Поделиться
Геом.см.Возр.убав.Экстр..pptx
Геометрический смысл производной . Возрастание, убывание функции. Экстремумы функции.
Х
У
0
касательная
α
k – угловой коэффициент прямой (касательной)
Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x)
в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у,
то выражает угловой коэффициент касательной, т.е.
Поскольку , то верно равенство
Если α < 90°, то k > 0.
Если α > 90°, то k < 0.
Если α = 0°, то k = 0. Касательная параллельна оси ОХ.
0
1
0
1
4
2
Задание №1.
На рисунке изображён график функции y = f(x) и
касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ = -1.
подсказка
4
8
Задание №2.
В 8 | 0 | , | 7 | 5 | |||
Ответ:
6
8
Задание №3.
На рисунке изображён график производной функции y = f (x), определённой на интервале (-5;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой у = 2х – 5 или совпадает с ней.
подсказка
2
Ответ: 5
0
Задание №4
К графику функции y = f(x) провели касательные под углом 135°
к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображён
график производной функции. Укажите количество точек
касания.
-1
Ответ: 5
Задание №5
0
1
1
3
К графику функции y = f(x)
проведена касательная в
точке с абсциссой х₀ = 3.
Определите градусную меру
угла наклона касательной,
если на рисунке изображён
график производной этой
функции.
Ответ:
В8 | 4 | 5 | |||||
№6
В8 | 1 | ||||||
0
0
min
max
min
min
max
Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции.
Задача 1. На рисунке изображен график функции y = f (x),
Решим эту задачу, воспользовавшись следующим утверждением. Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно брать только внутренние точки промежутков.
Решение.
Целые решения:
х=-7; х=-6; х=-2; х=-1.
Их количество равно 4.
Ответ: 4.
Теоретические сведения.
Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение.
Целые решения при : х=-7; х=-6; х=-5; х=-4; х=2; х=3.
Их количество равно 6.
Ответ: 6.
Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции положительна.
a)
б)
Решите самостоятельно!
Задача 4. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции отрицательна.
Решите самостоятельно!
a)
б)
Задача 5 На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) > 0.
Решение.
В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна:
-1-(-7) = 6.
Ответ: 6 .
-10
-7
-1
2
6
Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
1
Решение.
Ответ: 3 .
-10
-4
Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´(x) < 0.
Наибольший из них имеет длину равную 3.
6
3
Задача 7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наименьшего из них.
2
Решение.
Решение.
Ответ: 1 .
Ответ: 2 .
Найдем промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) > 0.
Наименьшую длину из них имеет промежуток (-2; -1).
Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´(x) > 0.
Наименьший из них имеет длину равную 2.
![Задание №8 Укажите точку а) минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной; б) максимума](https://fs.znanio.ru/d5af0e/71/d0/95bfac176985fe0a4c10b1cf6dfccdfdbd.jpg)
Задание №8
Укажите точку а) минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной; б) максимума.
-6
4
-2
Ответ: а) -2; б)-5.
0
Задача 9.На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (—7; 5). Найдите точку экстремума функции f (x) на отрезке [-6; 4].
На этом отрезке производная функции один раз обращается в 0 (в точке -3) и при переходе через эту точку меняет знак, откуда ясно, что точка -3 и есть искомая точка экстремума функции на отрезке.
Решение.
Отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи.
Ответ: -3.
-3
+
-
Задача 10 На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите точку экстремума функции f (x) .
Решите устно!
1
3
4
2
В точке минимума производная функции равна нулю либо не существует.
Видно, что таких точек на отрезке [-2; 7] три: —1,5; 4,5; 6,5. При этом в точке 4,5 производная слева отрицательна, а справа положительна, значит, это точка минимума. В точках -1,5 и 6,5 производная меняет знак с «+» на «—» это точки максимума.
Решение.
Ответ: 1 .
4,5
-
+
Задача 11. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7].
Задача 12. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек максимума функции y = f (x) на отрезке [a; b].
Ответ: 3 .
a
b
a
b
-
+
Решение.
Условие выполняется в точках: -1; 8; 13.
1
Решение аналогично.
2
Задача 13. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек экстремума функции y = f (x) на отрезке [ -3; 10 ].
Ответ: 4 .
1
2
Задание №14.
Прямая проходит через начало координат и касается
графика функции y = f(x). Найдите производную
в точке х = 4. Укажите координаты точки касания,
т. min и т. max.
Ответ::::
Производная функции в точке
х = 4 – это производная в точке касания хо, а она равна угловому коэффициенту касательной.
Ну кто придумал эту математику !
У меня всё получилось!!!
Надо решить ещё пару примеров.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
