Исследовательская работа "Что таит в себе треугольник".

Муниципальное бюджетное общеобразовательное  учреждение

«Филипповская основная общеобразовательная школа»

 

 

 

 

 

Что таит в себе

треугольник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                  Хомяков Егор

7 класс

 

 

Руководитель:

Емельянова Лариса Вячеславовна

учитель математики МБОУ «Филипповская ООШ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2019 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1. Введение……………………………………………………………...3

2. Приключения Точки и Циркуля………………………………… 4 - 5

3. Основные свойства треугольника………………………………. 6 - 7

4. Замечательные точки и линии в треугольнике……………….. 7- 9

5. Историческая справка……………………………………………. 9- 10

6. Практическое применение треугольника

 6.1. Использование жесткости треугольника……………………. 11

6.2. Треугольник в играх, быту……………………………………...11-12

6.3. Бермудский треугольник……………………………………….. 12  

6.4. Треугольник в тригонометрии ……………………………….. .12

6.5. Треугольник Паскаля. Невозможные объекты………………12

6.6. История "фронтового треугольника…………………………..13

6.7. Флексагон………………………………………………………. ..14

7. Магия треугольника…………………………………………….. ..15-18

8. Треугольник в стихах……………………………………………...18-20

9. Выводы………………………………………………………………20

10. Литература…………………………………………………………21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.     ВВЕДЕНИЕ

 

 

«Не знающий геометрию, да не войдет в Академию» 

                                               Платон

 

 

В этом году я начал изучать геометрию. Полистав  учебник, я заметил, что о треугольнике мне предстоит узнать больше всего. Видимо, это особенная фигура.

Я решил ответить на вопрос:

 

Может ли геометрия существовать без треугольников?

 

Поставил перед собой задачи:

1.     Узнать об историческом прошлом треугольника

2.     Познакомиться с основными видами,  элементами и свойствами треугольника

3.     Изучить применение треугольников

4.     Узнать кое-что о магических свойствах треугольника.

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не символ. Треугольник – атом геометрии. Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Приключения Точки  и Циркуля.

Отправились Точка с Циркулем в путь. Циркуль впереди идет, широко шагает, быстро. Ноги у него длинные. А маленькая Точка ножками семенит, еле за Циркулем поспевает. Видит Циркуль, что Точке за ним не угнаться. Посадил он ее к себе на плечо и зашагал еще быстрее. Час шагал, два шагал… Вдруг остановился: преградила ему путь огромная чернильная лужа. Ни обойти ее, ни перепрыгнуть.

- Что же нам делать? – спрашивает Точка. – Неужели придется возвращаться?

- Ну нет, - отвечает Циркуль. – Если хорошенько подумать, то обязательно найдется выход из положения. Видишь островки в луже? Мне до них, конечно, не добраться, но ведь можно построить мост!

- Как?

- А наши друзья отрезки? Позовем их на помощь!

Только вспомнил Циркуль про отрезки, а они уж тут как тут. Перекинулся один отрезок с берега на ближайший островок. Другой отрезок пробежал по нему до конца, зацепился за конец и – хлоп! – перекинулся на следующий островок. Третий отрезок побежал по первым двум, за ним четвертый, пятый… Хлоп-хлоп! – и мост готов.

Перебрались они на другой берег и пошли дальше. Шли-шли, смотрят – вдали какой-то город виднеется. Хотели подойти поближе, а на пути стражник стоит, не пускает.

- Ты почему нас дальше не пускаешь? – удивилась Точка.

- Потому, - ответил стражник, - что отсюда начинается дорога в наш город. А мы в него пускаем только тех, кто уже узнал что-нибудь про геометрию и хочет узнать еще больше.

- Так пусти  нас! Я много знаю про геометрию.

- Что же ты знаешь?

- Прямую линию, отрезок, луч, угол, ломаную линию, - выпалила Точка.

- Ну, разве это много! Знаешь ли ты, например, про треугольник?.

- Нет, не знаю.

- А хочешь узнать?

- Конечно, хочу.

- Это не так уж трудно узнать, - вступил в разговор Циркуль. Он позвал три отрезка, и отрезки соединились  друг с другом концами вот так:

- Ну, вот это и есть треугольник. Отрезки в нем называются сторонами треугольника, а вершины углов – вершинами треугольника.

- Все жители нашего города треугольные. И называется он Городом  треугольников.

И стражник пропустил Точку и Циркуль в этот удивительный Город. Все в нем было треугольное. Дома – треугольные, окна и двери в домах – треугольные. На улицах росли треугольные цветы, а в садах на треугольных деревьях висели треугольные яблоки и треугольные груши.

Маленькая Точка не могла сдержать своего восторга.

- Сколько кругом треугольников, и какие они все разные! Ты посмотри. Вот этот – какой он длинный и тощий, просто смешно! А вон тот перекосился, и как он только на ножках держится!

Долго бродили по Городу Циркуль и Точка. Чего только они не узнали о треугольниках.

         Несмотря на такой простоватый внешний вид треугольника, я очень сомневаюсь в правильности утверждения Википедии о том, что треугольник является простейшим многоугольником. Уж слишком много у треугольника всяких свойств, качеств, загадок. Специально посмотрел математический справочник и вот подтверждение моих слов: треугольнику посвящено 6 страниц, а всем четырехугольникам, вместе взятым, всего 5 страниц. Внешняя простота треугольника совсем не означает простоту математическую.
         Итак, начнем разбирать треугольник по косточкам. Три точки, не лежащие на одной прямой, образуют треугольник. Эти точки называются вершинами треугольника. Просьба не путать с горными вершинами - это совсем другое. Треугольник имеет три вершины, которые обозначаются большими латинскими буквами A, B, C (это фамилия у вершин такая). Между вершинами треугольника находятся стороны треугольника. Это такие ровные дорожки, по которым можно перебегать от одной вершины треугольника к другой вершине. Стороны треугольника также являются неприкосновенными государственными границами треугольника. Внутри этих границ находится площадь треугольника.

         Итак, Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА

 

 

Если все три угла острые , то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона  c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник.

Треугольник ABC  - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC– равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a b c ) мы имеем неравносторонний треугольник.

 

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике: 

 

1.  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

 

2.  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

     В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

 

3.  Сумма углов треугольника равна 180 º .

 

     Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

     треугольнике равен 60 º.

 

4.  Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний

     угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

     не смежных с ним:  BCD = A + B.

 

 5.  Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

      их разности ( a < b + c,  a > b – c;  b < a + c,  b > a – c;  c < a + b,  c > a – b ).

 

Признаки равенства треугольников.  

 

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

          a)  две стороны и угол между ними;

   b)  два угла и прилегающая к ним сторона;

   c)  три стороны.

 

Признаки равенства прямоугольных треугольников. 

 

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1)  равны их катеты;

2)  катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3)  гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4)  катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5)  катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

 

4.     Замечательные линии и точки в треугольнике.

 

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника– снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

 

 

 

 

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы

 пересекаются в одной точке , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга

 

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, AE : CE = AB : BC .

 

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ).

 

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном  в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

 

 

5.     ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

 

         Простейший из многоугольников - треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся геометрия со времен "Начал" Евклида покоится на "трех китах" - трех признаков равенства треугольников. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник. что иногда говорят о "геометрии треугольника" как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. В треугольнике АВС выделяют 6 основных элементов - 3(внутренних) угла А,В,С и 3 соответственно противолежащие им стороны а, в и с.

         В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника.
        На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и,  начиная с XVIII века, они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.
        В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера". В двадцатых годах XIX века французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.
        Эта окружность называется "окружностью девяти точек", или "окружностью Фейербаха", или "окружностью Эйлера". К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера.
        Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX – XX веков Лемуан, Брокар, Тебо и другие.

 

Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – "землемерие" (от греческого "гео" – "земля" и "метрео" – "измеряю").
        Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил – все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике.
        Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники.
     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

 

 6.1. Использование жесткости треугольника

          Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей.

           Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник – жесткая фигура.

           Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жесткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем еще одну рейку и скрепим ее концы со свободными  концами первых двух реек. Полученная конструкция – треугольник – уже будет жесткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т.е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, т.к. новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.    Это свойство – жесткость треугольника – широко используется на практике

         При строительстве любых мостов в их конструкциях также присутствуют треугольники.

         Ножки стула крепятся планками, чтобы стул был устойчивым.

Чем больше треугольников в любой конструкции, тем она прочнее

          Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип используется при установке кронштейна.

           Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций.  19 марта 2007 года Шуховской башне на Шаболовке исполнилось 85 лет.

            Треугольники делают надежными конструкции высоковольтных линий электропередач.

            Треугольники используют  в конструкции железнодорожного моста.

 

6.2. Треугольник в играх, быту.

 

          Начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника. Для этого используют специальное приспособление.

        Расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника.

        Правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя – найдя нужный ему товар, покупатель устремляется в кассу. Задача продавцов – заставить его задержаться в магазине подольше, расположив нужный покупателю товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «заякорить» покупателя. Чем больше площадь треугольника, тем более удачным можно назвать планировку магазина. В продуктовом магазине этими товарами-якорями являются гастрономия, молочная продукция, хлеб. Задняя торцевая стена торгового зала является вторым местом по значимости и именно там целесообразнее всего располагать товары-якоря – именно для того, что бы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.

        В литературе и телесериалах обязательно сюжет завязан на любовном треугольнике.

         Для составления красивых паркетов использовали треугольники.

 

6.3. Бермудский треугольник    

 

         Бермудский треугольник иногда называют еще дьявольским треугольником. Это район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико  и  назад к Флориде через Багамы.  Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами.

           Наибольшую известность Дьявольскому треугольнику принесла история исчезновения американского звена бомбардировщиков-торпедоносцев. Об этом вы можете найти много интересного материала в сети Internet.

 

6.4. Треугольник в тригонометрии  

    

         Треугольник полярный, треугольник характеристический. Каких только треугольников нет в математике. В глубокой древности вместе с астрономией появилась появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и  «меряю»

Буквальное значение – «наука об измерении треугольников»

          С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.

 

6.5. Треугольник Паскаля. Невозможные объекты.

 

         Устройство треугольника Паскаля:  каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. (обвести треугольником три числа).  Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Треугольник можно продолжать неограниченно.   Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык  цвета.

         Треугольник Пенроуза или трибар из коллекции невозможных объектов. Кажется, что мы видим три бруска квадратного сечения соединенных в треугольник. Если вы закроете любой угол этой фигуры, то увидите,  что все три бруска соединены правильно. Но когда вы уберете руку с закрытого угла, то станет очевиден обман. Те два бруска, которые соединятся в этом угле, не должны быть даже вблизи друг друга!

             Для построения этой фигуры взяли трибар и разбили его на кубы. При этом ничего не изменилось: новая фигура так же совершенно невозможна, как и предшествующая ей!

            Треугольник Пенроуза вдохновляет художников и скульпторов.

Много необычных фигур вы можете увидеть на сайте «Невозможные объекты»       

 

6.6. История "фронтового треугольника".

 

         Есть  такое понятие как «фронтовой треугольник». В годы Великой Отечественной войны солдаты писали письма на листочке бумаги, а затем складывали его особым образом, чтобы получался треугольник. Такие треугольники отдавали на военную почту. Они были без марок, но с печатью полевой  почты. Готовое к отправке письмо не заклеивалось — его всё равно должна была прочитать цензура.

         Перед написанием письма надо было сложить треугольник из чистого листа. Обычно это был "двойной" листок, вырванный из середины тетради.  Конверт-треугольник сначала загибали справа налево, потом слева направо. Оставшаяся полоса бумаги (поскольку тетрадь не квадратной, а прямоугольной формы) вставлялась внутрь треугольника.

Первым делом подписывался адрес и пунктиром или линией по кромке намечалась оборотная сторона. Эта оборотная сторона должна оставаться чистой для пометок почтовыми работниками, или для записи, что герой погиб и письмо возвращается адресату. После этого лист разворачивался, и писалось письмо. Текст на листе размещался так, что заполнялись все свободные места, кроме адресной и оборотной треугольных поверхностей листа. В случае гибели адресата, адресная сторона перечеркивалась крест-на-крест, но так, что оставался понятным обратный адрес. Запись о гибели делалась на "чистой" стороне треугольника.

         Существует памятник посвященный фронтовому треугольнику.

В память о героических воинах - защитниках в Сталинградском сражении рядом с дорогой Волгоград - Москва сооружен мемориальный комплекс"Солдатского поля". В братской могиле захоронена урна с прахом погибших солдат, останки которых найдены на этом поле. Поблизости воронка, заполненная осколками от мин, снарядов, гранат, собранных с поля. Чуть в отдалении - скульптура девочки с цветком в руке. Рядом - мраморный треугольник солдатского письма. Поводом к созданию именно такой композиции послужило письмо майора Д. Петракова к дочери, написанное 18 сентября 1942 г. после боя в степи северо-западнее Сталинграда. Это место и названо "Солдатским полем".
         Майор писал: "Моя черноглазая Мила! Посылаю тебе василек. Представь себе: идет бой, вокруг рвутся вражеские снаряды, кругом воронки и здесь же растет цветок. И вдруг очередной взрыв - василек сорван. Я поднял его и положил в карман гимнастерки. Цветок рос, тянулся к солнцу, но его сорвало взрывной волной, и, если бы я его не подобрал, его бы затоптали. Вот так фашисты поступают в оккупированных населенных пунктах, где они убивают ребят. Мила! Папа Дима будет драться с фашистами до последнего вздоха, чтобы фашисты не поступили с тобой так же, как с этим цветком..." Текст этого письма полностью приведен на мраморном треугольнике.

 

6.7. Флексагон.

 

         Можно  сконструировать геометрическую бумажную игрушку, которая тоже является родственником треугольника, так как её поверхность состоит из треугольников. Эта игрушка называется флексагон. Она удивительна тем, что внезапно изменяет свою форму и цвет.

         Флексагоны (от англ. to flex — гнуть, сгибать) — это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности скрываются внутри, а ранее скрытые поверхности выходят наружу.
         Открыты флексагоны были совершенно случайно. Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету. Вскоре «флексагоны» в изобилии стали появляться на столе во время завтраков и обедов, когда вся компания собиралась вместе. Для проникновения в тайны «флексологии» был организован «Флексагонный комитет». Кроме Стоуна, в него вошли аспирант-математик Бриан Таккермен, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки.

 

 

 

7. МАГИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА.

 

o   Триединая природа вселенной: Небо, Земля, Человек; отец, мать, дитя; человек как тело, душа и дух; мистическое число три; тройка, первая из плоских фигур.

o   Отсюда символ поверхности вообще. Поверхность состоит из треугольников (Платон). Равносторонний треугольник символизирует завершение, обращенный вершиной вверх, является солнечным и имеет символику жизни, огня, пламени, жара.

o   Три соединенных треугольника обозначают ненарушимое единство трех лиц Троицы.

o   Двойной треугольник, шестиконечная звезда, Печать Соломона, Могун Давид, говорит о том, что каждая истинная аналогия должна быть употребима обратно, что вверху, то и внизу. Это союз противоположностей, положительного и отрицательного, причем верхний треугольник белый, а нижний черный, огонь и вода, эволюция и инволюция, взаимопроникновение, все является образом другого,

o   Два треугольника, лежащие горизонтально и соприкасающиеся вершинам, - это лунный символ, растущая и убывающая Луна, вечное возвращение, смерть и жизнь, умирание и воскрешение. Точка соприкосновения - это новолуние и смерть. У алхимиков два треугольника - сущность и субстанция, дух и душа, сера и ртуть, стабильное и изменчивое, духовная сила и телесное существование

o   Два смыкающихся треугольника - союз противоположностей, которые становятся жидким огнем или огненной водой. У буддистов чистое пламя и Три Драгоценности Будды, Дхарма и Сангха.

o   У китайцев треугольник с подвешенными мечами символизирует восстановление.

o   У христиан равносторонний треугольник или треугольник, образованный тремя пересекающимися кругами, символизирует Троицу в единении и равенстве трех составляющих ее лиц. Треугольное сияние - атрибут Бога-Отца.

o   У египтян треугольник символизирует Триаду. Они сравнивают вертикальную сторону (прямоугольного треугольника) с мужчиной, горизонтальную - с женщиной, а гипотенузу - с их потомком: Озирис как начало, Изида как середина или хранилище и Гор как завершение (Плутарх). Рука Египтян - это союз огня и воды, мужчины и женщины.

o   Фигура из трех двойных треугольников, окруженная концентрическими кругами, символизирует Страну Духов.

o   У греков дельта символизирует дверь жизни, плодородие.

o   У индийцев обращенные вершинами вверх и вниз треугольники - это шакта и шакти, лингам и йони, Шива и его Шакти.

o   У пифагорейцев равносторонний треугольник символизирует Афину как богиню мудрости.

         Не  каждый треугольник может обязательно выражать символическое значение высказанного. Мостовые из уложенных в форме треугольника плит встречаются уже в древнем урочище Лепенский Вир на Дону (в VII тысячелетии до н.э.), а треугольные царапины на костях имеют еще больший возраст. Толкования представляются в самой многообразной форме.  В более древних культурах нередко встречаются треугольники как формы декора на керамике, при этом с вершиной, направленной вниз, рассматриваются как «символы воды» (направление падающей капли), а с вершиной,направленной вверх, — как «символы огня» (направление пламени). Наложенные один на другой, оба они образуют замкнутую дуальную систему, шестиконечную звезду.

         При произнесении ритуальных магических заклинаний треугольник также вписывается в магический круг. Знак треугольника может завуалированно истолковываться как трилистник (тройной лист клевера), который считается символом мужского рода. В системе Пифагора греческая буква «дельта» с ее формой в виде треугольника считается символом космического происхождения. В индуизме эта фигура — знак дарующей жизнь богини Дугры.

         В раннехристианскую эпоху последователи манихейства использовали треугольник как символ триединства (Святой Троицы); св. Августин в такой интерпретации отверг его. И все же позже он смог утвердиться как символ триединства (Троицы) (рука, голова и имя Бога, дополненное и глазом), как знак «Отец, Сын и Святой Дух»; такой «Глаз Божий» в треугольнике часто использовался главным образом в стиле барокко, а в символике масонов он используется как «всевидящее око» с девятикратными лучами — также символом божества. Иудейская каббала (религиозно-мистическое толкование Ветхого Завета) в своей «Книге Сохар» («блеск») содержит упоминание: «На небе оба глаза Господа и его лоб образуют треугольник, а их отражение образует треугольник в водах». В дохристианскую эпоху философ Ксенократ (339—314 гг. до н.э.) рассматривал равносторонний треугольник как «божественный», равнобедренный — как «демонический» и неравносторонний — как «человеческий» (несовершенный).

         В Древнем Китае треугольник является «женским символом», но в спекулятивном плане особо большой роли не играет. В тибетском тантризме комбинация шестигранных звезд обоих равносторонних треугольников — это «пронизывание женственности мужским огнем».

         В древних мексиканских иллюстрированных рукописях символ треугольника, похожий на заглавную букву «А», является обозначением понятия «год». Как линга в индийской мифологии, треугольник — прежде всего символ созидательной мужской силы, другими словами — творческой силы бога. И наоборот, треугольник, вершина которого обращена вниз, — знак женского начала, плодородного лона. Согласно Агриппе Неттесгеймскому, Юнону нередко обозначали треугольником как олицетворение женщины.

         В западном искусстве композиционные схемы с треугольниками часто используются в архитектуре, а также в живописи и, в частности, там, где затрагиваются тринитарические (с изображением триединства, Троицы) темы.

         Со времён палеолита и неолита в древнем искусстве очень широко распространяются изображения равностороннего треугольника и ромба. Первобытные люди покрывали свои ритуальные сферические сосуды сетью крупных равносторонних треугольников, штамповали треугольники и ромбы на других изделиях. Символическое изображение треугольника проходит в архитектуре и строительстве (пирамиды и др.), во фрагментах одежды и украшениях. Вожди племен северо-американских индейцев носили на груди символ власти: равносторонний треугольник с точкой в центре, в Африке женщины туарегов также украшают себя большими пластинами из равносторонних треугольников, часто закрывающими всю грудь. Равносторонние треугольники рисуют на священных пластинках (например, пластина кобанской культуры в экспозиции Исторического музея в Москве), равносторонние треугольники - на изображениях священных животных, странные треугольные плитки в большом количестве находят на ныне пустынном о-ве Маражо в устье Амазонки. Отражением каких представлений являлось массовое и повсеместное изображение равносторонних треугольников? Не символика ли первичного строения тел?..

         Платон считал, что Вселенная построена из различного сочетания простейших и одинаковых элементов. Такими первоэлементами он считал треугольники. В диалоге "Тимей" Платон пишет: "Различных по величине треугольников было столько, сколько родов различают ныне (внутри основных видов). Сочетание их между собой и с другими треугольниками дало беспредельное многообразие". " Природа строит своё богатство и многообразие из простейших блоков", - вторит ему современная наука, описывая строение вируса в форме икосаэдра - многогранника из 20 треугольников ("Знание - сила", 1972).

         Не символику ли исходного строения тел видим мы в изображениях на древней керамике, одежде, памятниках архитектуры? Ведь многие авторы отмечали, что древние порой имели необъяснимо высокие знания, не соответствующие, казалось бы, уровню развития общества того времени. Например, в астрономии, географии, металлургии, строительстве, математике, медицине и др.

         Анализ исторического материала приводит к мысли, что с треугольниками связаны и....Представления древних о делении Земли.

Элизе Реклю ("Земля и люди", изд. 1886 г., т. 8, стр. 1718): "Разбирая описание Земли, составленное индийским мудрецом Санджеем, ученые коментаторы пришли к тому заключению, что Индостан представлялся ему в виде равностороннего треугольника, совершенно правильного, разделённого на 4 второстепенных треугольника, равных между собой". Как это перекликается с изображениями на керамике!

Полибий, "Всеобщая история" (книга 2, §14-17): "Вся Италия представляет собой подобие треугольника... Общий вид равнин (северной Италии) также треугольник".

Страбон, "География" (книга 5, гл. 1, §1-2): "Всю современную Италию трудно представить в виде простой геометрической фигуры, хотя и говорят, что она является треугольным мысом".

Но ведь Италия не представляет собой треугольника, об этом писал тот же Страбон. Греки как бы унаследовали от кого-то представления, что определённые территории должны иметь треугольную форму, но, по-видимому, причины этих представлений забылись, и Страбон уже критиковал их, как не соответствующие географической действительности.

         В русском фольклоре типичное сказочное начало "В тридевятом царстве,.." "За тридевять земель", возможно, также является глухим отзвуком представлений о делении Земли на части.

         Вероятнее всего, древние связывали с треугольниками и те и другие свои представления:
1) о первичном треугольном строении тел, в том числе и нашей планеты, и
2) о делении территории Земли на треугольники как следствие её внутреннего треугольного строения.
В таком случае треугольные территории древних не были случайными, а являлись результатом существования, вероятно, какой-то общей системы.
Что она из себя представляла? Остались ли её следы, может, какие-то условные знаки?

 

 

 

 

 

 

8. ТРЕУГОЛЬНИК В СТИХАХ

 

***

О. треугольник, как ты прекрасен.
Как красив и богат,
Ибо ты имеешь три стороны.
Три угла, три вершины.
Ты один можешь быть:
И равнобедренным, и равносторонним,
И прямоугольным…
Ибо ты могуч…
…По тебе судят теоремы,
Тебе посвятили три признака равенства.
Ведь, чтобы доказать, что ты равен,
Нужно приложить силы.
Ибо даже медиана, проведенная
К основанию равнобедренного треугольника
Является высотой и биссектрисой.
И не каждый знает, что в треугольнике
Медианы, высоты, биссектрисы
Пересекаются в одной точке.
И что бы мы знали без Великого треугольника!
Ибо даже стол не может стоять на двух ножках.

 

Ода трем признакам равенства треугольников

 

О, треугольники, вы так прекрасны,
Три признака ваши для нас не сложны.

Вот первый из них:
Если две стороны и угол между

ними
Одного треугольника равны
Двум сторонам и углу между ними другого треугольника,
То такие треугольники равны.
А теперь будьте умны…
Приставьте числительные одна и два
К словам “сторона” и “угла”
И пред ваши очи вмиг
Второй признак подбежит.
А у третьего признака нет углов,
А только три стороны равны.
Третий признак легче всех.
Ну, а вы, мной ободрены,
Додумайте его непременно.
Вы отроки – други, запомните ныне
Сии признаки равенства треугольников.

Высота, медиана и биссектриса треугольника

 

 

***
Три девицы, три сестрицы
В треугольнике живут.
Речь такую там ведут:
— Всех главнее высота!
Говорю вам неспроста.
Видят все, как сторонам
Нужен перпендикуляр.
Тогда они, сменив названья,
Зовутся гордо — основанья!
— Нет, — сказала медиана, —
Спорить я не перестану.
И на это есть причина:
Я треугольника вершину
Соединяю с серединой
Стороны. К тому же я
Делю всю площадь пополам!
В спор вступила биссектриса:
— Спорить не имеет смысла!
Если трое соберемся,
В точке мы пересечемся.
Эта точка непростая.
Серединка золотая;
Если циркулем владеешь,
Окружность ты списать сумеешь!
Значит, всех я вас главнее!
В спор вмешался треугольник:
— Что вы, знает каждый школьник,
Что для меня вы все равны.
Будьте же всегда дружны!
Но вас предупреждаю я:
У каждой миссия своя!
Знает каждый школьник,
Как меня построить.
К чему не проведут меня,
Всем перпендикулярна я.
Отгадай, вопрос простой,
Как зовусь я? (Высотой).
Вначале вы найти должны
Середину стороны.
Ее соединишь с вершиной,
И меня уж получил ты.
Просто все и без обмана.
Как зовусь я? (Медиана).

 

***

Ты на меня, ты на него
На всех нас посмотри.
У нас всего, у нас всего,
У нас всего по три.
Три стороны и три угла
И столько же вершин.
Все в нашем городе друзья,
Дружнее не сыскать.
Мы треугольников семья
Нас каждый должен знать.

 

ТРЕУГОЛЬНИК И КВАДРАТ

Жили-были два брата:
Треугольник с квадратом
Старший — квадратный
Добродушный, приятный
Младший — треугольный,
Вечно недовольный.
Стал расспрашивать квадрат:
— Почему ты злишься, брат?
Тот кричит ему: — Смотри,
Ты полней меня и шире,
У меня углов лишь три,
У тебя же их четыре!
Но квадрат ответил: — Брат!
Я же старше, я — квадрат:
Я сказал еще нежней:
— Неизвестно, кто нужней!
Но настала ночь, и к брату,
Натыкаясь на столы,
Младший лезет воровато
Срезать старшему углы.
Уходя сказал:
— Приятных я тебе Желаю снов!
Знать, ложился — был квадратным,
А проснешься без углов!
Но наутро младший брат
Страшной мести был не рад.
Поглядел он — нет квадрата,
Онемел, стоял без слов...
Вот так месть! Теперь у брата
Восемь новеньких углов.

 

ТРЕУГОЛЬНИК

Самолёт летит по небу,
Треугольное крыло,
На моём велосипеде,
Треугольное седло,
Есть такой предмет - угольник,
И всё это - ТРЕУГОЛЬНИК.
Тут мама три спички
На стол положила
И мне треугольник
Из спичек сложила.
А в это время я чертил
И наблюдал за мамою,
Я три прямых соединил
И сделал то же самое.

 

 

 

 

9. ВЫВОДЫ.

 

1.     Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость. 

2.     Любой многоугольник можно разбить на треугольники — этот процесс называется триангуляция.

3.     Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия.

4.     Узнал много свойств, которыми обладают треугольники.

5.     Треугольники очень часто попадается в нашей жизни (архитектура, искусство, мистика и т.д.)

6.     Геометрия не может существовать без треугольников

 

10. ЛИТЕРАТУРА.

 

1.      Житомирский В.Г. Путешествие по стране Геометрии. М: Педагогика, 1994г. – 176 с.

2.     Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М. Просвещение, 2003г.

3.     i-fakt.ru/nevozmozhnyj-treugolnik/

4.     www.lachugin.ru/science/idsz1_1.htm

5.     arbuz.uz/u_treug.html

6.     http://otvet.mail.ru

7.     «Открытый урок» - фестиваль педагогических идей

 

8.     Скачано с www.znanio.ru