Исследовательская работа по математике «Применение линейной алгебры при решении экономических задач»

Областное государственное бюджетное профессиональное  образовательное учреждение «Рязанский технологический колледж» Исследовательская работа по теме «Применение линейной алгебры при решении экономических задач» Рязань, 2019 г. 2 Содержание Введение. Глава 1. Матрицы. Их применение при решении экономических задач 1.1.Понятие матрицы 1.2.Операции над матрицами.  1.3.Собственные значения и собственные векторы матрицы 1.4. Ранг матрицы 1.5. Понятие обратной матрицы 1.6. Примеры решения экономических задач с использованием алгебры матриц Глава 2. Определители квадратных матриц 2.1. Определители второго и третьего порядков 2.2. Основные свойства определителей Глава 3. Системы линейных уравнений. Их применение в решении экономических  задач 3.1. Основные понятия и определения 3.2. Методы решения систем линейных уравнений 3.2.1. Метод обратной матрицы 3.2.2. Метод Крамера 3.2.3. Метод Гаусса 3.3. Примеры решения экономических задач с использованием системы линейных  уравнений  Глава 4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 4.1. Балансовый анализ. Основная задача межотраслевого баланса.   4.2. Применение модели Леонтьева. Заключение. Список литературы.  3 4 4 5 8 9 9 10 11 11 12 13 13 13 13 14 15 18 21 21 24 26 27 3 Введение Математика   интенсивно   проникает   в   другие   науки:   во   многом   этот   процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики универсален, что является объективным отражением универсальности законов окружающего нас мира. Экономика   как   наука   об   объективных   причинах   функционирования   и   развития общества   пользуется   разнообразными   количественными   характеристиками,   а   потому вобрала   в   себя   большое   число   математических   методов.   Современная   экономика использует   методы,   разработанные   в   XX   в.   Л.В.   Канторовичем,   В.В.   Леонтьевым,   Е.Е. Слуцким. В это же время интенсивно развивался и математический аппарат, применяемый в экономике. Использование   элементов   алгебры   матриц   является   одним   из   основных   методов решения   многих   экономических   задач.   Этот   вопрос   стал   особенно   актуальным   при разработке   и   использовании   баз   данных:   при   работе   с   ними   почти   вся   информация хранится и обрабатывается в матричной форме. Также существует ряд экономических задач, приводящих к составлению и решению систем  линейных  алгебраических   уравнений  на основе  прогноза  выпуска   продукции  по известным запасам сырья. На основе алгебры матриц и аппарате матричного анализа американский экономист В.В. Леонтьев создал математическую модель, которая решает проблему баланса между отдельными отраслями мирового хозяйства. Таким образом, применение элементов линейной алгебры в значительной степени упрощает способы решения многих задач экономики. Тема   моей   исследовательской   работы:   «Элементы   линейной   алгебры   и   их применение при решении экономических задач». Цель: разработать курс по теме «Линейная алгебра и ее применение при решении экономических задач» для студентов 2 курса. Задачи. 1. Проанализировать литературу по математике и экономике. 2. Подобрать   необходимый   теоретический   и   практический   материал   из   раздела линейной алгебры и адаптировать его для студентов колледжа.  3. Подобрать   серию   экономических   задач   и   показать   их   решение   с   помощью элементов линейной алгебры. 4 Тема 1. Матрицы  1.1. Понятие матрицы Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Определение 1. Матрицей размера m×n  называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы   обозначаются   прописными   заглавными   буквами   латинского   алфавита, например, А, В, С,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией:  ijа , где i – номер строки, j – номер столбца. Например, матрица А =    a   11 a   21   ...     a i 1   ...     a   или в сокращенной записи А =  ijа , где i = 1, 2, …, m; j = 1,2, …, n. a 12 a 22 ... a 2 i ... a a n 1 a 2 n ... a in ... a j a 1 a 2 j ... a ij ... a mj ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... m 1 m 2 mn Определение 2. Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, то есть  ijа = ijb  для любых  i =1,2, … ,m; j=1,2, … ,n. С   помощью   матриц   удобно   записывать   некоторые   экономические   зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики: Ресурсы Электроэнергия Трудовые ресурсы Водные ресурсы Данная   таблица   может   быть   записана   в   компактной   форме   в   виде   матрицы сельское хозяйство 4,1 2,1 5,1 Отрасли экономики промышленность 5,3 2,8 4,8 распределения ресурсов по отраслям:     А=   1,43,5 1,28,2 1,58,4 В этой записи, например,  элемент   11а =5,3 показывает,  сколько электроэнергии потребляет   промышленность,   а   элемент   22а   =2,1   –   сколько   трудовых   ресурсов потребляет сельское хозяйство. 1.2. Операции над матрицами 5 1. Умножение матрицы на число Определение 3. Произведением матрицы А на число  λ  называется матрица В= А, λ элементы которой bij=λаij  для  i =1,2, … ,m; j=1,2, … ,n.  20 10 Например, если  42 23 , то    5 10 15 A A               .     Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Например,        20 52 12 60 02       2 10 26 36 01    . В частности, произведение матрицы на число 0 есть нулевая матрица О. 2. Сложение матриц Определение 4. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m×n называется матрица   С= А+В, элементы которой сij= аij  +bij  для  i  =1,2, … ,m;  j=1,2, … ,n  (то есть матрицы складываются поэлементно). Например,   A     032 651     и  B     410 152    , тогда  BAC     442 3 7 10    .  В частном случае А+0=А. Свойства сложения матриц. 1. А+В=В+А; 2. (А+В)+С= А+(В+С); λ λ λ )=  А+ В. 3.  (А+В 3. Вычитание матриц Разность   двух   матриц   одинакового   размера   определяется   через   предыдущие операции: А – В = А + (­1)В. 4. Умножение матриц Умножение   матрицы   А   на   матрицу   В  определено,   когда   число   столбцов  первой матрицы равно числу строк второй (в этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В).  Определение 5. Произведением матрицы А размера m×k на матрицу В размера k×n называется  такая матрица С размера m×n   ,  каждый элемент которой сij  равен сумме произведений элементов i­й строки матрицы А на соответствующие элементы j­ого столбца матрицы В. с ij  ba i 11 j  ba 22 i j  ... ba kj ik  k  s  1 ba sj is , i =1,2, … ,m; j=1,2, … ,n. 6     201 013    , B        101 41 5 102       Например,   A Решение. 1.Найдем размер матрицы – произведения: А∙В= С  [2×3][3×2]=[2×2] 2.Вычислим элементы матрицы­произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом:        12 4011021001     104113001103     50 2   051 305 712   1   3      2  2 C  1  1 . Свойства операции умножения матриц. 1. 2. 3. 4. 5. А(В+С)=АВ+АС; (А+В)С=АС+ВС; λ А(ВС)=(АВ)С; А∙ Е =Е∙А =А, где Е – единичная матрица( [n×n][n×n]= [n×n])т.е. единичная λ   А)В = А( В); (АВ)=( λ матрица при умножении матриц играет роль единичного элемента. Замечание. 1. Если   произведение   матриц  А∙В  существует,   то   после   перестановки сомножителей местами произведения матриц ВА может и не существовать.  2. Если даже произведения А∙В и В∙А существуют, то они могут быть матрицами разных размеров. Например,  A     112 230    ,  В       3 0 1 5  11      ; тогда  BA     0 1 12 17    ; АВ       0 2 2  9 16 2  6  11   1  , то есть АВ ≠BA.  3. Коммуникативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря не выполняется. 4. Произведение двух ненулевых матриц может быть равно нулевой матрице, то есть из того, что АВ = 0, не следует, что А = 0 или В = 0. Например,    A    B  5. Транспонирование матрицы   0  11 11 ,  1  1  1  0  1  , но    BA  00 00   0  .  7 Определение 6. Транспонирование матрицы – это переход от матрицы А к матрице TA , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица TA называется транспонированной относительно матрицы А: ... ... ... ... a a m 2 ... a a 12 a 22 ... a a 11 a 21 ... a n a 1 a 2 n ... a ... ... ... ... a 11 a 12 ... a 1 n 21 a a 22 ... a n 2    .                , то  T A        m 1 m 2 mn A  1 m mn Из   определения   следует,   что   если   матрица   А   имеет   размер   m×n     ,   то транспонированная матрица  TA  имеет размер n× m. Упражнения. №1. Найти матрицу С= 2А ­ В, где А       3 8  5  2 3 7 1 4 0 6 1 4      , В         2 2 5 1 8 3 0 3 6 9 2 7      . Решение. Найдем матрицу 2А = 2∙      3 8 5   2 3 7 1 4 0 6 1 4            6 16  10  4 6 14 2 8 0 Найдем матрицу –В = (­1)∙В =  Найдем матрицу   1        2 2 5 1 8 3 0 3 6 9 2 7             2 2 5 12 2 8      .    1 8 3 0  3  6    9 2 7   .    С = 2А + (­В) =       6 16  10  4 6 14 2 8 0 12 2 8             2 2 5    1 8 3 0 3 6      9 2 7        =  26  )2(  10 5 16        )1(4  )8(6  )3( 14  02   )3(8 )6(0 )9( 12 )2(2 )7(8               8 14  5  5  2 11 2 5 6  3 0 1      . № 2. Даны следующие матрицы:    А     3 1 0 3 9 4 2 1 2  1  2 0 4 3 4 2  0  1 2 3       ,    В    1 2 6 0 2 1 7  3  3 5 0 1 3 0 8 4       , С       0 3 2 2 4  1 1 5 3 .      8 Найти:   а)   произведения   матриц   ВА;   б)   соответствующие   транспонированные матрицы; в) матрицу С2 . Решение. а) Найдем произведение матриц ВА, получим ВА=       1 2 6 0 2 1 7  3  3 5 0 1 3 0 8 4        3 1 0 3       9 4 2 1 2  1  2 0 4 3 4 2  0  1 2 3               )3(1  )3(6  3312  11)3(2  3817   34 13 =        8  5 13 9 14 32 90  6   2)3( 42 13 91  25 4192  96 18 47  2143 14  6 7 5 1  8 31 29  13 1 9 17 17       .   )1(2 21  )1(122   )3( )2(  )2(5  26  )2(1)1(3 )1(7   41 )2(3 4)3(  32  3142 45  )2(8 46 37  4133 )2(4 б) Найдем транспонированные матрицы Ат, Вт, Ст соответственно, получим Ат =   3 9 2 4 0         1 4  1 3  1  0 2 2 4 2 3 1 0 2 3          , Вт =        1 2 3 3  2 1 5 0 6 7 0 8  0 3 1 4       , Ст =       0 2 1  3 4 5 2  1 3       . в) Найдем матрицу С2 = С∙С, получим С2 = С∙С =        0 3 2 2 4  1 1 5 3            0 3 2 2 4  1 1 5 3       = =        21)3(2   25)3(4   23)3(1 )1(142   3152  )1(54423  )1(34)1(22  355413  335)1(12              4 2 9 7 5 3  13 32 6      . 1.3. Собственные значения и собственные векторы матрицы 9 Будем рассматривать квадратные матрицы размера   п  х  п,  или, что то же самое, матрицы порядка n. При умножении матрицы порядка n на n­мерный фактор в произведении получается n­мерный вектор:  х   . b A Однако   для   любой   матрицы   существует   набор   основных   векторов,   таких,   что произведение матрицы на вектор из такого набора равносильно умножению этого вектора на определенное число. Определение 7. Число  λ , называется собственным значением матрицы  если существует такой ненулевой вектор  х  R, что выполняется равенство А х А порядка n,   = λ х . (1)   —λ  При   этом   вектор   х   называется   собственным   вектором   матрицы  А,  а    собственным значением матрицы А, соответствующим вектору  х .  Уравнение (1) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, его можно переписать в более удобном виде:  (А ­  Е)λ х   =  0 .                                                                             (2) Отметим   важный   результат   алгебры   матриц:   для   симметрических   матриц   все  n собственных значений являются действительными числами. 1.4. Ранг матрицы Известно,   что   матрицы   размера    m  х  n  можно   рассматривать   как   системы, состоящие   из  m  n­мерных  векторов   (или   из  n  m­мерных   векторов).   Поскольку   любая система   векторов   характеризуется   рангом,   то   естественно   встает   вопрос   о   такой   же характеристике и для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности векторов — векторы­строки и векторы­столбцы, — то у матрицы, вообще говоря, имеется два ранга: строчный и столбцовый. Ответ на вопрос об их равноправии дает следующая теорема. Теорема. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны. Стало быть, ранг любой матрицы размера  m  х  n  можно искать, как ранг одной из двух   систем   векторов:   либо  m  векторов­строк,   либо  n  векторов­столбцов.   Для прямоугольной матрицы максимальный ранг r = min (m, n). Максимальный ранг квадратной матрицы размера n x n не может превышать n: r ≤ n. 1.5. Понятие обратной матрицы Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы. 10 Определение   8.  Матрица   порядка  n  называется   невырожденной,   если   ее определитель отличен от нуля. Определение 9. Матрица A­1 называется обратной по отношению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:A∙A­1 = A­1∙A =E.  Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы.  Упражнения. № 1. Дана матрица А =     23 41    . Проверить непосредственным вычислением, какие из   приведенных   далее   векторов   являются   собственными   векторами   этой   матрицы,   и указать соответствующие собственные значения:  а     1 4    ,           b  1 1    . Решение.  Вектор  х , где      =  λ х  является собственным вектором матрицы А, если выполняется равенство λ  – собственное значение матрицы А. Проверим данное равенство при  А х  условии, что  х  =   а     1 4    , тогда   А  а  =     Если  х    23 41     b   =     1 4    =     11 17 ≠ λ    1 4    .     1 1    , то А  b =      23 41          1 1    =     5 5     5     1  b  , где   1  5 λ  = 5. Таким   образом,   получили,   что   b ­   собственный   вектор   матрицы   А,   которому соответствует собственное значение матрицы А  λ  = 5. 1.6. Примеры решения экономических задач с использованием алгебры матриц Использование   элементов   алгебры   матриц   является   одним   из   основных   методов решения   многих   экономических   задач.   Этот   вопрос   стал  особенно  актуальным   при разработке   и   использовании   баз   данных:   при   работе   с   ними   почти   вся   информация хранится и обрабатывается в матричной форме. Рассмотрим задачи, использующие понятие матрицы. Задача 1. Предприятие   выпускает   ежесуточно   четыре   вида   изделий,   основные производственно­экономические показатели которых приведены в таблице. 11 Вид изделия, п/п  Количество изделий, ед.  Расход сырья, кг/изд.  Норма времени изготовления, ч/изд.  Стоимость изделия,  ден. ед./изд.  1 2 3 4 Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты 20 50 30 40 10 5 15 8 30 15 45 40 5 2 7 4 рабочего времени T и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия. Решение.  По   данным   таблицы   составим   четыре   вектора,   характеризующие   весь производственный цикл:  • q  • s  • t  • p  = (20, 50, 30, 40) — вектор ассортимента; = (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья; = (10, 5, 15, 8) — вектор затрат рабочего времени;  = (30, 15, 45, 20) — вектор стоимости. Тогда  искомые  величины  будут представлять  собой соответствующие  скалярные  произведения вектора ассортимента   q  на три других вектора, т. е.  = 20∙5 + 50∙ 2 + 30∙4 + 40∙4 = 100 + 100 + 210 +160 = 570 кг;  = 20∙10 + 50∙5 + 30∙15 + 40∙8 = 1220 ч;   S =  q s   T =  q t   Р =  q p Тема 2. Определители  2.1. Определители второго и третьего порядков  = 20∙30 + 50∙15 + 30∙45 + 40∙20 = 3500 ден.ед. Любой квадратной матрице А порядка п ставится в соответствие некоторое число, называемое определителем этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков. Пусть дана матрица А=    а 11 а 21 а 12 а 22    ,  тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле  2 а 11 а 21 а 12 а 22  аа 11 22  аа 12 .21 Эта   формула     представляет   собой   алгебраическую   сумму   двух   попарных произведений элементов матрицы  А  из разных строк и столбцов. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле  12  3 а 11 а а 21 31 а 12 а а 22 32 а 13 а а 23 33  ааа 11 22 33  ааа 32 21 13  ааа 12 23 31  ааа 13 22 31  ааа 11 23 32  ааа 12 21 Это   алгебраическая   сумма   шести   тройных   произведений   элементов,   взятых   по одному   из   разных   строк   и   столбцов.   Схема   вычисления   определителя   3­го   порядка показана на рисунке 1. a a a 11 21 31 a a a 13 23 33 12 22 a a a 32  "" a a a 11 21 31 a a a 13 23 33 22 12 a a a 32  "" Рис. 1. Схема вычисления определителя 3­го порядка 2.2. Основные свойства определителей 1.   Если   некоторая   строка   или   столбец   определителя   состоит   из   нулей,   то определитель равен нулю. 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак. Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков. 3. Определитель,  содержащий  две одинаковые строки (два одинаковых  столбца), равен нулю. Действительно,   поменяв   местами   эти   строки,   получаем    3 3 ,   откуда   и следует, что  3  .0 4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя. 5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя    представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей. Поясним это свойство на примере определителя 3­го порядка: а 11  1 а а 21 а 31 3 2 21 а 12  1 а а 22 а 32 2 22 а 13  1 а а 23 а 33 2 23  1 3 2 3 а 11 1 а 21 а 31 а 12 1 а 22 а 32 а 13 1 а 23 а 33  а 11 2 а 21 а 31 а 12 2 а 22 а 32 а 13 2 а 23 а 33 . 6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число. Это свойство является следствием свойств 3—5. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. 7. Упражнения № 4. Вычислить определители: 13 а)  2 1 4 2  ,  б)  1 2 2 2 1 2   2 2 1 . Решение. а) б) 2 1 1 2 2 4 2  2 1 2  = 2(­2) – 4∙1 = ­4 ­4 = ­8.  2 2 1 = 1∙1∙1 + 2∙(­2)∙2 + 2∙(­2)∙2 ­ 2∙1∙2 ­ 1∙(­2)∙(­2) ­ 2∙2∙1 = ­27. № 5. Дана матрица С. Вычислить ее определитель. С       0 3 2 2 4  1 1 5 3      Решение.  с 0 3 2 1 2 4 5  31  3)3(2)1(503402521)1()3(340    .41 Тема 3. Системы линейных уравнений  4.1. Основные понятия и определения Система   m   линейных   уравнений   с   n   переменными   имеет   вид:        ... ...   xa xa 11 1 12 2   xa xa 21 1 22 2 .......... .......... ..........   xa xa ... 11 2 m m xa n 1 n xa 2 n .......... xa mn 2 n  b 1  b 2 .....  n b m где  аij,  bi  (i  =   1,2,   …   ,  m;  j  =   1,2,   …   ,n)   –   произвольные   числа,   называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений. Определение 7. Решением данной системы называется такая совокупность n чисел , 0 2 x 0 x 1 ,..., 0  nx верное равенство. ,   при   подстановке   которых   каждое   уравнение   системы   обращается   в 14 Определение 8. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Определение 9. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Определение   10.  Две   системы   уравнений   называются   равносильными,   или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. С   помощью   элементарных   преобразований   системы   уравнений,   рассмотренных применительно к матрицам (например, умножение обеих частей уравнений на числа, не равные нулю; сложение уравнений системы), получается система, равносильная данной. Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим: A        a 11 a 21 ... a m 1 a 12 a 22 ... a m 2 ... ... ... ... n a 1 a 2 n ... a mn       X        x 1 x 2 ... nx       B        b 1 b 2 ... mb       где   А   –   матрица   коэффициентов   при   переменных,   или   матрица   системы,   Х   – матрица­столбец переменных, В – матрица­столбец свободных членов. В матричной записи система (1) имеет вид:  4.2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений XA     B 4.2.1. Метод обратной матрицы Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е.  т = п. Система уравнении имеет вид: n   ... ... xa n 1 n xa 2 n .......... xa nn   xa xa 11 1 12 2   xa xa 21 1 22 2 .......... .......... ..........   xa xa 11 n n        Пусть   матрица   системы   А   является   невырожденной,   т.   е.   существует   обратная матрица А­1. Умножив обе части этого уравнения слева на А­1, получаем решение данной системы  в матричной форме:  b 1  b 2 .....  b n ... 2 2 n X   1 B A 4.2.2. Метод Крамера Другой метод решения системы уравнений основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы A: 15 =Δ а 11 a 21 ... a 1 n 21 а a 22 ... a n 2 ... ... ... ... n а 1 a n 2 ... a nn , который называется также определителем системы. гг.). Теорема (правило Крамера). Теорема Крамера (швейцарский математик, 1704­1752 Если определитель    основной матрицы системы (3) отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам: 1x Δ = 1 Δ ,  2x Δ = 2 Δ , …,  nx Δ = n Δ , (4) i iΔ ,   где   столбца столбцом свободных членов. ,...,2,1= n   ­ определитель, полученный из определителя   Δ   заменой   i го 2 Эти формулы вычисления неизвестных носят название формул Крамера. Пример. Методом Крамера решить систему уравнений.   x 1     3   x 8 x 2 3    3 3 x x 2 3   5 10 x x 4  2 x 1  x 1 5 3 2   ;41)4()3(5)2(23313)3(21)4()2(531        1 2 3 8 5 10 1 2 3  1  2 1  3 5 1  3 5 1  3 5  2 3 4 2 3 4 8  5 10  2 3 4   10)3(21)4()5(538   1031 )5(52    8)4()3(   3)3(8)5(51   10  5)2(83)5(11)2(    10  ;81)3(   3 1 2 3 8  5 10  1031 10)2(23388)4()2(3)5(2      1)5()4(   x 1 = x 2 = x 3 = = = ;1= ;2= 4 4 8 4 12 4 Δ 1 Δ Δ 2 Δ Δ 3 Δ Упражнения. № 6. Решить методом Крамера системы линейных уравнений: .3= = 16 б)       а)     2 5 x 1 x 1   3 4 x x 2 2  1  14 4.2.3. Метод Гаусса 2  x x 1  x 2 2  2 x 2 x 1 3 x 1   5 x x 5  7  5  4  4 3 3 3 x 2 Рассмотрим решение системы (1) m линейных уравнений с n переменными в общем виде.  ... ...   xa xa 11 1 12 2   xa xa 21 1 22 2 .......... .......... ..........   xa xa ... 11 2 m m        Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том,   что   с   помощью   элементарных   преобразований   система   уравнений   приводится   к xa n n 1 xa 2 n .......... xa mn  b 1  b 2 .....  b m (1) 2 n n равносильной   системе   ступенчатого   (треугольного)   вида,   из   которой   последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Преобразования   удобно   проводить,   осуществляя   преобразования   не   с   самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Рассмотрим матрицы A  A              a 11 a 21 ... a m 1 a 11 a 21 ... a m 1 a 12 a 22 ... a m 2 a 12 a 22 ... a m 2 ... ... ... ... ... ... ... ... n a 1 a 2 n ... a mn n a 1 a 2 n ... a mn       ­(2)основная матрица системы (1) b 1 b 2 ... b m       (3), называемую расширенной матрицей  системы (1),  ибо  в  нее,   кроме  матрицы  системы   А,  дополнительно  включен  столбец   свободных членов. Теорема Кронекера – Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. 17 Следствие 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение. Следствие 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то данная система неопределенная и имеет бесконечно много решений. 2 Пример. Методом Гаусса решить систему уравнений:  x 1  2 x  1  3 x  1 Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы  3  4  1  2      x 3 2 x x x 3 x x 3 2 3 2 1 2 3      2  1 1   1 3 2 3 4 1      1 0 0      2 5 5     1 5 5   3 2 8      1 0 0      2  5 0  1 5 0   3 2 6      Итак,   уравнение,   соответствующее   третьей   строке   последней   матрицы, противоречиво   –   оно   привелось   к   неверному   равенству   0   =   ­6,   следовательно,   данная система несовместна, то есть не имеет решений. 3 x x Упражнения № 7. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:   3 2   x 2 2   4 x   x 4   2 5 x 4  x 1 x 3 4  3 x x 6 4   x 4 x 1 6 3 2 2 3 4 а )        2 x 1 x 3 1  x 1 x 6 1 б )      x 1 x 1 x 1    x x 2 2 2 x 3  x 2   0 x   3 x 3 2 2 18 в )        3 x x x 2 3 x 1   x 1  x 1  x 1  3 2  2 x 2 3   x 3 x 2 3   x x 2 3 4 x  x 3   8 4 4  2 6 x 4   x 5 3 4 3 2 x Решение.   3 2   x 2 2   4 x   x 4 2 x 1 x 3 1  x 1 x 6 1 2 2 а )        3 x   2 5 x 4  x x 1 3 4  3 x x 6 4   x 4 x 6 1 3 4 3 3  1 4 4 2 3  1 6 Преобразуем расширенную матрицу системы  1 7 7 7        Итак,   уравнение,   соответствующее   третьей   строке   последней   матрицы, противоречиво – оно привелось  к неверному равенству 0 = ­17, следовательно, данная 5  13 17  14 3  11 11  5  1 2 3 4  1 7 0 7 3 11 0 5 2 4 0 0 2 4 4 0 13 17 14 5 1 6 1 2 1 1 6 2 0 0 0 5    2 0 0 0                                    ~ ~       система несовместна, то есть не имеет решений. 2 3 2 3 ) б 2 2 x 3 x x x 2    x 1 x 1 x 1  x 2   x 0        Преобразуем расширенную матрицу системы           Таким образом, получаем систему линейных уравнений  1 1 2 1  1  1  1 1 0 1  1  1  1 2 3 1 2 2 2 0 2 1 1 1 1 0 0 2  0 1 0 0 2                       1 3   2 ~ ~ 19 3 2 2 x x x 1 x 1 x    2 x x 2 x 3  3  3  2  1  x 3  1 3           Ответ: (1, 2, 3)  x 3 2  x 2 x 2 3   x 3 x 2 3   2 x 3 x  2 x 1  x 3 1  x 1  x 1        x в ) 3 2 4 x  x 3   4 8 4  2 6 x 4   5 3 x 4 3 3 ~   ~ 3 6 3  8  8 6 3 1 4 2 5 2 5 1 4 1  1 2 3 3  1 1 2 1 2 3  1 3 3  1 2  1 2 3 3 Преобразуем расширенную матрицу системы    2       3    1        1    11 10 00 00        Таким образом, получаем систему линейных уравнений         11   10  00   00  2 1 4 130               2 1 5 10 2 1 4 14 3 2 9 0 1 1 1 4 3 2 9 1 3 2 7 7 6 3  2 1 0 0 0 ~ 18 6 3   15 10                  ~    ~ 1 0 0 0 1 3 1 4  3 6 7 7    2 3 5 10 6 9          15 10 ~   6 3  0        . 18 20 4   x 1  x 2  x 9 3 130 x  3 x 2 x x 2 3  2 3 x x 3 4   18 4 x  0 4 4         6         x 4 x 3 2 x x 1  0   18   23  6 x  04 9 x 3   3 0 x 3 2            02 4 x x 3 x x 1 2  0  2   1 1 Ответ: (1, ­1, 2, 0) 4.3. Примеры решения экономических задач с использованием системы m  линейных уравнений с n переменными  Задача 3.  Обувная   фабрика   специализируется   по   выпуску   изделий   трех   видов:   сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S1,S2,S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей: Вид сырья S1 S2 S3 Нормы расхода сырья на одну пару, усл. ед. Сапоги Кроссовки Ботинки 5 2 3 3 1 2 4 1 2 Расходы   сырья на   один   день, усл. ед. 2700 900 1600 Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви. Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает х1 пар сапог, х2 пар кроссовок и х3 пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему: 2700    5 x 1 2 x 1 3 x 1  4 x 3 x 2 3  x x 3  2 x 2 3      Решим данную систему методом Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу  900  1600 2 x 2 данной системы и преобразуем ее.      435 112 223 2700 900 1600            5 0 0 3  1 1 4  3  2 2700  900  100            5 0 0 3  1 0 4  3  5 2700  900  1000      Теперь найдем переменные обратным ходом метода Гаусса. 21    х 2 5   2700 x 3 x x 1 2   4 x 3 x 2 3  3 x 900 3  1000 x 1 x 2 5 x 3  200   900  2700 (                Ответ:  обувная фабрика ежедневно выпускает 200 пар сапог, 300 – кроссовок и  200  300  200 5:)4 х 3 3  х 3 3 x 1 x x 3 2 200 пар ботинок. Задача 4.  С   двух   заводов   поставляются   автомобили   для   двух   автохозяйств,   потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй – 150   машин.   В   таблице   приведены   затраты   на   перевозку   машин   с   завода   в   каждое автохозяйство. Завод 1 2 Затраты на перевозку в автохозяйство, ден. ед. 1 15 8 2 20 25 Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден.ед. Найти оптимальный план перевозок машин. Решение.  Пусть хij  – количество машин, поставляемых с i – ого завода       j – ому автохозяйству (i, j = 1, 2).  Получаем систему           х 12 х 11 х 11 15 х 11  х 12 20 х 12   21 х х 21  х 21 8 Решаем данную систему методом Гаусса. Получаем   х 22 х 25 22 х 22      350 150 200 300 7950 22         1 0 1 0 15          1 0 0 0 0 1  1 0 0 0 0 1 1 1 13         1 0 0 0 0  0 1 0 1  11 0 1 5 8 0 1 0 1 25 350 150  150 300 2700                  1 0 0 0 0 1 0  11 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 12 350  150 150 0 0                 1 0 0 0 0  1 0  11 1 0 1 0 5 8 0 0 1 1 25 350  150 150 300 2700                  1 0 0 0 0 1 0  11 1 0 0 0 0 0 0 0 1 12 0 350  150 150 0 0         1 0 0 1 20 0 1 1 0 8 0 1 0 1 25 350 150 200 300 7950          350  150 150 150 1950         0 0 1 1 25  х 11  х 12 х 12             350 150 150 0 х 21  х х 22 21 12 х 22 22 21 Таким образом, получаем систему:   х  х   х  12  х  11 Ответ: х11 = 50; х12 = 300; х21 = 150; х22 = 0.  0  150  300  50 Задача 5. Предприятие   выпускает   три   вида   продукции,   используя   сырье   трех   типов. Необходимые   характеристики   производства   указаны   в   таблице.   Требуется   определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Вид сырья Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд. 1 2 3 1 6 4 5 2 4 3 2 3 5 1 3 Запас сырья, вес. ед 2400 1450 1550 Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1, x2, x3. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными 23 2 x x x x 6 4 5 4 3 2    x 1 x 1 x 1   5 2400 3  1450 x   1550 3      Решаем эту систему уравнений способом Крамера. 3 x 3 2 2  546 134 325  621344535514524336 21  1 2400 1450 1550 54 13 32  2 6 4 5 2400 1450 1550 5 1 3  2400  33 1450  1452 1550  35 1550  21 2400  4 1450  3 3150  6 1450  43 1550  5 2400  551 1450  15 1550  6 2400  34 5250  3 2400 1450 1550 46 34 25 Итак,   находим,   что     при   заданных   запасах   сырья   объемы   выпуска   продукции  4453   1550 1550 2400 1450 2400 1450  24 36  5 4   62 2100 составляют   по   каждому   виду,   соответственно   (в   условных   единицах), x 1 = x 2 = x 3 = 3150 21 5250 21 2100 21 = 150 = 250 = 100 Ответ: х1 = 150, х2 = 250, х3 = 100. Тема 4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 4.1. Балансовый анализ. Основная задача межотраслевого баланса Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства:  каким должен быть объем   производства   каждой   из   n   отраслей,   чтобы   удовлетворить     все   потребности   в продукции   этой   отрасли?   При   этом,   каждая   отрасль   выступает,   с   одной   стороны,   как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. 24 Связь   между   отраслями,   как   правило,   отражается   в   таблицах   межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом В. Леонтьевым. Предположим,   что   рассматривается   n   отраслей   промышленности,   каждая   из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими  отраслями,  а другая часть предназначена для целей   конечного   (вне   сферы   материального   производства)   личного   и   общественного потребления. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени, например, за год. Введем следующие обозначения:  xi – общий (валовой) объем продукции i – ой отрасли (i = 1, 2, …,n); хij  – объем продукции i – ой отрасли, потребляемой j – ой отраслью в процессе производства (i,j = 1, 2, …,n); yi – объем конечного продукта i – ой отрасли для непроизводственного потребления. Так как валовой объем продукции любой i – ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то                                                           х i n j  1 x ij  y i ,        (i = 1, 2, …,n). (1) Уравнения   (1)   называются  соотношениями   баланса.  Будем   рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в уравнения (1), имеют стоимостное выражение. Введем коэффициенты прямых затрат a  ,      (i,j = 1, 2, …,n),                          (2) ij x ij x j показывающие   затраты   продукции   i   –   ой   отрасли   на   производство   единицы продукции j – ой отрасли. Можно  полагать,   что  в  некотором  промежутке   времени   коэффициенты   аij  будут постоянными   и   зависящими   от   сложившейся   технологии   производства.   Это   означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, то есть                              xij = аij хj ,             (i,j = 1, 2, …,n) ,                    (3) вследствие чего, построенная на этом основании  модель межотраслевого баланса получила название линейной    . Теперь соотношения баланса (1) примут вид:  25 х i  n  j  1 xa ij j  y i (4) Обозначим  X        x 1 x 2 ... nx       A          n   a 1 a a 12 a a 11 a 21 2 n  a  a 22 a n 2 n 1       Y          y 1 y 2 ... ny       (4')  nn где   Х   –   матрица­столбец   валового   выпуска,   Y   –   матрица­столбец   конечного продукта, А – матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица). Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:                                    Х = АХ + Y. (5) Основная   задача   межотраслевого   баланса   состоит   в   отыскании   такой   матрицы валового   выпуска   Х,   которая   при   известной   матрице   прямых   затрат   А   обеспечивает заданную матрицу конечного продукта Y. Перепишем уравнение (5) в виде:                                                          Х – АХ = Y или ЕХ – АХ = Y, отсюда по свойству дистрибутивности умножения матриц относительно сложения имеем: (Е ­ А)Х = Y. (6) Если матрица (Е ­ А) невырожденная, то есть | E – A | ≠0, то получаем Х = (Е – А)­1Y. (7) Матрица S = (Е – А)­1 называется матрицей полных затрат. Чтобы   выяснить   экономический   смысл   элементов   матрицы  S  =   (sij),   зададим единичными матрицами конечного продукта Y'1 = (1,0, …, 0),          Y' 2 = (0,1,…, 0), …,  Y'n =(0,0,   …,1),   где   знак   «'»   означает   транспонирование   матриц.   Тогда   по   уравнению   (7) соответствующие матрицы валового выпуска имеют вид:  Х'1 = (s11, s21, …, sn1),  X'2 = (s12, s22, …, sn2), …,                             X'n = (s1n, s2n, …, snn). Следовательно,   каждый   элемент  sij  матрицы  S  есть   величина   валового   выпуска продукции i – ой отрасли,  необходимого для обеспечения выпуска  единицы конечного продукта j – ой отрасли yj = 1 (j = 1, 2, …, n). В   соответствии   с   экономическим   смыслом   задачи   значения   xi  должны   быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi ≥ 0 и aij ≥ 0, где      i,j = 1, 2, …,n. Матрица   А   ≥   0   называется  продуктивной,  если   для   любой   матрицы   Y   ≥   0 существует решение Х ≥ 0 уравнения (6). В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной. 26 Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о   том,   что   матрица   А   продуктивна,   если   максимум   сумм   элементов   ее   столбцов   не превосходит единицы:  n  ,1 ija i  1 причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы. 4.2. Применение модели Леонтьева. В этом параграфе рассмотрим несколько задач на применение модели Леонтьева для многоотраслевой экономики. Задача 6.  В таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями промышленности. Найти матрицы конечного потребления и валового выпуска, а также   матрицу   коэффициентов   прямых   затрат   и   определить,   является   ли   она продуктивной в соответствии с приведенными критериями. № Отрасль Потребление 1 2 3 4 5 Конечный продукт Валовой выпуск, ден.ед. 100 100 50 50 1 2 3 4 5 24 35 10 10 12 3 5 5 15 10 10 10 Станкостроение Энергетика Машиностроение Автомобильная промышленность   Добыча и переработка углеводородов Решение.  В   таблице   приведены   составляющие   баланса   в   соответствии   с 23 15 10 5 16 7 10 5 10 30 5 15 50 100 3 7 15 15 3 соотношениями (4') и формулам (3) и (4) получаем:            100                               10          0,15    0,12    0,48    0,46     0,16 Х =    100            50            50            100 ,   Y =        30       ,   А =      0,10    0,03    0,70    0,30     0,07 0,10    0,05    0,20    0,20    0,10 5 15 50 0,10    0,05    0,20    0,10    0,05 0,07    0,15    0,30     0,20   0,03 Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем   и   четвертом   столбцах   больше   единицы.   Следовательно,   условие   критерия продуктивности не соблюдено, и матрица А не является продуктивной. Экономическая причина этой непродуктивности заключается в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слишком велико в соотношении с их валовыми выпусками. 27 Задача 7.  В таблице приведены данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить, соответственно, до 60, 70 и 30 условных денежных единиц. № 1 2 3 Отрасль Потребление 2 1 35 5 10 10 20 10 3 20 20 10 Конечный продукт 40 60 10 Валовый выпуск 100 100 50 Решение.  Выпишем матрицы валового выпуска, конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (3) и (4') имеем:           100                         40 Х =    100                    0,05 ,  Y =         60         ,   А =       0,10 0,35 0,10 0,40 0,40 .           50 Матрица   А   удовлетворяет   критериям   продуктивности.   В   случае   заданного           0,20   10 0,10 0,20 увеличения конечного потребления новая матрица конечного продукта будет иметь вид                                             60                                 Y* = 70     .   30 Требуется   найти   новую   матрицу   валового   выпуска   Х*,   удовлетворяющую соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты х1, х2, х3 неизвестной матрицы Х*, находятся из системы уравнений, которая в матричной форме имеет следующий вид: Х* = АХ* + Y*, или (Е ­ А)∙Х* = Y*. Матрица этой системы имеет вид     0,95     ­0,35       ­0,40                                                                 (Е ­ А) =      ­0,10      0,90       ­0,40   . ­0,20     ­0,10       0,80 Таким образом, получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, которая имеет вид:    95,0 x 1  10,0 x 1  20,0 x 1  35,0 x 2  90,0 x 2  x 10,0 2       60 40,0 x 3   40,0 x 70 3   x 30 80,0 3 28 Решим данную систему уравнений методом Гаусса.  0,95       ­0,35      ­0,40       60                19         ­7        ­8        1200 ­0,10        0,90      ­0,40       70       ~      ­2          18        ­8         1400   ~ ­0,20      ­0,10        0,80        30               ­4           ­2      16          600 19     ­7     ­8          1200 ­1      9       ­4          700       ~    ­2       ­1        8       300        ~      ­1        9       ­4       700 ­2      ­1      8          300     19      ­7       ­8       1200 ­1       9        ­4         700  0      ­19      16         300          ~ 0        ­19     16          ­1100     .   ­1         9      ­4              700 4 x 3   0       257       0          34900        x 1  19 x 2 x 257 2 0      164     ­84         14500    x 9 x 700 2 3    1100 16    34900       Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент матрицы  8,135  5,92  2,152      2,152 8,135 5,92      , т.е. Х* =      x 2 x 3 x 1 конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку   углеводородов   на   52,2   %,   уровень   энергетики   –   на   35,8   %   и   выпуск машиностроения – на 85 % ­ по сравнению с исходными величинами, данными в таблице. Заключение В настоящее время интенсивно развивается математический аппарат, применяемый в   экономике.   Использование   элементов   алгебры   матриц   является   одним   из   основных методов   решения   экономических   задач.   Таким   образом,   на   основе   алгебры   матриц   и аппарате   матричного   анализа   создана   математическая   модель   В.В.   Леонтьева,   которая позволяет  решить  одну из   основных  проблем  мировой  экономики,  а  именно, проблему межотраслевого баланса. 29 Также в экономике имеется ряд задач, решение которых сводится к составлению и решению   систем   линейных   алгебраических   уравнений   на   основе   прогноза   выпуска продукции по запасам сырья. Изучение математики и ее методов в экономике, составляющих основу современной экономики,   позволяет   не   только   значительно   упростить   способы   решения   многих экономических   задач,   но   и   приобрести   необходимые   навыки   для   этого,   расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру. 30 1. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов.     Математика для экономистов. Издательство Список литературы «Питер», 2004 2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей.       4­е изд. – М., Дело, 2003. 3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Издательство ЮНИТИ – ДАНА. М., 2007. 4. Общий курс высшей математики для экономистов / Под ред. В.И. Ермакова. – М.,2002. 5. Красс   М.   С.,   Чупрынов   Б.   П.   Основы   математики   и   ее   приложения   в экономическом образовании. 4­е изд. – М.: Дело, 2003. 31