Исследование гравитационного поля Земли

Исследование гравитационных взаимодействий с помощью компьютера Численные расчеты гравитационных взаимодействий без вычислительной техники  требуют достаточно много времени и потому редко выполнялись на уроках физики.  Использование Excel позволяет рассмотреть несколько интересных примеров. Задание № 1. Определите ускорение  свободного падения на разных широтах Земного  шара. На поверхности Земли тела удерживаются силой тяготения   GF  , где М – масса Земли, R – ее mM 2R  с  Rr φ , движется по   Cos радиус. Любая точка поверхности земного шара,  лежащая на географической широте  кругу радиуса   центростремительным ускорением  Это ускорение сообщается составляющей силы  тяготения ОG (Рис.1). Вторая составляющая ОС –  вес тела. Для всех точек земной поверхности, не  принадлежащих экватору и полюсам, вектор веса  тела не направлен к центру Земли.  Cos  ω2. R 2 Разложим силу ОС на две: направленную вдоль  радиуса OD и по касательной ОВ.  Вращение Земли приводит к двум фактам. Во­первых, вес (давление тела на Землю)     2 Rm 2 Cos  стал меньше силы тяготения. Так как ОС  DE расплющить Землю, передвинуть вещество к экватору; эта сила OB эллипсоиду вращения. Сила тяжести на широте   φ  будет   , и Земля имеет не форму шара, а форму, близкую к   .   .                           Во­вторых, возникает сила, стремящаяся   ≈ OD, то это уменьшение равно    Cos  R Rm  Sin Cos  2 mg  2 Ускорение свободного падения определяем по формуле  g =  , центростремительное     2 m GM 2R ускорение  ­  определится ­  g ­ а . Ra   2 Cos  2   , и ускорение свободного падения на широте   φ Проведем расчеты в Excel: M­  Земли 5,97E+24 R­ Земли ω 6,38E+06 7,27E­05 G 6,67E­11 9,79E+00 g φ 1φ a g­a 0 0 0,033741 10 0,174533 0,033228 20 0,349066 0,031706 30 0,523599 0,02922 40 0,698132 0,025847 50 0,872665 0,021688 0,01687 60 1,047198 70 1,22173 0,01154 80 1,396263 0,005859 90 1,570796 2,07E­18 9,751894 9,752407 9,753929 9,756415 9,759788 9,763947 9,768765 9,774095 9,779776 9,785635 Масса Земли, радиус, гравитационная постоянная введены в ячейки А2, В2 и D2 ; в  ячейки столбца  F введены значения углов в градусах. Формулы : в ячейке G2 ­  =РАДИАНЫ(F2), угловая скорость   определена ­ =2*ПИ()/(24*3600), ускорение  ω свободного падения g ­ = D2*A2/B2^2. Уменьшение ускорения на разных широтах  определено в ячейках столбца Н ­ H2 ­ = $C$2^2*$B$2*(COS(G2))^2, в  I2 ­  = $E$2 – H2.  Все формулы размножены до 11 строки. Формат ячеек столбцов F, G , Н, I – общий, ячеек ­ A, B, C,D, E ­ экспоненциальный. Задание № 2. Используя полученные данные  определите дальность полета тела,  брошенного под углом к горизонту, на разных широтах Земного шара. Vy V угол скорость широта  0,785 α 70,00 Vx Время полета   t V  2   Sin  a g   и  дальность 2 S    V  g Sin a  V Cos  2 V    2 Sin  a g           g­a 0 9,751894 10 9,752407 20 9,753929 30 9,756415 40 9,759788 50 9,763947 60 9,768765 70 9,774095 80 9,779776 90 9,785635 дальность 502,4663 502,4399 502,3615 502,2335 502,0599 501,8461 501,5986 501,325 501,0338 500,7338 Задан угол 45о и скорость 70 м/с. В столбец D скопированы данные предыдущей  таблицы, в ячейку Е2 записана формула =$B$2^2*Sin(2*$A$2)/D2 Задание 3. Определите ускорение свободного падения и первую космическую  скорость  на разных высотах над поверхностью Земли. R M G 6,67E­11 5,97E+24 6,38E+06 6,38E+06 1,28E+07 1,91E+07 R+h 2,55E+07 3,19E+07 3,83E+07 4,47E+07 5,10E+07 5,74E+07 6,38E+07 gh Vh Vk 9,786 7901,414 2,446 5587,144 1,087 4561,884 0,612 3950,707 0,391 3533,620 0,272 3225,739 0,200 2986,454 0,153 2793,572 0,121 2633,805 0,098 2498,647 7,901 5,587 4,562 3,951 3,534 3,226 2,986 2,794 2,634 2,499 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Высоты обозначены R+h, gh – ускорение на высоте R+h, первая космическая скорость  на высоте R+h обозначена Vh, Vk – значение первой космической скорости в км/с. Ускорение определяем по формуле  g h  GM  hR ( 2)  , а скорость  v  GM  hR Формулы введены так: в ячейку Е3 ­ =Е2+6,38Е+06, в F2 ­ =$B$2*$C$2/E2^2,  в               G2 ­ =КОРЕНЬ($B$2*$C$2/E2), в H2 ­ =G2/1000 для выражения скорости в км/с. Задание № 4. Определите скорость движения планет на орбитах и период их  вращения вокруг Солнца.. Сравнивая выражения центростремительного ускорения   a   и силу всемирного  2 V R тяготения  GF  mM 2R , из второго закона Ньютона получаем   V  GM R расстояние  до Солнца  (м) масса  Солнца G  V  скорост ь период 5,79E+10 2,00E+30 1,08E+11 1,50E+11 2,28E+11 7,78E+12 1,43E+12 2,87E+12 4,50E+12 5,90E+12 6,67E­11 47999,71 7,58E+06 35112,7 1,94E+07 29861,53 3,15E+07 24193,89 5,92E+07 4140,039 1,18E+10 9668,652 9,27E+08 6818,874 2,64E+09 5447,093 5,19E+09 4755,015 7,80E+09 Период в годах  0,241 0,615 1,000 1,880 375,252 29,460 83,984 164,756 247,674 Планета Меркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон 3 2 R T 3,38E+18 3,38E+18 3,38E+18 3,38E+18 3,38E+18 3,38E+18 3,38E+18 3,38E+18 3,38E+18 В ячейку Е2 записана формула =КОРЕНЬ($D$2*$C$2/B2), в ячейке F2­  =2*ПИ()*В2/Е2. Чтобы периоды выразить в годах в ячейке G2 записано ­ = F2/$F$4 Для убеждения в том, что  результаты вычисления соответствуют законам природы, в  столбце Н  проверим выполнение закона Кеплера  Const , для чего в ячейку H2   3 R 2 T введем формулу  =B2^3/F2^2  Формулы размножим до десятой строки. Для закрепления умений предлагаем задания: используя справочные данные   определите плотности планет, ускорение свободного падения и дальность полета на  планетах, постройте сравнительные диаграммы размеров планет, расстояний их до Солнца.