Формулы тригонометрии
Оценка 4.7

Формулы тригонометрии

Оценка 4.7
pdf
14.05.2020
Формулы тригонометрии
Формулы тригонометрии.pdf

                                      И.В.Яковлев       |       Материалы по математике      |       MathUs.ru

Суммы и произведения тригонометрических функций

Ещё одним полезным следствием формул сложения (наряду с формулами двойного угла) служат формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения и обратно — произведений в суммы.

Начнём с формул синуса суммы и разности:

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ;

(1)

sin(α β) = sinαcosβ − cosαsinβ.

Сложим формулы (1) и (2):

(2)

sin(α + β) + sin(α β) = 2sinαcosβ.

(3)

Отсюда:

Мы получили формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов (эта сумма в реальности может оказаться разностью). Примеры:

 ;

.

Промежуточное равенство (3) приводит нас к ещё двум важным формулам. Сделаем замену переменных:

( x = α + β,

(4)

y = α β.

Складывая и вычитая эти равенства, выразим из них α и β:

; .

Подставляя всё это в (3), получим:

                                                                                                                        (5)

Это формула преобразования суммы синусов в произведение. Запоминаем словесную формулировку: сумма синусов есть два синус полусуммы на косинус полуразности.

Делая в (5) замену y на y, придём к формуле преобразования разности синусов в произведение:

Словами: разность синусов есть два синус полуразности на косинус полусуммы.

Теперь проделаем те же самые операции, но начнём с формул косинуса суммы и разности:

cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ;

(6)

cos(α β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

Сложим формулы (6) и (7):

(7)

cos(α + β) + cos(α β) = 2cosαcosβ.

(8)

Отсюда:

Это формула преобразования произведения косинусов в сумму косинусов.

С помощью замены (4) приходим к формуле преобразования суммы косинусов в произведение косинусов:

Словами: сумма косинусов есть два косинус полусуммы на косинус полуразности. Теперь вычтем из равенства (7) равенство (6):

                                                                          cos(α β) − cos(α + β) = 2sinαsinβ.                                                   (9)

Отсюда:

Это формула преобразования произведения синусов в разность косинусов.

Делаем в равенстве (9) замену (4) и приходим к формуле преобразования разности косинусов в произведение синусов:

 .

В целях единообразия записи поменяем местами x и y в последней формуле:

Словами: разность косинусов есть два синус полусуммы на синус обратной полуразности.

Задачи

1. Преобразуйте в произведение:

 

а) sin48+ sin32;

б) sin71− sin13;

                                               в) ;                                       г) .

2. Упростите выражение:

 

а) sin83− sin23;

б) cos35+ cos25;

                                               в)  ;                                       г) .

3.         Преобразуйте в произведение:

                                          а) sin3α − sin7α;                                          б) cos4α + cos10α;

                                         в) ;                                г)

4.         Преобразуйте в произведение:

                                                а) sin10+ cos70;                                      б) cos50− sin14;

                                                в) cos40+ sin40;                                      г) sin20− cos20.

5.         Докажите тождество:

                           а) ;                                 б) ;

                           в) ;                      г)

6.         Докажите тождество:

а) ;

б) ;

в) cos2α − cos4α − cos6α + cos8α = −4cos5αsin2αsinα.

7.         Докажите тождество:

                     а) sinα + 2sin3α + sin5α = 4sin3αcos2 α;                  б) sin2 5α − sin2 3α = sin8αsin2α.

8.         Докажите тождество:

          а) ;                      б) ;

           в) ;                  г) ;

          д) ;        е)

9.         Докажите равенство:

а) sin87− sin59− sin93+ sin61= sin1;

б) cos115− cos35+ cos65+ cos25= sin5.

10.     Докажите тождество:

tgα + tg2α − tg3α = −tgαtg2αtg3α.

11.     Докажите тождество:

а) tgα + 2ctg2α = ctgα;

б) tgα + 2tg2α + 4ctg4α = ctgα;

в) tgα + 2tg2α + 4tg4α + 8ctg8α = ctgα;

г) tgα + 2tg2α + 4tg4α + 8tg8α + 16ctg16α = ctgα.

12.     Докажите тождество:

13.     Преобразуйте в сумму или разность:

                                                  а) 2sin10cos5;                                       б) 2sin25cos55;

                                                 в)  ;                                      г) .

14.     Преобразуйте в сумму или разность:

                                                     а) sin2αcos5α;                                        б) cosβ cos3β;

                                                    в) sin6γ cosγ;                                           г) sin3ϕsin11ϕ.

15.     Проверьте равенство:

а) sin2xcos3x + sin4xcos9x = sin6xcos7x;

б) sin3xsinx + sin4xsin8x = sin7xsin5x;

в) cos3xcos6x − cos4xcos7x = sin10xsinx;

г) sin4xcosx − sin5xcos2x = −sinxcos6x.

И.В.Яковлев | Материалы по математике |

И.В.Яковлев | Материалы по математике |

Теперь проделаем те же самые операции, но начнём с формул косинуса суммы и разности: cos( α + β ) = cos α cos β −…

Теперь проделаем те же самые операции, но начнём с формул косинуса суммы и разности: cos( α + β ) = cos α cos β −…

Преобразуйте в произведение: а) sin3 α − sin7 α ; б) cos4 α + cos10 α ; в) ; г) 4

Преобразуйте в произведение: а) sin3 α − sin7 α ; б) cos4 α + cos10 α ; в) ; г) 4

Докажите тождество: tg α + tg2 α − tg3 α = −tg α tg2 α tg3 α

Докажите тождество: tg α + tg2 α − tg3 α = −tg α tg2 α tg3 α
Скачать файл