Geometrik shaklni proyeksiyalar tekisliklariga

Geometrik shaklni proyeksiyalar tekisliklariga tegishli o‘q atrofida aylantirish yoki tekislikning izi atrofida aylantirish. Aylanish o‘qi sifatida umumiy vaziyatdagi tekislikning gorizontal yoki frontal izlaridan biri qabul qilinadi (160–rasm). Bu holda tekislik biror izi atrofida aylantirilib, proyeksiyalar tekisliklarining biriga jipslashtiriladi. Agar aylanish o‘qi sifatida tekislikning gorizontal izi qabul qilinsa, bu tekislikni gorizontal proyeksiyalar tekisligi bilan jipslashtirish mumkin. Shuningdek, tekislikni frontal izi atrofida aylantirib, uni frontal proyeksiyalar tekisligiga jipslashtiriladi.

Tekisliklarni proyeksiyalar tekisligiga jipslashtirish yo‘li bilan mazkur tekislikka tegishli bo‘lgan tekis shakllarning haqiqiy o‘lchamini aniqlash mumkin yoki umumiy vaziyatida berilgan tekislikka tegishli bo‘lgan har qanday geometrik masalalarni yechish mumkin.

160,a–rasmda umumiy vaziyatdagi Q tekislikni Q_H gorizontal izi atrofida aylantirib, H tekislikka jipslashtirish ko‘rsatilgan. Tekislikning gorizontal izi aylanish o‘qi sifatida qabul qilingani uchun uning vaziyati o‘zgarmaydi. Bu tekislikni H tekislikka jipslashtirish uchun mazkur tekislikka tegishli biror nuqtaning H tekislikka jipslashtirish kifoya. Bunday nuqta sifatida tekislikning frontal iziga tegishli B(B′,B″) nuqtani olish mumkin. Bu nuqta orqali Q_N ga perpendikulyar M gorizontal proyeksiyalovchi tekislik o‘tkaziladi. B nuqta O′B_o=R radiusli yoy bo‘yicha M_N iz bilan kesishguncha aylantiriladi. Natijada, hosil bo‘lgan B′₁ nuqta bilan Q_x ni o‘zaro tutashtirsak, Q tekislikni H tekislikka jipslashtirilgan vaziyatiga ega bo‘lamiz. Tekislikni bunday jipslashtirganda unga tegishli geometrik shakllar H tekislikka jipslashib, haqiqiy o‘lchamlarida proyeksiyalanadi.

a)                                                               b)

160-rasm.

160,a–rasmdan shuni aniqlash mumkinki, Q tekislikni Q_N izi atrofida aylantirib, uni H tekislikka jipslashtirishda Q_V iziga tegishli Q_xB₁ kesma o‘zining haqiqiy o‘lchamiga teng bo‘lgani uchun Q_xB″=Q_xB′₁ bo‘ladi. Demak, chizmada Q(Q_N, Q_V) tekislikni H tekislikka jipslashtirish uchun uning Q_V izida tanlab olingan B ≡ B″ nuqtani va Q_X markazdan Q_x B″ radius bilan yoy chizib, M tekislikning M_N izi bilan kesishgan B₁ nuqta aniqlanadi. So‘ngra B₁ va Q_X nuqtalardan tekislikning Q_V1 izi o‘tkaziladi.

Chizmada P(P_N, P_V) tekislikni P_N izi atrofida aylantirib, H tekislikka jipslashtirish uchun aylantirish radiusining haqiqiy o‘lchamini aniqlash zarur bo‘lsin (160,b–rasm). Ma’lumki, aylantirish radiusi tekislikning aylanish o‘qiga perpendikulyar bo‘ladi. To‘g‘ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatiga ko‘ra, tekislikning P_V izida olingan A(A′, A″) nuqtaning A′ proyeksiyasidan tekislikning P_N iziga perpendikulyar o‘tkaziladi va O′ hamda O″ nuqtalarni topamiz. Chizmada hosil bo‘lgan O′A′ va O″A″ aylantirish radiusining proyeksiyalari, O′A₀ esa uning haqiqiy o‘lchami bo‘ladi.

Xuddi shuningdek P(P_H, P_V) tekislikni V tekislikka ham jipslashtirish mumkin (161–rasm). Buning uchun berilgan P tekislikning P_H gorizontal izida ixtiyoriy A nuqta tanlab, uning aylantirish radiusi P_X A′ aniqlanadi va tekislikning P_N izini P_V izi atrofida aylantirib, tekislikka jipslashtiriladi. Chizmadan ko‘rinib turibdiki, P tekislikni P_N izi atrofida aylantirilganda P_xA′ kesma P_xA″₁ ga teng bo‘ladi. 

Umumiy vaziyatda berilgan tekislikka tegishli geometrik shaklning haqiqiy o‘lchamini aniqlash uchun uning xarakterli nuqtalarini proyeksiyalar tekisligiga jipslashtirish yo‘li bilan aniqlanadi. Masalan, Q(Q_N, Q_V) tekislikka tegishli ∆ABC(A′B′C′, A″B″C″) ning (162–rasm) haqiqiy o‘lchami uning A, B va C nuqtalarini V tekislikka jipslashtirish yo‘li bilan aniqlanadi.

Tekislikning jipslashgan holati berilgan bo‘lsa, uning dastlabki vaziyatini tiklash mumkin. Tekislikning dastlabki vaziyatini aniqlash natijasida tekislikka tegishli bo‘lgan shakllarning ham proyeksiyalarini aniqlash mumkin.

161-rasm.                                                           162-rasm.

Masalan, P tekislikning H tekislikka jipslashtirilgan vaziyati P_H, P_V, P_1V izlari va shu tekislikka tegishli O₁ markaz va R radiusli aylana berilgan bo‘lsin (163–rasm).

Bu aylananing P tekislikdagi proyeksiyalarini yasash uchun aylana markazidan tekislikning h′₁ gorizontali o‘tkaziladi va 1′₁ nuqta aniqlanadi. Bu nuqtadan tekislikning P_N iziga perpendikulyar o‘tkazib, Ox proyeksiyalar o‘qiga tegishli 1′ nuqta topiladi. Bu nuqtadan h′₁ ning h′ proyeksiyasi o‘tkaziladi. So‘ngra P_x markazdan P_x1′₁ radius bilan o‘tkazilgan yoyning 1′ dan Ox o‘qiga o‘tkazilgan perpendikulyar bilan kesishgan 1″ nuqtasi topiladi. Bu nuqtadan h′₁ ning h″ proyeksiyasini o‘tkaziladi. So‘ngra 1″ va P_x nuqtalar tutashtirilib, tekislikning P_V izi hosil qilinadi. Aylana markazining proyeksiyalarini yasash uchun O′₁ dan P_N ga perpendikulyar o‘tkazib, h′ bilan kesishgan O′ nuqtani va h″ da O″ nuqta topiladi. Shuningdek, bu gorizontalda joylashgan aylananing A′₁ va B′₁ nuqtalarining A′, A″ va B′, B″ proyeksiyalari aniqlanadi.

Tekislikning f′₁ frontalini aylananing markazi O′₁ dan P_1V ga parallel qilib o‘tkazilib, aylananing E′₁ va F′₁ nuqtalarning E′, E″ va F′, F″ proyeksiyalari yasaladi.

163-rasm. 

Xuddi shu tarzda aylananing L′₁ va T′₁, C′₁ va D′₁ nuqtalarning proyeksiyalari tekislikning gorizontallari yordamida aniqlanadi. Bu nuqtalarning bir nomli proyeksiyalarini mos ravishda o‘zaro tutashtirsak, aylananing gorizontal va frontal proyeksiyalari – ellipslar hosil bo‘ladi.

Proyeksiyalar tekisligini almashtirish usuli yordamida yordamchi tekislik o’tkaziladi va 4.1, 4.2. rasmlardagidek chizma davom ettiriladi. 4.3. va 4.4 rasmlarda misollar keltirilgan.[1]

Скачано с www.znanio.ru