МОУ Гришино Слободская средняя общеобразовательная школа
Программа
модуля элективного курса
«За страницами учебника математики»
по теме:
« Методы доказательства неравенств»
Составил:
учитель математики
Панкова Е.Ю
2007Пояснительная записка
«Математику называют тавтологической наукой: другими
словами, про математиков говорят, что они тратят время на
доказательство того, что предметы равны самим себе. Это
утверждение весьма неточно по двум причинам. Вопервых,
математика, несмотря на свойственный ей научный язык, не
является наукой; скорее ее можно назвать искусством. Во вторых
основные результаты математики чаще выражаются неравенствами,
а не равенствами.»
Неравенства используются в практической работе математика
постоянно. Они применяются для получения ряда интересных и
важных экстремальных свойств «симметричных» фигур: квадрата,
куба, равностороннего треугольника, а также для доказательства
сходимости итерационных процессов и вычисления некоторых
пределов. Важна роль неравенств и в различных вопросах
естествознания и техники.
Задачи на доказательство неравенств самые трудные и интересные
из традиционных. Доказательства неравенств требуют истинной
изобретательности, творчества, которые делают математику тем
захватывающим воображение предметом, каким она является.
Обучение доказательствам играет большую роль в развитии
дедуктивно математического мышления и общих мыслительных
способностей учащихся. Как же научить школьников
самостоятельно проводить доказательства неравенств? Ответ
гласит: только путем рассмотрения многих приемов и методов
доказательств и регулярного их применения.
Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же
разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях
общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но
неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств
удается лишь немногим школьникам. И, кроме того, ничто не
мешает ученику в каждом конкретном случае поискать лучшее
решение, нежели полученное общим методом. По этой причине
доказательства неравенств нередко относят к области искусства. Икак во всяком искусстве здесь есть свои технические приемы, набор
которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно, но каждый
учитель должен стремится к расширению имеющегося в его запасе
математического инструмента.
Данный курс рекомендуется для учащихся 1011 классов. Здесь
рассматриваются не все возможные методы доказательства
неравенств (не затронуты метод замены переменной, доказательство
неравенств с помощью производной, метод исследования и
обобщения, прием упорядочения). Предложить рассмотреть
остальные методы можно на втором этапе (например, в 11 классе),
если данный элективный курс вызовет интерес у учащихся, а также
ориентируясь на успехи усвоения первой части курса.№п./п.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Кол
во
часов
1
1
Содержание учебного материала
Введение.
Доказательство неравенств на
основании определения.
1 Метод математической индукции.
1 Применение классических неравенств.
1
1 Метод от противного.
1 Прием рассмотрения неравенств
Графический метод.
относительно одной из переменных.
1 Идея усиления.
1 Урок контроль.Урок1. Введение.
Доказательство неравенств увлекательная и непростая тема элементарной
математики. Отсутствие единого подхода к проблеме доказательства
неравенств, приводит к поиску ряда приемов, пригодных для доказательства
неравенств определенных видов. На данном элективном курсе будут
рассматриваться следующие методы доказательства неравенств:
1.Доказательство неравенств на
основании определения.
2.Метод математической индукции.
3.Применение классических неравенств.
4.Графический метод.
5.Метод от противного.
6.Прием рассмотрения неравенств
относительно одной из переменных.
7.Идея усиления.
Повторение:
1) Определение: Говорят, что действительное число a больше (меньше)
действительного числа b, если их разность ab –положительное
(отрицательное) число.
2) Свойства:
1) Если a>b и b>c, то a>c.
2) Если a>b , то a+c>b+c.
3) Если a>b и m>0, то am>bm.
4) Если a>b и m<0, то am
b и b>c, то a>c.
6) Если a>b и c>d, то a+c>b+d.
7) Если a>b и c>d, то ac>bd, a,b,c,d>0.8) Если a>b , то an>bn ,a,b 0,
n
9) Если a>b , то an>bn ,nнечетное.
Провести доказательства некоторых свойств.
.
3) Классические неравенства:
ba
2
1
a
2
sin
1
1
cos
aab
,
0
,0
b
1
1
a
(неравенство Коши)
1)
2)
3)
4)
Историческая справка:
Неравенство (1) называют в честь французского математика Огюста
называют средним арифметическим чисел a и b;
Коши. Число
число ab называют средним геометрическим чисел a и b. Таким
образом, неравенство означает, что среднее арифметическое двух
положительных чисел не меньше их среднего геометрического.
ba
2
Дополнительно:
Рассмотреть несколько математических софизмов с неравенствами.
Математический софизм удивительное утверждение, в
доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и
довольно тонкие ошибки.
Софизмы – это ложные результаты, полученные с помощью
рассуждений, которые только кажутся правильными, но
обязательно содержат ту или иную ошибку.
Пример:
Четыре больше двенадцати
7>5
78>58
1>3
4>12Урок2.Доказательство неравенств на основании
определения.
Суть этого метода заключается в следующем: для того чтобы установить
справедливость неравенства F(x,y,z)>S(x,y,z) составляют разность F(x,y,z)
S(x,y,z) и доказывают, что она положительна. Применяя этот метод, часто
выделяют квадрат, куб суммы или разности, неполный квадрат суммы или
разности. Это помогает определить знак разности.
Пример. Доказать неравенство (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin2x
Доказательство:
Рассмотрим разность (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin2x =(x+y)(x+y+2cosx)
+2cos2x=(x+y)(x+y+2cosx)+ cos2x +cos2x= (x+y)2+2(x+y)cosx+ cos2x
+cos2x=((x+y)+cosx)2+ cos2x 0.
a
2
,
0
,0
b
Задания для работы в классе и дома
Доказать неравенство:
1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc
1
2.
a
ba
3.
aab
2
4 7
x
x
4.
2 2
4
x
x
5.
6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
a
7.
cb
3
x
8.
>2x20
4
0
b
ca
3
x
y
c
ba
y y
3
2
(
xx
2
,0
y
)0
2
x
3
2
Урок3.Метод математической индукции.
При доказательстве неравенств, в которые входят натуральные числа часто
прибегают к методу математической индукции. Метод состоит в следующем:
1) проверяем истинность теоремы для n=1;
2)допускаем, что теорема верна для некоторого n=k, и исходя из этого
допущения доказываем истинность теоремы для n=k+1;
3) на основании первых двух шагов и принципа математической индукции
заключаем, что теорема верна для любого n.
Пример.
Доказать неравенство
Доказательство:
1) при n=2 неравенство верно:
1(
)
(21
,
n
.
кт
)0
,1
,1
0
1
n
n
,
2
2
n
k
1
(*)
(1
k
)1
.
2
3)Из п1.и п.2
k
k
1(
)1
1)(
1)
k
(1)
2)
1(
2)Пусть неравенство верно для n=k т.е.
21
k
k
)
1(
1
1(
)
Докажем, что неравенство верно при n=k+1, т.е.
Умножим обе части неравенства (*) на 1
получим
1(
k
(1
делаем вывод, что неравенство верно для любого n.
Задания для работы в классе и дома
Доказать неравенство:
2 2
1)
1(
n
4
1
n
74
n
n
1
1
na
)!2(
n
2
)!(
n
5
2
n
a n
)
3)
4)
2)
,5
)1
,0
1
n
k
,
a
n
n
n
,
n
n
5
5)
n
,1
n
52
n
n
23
6)
Урок4. Применение классических неравенств.
.Суть этого метода заключается в следующем: с помощью ряда
преобразований выводят требуемое неравенство с помощью некоторых
классических неравенств.
Пример.
Доказать неравенство:
log
Доказательство:
В качестве опорного неравенства используем
4
Приведем данное неравенство к следующему виду:
log
log
log
log
log
dcba
log
4,4
abcd
8
7
6
5
8
5
.
7
6
5
4
4
1,1
, тогда
4
log
4
5
, но
log
log
5
4
8
5
6
5
6
7
6
7
6
7
log
log
log
4
log
4
log
log
log
5
6
7
6
log
log
log
6
7
8
log
log
log
5
6
7
4
4
4
5
4
7
4
4
4
8
=
7
, тогда
4
log
4
5
log
5
6
log
6
7
log
7
8
log
4
5
log
5
6
log
6
7
log
7
8
4
4
3
2
log
2
2
4
3
2
.1,1
Задания для работы в классе и дома.
Доказать неравенство:
1)(p+2)(q+2)(p+q) 16pq(для доква используется неравенство
2)
a
1
a
2
(для доква используется неравенство
ba
2
ab
)
3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (для доква используется неравенство
ba
2
ab
)
ba
2
ab
)
)(
2
2
cba
2
)
9
(для доква используется неравенство
4)
2
(
1
2
1
1
2
cba
1
2
).
a
a
Урок5. Графический метод.Доказательство неравенств графическим методом заключается в
следующем: если доказываем неравенство f(x)>g(x)(f(x)0
4)
5)
2
x
приx
log2
x
x
,
x
2
2
x
,2
x
2
.Урок6.Метод от противного
Суть этого метода заключается в следующем: пусть нужно доказать
истинность неравенства F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Предполагают противное, т. е
что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство F(x,y,z)
S(x,y,z) (2). Используя свойства неравенств, выполняют преобразования
неравенства (2). Если в результате этих преобразований получается ложное
неравенство, то это означает, что предположение о справедливости
неравенства (2) неверно, а потому верно неравенство (1).
Пример.
Доказать неравенство:
d
)(
,
a
,0
c
,0
b
d
)
(
a
,0
cd
ab
0
bc
Доказательство:
Предположим противное, т. е
Возведем обе части неравенства в квадрат, получим
2
bc
ab
bc
ad
2
предположение неверно, т. е справедливо неравенство
, откуда
dbca
abcd
ad
cd
ab
cd
)
(
)(
2
abcd
ab
. Но это противоречит неравенству Коши. Значит наше
abcd
ad
bc
cd
и далее
.
(
a
)(
bc
d
)
ab
cd
.
Задания для работы в классе и дома.
Доказать неравенство:
1) cos 360 > tg 360.
cos(
2)
)
cos(
)
cos2
Урок7. Прием рассмотрения неравенств относительно
одной из переменных.
Суть метода заключается в рассмотрении неравенства и его решения
относительно одной переменной.
Пример.
Доказать неравенство:
x
,01
Доказательство:
Рассмотрим неравенство относительно переменной x.
1
Рассмотрим функцию
парабола, ветви которой направлены вверх.
Решим уравнение
, графиком которой является
z x
RyRx
22
22
sin
sin
01
xy
xy
x
x
,
x
1
22
x
sin
2
cos
xy
xy
D
sin
2
xy
0
, т. е неравенство верно для любых x и y.
Задания для работы в классе и дома.
Доказать неравенство:
1)
3
0
x
2
xy
2
x
4
x
3
y
0
2
2
2
2
2
y
2
6
y
y
x
3
2
xy
2
4
yx
yx
4
a sin 2
x
21
a
cos
2
2
2
cba
ab
ac
2
bc
4
x
2)
3)
4)Урок8. Идея усиления
Суть этого метода можно раскрыть на основании следующего утверждения:
если f1(x)< f2(x)<…< fn(x)
Элективный курс Методы доказательства неравенств.doc
