И.В.Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru
Суммы и произведения тригонометрических функций
Ещё одним полезным следствием формул сложения (наряду с формулами двойного угла) служат формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения и обратно — произведений в суммы.
Начнём с формул синуса суммы и разности:
|
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ; |
(1) |
|
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ. Сложим формулы (1) и (2): |
(2) |
|
sin(α + β) + sin(α − β) = 2sinαcosβ. |
(3) |
Отсюда:
Мы получили формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов (эта сумма в реальности может оказаться разностью). Примеры:
;
.
Промежуточное равенство (3) приводит нас к ещё двум важным формулам. Сделаем замену переменных:
( x = α + β,
(4)
y = α − β.
Складывая и вычитая эти равенства, выразим из них α и β:
;
.
Подставляя всё это в (3), получим:
(5)
Это формула преобразования суммы синусов в произведение. Запоминаем словесную формулировку: сумма синусов есть два синус полусуммы на косинус полуразности.
Делая в (5) замену y на −y, придём к формуле преобразования разности синусов в произведение:
Словами: разность синусов есть два синус полуразности на косинус полусуммы.
Теперь проделаем те же самые операции, но начнём с формул косинуса суммы и разности:
|
cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ; |
(6) |
|
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ. Сложим формулы (6) и (7): |
(7) |
|
cos(α + β) + cos(α − β) = 2cosαcosβ. |
(8) |
Отсюда:
Это формула преобразования произведения косинусов в сумму косинусов.
С помощью замены (4) приходим к формуле преобразования суммы косинусов в произведение косинусов:
Словами: сумма косинусов есть два косинус полусуммы на косинус полуразности. Теперь вычтем из равенства (7) равенство (6):
cos(α − β) − cos(α + β) = 2sinαsinβ. (9)
Отсюда:
Это формула преобразования произведения синусов в разность косинусов.
Делаем в равенстве (9) замену (4) и приходим к формуле преобразования разности косинусов в произведение синусов:
.
В целях единообразия записи поменяем местами x и y в последней формуле:
Словами: разность косинусов есть два синус полусуммы на синус обратной полуразности.
Задачи
|
1. Преобразуйте в произведение: |
|
|
а) sin48◦ + sin32◦; |
б) sin71◦ − sin13◦; |
в) 
; г)
.
|
2. Упростите выражение: |
|
|
а) sin83◦ − sin23◦; |
б) cos35◦ + cos25◦; |
в) 
; г)
.
3. Преобразуйте в произведение:
а) sin3α − sin7α; б) cos4α + cos10α;
в)
; г)
4. Преобразуйте в произведение:
а) sin10◦ + cos70◦; б) cos50◦ − sin14◦;
в) cos40◦ + sin40◦; г) sin20◦ − cos20◦.
5. Докажите тождество:
а)
; б)
;
в) 
; г)
6. Докажите тождество:
а) 
;
б) 
;
в) cos2α − cos4α − cos6α + cos8α = −4cos5αsin2αsinα.
7. Докажите тождество:
а) sinα + 2sin3α + sin5α = 4sin3αcos2 α; б) sin2 5α − sin2 3α = sin8αsin2α.
8. Докажите тождество:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
9. Докажите равенство:
а) sin87◦ − sin59◦ − sin93◦ + sin61◦ = sin1◦;
б) cos115◦ − cos35◦ + cos65◦ + cos25◦ = sin5◦.
10. Докажите тождество:
tgα + tg2α − tg3α = −tgαtg2αtg3α.
11. Докажите тождество:
а) tgα + 2ctg2α = ctgα;
б) tgα + 2tg2α + 4ctg4α = ctgα;
в) tgα + 2tg2α + 4tg4α + 8ctg8α = ctgα;
г) tgα + 2tg2α + 4tg4α + 8tg8α + 16ctg16α = ctgα.
12. Докажите тождество:
13. Преобразуйте в сумму или разность:
а) 2sin10◦ cos5◦; б) 2sin25◦ cos55◦;
в)
; г)
.
14. Преобразуйте в сумму или разность:
а) sin2αcos5α; б) cosβ cos3β;
в) sin6γ cosγ; г) sin3ϕsin11ϕ.
15. Проверьте равенство:
а) sin2xcos3x + sin4xcos9x = sin6xcos7x;
б) sin3xsinx + sin4xsin8x = sin7xsin5x;
в) cos3xcos6x − cos4xcos7x = sin10xsinx;
г) sin4xcosx − sin5xcos2x = −sinxcos6x.
И.В.Яковлев | Материалы по математике |
Теперь проделаем те же самые операции, но начнём с формул косинуса суммы и разности: cos( α + β ) = cos α cos β −…
Преобразуйте в произведение: а) sin3 α − sin7 α ; б) cos4 α + cos10 α ; в) ; г) 4
Докажите тождество: tg α + tg2 α − tg3 α = −tg α tg2 α tg3 α
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
