Финансовая грамотность и информатика

 

 

МИНистерство ОБРазования и НАУКИ РД

Муниципальное казенное образовательное учреждение

_____________«Средняя общеобразовательная школа № 3»_____________

 

 

ХХII Республиканская научная конференция молодых исследователей

 

«Шаг в будущее»

 

 

 

Исследовательская работа

 

на тему

 

«Золотая пропорция-божественная гармония»

 

 

Симпозиум 3. «Математика и компьютерные науки»

 

 

 

Автор

Сурхаева Муминат Шахбановна,

ученица 10А класса,

МКОУ «СОШ №3»  г. Избербаш.

 

Научный руководитель:

Аскадинова Заира Магомедсаидовна

 учитель математики,

МКОУ «СОШ №3» г. Избербаш;

магистр «теоретическая физика», ДГУ.

 

 

 

 

Оглавление

Аннотация……………………………………………………………………………………...……3

Введение……………………………………………..…………………………………………........Ошибка! Закладка не определена.

Основная часть………………………………………………………………………………………Ошибка! Закладка не определена.

Глава 1. Пропорции золотого сечения……………………………………………………………..Ошибка! Закладка не определена.

1.1.Золотое сечение и «золотые» фигуры………………………………………………………....Ошибка! Закладка не определена.

1.2 Обобщенные золотые сечения…………………………………………………………………Ошибка! Закладка не определена.

 Глава 2. Результаты собственных исследований для наблюдения фундаментальной формы мироздания – «золотой пропорции»……………………………………………………………….7

2.1. Золотое сечение в физической картине мира………………………………………………...7

2.2. Золотое сечение в живой природе…………………………………………………………….8

2.3. Золотая пропорция в пропорциях человеческого тела………………………………………9

2.4. Золотая пропорция в искусстве, в архитектуре, в скульптуре………..…............................10

 Глава 3. Результаты практической работы «Золотое сечение в компьютерных технологиях»……………………………………………………...………………………………..10

3.1. Золотое сечение в кинематографии.……………………………...………………………….10

3.2. Золотое сечение в интерфейсе пользователя………………………..………………………11

3.3. Atrise – графическая среда «золотых» фигур……………………………………………….11

Заключение…………………………………………………………………………………………Ошибка! Закладка не определена.

Литература…………………………………………………………………………………………Ошибка! Закладка не определена.

Приложение………………………………………………………………………………………..Ошибка! Закладка не определена.

 

 

Аннотация

Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе. От простого созерцания действительности человек перешел к выражению его в мире чисел. Ученые открывают «Золотые пропорции» в живой и не живой материи. Результаты моих исследований ошеломляют по своей простоте. «Золотое сечение» обладает избыточностью и устойчивостью, и это позволяет организовываться самоорганизующимся системам.

Цель:

1) изучить построения золотого сечения и золотых фигур;

2) рассмотреть применение золотой пропорции в компьютерной графике.

Методы и приемы достижения поставленной цели:

1)   Подбор литературы и изучение её по теме работы.

2)   Исследование свойств «золотых фигур», используя программу geogebra. GeoGebra - это бесплатная, кроссплатформенная динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику, в одном удобном для использования пакете.

3)   Наблюдение золотых фигур в физической картине мира и в живой природе.

4)   Изучение материалов виртуального музея «Музей Гармонии».

5)   Изучение программы atrise по компьютерной графике. Atrise золотого сечения - это программа, которая позволяет избежать рутинных операций, калькулятор, сборники, планирование, группировки и формы.

6)   Анализ результатов и выводы по ним.

Полученные данные:

1)   «золотые» фигуры в программе geogebra;

2)   статистические данные пропорций комнатных растений;

3)   статистические данные пропорций телосложения человека;

4)   разметка холста для построения графических объектов по золотым пропорциям с помощью программы Atrise.

Выводы:

1)   Пропорции строения живых организмов и неживой природы подчинены числам Фибоначчи; золотая пропорция – фундаментализм мироздания;

2)   золотую пропорцию человек выражает во всех сферах своей жизнедеятельности: архитектура, живопись, музыка и многое другое.

3)   Графический интерфейс Atrise, где заложена золотая пропорция можно использовать при проектировании в архитектуре и решении различных задач при работе с графикой.

Введение

С золотым сечением или «божественной пропорцией» я встретилась впервые в 6 классе при изучении темы «Отношения и пропорции». Поиск ответа на вопрос «Как же человек выражает золотую пропорцию в сфере компьютерных технологий?» считаю новизной материала. Характер итогового выхода моего продукта – отчет с результатами исследований.

Формулировка проблемы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, музыканты, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и в настоящее время, в быстром ритме развития компьютерной технологии,  помнят и используют это сечение. Что и будет исследовано, и доказано в моей работе.

Актуальность темы. Иоганну Кеплеру, жившему пять веков назад, сказал, что второе великое сокровище геометрии – это деления отрезка в крайнем и среднем отношении". Моя работа о том, что такое золотое сечение и где оно встречается, а так же где его применяет сегодня человек. Также для исследований я использовала  бесплатную, кроссплатформенную динамическую математическую программу geogebra. Она разработана для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, статистику и арифметику, и прочее в одном удобном для использования пакете.

Объект исследования: «золотые» фигуры, числа Фибоначчи, живые организмы, человеческий организм, компьютерная графическая среда Atrise, математическая программа geogebra.

Предмет исследования: отображение «Золотого сечения» в живой природе, физической картине мира, анатомии и медицине, геометрии, живописи, архитектуре, скульптуре, кино, компьютерной графике.

Цель работы: выявить применение фундаментального понятия «золотая пропорция».

Обзор источников.  На сайте http://www.goldenmuseum.com представлены статьи и доклады профессора Алексей Петрович Стахова, где собраны материалы о «золотых» фигурах и золотой пропорции в целом. Сайт http://www.usability.ru/ помог мне разобраться в том, что в основу программирования интерфейса любой вычислительной машины заложены пропорции золотого сечения. Математическую программу geogebra можно скачать по ссылке https://www.geogebra.org/. Скачать и установить программу Atrise можно по адресу: http://www.atrise.com/golden-section/download/.

Степень изученности вопроса мною не считаю окончательной. Дальнейшая моя деятельность будет направлена на изучении основ компьютерной графики, фотографировании и пополнения банка данных виртуального музея «Гармонии».

 

Основная часть

Глава 1. Пропорции золотого сечения.

1.1 Золотое сечение и «золотые» фигуры.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:       или     .  [1.1.1]

Задача 1: Разделите данный отрезок в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки в программе geogebra.

Решение: Из точки В восстановим перпендикуляр ВС, равный половине АВ. На линии АС откладываем отрезок DC, равный ВС. На прямой АВ откладываем отрезок АЕ, равный AD. Точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE=0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ=0,382... [1.1.2]

Золотой угол  в геометрии, угол равный  {\displaystyle 2\pi (1-\phi )\approx 137^{\circ }30'}, где {\displaystyle \phi ={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}} — золотое сечение. В нём замечена точная последовательность Фибоначчи: 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. С помощью такого угла располагаются листья на стебле, т.к. это самый оптимальный для них доступ к свету. Они появляются на стебле по спирали, как по часовой стрелке, так и против неё, под золотым углом.

Золотой треугольник - это равнобедренный треугольник, в котором две боковые (равные) стороны находятся в золотой пропорции с основанием: .

Задача 2: Построить в программе geogebra золотой треугольник.

Решение:{\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.} От точки А откладываем на прямой АВ три раза отрезок  произвольной величины a. Через конец Р последнего отрезка проводим перпендикуляр к линии  АВ. Построим окружность с центром в точке Р и радиусом a. Полученные точки пересечения окружности и перпендикуляра D и D₁ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок DD₁ откладываем на линию AD₁, получая точку С. Она разделила линию AD₁ в пропорции золотого сечения. Линиями AD₁ и DD₁ используются для построения «золотого» прямоугольника. [1.1.3]

Золотой прямоугольник - это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции{\displaystyle 1:{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2. Древние греки считали, что прямоугольники, у которых стороны относятся как 5:8 имеют наиболее приятную форму. Они и  названны золотыми прямоугольниками. Один прямоугольник построен в программе geogebra [1.1.4]

Золотой пятиугольник, называемый пентограммой - замечательный пример «золотого сечения». В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды.[1.1.7] Каждый конец пентограммы представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Задача 3: Построить пентограмму в программе geogebra.

Решение: Пусть О - центр окружности. Впишем в окружность правильный пятиугольник. Соединяем вершины пентаграммы. Точки пересечения делят диагонали на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. [1.1.5]

Спираль Архимеда – золотая спираль. Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил внимание древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали: , где  - шаг разворота спирали, [1.1.8]

Задача 4: Построить золотую спираль в программе geogebra.

Решение: Построим на полотне geogebra квадраты со сторонами соответствующими числам Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…В каждом квадрате  будем строить четверть окружности.

1.2 Обобщенные золотые сечения.

Числа Фибоначчи. С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи).[1.2.1] Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция: . Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел. Любая пара соседних чисел ряда Фибоначчи удовлетворяет уравнению  , где x – большее число и y – меньшее.

S-числа Фибоначчи. Зададим числовой параметр S, который может принимать любые значения: 0,1,2,3,4,5,6,… Рассмотрим числовой ряд S+1 первых членов которые равны единице, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Для n-го члена этого ряда имеем соотношение: . Очевидно, что при S=1 соотношение описывает ряд Фибоначчи. При других значениях S получаем новые ряды чисел, имеющие название S-числа Фибоначчи.

Уравнения золотого сечения. Разделим отрезок АВ в отношении золотой пропорции. Обозначим: х - длина большей части отрезка, 1-х   - длина его меньшей части. Условие нашей задачи дает нам пропорцию  . 

Откуда   или    . Положительным корнем этого уравнения является . Описываемое уравнение называют уравнением золотого сечения.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения .  Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 - знакомое классическое золотое сечение.

Глава 2. Результаты собственных исследований для наблюдения фундаментальной формы мироздания – «золотой пропорции».

2.1. Золотое сечение в физической картине мира.

Математический и физический феномен «золотого сечения» дал начало: законам Кеплера, закону Всемирного тяготения, принципу наименьшего действия и вариационному принципу в механике, принципу Ферма в геометрической оптике, основам квантовой механики. «Золотое сечение» отражает и релятивизм как соотношение классических величин и событий к неклассическим, и наоборот. «Золотое сечение» имеет прямое отношение к процессу измерения, причём к связи одномерного-, двумерного-, трёхмерного (и более) измерениям между собой. «Золотое сечение» отражает относительность и взаимность любых противоположностей, которые можно назвать классическими и неклассическими событиями и, в частности, относительность и взаимность протяжённости и не протяжённости, а также линейного и нелинейного движения в природе. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции.

В прикладной математике задачи для определения центра тяжести однородных фигур сводятся к определению золотого сечения осевого стержня фигуры.

Задача 1.  Дана однородная пластина в форме равнобедренной трапеции с основаниями  и  и высотой . Требуется определить условие, когда центр тяжести трапеции совпадает с золотым сечением.

Решение: Высота   расположена симметрично относительно оси . [2.1.1] Ординату центра тяжести произвольной равнобедренной трапеции определяют: . Пусть основания трапеции относятся в золотой пропорции: . Тогда координата центра тяжести равна: .

2.2. Золотое сечение в живой природе.

Золотая пропорция – это математический символ взаимодействия двух физических сил – тяготении и инерции, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт роста сменяется замедлением «по инерции».

Задача 2. Проверить утверждение, что рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения.

Решение:

растение	целое  a	большая часть b	меньшая часть c	отношение	отношение
ромашка	1см	6 мм	4 мм	1,6666….	1,5
лист	5 мм	3 мм	2 мм	1,6666….	1,5
фикус	7,5см	4,5 см	3 см	1,666…	1,5

Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы. У соцветий подсолнуха, у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса наблюдается спиральное расположение. Отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу φ. [2.2.1] По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, рога животных. Пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы. [2.2.2]

2.3. Золотая пропорция в пропорциях человеческого тела.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными: M/m=1,618.

Задача 3: Проверить пропорциональность телосложения мальчика 13 лет.

Решение:

 

№	Гипотеза	Доказательство
1	Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.	Рост а=154см, длина ног в=95см, торс с=60 см.   и
2	Расстояние от кончиков пальцев до локтя и от локтя до плеча равно 1:1.618.	Длина руки а=67см, длина от кончиков пальцев до локтя в=40см, от локтя до плечевого сустава с=27 см.   и
3	Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618	Размер лица а=25см, до линии бровей в=16см, лоб до макушки с=9 см.   и

Вывод: В лице и кисти руки можно заметить много золотых пропорций. [2.3.1]

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618. [2.3.2]

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73º 43’. [2.3.3]

2.4. Золотая пропорция в искусстве, в архитектуре, в скульптуре.

Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции.[2.4.1] В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.[2.4.2] Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос. Леонардо да Винчи широко использовал золотую пропорцию в своих творениях, проявляя интерес к присутствию математики в произведениях искусства и природе. [2.4.3]

Глава 3. Результаты практической работы «Золотое сечение в компьютерных технологиях».

3.1. Золотое сечение в кинематографии.

Ярким примером использования золотой пропорции ныне является  фильм С.Эйзенштейна "Броненосец Потемкин". Он разбил ленту на пять частей. В первых трех действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

3.2. Золотое сечение в интерфейсе пользователя.

Одним из факторов юзабилити (англ. usability - «возможность использования», «полезность»)  является удобство восприятия пользователем элементов интерфейса при использовании программы. И воспринимаются они хорошо в том случае, если их пропорции соответствуют пропорциям так называемого "золотого сечения". Например, при проектировании диалоговых окон интерфейса программы Chameleon Clock (http://www.softshape.com) использовался именно принцип золотого сечения.

3.2. Atrise – графическая среда «золотых» фигур.

Atrise золотого сечения - это программа, которая позволяет избежать рутинных операций, калькулятор сборники, планирование группировки и форм. Главное окно программы представляет собой регулируемую прозрачную сетку из горизонтальных и вертикальных линий, которая всегда остается поверх других окон. Таким образом, Вы можете полностью контролировать и управлять любым приложением под ней: перемещать объекты, выберите их и нажмите кнопку или выполнить любые другие действия, в то же время видеть Золотое сечение сетки линий непосредственно над элементами дизайна.

Задача 4. С помощью программы Atrise составить композицию «клубника на подносе.

Решение:

1)            С помощью навигатора яндекс-картины я нашла красивое фото подноса и клубники.

2)            Скачать и установить программу Atrise можно по адресу: http://www.atrise.com/golden-section/download/ . Запускаем программу Atrise.

3)            В программе Microsoft Office PowerPoint 2007 мы можем расположить, например, клубничку на подносе в вершинах золотых фигур или по золотой спирали.[3.2.1]

В фотографии чаще используется упрощенное правило золотого сечения — правило третей.

Заключение

Большая часть целого так относится к целому, как его меньшая часть относится к большей части - это всеобщий, абстрактный закон (принцип) «божественной гармонии» мироустройства и количественных отношений бытия между целым и его частями. Данный закон получил имя «золотая пропорция». Целостность иерархического мироустройства особо четко проявляется в числовом ряде Фибоначчи. С понятием «золотое сечение» связывают гармонию Природы. При этом с гармонией, как правило, связывают принципы симметрии в живой и неживой Природе.

Всеобщностью  проявления принципа золотого сечения сегодня уже никого не удивишь. И каждое новое открытие в сфере выявления еще одной золотой пропорции уже никого не поражает, разве что самого автора такого открытия. На просторах интернета существует виртуальный музей с названием «музей Гармонии», расположенный по адресу: www.goldenmuseum.com.

Возможности программы GeoGebra позволяют построить различные 2D и 3D фигуры. С GeoGebra изучение математики и ее производных направлений превращается в легкий и интересный процесс, позволяя без труда понять принципы основных операций. В программах GeoGebra и Atrise можно строить динамические модели с пропорциями золотого сечения, используя золотые фигуры.

Выводы:

1)            Золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов живой природы; взаимодействие двух физических сил – тяготении и инерции выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт роста сменяется замедлением «по инерции».

2)                 При описании физической картины мира «золотое сечение» отражает относительность и взаимность любых противоположностей, то есть классических и неклассических событий, в частности, относительность и взаимность протяжённости и не протяжённости, линейного и нелинейного движения в природе. (Рассмотрена задача 1)

3)                 Установлено, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. Интересно заметить, что лучше удовлетворяет этой пропорции мужская фигура: 8/13, чем  женская: 5/8. (Поставлены и решены две задачи: задача 2 и задача 3)

4)                 Человек – венец творения природы. Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция.

5)                 Одной из главных задач эффективного дизайна в Web – это ясность и интуитивность. А также концентрация внимания пользователя на нужных местах страницы. Для достижения золотой пропорции при построении компьютерных моделей рекомендую использовать графической интерфейс Atrise и математическую программу-платформу GeoGebra.

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1.      www.goldenmuseum.com

2.   http://chernov-trezin.narod.ru/ZS.htm Чернов. А «Заметки о вечном»

3.      http://www.usability.ru/

4.      http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

5.      http://www.softshape.com/download/

6.      http://www.atrise.com/golden-section/download/

7.      http://www.softshape.com

8.   Сергиенко П.Я. Проблема начал познания мер гармонии триединого бытия.  Беседа3. // «Академия Тринитаризма», М., Эл №77-6567, публ. 11991, 22.04.2005.

9.   Соколов А. Тайны «золотого» сечения // Техника молодежи. – М.: 1978. № 5. – С. 40-43.

10.    Стахов А.П. Новая математика для живой природы.– Винница: ТОВ «IТГ», 2003. – 264с.

11.    Ясинский С.А. «Золотое сечение» в экономике // Книга: «Этика. Эстетика.    Экономика».   – СПБ.:  СПб. ТПП, 2002. – С. 355-388.

12.              Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. Учебное пособие.- К., 1986

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение.

[1.1.1]
[1.1.2]
[1.1.3]
[1.1.4]
[1.15]
[1.1.6]
[1.17]
[1.2.1]
[2.1.1]
[2.2.1]
[2.2.2]
[2.3.1]
[2.3.2]
[2.3.3]
[2.4.1]
[2.4.2]
[2.4.3]

 

[3.2.1]

Для сравнения:
В центре	В вершине золотого прямоугольника

 

 

Скачано с www.znanio.ru