Методическая разработка

Использование активных и интерактивных методов на уроке математики 

(Проектное обучение (PBL), кейс-метод, исследовательские задачи, математические бои, хакатоны)

Кудашева Ирина Викторовна,  учитель математики и информатики

Оглавление УРОК №1. КЕЙС-МЕТОД (7 класс, тема "Проценты и пропорции").......................................................................................................................... 3

УРОК №2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ (8 класс, тема "Площади фигур")...... 5

УРОК №3. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА (6 класс, тема "Делимость и признаки").......................................................................................................................... 7

УРОК №4. ПРОЕКТНОЕ ОБУЧЕНИЕ (PBL) — МИНИ-ПРОЕКТ (8–9 класс, тема "Статистика и грамотность")............................................................................ 8

УРОК №5. ХАКАТОН (9 класс, тема "Системы уравнений" или "Функции"). 9

УРОК 6. ХАКАТОН........................................................................................ 11

ПОДБОРКА ЗАДАНИЙ ПО ТЕМАМ............................................................ 15

Тема 1. Проценты – «Бюджет семьи»......................................................... 15

Тема 2. Теория вероятностей – «Игры»...................................................... 15

Тема 3. Геометрия – «Дизайн парка».......................................................... 16

Тема 4. Пропорции – «Кулинарные рецепты»............................................ 17

Тема 5. Дроби – «Дележ наследства».......................................................... 17

Тема 6. Логика – «Выбор маршрута».......................................................... 18

Тема 7. Простые числа и Золотое сечение.................................................. 18

Тема 8. Оптимизация – «Минимальная стоимость»................................... 19

Тема 9. Движение – «Погоня»..................................................................... 20

УРОК №1. КЕЙС-МЕТОД (7 класс, тема "Проценты и пропорции")

Название: «Банковский вклад или новая куртка?» Легенда:

Ваш друг получил 10 000 рублей на день рождения. Он хочет купить куртку, но в магазине скидка 30% только через 3 месяца. Банк дает 12% годовых. Что выгоднее: положить деньги в банк на 3 месяца и купить куртку со скидкой, или купить сейчас без скидки?

Ход урока (40 мин):

Критерии:

Правильный арифметический расчет — 2 балла.

Учет всех данных условия — 2 балла.

Аргументация в защите — 2 балла.

УРОК №2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ (8 класс, тема "Площади фигур")

Название: «Битва прямоугольников»

Правила: Класс делится на 2 команды (по рядам). На доске 3 задачи. На решение — 10 минут. Затем команды по очереди выходят и защищают решения, а соперники ищут ошибки. Задачи для боя (распечатать на листах):

Ход боя:

Критерии:

За каждую правильно решенную и защищенную задачу — 2 балла команде. За

найденную ошибку в решении соперника — бонусный балл.                                        

УРОК №3. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА (6 класс, тема "Делимость и признаки")

Название: «Загадка числа 2026»

Легенда: Учитель говорит: "Я загадал число. Если к нему прибавить 7, сумма разделится на 3. Если прибавить 11 — разделится на 5. Если прибавить 15 — разделится на 7. Какое число я загадал?" Ученики быстро подбирают 8. Но учитель говорит: "А теперь найдите ВСЕ такие числа до 1000 и выясните закономерность". Ход урока (исследование):

Рефлексия: А что было бы, если бы мы искали до миллиона? Мы получили формулу, которая дает все ответы без перебора.

УРОК №4. ПРОЕКТНОЕ ОБУЧЕНИЕ (PBL) — МИНИ-ПРОЕКТ (8–9 класс, тема "Статистика и грамотность")

Название: «Идеальный режим дня»

Задание (на 3 урока + домашняя работа):

Каждый ученик (или пара) в течение 3 дней записывает тайминг своих занятий (сон, школа, еда, соцсети, спорт, уроки).

Затем обрабатывает данные: строит круговую диаграмму, находит среднее арифметическое, размах.

Конечный продукт — инфографика (плакат / презентация) «Как я могу улучшить свой режим, чтобы высыпаться и успевать больше» с математическими выкладками.

Распределение по урокам:

Урок 1: Объяснение задачи, сбор данных (дома).

Урок 2: Обработка данных в классе (учитель показывает, как строить диаграммы вручную или в Excel).

Урок 3: Защита проектов (каждый показывает свою инфографику 2 минуты).

Класс голосует за самый убедительный проект.

Критерии:

Правильность расчетов (среднее, проценты) — 3 балла.

Качество визуализации — 2 балла.

Наличие выводов ("Я трачу на соцсети 25% времени, а хочу тратить 15%") —

3 балла.

УРОК №5. ХАКАТОН (9 класс, тема "Системы уравнений" или "Функции")

Название: «Спасти город от пробок» — 45 минут, формат "быстрый хакатон" Условие:

Мэр города просит IT-команды (класс делится на группы по 4 человека) за 25 минут разработать формулу, по которой можно рассчитать, через сколько минут наступит час пик, если:

В 7:00 на дороге 100 машин.

Каждые 5 минут въезжает на 20 машин больше, чем выезжает.

Дорога вмещает максимум 500 машин, после чего скорость падает вдвое.

Задание:

Составить формулу зависимости числа машин от времени (линейная функция N(t) = 100 + 4t, если разница 20 машин за 5 минут -> +4 машины в минуту).

Найти момент времени, когда машин станет 500 (t = 100 минут, т.е. в 8:40).

Дополнительный бонус: предложить "решение для мэра" — как отсрочить час пик (увеличить пропускную способность, ввести разъезды и изменить коэффициент).

Ход хакатона:

УРОК 6. ХАКАТОН 

Тема урока: «Математика в реальных задачах: Проектирование школьного пространства»

Класс: 8–9 (урок можно адаптировать для 7–10 классов)

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний с элементами проектной деятельности (урок-хакатон).

Форма урока: Групповая работа (команды по 4–5 человек).

Время: 40 минут (можно расширить до сдвоенного урока).

Цели урока:

Образовательная: применить знания по темам «Площади и объёмы», «Проценты», «Пропорции» для решения практической проектной задачи.

Развивающая: развивать      навыки       математического моделирования, критического мышления, умение работать в команде и публично защищать своё решение.

Воспитательная: показать практическую значимость математики, повысить познавательный интерес через соревновательные и проектные формы работы. Оборудование: мультимедийный проектор, ватманы или флипчарты, маркеры, карточки с кейсами-заданиями, калькуляторы, раздаточный материал с формулами.

Ход урока

1.   Организационный момент и мотивация (5 минут)

Учитель приветствует класс и делит его на команды (по 4–5 человек). Каждая команда выбирает капитана и придумывает название.

Вступительное слово учителя: «Ребята, представьте, что к вам обратилась администрация школы с важным заказом. Нашему школьному двору требуется модернизация. Ваша задача — как команда проектировщиков — предложить лучший и наиболее выгодный проект обустройства новой зоны отдыха. Сегодня мы проведём математический мини-хакатон: за ограниченное время вам нужно решить реальную задачу, используя знания математики, и защитить свой проект перед “инвесторами” (жюри — учитель и приглашённые гости).»

2.   Постановка проблемы (Кейс-метод) (5 минут)

Каждая команда получает кейс-пакет с вводной информацией. Это проблемная ситуация, не имеющая одного единственного верного ответа.

Пример содержания кейса:

«Школьный двор имеет прямоугольную форму размером 20 м на 30 м (площадь 600 м²). Администрация выделила бюджет в размере 500 000 рублей на создание зоны отдыха. В зоне должны быть:

Клумба (не менее 10% от общей площади).

Дорожки из тротуарной плитки (ширина 1 м).

Скамейки (не менее 4 штук).

Ваша задача: разработать эскиз зоны, рассчитать необходимое количество материалов (плитка, бордюры, грунт для клумбы) и смету расходов, уложившись в бюджет.

Цены (условные):

Плитка (1 м²) — 1500 руб.

Бордюр (1 шт., длина 1 м) — 500 руб.

Семена газона (1 кг на 10 м²) — 200 руб.

Скамейка (1 шт.) — 15 000 руб.»

3. Исследовательский этап и проектирование (Основная часть — 20 минут)

Команды приступают к работе. Этот этап сочетает в себе исследовательские задачи и непосредственно проектную деятельность (PBL). План работы для команд (написан на доске или в карточке):

Исследование: Рассчитайте, сколько места займут дорожки, если опоясать клумбу или провести их через весь двор.

Моделирование: Нарисуйте эскиз (масштаб 1:100 или 1:200) на ватмане.

Расчеты:

Площадь клумбы (выберите форму: круг, прямоугольник или сложная фигура).

Количество плитки (площадь дорожек).

Количество бордюров (периметр дорожек и клумбы).

Общую стоимость проекта (смета).

Проверка: Уложились ли вы в бюджет? Если нет, скорректируйте проект (уменьшите клумбу или выберите более дешёвую плитку).

Учитель выступает в роли консультанта, направляя поиск команд, но не давая готовых ответов.

4. Математический бой (Защита проектов — 10 минут)

Этот этап проводится в формате математического боя для развития навыков аргументации и критики.

Регламент:

Одна из команд (по жребию) представляет свой проект («Докладчик»). Команда-соперник выступает в роли «Оппонента»: она внимательно слушает, проверяет расчёты и задаёт вопросы (например: «Почему вы выбрали именно эту форму клумбы?», «Учтены ли отходы плитки при резке?», «Ваша смета превышает бюджет на 5 000 рублей — предложите, как сократить расходы»). Жюри (учитель и другие команды) оценивает как правильность расчётов, так и убедительность защиты.

Критерии оценки (для жюри):

Математическая грамотность расчётов (до 5 баллов).

Креативность и эстетика дизайна (до 3 баллов).

Экономическая эффективность (укладывание в бюджет) (до 3 баллов).

Качество защиты (умение отвечать на вопросы оппонента) (до 4 баллов).

5. Рефлексия и подведение итогов (5 минут)

Учитель      подводит    итоги          хакатона,    объявляет   команду-победителя, набравшую наибольшее количество баллов.

Вопросы для рефлексии:

Какие математические знания вам сегодня пригодились больше всего?

С какими трудностями вы столкнулись при моделировании реальной ситуации?

Где в жизни (в каких профессиях) требуются такие расчёты?

Учитель делает вывод о том, что математика — это не просто формулы в тетради, а универсальный инструмент для решения реальных жизненных задач.

Домашнее задание (опционально)

Завершить проект дома: создать 3D-макет зоны отдыха (из бумаги или в цифровом редакторе) или рассчитать аналогичный проект для своей квартиры/комнаты

ПОДБОРКА ЗАДАНИЙ ПО ТЕМАМ

Тема 1. Проценты – «Бюджет семьи»

Методы: кейс-метод, PBL, математический бой

Задание 1.1. Кейс «Семейный бюджет на месяц»

Дано: Семья из 4 человек (двое взрослых, двое детей). Совокупный доход — 80 000 руб./мес. Обязательные платежи: ЖКХ — 6 000 руб., питание — 25 000 руб., транспорт — 4 000 руб., связь/интернет — 2 000 руб. Остаток — на одежду, лекарства, развлечения и сбережения.

Задача: Составить сбалансированный бюджет на месяц, чтобы сбережения составляли не менее 10% от дохода. Какие статьи можно оптимизировать? Формат: кейс решается в группах, затем проводится математический бой – каждая группа защищает свой бюджет, оппоненты ищут ошибки в расчётах процентов и предлагают более выгодные варианты.

Задание 1.2. PBL-проект «Инфляция и покупательная способность»

Проект: За 5 лет цены на товары выросли на 40%. Как изменится реальный доход семьи, если зарплата выросла на 25%?

Исследование: Собрать данные по реальным ценам в своём регионе (или использовать статистику). Построить диаграммы, рассчитать индексы. Результат: Презентация «Как сохранить семейный бюджет в условиях инфляции».

Тема 2. Теория вероятностей – «Игры»

Методы: исследование, кейс, хакатон

Задание 2.1. Исследование «Справедлива ли игра?»

Условие: Двое играют в кости. Первый бросает две кости, выигрывает, если сумма равна 7. Второй бросает одну кость, выигрывает, если выпадает 6. Кто имеет преимущество?

Задание: Провести теоретический расчёт вероятностей, затем смоделировать 100 бросков (можно в Excel или программно). Сравнить теорию и эксперимент.

Метод: исследовательская задача с элементами статистического анализа.

Задание 2.2. Хакатон «Разработка настольной игры с заданной вероятностью» Задание: Создать правила игры, в которой вероятность выигрыша каждого игрока одинакова (или задана неравномерно, например, 40% на 60%).

Использовать кубики, монетки, карты. Рассчитать вероятности всех исходов.

Результат: прототип игры, таблица вероятностей, демонстрация партии.

Жюри оценивает математическую корректность и креативность.

Задание 2.3. Кейс «Лотерейный билет»

Дано: В лотерее 1000 билетов, из них 10 выигрышных (по 500 руб.), 50 – утешительных (по 50 руб.), остальные – пустые. Билет стоит 100 руб. Вопрос: Стоит ли участвовать? Какова ожидаемая выгода?

Задание: Построить распределение вероятностей, вычислить математическое ожидание и сделать вывод.

Тема 3. Геометрия – «Дизайн парка»

Методы: PBL, кейс, матбой

Задание 3.1. Проект «Парк моей мечты» (PBL)

Дано: Участок прямоугольной формы 40×60 м. Необходимо разместить: детскую площадку (круг радиусом 5 м), фонтан (квадрат 4×4 м), дорожки (ширина 1,5 м) и газон. Требуется, чтобы площадь газона была не менее 50% от общей.

Задача: Разработать эскиз в масштабе, вычислить площади всех элементов, количество плитки для дорожек, стоимость озеленения.

Бюджет: условный – 1 млн руб. (цены даются отдельно). Команды защищают проекты в формате математического боя – оппоненты проверяют геометрические расчёты и оптимизацию бюджета. Задание 3.2. Исследование «Оптимальная форма клумбы»

Задача: При заданном периметре (например, 20 м) какая форма (круг, квадрат, прямоугольник) даёт наибольшую площадь? Исследовать зависимость, построить графики, доказать с помощью производной (или неравенств).

Метод: исследовательская задача для продвинутых групп.

Тема 4. Пропорции – «Кулинарные рецепты»

Методы: кейс, исследование, PBL

Задание 4.1. Кейс «Праздничный стол на 10 человек»

Дано: Рецепт на 4 порции: мука – 300 г, яйца – 2 шт., сахар – 150 г, масло –

100г.      Пересчитать      ингредиенты      для      10      и      для      6      персон.

Задание: Составить таблицу пропорций. Рассчитать стоимость продуктов, если известны цены за упаковку.

Усложнение: некоторые ингредиенты продаются только в упаковках (например, яйца – по 10 шт., мука – по 1 кг). Как минимизировать отходы? – это уже задача на оптимизацию.

Задание 4.2. PBL-проект «Кулинарная книга класса»

Проект: Каждая группа выбирает рецепт и пересчитывает его на различные количества порций. Создаётся общая книга с таблицами пропорций и рекомендациями по замене ингредиентов.

Задание 4.3. Исследование «Как изменяется время приготовления при увеличении порций?»

Задача: Собрать эмпирические данные (или использовать логику) и выяснить, является ли зависимость времени от количества продуктов линейной.

Построить график, сделать выводы.

Тема 5. Дроби – «Дележ наследства»

Методы: кейс, матбой, исследование

Задание 5.1. Классическая задача о наследстве (кейс)

Условие: Отец оставил 10 000 монет. По завещанию: жена получает 1/2, старший сын – 1/3, младший – 1/6. Возможно ли справедливо разделить, если по закону доли должны быть целыми числами монет?

Задание: Найти способ дележа, если монеты неделимы. Рассмотреть разные подходы (округление,        компенсация,       дополнительный взнос). Формат: математический бой – группы предлагают свои варианты, оппоненты ищут противоречия.

Задание 5.2. Исследование «Дроби и справедливость»

Задача: Изучить различные системы распределения наследства в разных культурах (например, исламское право – дроби с фиксированными долями). Решить несколько примеров с разными знаменателями, найти общий алгоритм.

Тема 6. Логика – «Выбор маршрута»

Методы: кейс, исследование, PBL, хакатон

Задание 6.1. Кейс «Оптимальный путь до школы»

Дано: Карта района с точками A, B, C, D (дом, школа, магазин и т.д.) и временем прохода по дорогам (или расстояниями).

Задача: Найти кратчайший путь от дома до школы с учётом возможности зайти в магазин (обязательная точка).

Метод: исследование всех возможных маршрутов, сравнение.

Задание 6.2. Хакатон «Разработка навигатора для школьного двора» Задание: Создать логическую схему (граф) территории школы, расставить веса (время или длина). Разработать алгоритм поиска кратчайшего пути между любыми двумя точками. Команды представляют свои алгоритмы (можно в виде блок-схем) и соревнуются, чей алгоритм быстрее и проще.

Задание 6.3. Исследование «Задача коммивояжёра» (упрощённая)

Условие: Нужно обойти 5 пунктов и вернуться в исходный, минимизируя путь.

Задание: Перебором найти оптимальный маршрут, сравнить с эвристикой «ближайшего соседа». Сделать выводы о сложности перебора.

Тема 7. Простые числа и Золотое сечение

Методы: исследование, PBL, матбой

Задание 7.1. Исследование «Простые числа вокруг нас»

Задание: Найти все простые числа до 100, построить таблицу. Изучить закономерности их распределения (интервалы между простыми, частоты). Попытаться сформулировать гипотезу о бесконечности простых чисел (для старшеклассников – доказательство Евклида).

Дополнительно: Исследовать, как простые числа используются в криптографии (RSA) – доклад.

Задание 7.2. PBL-проект «Золотое сечение в дизайне»

Проект: Измерить соотношения частей тела человека, пропорции архитектурных объектов (Парфенон, пирамиды) или картин (Мона Лиза).

Вычислить,      насколько      они      близки      к      числу      φ      ≈      1,618.

Задача: Создать свой объект (логотип, рамку для фото, макет здания) с использованием золотого сечения, обосновать выбор пропорций.

Задание 7.3. Математический бой «Верно ли, что все числа Фибоначчи связаны с золотым сечением?»

Суть: Команды готовят доказательства или опровержения утверждений о связи ряда Фибоначчи и золотого сечения. Бой проходит в формате вопросовответов.

Тема 8. Оптимизация – «Минимальная стоимость»

Методы: кейс, исследование, хакатон

Задание 8.1. Кейс «Упаковка для сока»

Дано: Требуется упаковать 1 литр сока в цилиндрическую банку. Каковы должны быть радиус и высота, чтобы расход металла (площадь поверхности) был минимальным?

Задание: Вывести формулу, найти экстремум с помощью производной или метода перебора. Сравнить с реальными размерами банок в магазине.

Задание 8.2. Хакатон «Строительство забора»

Условие: Прямоугольный участок площадью 400 м² нужно огородить забором. Одна сторона примыкает к стене (забор не нужен). Каковы размеры участка, чтобы длина забора была минимальной?

Команды решают задачу несколькими способами: аналитически, табличным перебором, графически. Побеждает та, которая предложит самое элегантное решение.

Задание 8.3. Исследование «Стоимость доставки»

Задача: Курьерская служба: стоимость доставки = фиксированная плата + плата за километр. При каком расстоянии выгоднее пользоваться разными тарифами? Построить графики, найти точку безубыточности.

Тема 9. Движение – «Погоня»

Методы: кейс, матбой, исследование

Задание 9.1. Классическая задача на погоню (кейс)

Условие: Пешеход вышел из пункта А в пункт В со скоростью 5 км/ч. Через 2 часа за ним отправился велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через сколько и на каком расстоянии от А велосипедист догонит пешехода? Задание: Решить задачу несколькими способами (арифметическим, алгебраическим, графическим). Обсудить, как изменится ответ, если пешеход увеличит скорость или велосипедист выедет позже.

Задание 9.2. Математический бой «Собака догоняет зайца»

Условие: Заяц бежит от собаки. Скорость зайца – 10 м/с, собаки – 15 м/с. Расстояние между ними – 50 м. Собака видит зайца и начинает погоню. Заяц бежит по прямой, собака – по кратчайшему пути к текущему положению зайца (кривая погони).

Задание: Исследовать траекторию собаки (это дифференциальное уравнение, но можно численно). Для 8–9 классов – построить график приближённо, используя шаговый метод (моделирование).

Формат: группы моделируют ситуацию в таблицах или программах, сравнивают результаты.

Задание 9.3. Исследование «Влияние начального запаздывания»

Задача: Изучить, как время до встречи зависит от начального расстояния и разности скоростей. Вывести общую формулу и проверить на числовых примерах.