Функция

Функция

Функция у=f(x) –
зависимость по которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение другой зависимой переменной.

Переменная, значение которой выбирается произвольно, называется независимой переменной, а переменная, которая определяется по некоторому правилу, называют зависимой переменной.

Независимая переменная –
Зависимая переменная – .

функция или значение аргумента.

График функции
- множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Способы задания функции
с помощью формулы

Длина прямоугольника х см, а ширина на 5 см меньше, выразите периметр у. Получим:
у=2х+2(х-5)
у=4х-10

2) Длина прямоугольника х см, а ширина на 6 см больше, выразите периметр у. Получим:
у=2х+2(х+6)
у=4х+12

Способы задания функции
табличный
Отец старше сына на 20 лет, заполните таблицу. Запишите зависимость возраста отца от возраста сына.
y – возраст отца, x – возраст сына
y – возраст сына, x – возраст отца

На рисунке изображён график функции изменения температуры воздуха в течении суток

С помощью этого графика можно определить для каждого момента времени t (в часах), свою температуру.

Область определения функции –
это те значения, которые может принимать независимая переменная.
Обозначение: D(f).

Область определения функции

Областью определения функции называется
множество всех значений независимой переменной х.
Обозначение: D(f).

Область значения функции
– это те значения, которые может принимать зависимая переменная.
Обозначение: E(f).

Функция у=f(x) называется чётной функцией, если выполняются два условия:
1) область определения функции – симметричное множество относительно числа 0.
(Симметричным множеством чисел называется множество, где с каждым числом х, присутствует и число –х.)
2) выполняется равенство f (-x) = f (x)

-2 и 2 принадлежат D(f)
f(-2)=4
f(2)=4
f (-x) = f (x)

Функция у=f(x) называется нечётной функцией, если выполняются два условия:
1) область определения функции – симметричное множество относительно числа 0.
2) выполняется равенство f(-x) = -f(x)

y=x3
D(f) (-;0][0;+ )
f(-x) = (-x)3=-x3= -f(x)

Нули функции

– это те значения переменной, при которых значения функции равны нулю f(x)=0.
Нули функции так же называют корнями функции.
Функция может иметь несколько нулей.

y=x(x+1)(x-3)

x(x+1)(x-3)=0

x=0, x=-1, x=3.

Графически нуль функции
– это абсцисса точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

На рис. представлен график функции y=x(x+1)(x-3) x[-2;2]
с нулями: x=-1, x=3 и x=0 .

Промежутки знакопостоянства функции –
это промежутки, на которых функция сохраняет (не меняет) знак.

y=x(x+1)(x-3) D(f): x[-2;2]
y>0 при

y<0 при

y>0 при

y<0 при

y>0 при

y<0 при

Функция f(x) называется возрастающей на промежутке X, если
-большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
- для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка, таких что x2 > x1 следует f(x2)>f(x1).

x2 > x1 f(x2) xD(f)

x2 > x1 f(x2)>f(x1)
 x[-3;1,8]

Функция f(x) называется убывающей на промежутке X, если
-большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
- для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка, таких что x2 > x1 следует f(x2)

x2 > x1
f(x2)xD(f)

x2 > x1
f(x2)x[1;4]

Задание 4. По графику функции определите промежутки монотонности функций

Функция возрастает

Функция возрастает

Функция убывает

Функция убывает

x [-3;-1] и x [2;3]

Схема элементарного исследования функции

Указывается область определения (Д(у)=…) и область значения (Е(у)=…)
Указывается функция является чётной, нечетной или ни чётной ни нечётной
Указывается периодичность функции
Определяются нули функции (графически – точки пересечения с осью Х)
Указываются промежутки знакопостоянства функции
Указываются промежутки возрастания и убывания функции

Задание 1. Установите соответствие

1

2

3

4

Задание 2. Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите области определения этих функций

Задание 3. Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите область значений этих функций