin 2   x 21 a cos 2 2 2 cba    ab ac  2 bc 4 x 2) 3) 4) Урок8. Идея усиления      Суть этого метода можно раскрыть на основании следующего утверждения: если f1(x)< f2(x)<…< fn(x)