Элементы комбинаторики

Kambinatorika elementlari

4*3=12

2-masala „Makro“ supermarketining „Hammasi uy uchun“ bo‘limida 5 xil piyola, 6 xil taqsimcha, 4 xil choyqoshiq bor. Nargiza xola turli nomdagi ikkita buyum sotib olmoqchi. U buni necha xil usulda amalga oshirishi mumkin?

5*4=20 • Piyola – 5 xil • taqsimcha – 6 xil • Choyqoshiq – 4 xil 5*6=30 6*4=24 J: 30+24+20=74 xil

3- masala. Nechta uch xonali sonda faqatgina bitta 7 ra- qami bor?

abc – 3 xonali son • 7bc- b- 9 ta raqam c-9 ta raqam 9*9=81 • a7c- a-8 raqam c-9 ta raqam • ab7- a-8 ta raqam b – 9 ta raqam 8*9=72 8*9=72 Javob: 81+72+72=225

• 4- masala. Aylanada olingan 5 ta nuqta A, B, C, D, E harflari bilan belgilangan. Har bir nuqta qolgan har bir nuqta bilan tutashtirilsa, nechta kesma hosil bo‘ladi.

1-usul

2-usul A nuqtadan 4 ta kesma B nuqtadan 4 kesma C, D, E nuqtalardan 4 tadan kesma hosil qilingan 4*5=20 Har bir kesma 2 martadan hisoblandi AB=BA Shuning uchun 20:2=10

3-usul • A nuqtadan 4 kesma • B nuqtadan 3 ta yangi kesma • C nuqtadan 2 ta yangi kesma • D nuqtadan 1 ta yangi kesma • E nuqtadan 0 ta yangi kesma hosil qilingan Javob 4+3+2+1+0=10

• 6*4*5=120

Mustaqil ishlash ucun

Nechta 4 xonali sonda faqatgina bitta 5 raqami bor?

• abcd • 5 9 9 9=729 • 8 5 9 9=648 • 8 9 5 9=648 • 8 9 9 5=648 • Javob: 729+648*3=2673

Aylanada: a) 10 ta; b) 100 ta; d) n ta nuqta belgilangan. har bir holda jami nechta kesma hosil bo‘ladi? Har bir nuqta qolgan har bir nuqta bilan tutashtirilsa,

A D B C • 10*9:2=45 • 100*99:2=49 50 • n(n-1):2

• 1) 3; • 2) 4; • 3) 5; • 4) 6; • 5) 8; • 6) 15 • nafar do‘stlar o‘zaro qo‘l berib ko‘rishishdi. Har bir holda qo‘l berishlar soni nechta bo‘lgan? Ushbu masala ham xuddi yuqoridagi kesmalar soni topilgan madsa kabi ishlanadi. • 3*2:2=3 • 4*3:2=6 • 5*4:2=10 • 6*5:2=15 • 8*7:2=28 • 15*14:2=105

o‘rtoq nafar har 10 Bunda shaxmat naladi? Javob: n(n-1):2=10ˑ9:2=45 o‘ynaydi. bir bola o‘zaro qolgan Bu turnirda har shaxmat bir jami turniri bola nechta bilan o‘tkazishmoqchi. partiya bir o‘y- partiya 10*9:2=45

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlari yordamida hammasi bo‘lib: 1) raqamlar takrorlanmasa; 2) raqamlar takrorlanishi mumkin bo‘lsa, nechta uch xonali son tuzish mumkin? • Yechim: • 1)Uch xonali sonni abc deb belgilasak a - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlardan birini tanlashi mumkin, 0 ni qabul qila olmaydi, aks holda son 3 xonali bo’ladi. Ya’ni, uning tanlash imkoniyati 9 ga teng. b esa 0 raqamini ham qabul qila oladi, ammo a tanlagan 1 ta raqamni tanlay olmaydi. Shuning uchun uning ham tanlash imkoni 9 ga teng. c 10 ta raqamdan 8 tasini tanlay oladi (1 tasini a, ikkinchisini b tanlaydi, 10 dan 2 ni ayirsak 8 qoladi) . Demak 0 dan 9 gacha raqamlar takrorisiz hosil qilinadigan 3 xonali sonlarning umumiy soni 9ˑ9ˑ8=648 ta ekan. • 2) Endi raqamlar takrorlanishi mumkin bo’lgan holni ko’ramiz. Bunday abc ko’rinishdagi 3 xonali abc ko’rinishidagi sonlar uchun a o’rinda kelishi mumkin bo’lgan raqamlar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 jami 9 ta. b va c o’rinda kelishi mumkin bo’lgan raqamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 jami 10 ta. Ularning umumiy soni 9ˑ10ˑ10=900 ta ekan • J: 1)9ˑ9ˑ8=648 2)9ˑ10ˑ10=900

• takrorsiz • takrorli • 5*4=20 • 5*4*3=60 • 5*4*3*2=1 20 • 5*5=25 • 5*5*5=12 • 5*5*5*5=6 5 25 • 1, 2, 3, 4, 5 raqamlari yordamida nechta: • a) ikki xonali; • b) uch xonali; • d) to‘rt xonali sonlar yozish mumkin? • Raqamlar: takrorlanmaydigan; takrorlanadigan hollarni alohida ko‘ring.

• Futbol bo‘yicha jahon chempionatida oltin, kumush, bronza medallari uchun bo‘ladigan o‘yinlarda 16 ta jamoa qatnashmoqda. Medallar jamoalar orasida necha xil usul bilan taqsimlanishi mumkin? • Yechim: oltin medal 16 ta jamoadan 1 tasiga beriladi, kumush medal 15 ta jamoadan 1 tasiga (chunki 1 ta jamoa oltin medal olgan 15 tasi olmagan) bronza medal esa 14 jamoadan biriga beriladi. Demak, medallar jamoalar orasiga 16ˑ15ˑ14=3360 usul bilan taqsimlanishi mumkin. • J:16ˑ15ˑ14=3360

• Bir mamlakatda 4 ta shahar bor ekan: A, B, C va D. • A shahardan B ga 6 ta yo‘l, B shahardan C ga 4 ta yo‘l olib borarkan. A dan D ga 2 ta yo‘l, D dan C ga 3 ta yo‘l bilan borish mumkin ekan. A shahardan C shaharga necha xil yo‘l bilan borish mumkin? • Yechish: Avval masalaga mos grafik tasvir hosil qilinadi: • **************** • Agar A shahardan C shaharga B orqali borilsa bunday yo’llarni tanlash soni 6ˑ4=24 ga teng • Agar A shahardan C shaharga D orqali borilsa bunday yo’llarni tanlash soni 2ˑ3=6 ga teng. • A shahardan C shaharga B orqali ham, D orqali ham borish mumkin. Umumiy tanlashlar soni 24+6=30 ga teng.

6 4 3 A B C D 2 J: 6*4+3*2

• Agar natural sonning yozuvida faqat toq sonlar qatnashsa, bunday sonni „yoqimtoy“ son deymiz. Nechta: • 1) 3 xonali; 2) 4 xonali „yoqimtoy“ son mavjud? • Yechim: abc uch xonali son berilgan a ning o’rniga toq raqamlar ya’ni 1,3,5,7,9 larni qo’yishimiz mumkin. b va c lar o’rniga ham xuddi shu raqamlardan birini tanlashimiz mumkin. Bunday uch xonali sonlarning umumiy soni 5ˑ5ˑ5=125 • To’rt xonali sonlar soni ham xuddi shunday topiladi. 5ˑ5ˑ5ˑ5=625 • J: 5ˑ5ˑ5=125 • 5ˑ5ˑ5ˑ5=625

• Yozuvida hech bo‘lmaganda bitta juft raqam qatnashgan 6 xonali sonlar nechta?

• Ko‘rsatma: Yozuvida faqat toq sonlar qatnashgan 6 xonali sonlar soni 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5 6 = 15 625 ta. Jami 6 xonali sonlar esa 9 ·10 ·10 ·10 ·10 ·10=900 000 ta. Masala shartini qanoatlantiradigan 6 xonali sonlar soni 900 000 - 15 625 = 884 375 ta.

• 4 ta turli xatni 4 ta turli konvertga necha xil usulda joylash mumkin? • 1-xatni 4 ta kanvertdan biriga • 2-xatni 3 ta kanvertdan biriga, • 3-xatni 2 ta kanvertdan biriga, • 4-xatni qolgan 1 ta konvertga solish mumkin. Umumiy tanlashlar soni : • 4ˑ3ˑ2ˑ1=24 buni 4! ko‘rinishda ham yechish mumkin. • J: 4!=24

• 5 nafar o‘quvchidan 2 nafarini „Bilimlar bellashuvi“ da qatnashish uchun tanlab olish kerak. Buni necha xil usulda bajarish mumkin? • Yechish: Bu masalani ishlashning bir necha usuli bor. Ularning biri yuqorida ishlangan aylanadagi nuqtalar soniga o’xshash n(n- 1):2 formula yordamida bajarish mumkin. • 5*4:2=10

• Doskada 12 ta ot, 8 ta fe’l va 7 ta sifat yozilgan. Gap tuzish uchun har bir so‘z turkumidan bittadan olish kerak. Buni necha xil usul bilan amalga oshirish mumkin? • Otni tanlashda 12 tadan biri tanlanadi • Fe’l 8 tadan biri tanlanadi • Sifat 7 tadan biri tanlanadi. • Umumiy gaplar sonini topish uchun ularni ko’paytirish kifoya • 12*8*7=672

Shaxmat taxtasida oq va qora ruxni bir-birini ololmaydigan mumkin? (“ura olmaydigan”) qilib nechiu xil usulda joylashtirish

Shaxmat taxtasiga birinchi oq ruxni joylashtirishimiz kerak. Ma’lumki shaxmat taxtasi 8X8=64 ta katakdan iborat. Oq ruxni manashu 64 ta katakning ixtiyoriy biriga qo’yishimiz mumkin. Tanlash imkoniyati 64 ga teng. Oq rux gorizontal to’g’ri chiziq, yoki vertikal to’g’ri chiziq bo’yicha harakatlanadi.

Rasmdan ko’rinib turibtiki oq ruxning ta’sir doirasi 15 ta katakka teng, ya’ni manashu 15 ta katakka qora ruxni joylashtira olmaymiz (aks, holda oq rux qora ruxni urib oladi), qolgan kataklarning ixtiyoriy biriga qora ruxni joylashtira olamiz. Demak, 64-15=49 ta katakka qora ruxni joylashtirishimiz mumkin.

• 64*49=3136

3 6 9 2 5 8 1 4 7 a -b- a=4*(64-22)=168 b=3*8*(64-7-15)=1008 1=4*(64-15-9)=160 2=4*(64-15-9)=160 3=4*(64-15-9)=160 4=4*(64-15-9)=160 5=4*(64-15-11)=152 6=4*(64-15-11)=152 7=4*(64-15-9)=160 8=4*(64-15-11)=152 9=4*(64-15-13)=144 _________________ 2576

• Maktab oshxonasida oq non, qora non va uch xil kolbasa bor. Ulardan necha xil buterbrod tayyorlash mumkin? • Yechim: non ikki xil oq va qora shuning uchun uni tanlash imkoni 2 ga teng • Kolbasa esa 3 xil demak tanlash imkoni ham uch xil. • Umumiy kombinatsiyalar soni 2ˑ3=6 • Javob:6

• Ba’zi mamlakatlarning bayroqlari turli rangdagi 3 ta gorizontal yoki 3 ta vertikal „yo‘l“ lardan iborat. Oq, yashil, ko‘k rangli matolar yordamida shunday bayroqlardan necha xilini tikish mumkin? J: 3!+3!=6+6=12

• Nodirning chamadoni kod bilan ochiladi. Bu kod uchta raqamdan iborat bo‘lib, har bir raqam 3 dan katta emas. • Kodda 13 soni qatnashmaydi. Nodir kodni unutib qo‘ygan bo‘lsa, kodni topish uchun u ko‘pi bilan necha marta „urinishi“ lozim bo‘ladi?

abc 3*3*3=27 a13 13c 27-2=25

• Ko‘p qavatli uyda yo‘lak eshigidagi qulf kod bilan ochiladi. Kod 0 va 1 raqamlaridan tuzilgan 4 xonali son (0000 va 1111 sonlar kod emas deb hisoblangan.) Qulf kodini unutgan bo‘lsangiz, eshikni eng ko‘pi bilan nechta urinishda ocha olasiz?

• abcd • 2*2*2*2=16 • 0000 va 1111 kirmaydi 16-2=14

• Avtomashinalarni davlat ro‘yxatidan o‘tkazishda 3 ta raqam, 3 ta harfdan va shahar yoki viloyat uchun belgilangan koddan foydalaniladi. Masalan, avtomashina nomeridagi 01 kod mashina Toshkentdan ro‘yxatga o‘tganini bildiradi. Nima deb o‘ylaysiz, Toshkentda eng ko‘pi bilan nechta avtomashina ro‘yxatdan o‘tishi mumkin?

• Nomerlashda 24 ta harf qatnashadi, deylik. Nomer 6 ta • „joy“ ni egallaydi. 1- „joy“ da 10 ta raqamdan ixtiyoriy • biri bo‘lishi mumkin. 2- „joy“ ni 10 ta raqamdan biri • egallaydi. 3- „joy“ da 9 ta raqamdan ixtiyoriy biri bo‘ladi. • (3 ta bir xil raqamli nomer berilmaydi). Nomerdagi 1- • harf ham, 2- harf ham, 3- harf ham 24 ta harfning ix- • tiyoriy biri bo‘lishi mumkin. Demak, Toshkentda ro‘y- • xatdan o‘tishi mumkin bo‘lgan jami avtomashinalar soni • 10 · 10 · 9 · 24 · 24 · 24 = 24 3 · 900 = 12 441 600 ta.