Интерференция света

§ 3. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА 2 D 2 h M ' D 2 h  1. Расстояние между интерференционными максимумами (ширина полос  интерференции)   y если экран расположен перпендикулярно оси X (параллельно прямой,  соединяющей источники), и   x если экран перпендикулярен оси У и прямой, соединяющей источники (рис. 3.1; указано положение первых интерференционных максимумов). В этих формулах D’ и D — расстояния от источников колебаний до экрана; 2h  —   расстояние   между   источниками   колебаний;   А,   —  длина   волны, излучаемой источниками колебаний; М — число длин волн, укладывающихся на расстоянии между источниками колебаний (2h = Mλ). 2.   Число   различимых   полос   интерференции   при излучении источником колебаний интервала длин волн ∆  = λ λ1 — λ2: 1 2 1 2  2   где  ctgu , или    s   2    2 n 3. Допустимые  размеры   источника колебаний:    s D 2 h где D — расстояние от источника колебаний до экрана; 2h — расстояние между источниками колебаний; 2и—угол, под которым видны источники колебаний из центра интерференционной картины. 4.   Полосы   равного   наклона   наблюдаются   при   отражении   или   при   про­ хождении света через прозрачный слой постоянной толщины. Разности хода интерферирующих лучей (в длинах волн):    h n 2  cos r  , или  1 2    2 h n 2   sin 2 i  1 2 при    ∆ = mλ (где m — целое     число) — максимум,        при ∆=  — минимум. В формулах h — толщина слоя; i — угол падения; r — угол преломления; п — относительный   показатель   преломления   вещества   слоя   по   отношению   к  , m ( ) 1 2 среде. 5. Разность хода для темных полос равной толщины при отра жении  света от слоя  переменной   толщины  (при  малых   углах падения):      h n 2  (2 1)  k 1 2 1 2     (R — радиус кривизны линзы). Радиусы темных колец Ньютона при наблюдении в отражен 6. ном свете:   Rk 7. Коэффициент отражения энергии при нормальном падении света на границу раздела двух сред:  R ( n 21 n 21  1 2 )  1 8.   Для   «просветления»   оптики   стекло   с   показателем   преломления  n0 покрывается диэлектриком с показателем преломления  n n 0 ВОПРОСЫ 1. Покажите, что при сложении некогерентных колебаний интерференция  не наблюдается. 2. Если рассматривать вертикально расположенную мыльную пленку, то верхняя часть ее кажется черной, а нижняя прозрачной, в промежутке между этими частями наблюдаются радужные полосы. Как это объяснить? 3. Почему по мере испарения мыльной пленки расстояние между полосами растет? 4. Как объяснить появление темного и светлого пятен в центре колец Ньютона при наблюдении в отраженном и проходящем свете? 1. В чем состоит явление «просветления» оптики? 5. Как, пользуясь интерферометром Жамена, определить показатель  преломления газа и его зависимость от давления и температуры? 2. Что   называют  «длиной   когерентности»? 6. В интерферометре Майкельсона при небольшом наклоне одного из зеркал наблюдаются интерференционные полосы, причем если работа ведется с  белым светом, то в центре картины видна черная полоса. Как объяснить ее  происхождение? 9. В том же   интерферометре   при   работе   с белым светом  наблюдается всего 5—7 интерференционных   полос, а при  введении фильтра все поле зрения   перекрывается темными и  светлыми  полосами.   Объясните  это явление. 10. В опыте Юнга  одна из щелей закрыта синим светофильтром, а вторая — красным. Будет ли при таких условиях наблюдаться   на  экране   интерференционная картина? Можно ли наблюдать интерференционную картину при по мощи линзы, средняя часть которой   заклеена   черной   бумагой (рис. 3.2)? Почему  при  наблюдении   интерференционной   картины  с помощью  бипризмы Френеля считают,  что мнимые изображения источника лежат в  той же плоскости, что и сам источник? В опыте с бипризмой Френеля изображения источника получаются  мнимыми. Как можно измерить расстояние между ними? Почему при  наблюдении колец Ньютона следует выбирать линзу с большим радиусом кривизны? λ  = 600 нм. Отражен α  = 10'. На зеркала падает свет от щели,  Примеры решения  задач 1. Угол между зеркалами Френеля  находящейся на расстоянии 10 см от линии пересечения зеркал. Длина  световой волны источника  ный от зеркал свет дает  интерференционную картину на экране, расположенном на расстоянии L =  270 см от линии пересечения зеркал. Определите: а) расстояние между интерференционными полосами на экране; б) как изменится интерференционная картина на экране, если щель  сдвинуть на расстояние d = 2 мм в таком направлении, что ее расстояние от  линии пересечения зеркал не изменится; в) как изменится картина, если расстояние от щели до линии пересечения  зеркал увеличить в два раза; г) наибольшую ширину щели, при которой интерференционная картина еще может наблюдаться; д) сколько интерференционных полос можно видеть на экране. Решение При отражении света от двух зеркал на экран падают два световых пучка  (рис. 3.3). Так как эти пучки идут от одного и того же источника, то они  когерентны и, перекрываясь, дают на экране интерференционную картину.  Мнимые изображения источника в зеркалах играют роль когерентных  источников. а) Ширина интерференционной полосы на экране может быть рассчитана по формуле: x   D h 2 Угол      S2OS1 где  D  —   расстояние   от источников   до  экрана;   2h  — расстояние   между   коге­ рентными   источниками;  D  = ОК + ОА (ОА = L). Определим ОК.  между прямыми,   соединяющими   мни­ мые   изображения   с   точкой пересечения  зеркал, равен 2 .α Тогда  ОК  =  r  cos  a  и, следовательно, D = L + r cos α, где  r  —   расстояние   между источником   и линией пересечения зеркал. Расстояние между мнимыми  изображениями 2h = 2r sin α и ширина интерференционной  полосы   x   L r cos a 2 sin a r Вычисления дают: Дл; = 2,9 • 10­3 м (мы приняли, что cos 10'  1, ≈ a sin 10' = 0,0029). Анализируя полученное выражение, легко заметить, что расстояние между источниками   (в   данном   случае   это   расстояние   между  мнимыми изображениями источника) должно быть малым, чтобы  интерференционные полосы   были   доступными   для   наблюдения.  А   так   как   в   установке   с зеркалами Френеля расстояние между источниками определяется sin α, где α  —   угол   между   зеркалами,   то  а   должен   быть   малым   —   порядка нескольких   минут.   Если   угол  α  будет   составлять   несколько   градусов (например, 3°), а остальные данные задачи останутся прежними, получим значение   ∆x:  =  ==   1,6*10­7  м;     полоса   такой   ширины   недоступна наблюдению. б) Если щель переместить на расстояние d, не меняя ее расстояния от линии  пересечения зеркал, то ширина полос на экране не изменится, так как она не зависит от положения источника по отношению к  плоскости зеркал, но точка К (середина расстояния между мнимыми изображениями) перейдет в точку К’ (рис. 3.4). Тогда центральная  минтерференционная  полоса на экране переместится  на величину АА'.  Следовательно, и вся картина переместится на экране на АА'. КК’ = d cos α (это следует из  подобия треугольников SOS' и КОК), а AA KK ' ' L OK  или   AA '  d cos r cos  a L a Подставляя  числовые данные задачи, получаем АА' = 5,4 x x 10­2 м. в) Если расстояние щели от линии пересечения зеркал увеличить в два  раза, то изменится ширина интерференционных полос, причем   расстояние   между   источниками ),  α a увеличится   в   два   раза  (2h  =   4r  cos  расстояние   от  источников   до   экрана   почти   не изменится, так как в   выражение L    2 cos r  4 sin r 2 r ' 1 2   x cos  α входит как   слагаемое   и,   кроме   того,  2rcos  α  <<  L.   Следовательно,   ширина полос уменьшится в два раза. г)   Допустимая   ширина щели может быть определена из условия           s    tgu u 2 Рис. 3.4          где и — апертурный угол интерференции, т. е. угол между крайними лучами, участвующими в интерференции (и = 2 α, см. рис. 3.1). Подставляя числовые данные, получаем: ∆s = 5,2* 10­5 м. д) Ширина всей интерференционной картины ММ' определяется  величиной апертурного угла: MM Число полос на экране N Ltga  ' 2  'MM x Вычисления дают N≈ 5 полос. 2.   Плоско­выпуклая   линза   положена   на   стеклянную   пластинку,  причем вследствие попадания пыли между линзой и пластинкой нет  контакта (рис. 3.5). Диаметры пятого и пятнадцатого темных колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете, соответственно равны 0,7 и 1,7 мм. Определите радиус кривизны выпуклой поверхности  линзы, если система освещается светом с длиной волны λ = 581 нм. Р е ш е н и е Если   на   систему,   состоящую   из   линзы   и   пластинки,   падает   свет  (для простоты   будем   считать,   что   свет   падает   нормально   к   поверхности пластинки), то происходит следующее: в точке  А  световой пучок частично отразится, а частично пройдет в воздушный зазор между линзой и пластинкой и   отразится   от   поверхности   пластинки.   В  точке  А  обе   части   пучка встречаются, имея разность хода ∆ =  ( h — толщина зазора, соответствующего точке А) и в зависимости от 2h+ 2 того,  равна   ли   эта   разность   нечетному   числу   полуволн  или  четному,  в точке А получается минимум или максимум света. k  2 Исходя   из   этого   для   толщины   зазора,   при   котором наблюдается минимум света, получаем: h Радиус   р   темного   кольца   для   случая  отсутствия оптического контакта можно выразить   из  формулы: 2 )   R h x (    h x 2 где R — радиус кривизны  поверхности линзы (рис. 3.5). (h — х)2 мало по сравнению с  2R (h—х), и  этим членом   можно пренебречь, тогда формула примет вид:   Подставляя значение h для темного кольца, получаем:   В условии задачи известны радиусы двух темных колец ρk и ρi  x 2 ( kR 2  R h x 2 ( ) ) 2  2 k   R k ( 2 ) x  и   2 i   R i ( 2 ) x . 2 i , можно исключить  неизвестную величину зазора х: Взяв разность     2 ( R k i откуда   2 k 2 k  и  i )  R  2 2  d d i k   4 ( k i ) Подставляя числовые данные задачи, получаем R = 0,102 м. 3. От узкой щели при помощи бипризмы Френеля с преломляющим углом 20'   получают   на   экране   интерференционную   картину.  Щель расположена   на   расстоянии  d  =   25   см   от   бипризмы,   а   экран  на расстоянии  L  = 100 см. Определите длину волкы света, освещающего щель, если ширина интерференционных полос на экране ∆х = 0,55 мм. Р е ш е н и е От щели на бипризму падают лучи под всевозможными углами и среди них имеются лучи, которые падают на верхнюю и нижнюю  половинки бипризмы   под   такими   углами,   что   углы   отклонения   для   них   будут минимальными. Кроме   того,   следует  учесть,   что,   так   как преломляющий   угол   бипризмы   очень  мал (порядка   нескольких   минут),   мнимые изображения  щели  и сама  щель  расположены практически в одной плоскости (рис. 3.6). Учитывая   малость   преломляющего   угла призмы A, можно записать:   ( A h 1)  ì èí h = d tg δмин, или просто h = d δмин. Тогда расстояние между  мнимыми источниками: 2h = 2d δмин = 2dA (n — 1). Ширина интерференционной полосы   x откуда искомая длина волны:   d L 2 h     2 x dA n (  d L   2 x h  d L  1) Вычисления дают λ = 638 нм. Тонкая собирающая  линза  разрезана  на две  половины, которые  Задачи для самостоятельного решения 3.1. раздвинуты на расстояние d = 1 мм. По одну сторону от линзы находится  источник монохроматического света (накаленная нить с фильтром), а по  другую — экран, на котором получаются нтерференционные полосы (рис. 3.7). а) Объясните происхождение полос. б) Определите ширину интерференционных полос, если источник света  находится на расстоянии а = 20 см от разрезанной линзы, а экран на  расстоянии L = 450 см. Фокусное расстояние линзы F = 10 см. Длина  световой волны, пропускаемой фильтром,  λ = 500 нм. в) Каким должен быть диаметр нити, чтобы наблюдалась интерференционная картина?  V Ответ  ) б х г) Сколько интерференционных полос видно на экране? 3.2. Мыльная пленка, расположенная вертикально, освещается зеленым  светом с длиной волны  λ = 546 нм. При наблюдении в отраженном свете поверхности пленки видны темные и светлые полосы, причем на протяжении l = 2 см насчитывается пять темных полос. Считая, что ; ) мм в d 5,5 10 ; )21. см г на  1,1   свет  2   7   .м    5 10   , 11 .  5 tg 2 nl падает на поверхность пленки нормально, определите угол между  поверхностями пленки. Показатель преломления мыльной воды п = 1,33.  Ответ  3.3.Найдите длину волны монохроматического излучения, если в опыте  Юнга расстояние первого интерференционного максимума от  центральной полосы у1 = 0,05 см, расстояние между отверстиями 2h =  0,5 см, экран   расположен на расстоянии L = 5 м от отверстий.  3.4.Ответ  3.5.На пути   одного   луча в опыте Юнга    поставлена   трубка   с  плос­ копараллельными  стеклянными   основаниями   длиной   l = 2 см.                      Рис. 3.7  При заполнении трубки хлором вся интерференционная картина на экране  смещается на   N = 20 полос. Вычислите  показатель  преломления хлора, считая, что  показатель  преломления воздуха пв = 1,000 276, длина волны света, даваемого источником, λ = 589 нм.  Ответ  3.6.В опыте Юнга зеленый светофильтр заменили  красным. Как при этом изменилась ширина интерференционных полос на экране (λз= 5 • 10­7 м, λ К = 6,5 • 10­7 м)?  Ответ  1,000865. xn  1,3.   V x 2 V x 1  2  1 V x 2 V x 1 , 3.7.При освещении зеркал Френеля монохроматическим светом с длиной  волны λ = 486 нм на экране, отстоящем на расстоянии L = 1 м от линии  пересечения зеркал, наблюдают интерференционные   полосы, ширина  которых   ∆х = 1 мм. Источник   света находится на расстоянии r = 10 см  от линии пересечения зеркал. Определите   угол   между   зеркалами.      L r V 2 r x      9 10 . Ответ  3.8.Определите расстояние между центральной и пятой светлой полосой, если угол между зеркалами   Френеля   α = 20'. Источник,  дающий свет с длиной волны λ = 589 нм, находится от линии пересечения зеркал на расстоянии r = 10 см, а экран на расстоянии L = 1  м.  Ответ  2,8 3.9.Из линзы с фокусным расстоянием F = 50 см вырезали центральную часть шириной d (см. рис. 3.7) и обе половины сдвину ли до соприкосновения. Линзу поместили между точечным источником  .мм  монохроматического света (λ = 6*10­7 м) и экраном, на ко тором   наблюдают   интерференционные   полосы   шириной   ∆x: = = 0,5 мм. Постройте изображения источника и определите шири ну вырезанной части линзы. Расстояние от источника до линзы α = 100 см, от линзы до экрана L = 20 см.  Ответ d = 0,48 мм. 3.10. Двояковыпуклая    тонкая    линза   с   оптической    силой D = 5 дптр разрезана пополам и половинки линзы раздвинуты на расстояние d = 1  мм.  Источник монохроматического света (λ = = 5*10­7 м) расположен на расстоянии α = 40 см от линзы. Определите  размеры интерференционной картины и ширину интерференционных  полос   на  экране,  отстоящем от  линзы  на расстоянии L = 540 см.      F  F    2 .  7 . V ,  минhм   1,45 o 178,5 . 4,8 10  12,5 10  Ответ    2 d L AAсм х 2 F  2 L см  2 u θ 3.10. Определите тупой угол бипризмы   (см. рис. 3.6), если при расстоянии от источника до бипризмы d = 50 см и при расстоянии от бипризмы до экрана L = 150 см интерференционные полосы на экране имеют ширину ∆x = 0,2 мм. Показатель преломления данного сорта стекла для света, даваемого источником (λ = 500 нм),равен п = 1,52.  Ответ  3.11. На мыльную пленку  падает белый свет под  углом 45°. При какой   наименьшей  толщине пленка будет казаться  желтой (λ ж = 6*10­7 м),   если наблюдение   ведется в отраженном   свете? Показатель преломления мыльной воды п = 1,33.  Ответ  3.12. Мыльную пленку,  расположенную вертикально,  наблюдают в  отраженном свете через красное стекло (λК = 6,31 • 10­7 м).  Ответ  3.13. Расстояние между соседними темными полосами получилось равным 3 мм.   Затем   эту же   пленку   наблюдают   через    синее   стекло (λс = 4 • 10­7 м). Найдите новое расстояние   между соседними темными  полосами. (Считать, что за время измерений форма  пленки не изменилась.)  2 Ответ  3.14. На стеклянный  клин  падает   нормально    пучок   света (λ = 5,82*10­7 м). Угол клина  ференционных полос  приходится на единицу длины   клина?  Показатель  преломления стекла п = 1,5.  Ответ  φ  = 20". Какое число темных интер 1,9 10 .м 3,45 10  ntg   Nсм минhсм   6  5 .   1 .  3 ­ α 3.15. Какова наименьшая толщина мыльной пленки, если при наблюдении ее в отраженном свете она представляется зеленой, когда угол между нормалью и лучом зрения равен   = 35°? Пока затель преломления мыльной воды п = 1,33, λ3 = 500 нм.  Ответ  9 . 3.16. На изображении натриевого пламени (λ = 589 нм), наблюдаемом на  вертикальной мыльной пленке, видны темные горизонтальные полосы (рис.  3.8). Расстояние между серединами темных полос   равно   ∆x: = 5  мм.   Коэффициент    преломления    мыльной воды n =1,33. Определите  угол между  поверхностями   мыльной пленки. В очень тонкой клиновидной пластинке в отраженном свете при нормальном  падении лучей наблюдаются интерференционные   полосы.    Расстояние    между  соседними  темными   полосами 8  ∆х = 5 мм. Зная, что длина световой волны λ = 580 нм, а показатель преломления   пластинки  п  = 1,5,  найдите угол а между гранями пластинки.  Ответ  3.17.Определите   расстояние ∆l2 между двадцатым и  двадцать первым светлыми   кольцами   Ньютона,  если расстояние  между вторым  и третьим светлыми   кольцами   ∆l1 ==  1  мм,   а 2 . 0,32 lммV кольца  наблюдаются   в  отраженном свете.  Ответ  3.18. Найдите фокусное расстояние F плоско­выпуклой линзы, при­ мененной   для   получения   колец   Ньютона,   если   радиус   третьего   темного кольца ρ3 = 1,1 мм, n = 1,6, λ — 589 нм. Кольца наблюдаются в отраженном свете.   Fм  2   1  n   k 1,1 . Ответ  3.19  Найдите   радиус   ρ1  первого   темного   кольца   Ньютона,   если между линзой и пластиной налит бензол (n = 1,6). Радиус кривизны линзы R = 1 м. Показатели преломления материала линзы и пластинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном  натриевом свете (  = 589 нм). Ответ  3.20  Кольца   Ньютона   получаются   между   двумя   плоско­выпуклыми линзами,   прижатыми   друг   к   другу   своими   выпуклыми   поверхностями. Выразите радиус ρт темного кольца номера т, если длина световой волны X, а радиусы кривизны выпуклых поверхностей линз соответственно равны R1 и R. Наблюдение ведется в отраженном свете.  0,606   1 .мм λ Ответ    m  . R R m 1 R R 1 2 2  3.21 Наблюдатель отсчитывает ширину 10 колец Ньютона вдали от их  центра. Она оказывается равной 0,7 мм. Ширина следующих 10 колец  оказывается равной 0,4 мм. Наблюдение проводится в отраженном свете с длиной волны  589 нм.   Определите радиус кривизны поверхности линзы.  Ответ R = 17,5 см. 3.22 Коэффициент отражения света от сухого стекла почти в 1,7 раза больше,  чем от влажного.  Почему?  Ответ Для сухого стекла  R      1,5 1   1,5 1 2 2  0,04.  Для влажного стекла     , вз в  20 . R в ст , , R 0,024. xсмV R R 3.23  При   освещении   плоскопараллельной   слюдяной     пластинки монохроматическим   светом   от   источника   5   (рис.   3.9)   на   экране   по лучены чередующиеся темные и светлые полосы. Объясните происхождение полос. Какова их форма? Определите ширину полос, если толщина пластинки d = 0,2 мм, расстояние  =λ от экрана Э1 до пластинки D = 4 м, источник дает свет с длиной волны  500 нм и расположен вблизи пластинки.  Ответ  3.24. С   помощью   установки,   описанной   в   предыдущей     задаче, на   экране   Э1  получены   полосы,       ширина   которых   ∆x:   =   15   см       при расстоянии от экрана D = 3 м. Определите:   а)   толщину   пластины   d,  если   источник   дает   свет   с  длиной волны   ну интерференционных полос, если они получены от двух когерентных источников, расстояние между которыми равно удвоенной толщине пластины, а экран   Э2  расположен   параллельно   прямой, соединяющей источники.   (D' = D; ∆х /∆х' = 40.)  Ответ  3.25. В интерферометре   Жамена две одинаковые трубки длиной   15 см наполнены воздухом.    При    замене одной из них   такой же трубкой,  на полненной   кислородом,   интерферен­ ционная   картина сместилась    на   6  = 600 нм; б) форму и шири V мм ) a dмм б 0,24 3,75 x ; ) λ  . 3.23. полос при длине волны падающего света λ = 5*10­7 м.  Определите показатель преломления кислорода, если показатель  преломления воздуха п = 1,000292.  Ответ пк = 1,000272. 3.26.  Интерферометр Майкельсона был применен для определения   длины световой   волны.   Для   этой   цели   измерялось   расстояние,  на   которое необходимо   передвинуть   одно   из   зеркал   для   того,   чтобы   сместить интерференционную картину на 100 полос. Это расстояние оказалось равным l = 2,94 • 10­2 мм. Определите длину световой волны.  Ответ   588 .нм