Исследовательская работа "Треугольник Рёло".

Исследовательская работа «Треугольник Рёло». Оглавление Введение…………………………………………………………………….......2­4 Глава 1. Волшебство геометрии:  треугольник Рёло. 1.1. Понятие треугольника Рёло……………………………………………..5  1.2. История изобретения треугольника Рёло……………………………… 5­6  1.3. 1.4. Применение треугольника Рёло в грейферном механизме   Применение треугольника Рёло в технике…………………………….6 в кинопроекторах……………………………………………………….7 1.5. Применения треугольника Рёло  в быту человека………….. ……………………………………………………….7 1.6. Треугольник Рёло в архитектуре………………………………………...7­8 1.7. Треугольник Рёло в литературе………………………………………….8 Глава 2. Результаты исследования. 2.1. Экспериментальное доказательство основных геометрических        характеристик  треугольника  Рёло……………………………………..9­10  2.2.   Повозка с треугольными колёсами……………………………………10­11 Заключение……………………………………………………………………..12­13 Библиографический список……………………………………………………14 Приложения……………………………………………………………………..15­ 18 1 Введение                                                                         Весь смысл жизни заключается                                                                                     в бесконечном завоевании неизвестного;                                                                                     в вечном усилии  познать больше.                                                                                                                                       Эмиль Золя «Изобретением   велосипеда»   называют   бессмысленное   повторение   и переоткрытие   давно   пройденного   и   известного,   и   совершенно   напрасно. Современные инженеры, можно сказать, постоянно изобретают велосипед, внося все новые усовершенствования в его конструкцию и отдельные детали. Однажды в интернете я прочитал об одном удивительном изобретении китайского пенсионера – велосипеде с треугольными колесами (Приложение 1). Это «чудо» катится и имеет удивительно плавный ход.   Меня   заинтересовало не только само по себе данное   изобретение,   но   и   необычная   геометрическая   фигура   –   круглый треугольник. Я узнал, что он называется треугольником   Рёло, решил   об этой фигуре   собрать   как   можно   больше   информации.   Так   и   появилась   тема   моей исследовательской работы. Объект исследования: треугольник Рёло. Предмет исследования:  понятие треугольника Рёло, его свойства и практическое применение. Гипотеза:  треугольнику   Рёло   присущи   свойства   обеих   геометрических   фигур, используемых   в   его   построении,   кроме   того   он   обладает   собственными свойствами, которые используются в технике. Цель   работы:  изучить   основные   свойства   треугольника   Рёло,   историю   его изобретения,   рассмотреть   области   применения,   выявить   задачи,   связанные   с треугольником Рёло. Для достижения своей цели я выдвинул следующие задачи: 1) познакомиться с историей изобретения необычного треугольника; 2) рассмотреть и изучить свойства треугольника Рёло; 3) выяснить области его применения; 4) найти объяснение плавности хода велосипеда с «треугольными колёсами». 2 Методы исследования:  1) теоретический   (изучение   текстовой   информации   по   данной   теме, абстрагирование, анализ, обобщение); 2) эмпирический (сравнение, сопоставление полученных данных); 3)  эксперимент; 4) метод проектов.  Вид проекта: творческий, исследовательский, практико­ориентированный. Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных   стороной условиях. При быстро развивающихся технологиях нельзя обойти фигуру постоянной ширины   –   треугольник   позволяющий сократить затраты при производстве, к примеру, при конструировании деталей. Актуальность   Рёло, работы   для   меня   заключается   в   том,   что   в   ходе   исследования   существенно расширится   моё   представление   о   «круглом»   треугольнике   как   геометрической фигуре и его применении, а также о семействе фигур постоянной ширины.  Теоретическая значимость исследования состоит в описании, всестороннем анализе,   сопоставлении   свойств   геометрических   фигур,   опережающем   изучении формул площадей фигур, обобщении и систематизации материала по теме проекта. Научная   значимость   работы   состоит   в   оптимизации   и   упорядочивании существующей научно­методологической базы по исследуемой проблеме. Практическая значимость состоит в том, что результаты работы могут найти применение в курсах по выбору, программах факультативов, могут стать основой для разработки внеклассных занятий по математике и интегрированных уроков математики и физики.   Источниками информации для написания работы послужили базовая учебная   учёных   в литература,   фундаментальные   теоретические   труды   крупнейших   рассматриваемой   области,   результаты   практических   исследований   видных отечественных и зарубежных авторов, статьи и обзоры в специализированных и периодических   изданиях,   посвящённых   тематике   открытия   и   применения 3 треугольника   Рёло,   справочная   литература,   прочие   актуальные   источники информации.     После   завершения   работы   над   проектом   моё Планируемый   результат: представление о треугольнике как геометрической фигуре расширится и я смогу связать понятие «треугольника Рёло» с различными областями жизнедеятельности человека.   Практический результат исследовательской работы: 1) Презентация «Волшебство геометрии:  треугольник Рёло». 2) Экспериментальные   доказательства   основных   геометрических характеристик треугольника Рёло.  3)  Повозка с треугольными колёсами.          4 Глава 1.  Волшебство геометрии:   треугольник  Рёло. 1.1.  Понятие треугольника Рёло. Треугольник   Рёло представляет   собой   область   пересечения   трёх   равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его   стороне.   Негладкая   замкнутая   кривая,   ограничивающая   эту   фигуру,   также называется треугольником Рёло. Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей. (Приложение 2) 1.2. История изобретения треугольника Рёло. По   мнению   историков,   название   этой   «непростой»   простой   фигуре   дал немецкий  механик  Франц  Рёло,  живший   с 1829  по  1905 годы.  В 1852 году  он окончил  политехникум   в  Карлсруэ,  с 1856  года    профессор   Политехнического института в Цюрихе, в 1864—1896 годах   профессор Промышленного института (позже  —  Высшая   техническая   школа)   в   Берлине.  В  1875  году   впервые   четко сформулировал   и   изложил   основные   вопросы   структуры   и   кинематики механизмов,   которые   ранее   содержались   в   неявной   форме   в   работах   П.   Л. Чебышева   и   др.    Многие   историки   сходятся   в   том,   что   именно   он   стал первооткрывателем   свойств   необычного   треугольника.   Потому   как   он   первый широко   использовал   свойства   и   возможности   треугольника   Рёло   в   своих механизмах.   Франц Рёло первым дал доскональные определения понятиям «кинетическая пара»,   «кинетическая   цепь».   Он   впервые   показал   возможность   связи   между основами  механики  и  конструирования.  То  есть  связал   теорию   и практические проблемы конструирования. Это позволило создавать механизмы в совокупности их   функциональных   возможностей   с   внешней   привлекательностью   и 5 эстетичностью.   Отсюда   Рёло   стали   считать   поэтом   механики.   Что   позволило последователям в корне пересмотреть имеющиеся в ней теории.  Иные  исследователи   первооткрывателем  этой  фигуры  признают  Леонарда Эйлер (18 век), который уже тогда продемонстрировал возможность его создания из трех окружностей.  А третьи «увидели» треугольник Рёло в рукописях гениального Леонардо Да Винчи.  Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя   меридианами   (угол   между   плоскостями   этих   меридианов   равен   90°)   на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов. Манускрипты этого естествоиспытателя,   с   изображением   этой   «простой»   фигуры,   хранятся   в Мадридском кодексе и в Институте Франции.  1.3. Применение треугольника Рёло в технике. Применение треугольника Рёло основано на его свойствах.     В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для   сверления   квадратных   отверстий   (Приложение   3),   с   1916   года   свёрла находятся   в   серийном   производстве.   Сверло   Уаттса   представляет   собой треугольник  Рёло, в котором заточены режущие кромки и прорезаны углубления для отвода стружки. Треугольник Рёло используется и в автомобильных двигателях (Приложение 3).   В   1957   году   немецкий   инженер,   изобретатель   Ф.   Ванкель,   сконструировал роторно­поршневой   двигатель.   Внутри   примерно   цилиндрической   камеры   по сложной траектории движется трёхгранный ротор­поршень – треугольник   Рёло. Он   вращается   так,   что   три   его   вершины   находятся   в   постоянном   контакте   с внутренней стенкой корпуса, образуя три замкнутых объёма, или камеры сгорания.   Кулачковые механизмы паровых двигателей,   швейных машин    и часовых механизмов также представляют собой треугольник Рёло. 6 1.4. Применение   треугольника   Рёло   в   грейферном   механизме   в кинопроекторах. Устройство   грейферного   механизма   основано   на   треугольнике   Рёло, вписанном   в   квадрат   и   двойном   параллелограмме,   который   не   дает   квадрату наклоняться   в   стороны.   Действительно,   т.   к.   длины   противоположных   сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине   треугольника   Рёло,   тем   более   близкую   к   квадрату   фигуру   описывает зубчик грейфера. Такой механизм обеспечивает равномерное вращение оси. Чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. 1.5. Применения треугольника Рёло в быту человека. В   форме   треугольника   Рёло   можно   изготавливать   крышки   для   люков — опытным   путем   доказано,   что   благодаря   постоянной   ширине   они   не   могут провалиться   в   люк.   (Приложение   4)   В   Сан­Франциско,   для   системы рекуперирования  воды корпуса люков имеют форму треугольника Рёло. За счет того,   что   у   треугольника   Рёло   площадь   меньше,   чем   у   круга,   себестоиморсть люков в форме треугольников Рёло была бы ниже, чем у традиционно круглых. Перейдя  на  серийное  производство   люков  в  форме  треугольника   Рёло,  на   мой взгляд, можно было бы быстрее решить проблему открытых колодцев и избежать травматизма и смертей людей.  Использование треугольника Рёло в изготовлении мебели придаёт ей особый вид и необычный дизайн. (Приложение 5) 1.6. Треугольник Рёло в  архитектуре.   7 Форма треугольника Рёло, его свойство симметричности, используется   в архитектурных   целях.   (Приложение   6)   Конструкция   из   двух   его   дуг   образует характерную   для   готического   стиля   стрельчатую   арку,   однако   целиком   он встречается   в   готических   сооружениях   довольно   редко.   Окна   в   форме треугольника  Рёло использовали еще в VIII веке в церкви Богоматери в Брюгге, а также в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив.  Треугольник   Рёло   используют   и   в   архитектуре,   не   принадлежащей   к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в  Кёльне  103­метровая башня   под   названием   «Кёльнский   треугольник»   в   сечении   представляет   собой именно эту фигуру. 1.7. Треугольник  Рёло в  литературе.   В научно­фантастическом рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо» экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях  километров   от  места   посадки  предыдущая   земная   экспедиция   оставила склад   с   запасными   частями,   но   перенести   оттуда   необходимый   для   корабля двухтонный атомный генератор без каких­либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло. 8 Глава 2. Результаты исследования.   Экспериментальное   доказательство   основных   геометрических   2.1. характеристик  треугольника  Рёло.  1.   Треугольник   Рёло   можно   вращать   между   двух   параллельных   прямых, расположенных на фиксированном расстоянии друг от друга, и он будет постоянно касаться их обеих. (Приложение 7) 2. Если добавить ещё одну пару параллельных прямых, касающихся треугольника Рёло и образующих с уже имеющимися прямой угол, то получится квадрат. Если вращать   треугольник   Рёло   специальным   образом,   то   он   будет   постоянно находиться   внутри   квадрата   и   в   любой   момент   касаться   всех   его   сторон. (Приложение 8)  Это свойство – качение по квадрату, позволяет применять его в технике. 3.   Треугольник Рёло – также как и круг ­  кривая постоянной ширины. Данные утверждения проверены опытным путем, вращением трех геометрических фигур между двумя опорными прямыми. (Приложение 9) 5.   Среди   всех   фигур   постоянной   ширины   у   треугольника   Рёло   наименьшая площадь.   Чтобы   найти   площадь   треугольника   Рёло,   можно   сложить   площадь внутреннего   равностороннего   треугольника   и   площадь   трёх   оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°. Площадь может быть вычислена по формуле, которая выведена аналитическим методом и     методом разрезания и сложения площадей (приложение 10 )   S=S 9 cегм . 6. Периметр треугольника Рёло  совпадает с периметром круга. Это утверждение доказано   опытным   путем   (Приложение   11),   в   математике   оно   носит   название теоремы Барбье. 7. Треугольник Рёло обладает осевой и центральной симметриями. 8.      В   работе   рассмотрена   траектория   движения   вершины   треугольника   при вращении в квадрате и при движении треугольника по прямой. (Приложение 12) Показано, что так же,  как и у круга, траектория движения по прямой – циклоида. Каждая вершина треугольника при его вращении в квадрате «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает   дугу   эллипса.   Центр   треугольника   Рёло   при   вращении   движется   по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов.   Вывод:  первоначально выдвинутая  гипотеза о том, что треугольник Рёло будет сочетать в себе свойства круга и равностороннего треугольника, а также характеризуется   только   ему   присущими   свойствами,   подтверждена   в   ходе исследования. 2.2. Конструирование повозки  с  треугольными колёсами. Колесо,   изобретенное   несколько   тысяч   лет   назад,   произвело   переворот   в жизни   человека.   Постоянство   ширины   явилось   для   колеса   определяющим свойством, следствием которого явилось техническое завоевание мира. Изобретением колес велосипеда занимается китайский рационализатор Гуань Байхуа, 50­летний офицер из города Циндао. Больше того, он изобретает заново самую   консервативную   деталь   велосипеда   –   колёса.   Вместо   понятных   всем круглых он предложил кататься на колесах пяти ­ и треугольной формы (спереди и сзади,   соответственно).   Для   китайцев   велосипед   –   главный   вид   транспорта, популярностью затмевающий автомобили. Но велосипед с угловатыми колесами средством передвижения не станет.  Поездка на нем требует больше усилий, чем на обычном велосипеде, и скорее всего, он найдет свою нишу в качестве экзотической игрушки и более эффективного тренажера.  10 Я   решил   смастерить   повозку   с   треугольными   колёсами.   Для   этого   мне понадобились: 1) деревянная дощечка прямоугольной формы; 2) две деревянные оси; 3) гвозди для фиксации осей; 4) кусок ДВП, из которого я вырезал треугольные колёса; 5) кнопки для фиксации колёс на осях. Получилась   повозка   с   круглыми   колёсами.   Угловатые   колёса   неизбежно должны   создавать   при   качении   тряску.   Но   оказалось,   что   у   неё   достаточно плавный   ход.   Чтобы   убедиться,   что   тряски   нет,   я   поставил,   как   учат автомобилистские традиции, на тележку стакан с водой. При движении тележки вода   не   расплескалась.   Теория   об   отсутствии   качки   при   движении   повозки   с треугольными колёсами подтвердилась.               11 Заключение Всегда интересно познавать что­то новое, открывать для себя то, что может быть увлекательным. Такой стала для меня эта работа. Несколько   тысяч   лет   назад   было   изобретено   колесо,   которое   произвело переворот   в   жизни   человека.   Определяющим   свойством,   следствием   которого стало техническое завоевание мира, стало свойство постоянства ширины. Но, как оказалось,   круг   –   не   единственная   фигура,   которая   обладает   этим   свойством. Вызвавший мой интерес, треугольник Рёло, также принадлежит этому семейству. В своей работе я не только изучил его свойства, геометрические характеристики, историю   изобретения,   но   и   рассмотрел   сферы   применения   этой   выпуклой, симметричной фигуры постоянной ширины.  Кроме этого, я сконструировал повозку с колесами в форме треугольника Рёло и проверил теорию об отсутствии качки. Выдвинутая   мной   гипотеза   о   свойствах   этой   фигуры   нашла   свое подтверждение.   Кроме   того,   я   ответил   на   ряд   вопросов   познавательного характера. Не менее познавательной оказалась информация о сферах применения «круглого» треугольника не только в технике, но и в архитектуре, литературе. Таким   образом,   изобретенный   в   прошлом   веке   треугольник   Рёло   широко используется сегодня. Однако его изучение не стоит на месте. Его свойства как 12 характеристики   фигуры   постоянной   ширины   находятся   в   постоянном теоретическом и практическом изучении. И это правильно, ведь чем лучше будут изучены свойства треугольника Рёло и остальных фигур постоянной ширины, тем больше возможностей будет открываться для их использования в нашей жизни. Однако данный проект является лишь каплей в море в изучении данной темы, ведь столько интересного осталось за его рамками. Таким образом, поставленные мною задачи, реализованы в полном объеме. Перспективы дальнейшей работы в этом направлении: 1.  Лежащую в основе треугольника  Рёло  идею построения,  можно обобщить для построения многоугольников Рёло, используя для создания   кривых постоянной   не равносторонний   треугольник, ширины, образованный отрезками прямых равной длины. 2.  Изучение свойств тел постоянной ширины.   а звёздчатый   многоугольник, 13 Библиографический список 1. В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. Выпуклые фигуры. М.—Л.: ГТТИ, 1951.  2. Велосипед с треугольным колесом// Материал сайта Веломастерская «Две  звезды» [Электронный ресурс] ­ Режим доступа. ­ URL: http://news/velosiped­s­ treugolnyim­kolesom. html 3.Дорофеев,   Г.В.,   Шарыгин,   И.Ф.,   Суворова,   С.Б.   Математика.   – М.:Просвещение,1987. 4. Коксетер, С.М., Грейтцер, С.Л. Новые встречи с геометрией. – М., Наука, 1978. 5. Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. М.: Физматгиз, 1962. 6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Главный редактор Э68 М.Д.  Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998.  14 7. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Сост. А. П. Савин, В. В.  Станцо, А. Ю. Котова: Под общ. ред. О. Г. Хинн; Худож. А. В. Кардашук, А. Е.  Шабельник, А. О. Хоменко. – М.: АСТ, 1995.  8. http://yandex.ru/images 9. http :// www . etudes . ru / ru / etudes / koleso / Приложение 1.  Велосипед с треугольными колёсами. Приложение 2. Построение треугольника  Рёло с помощью циркуля. 15 Приложение 3. Сверло Уаттса и двигатель Ванкеля. Приложение 4.  Крышка для люка. Приложение 5.  Использование треугольника Рёло в изготовлении мебели. 16 Приложение 6. Использование треугольника Рёло  в архитектуре.   Окно церкви Богоматери в  Брюгге Окно собора  Святого  Сальватора в  Брюгге Окно собора  Парижской  Богоматери «Кёльнский  треугольник» 17 Окно церкви Святого  Михаила в Люксембурге Окно церкви  Богоматери в  Брюгге Окно собора  Святых Михаила  и Гудулы  в Брюсселе Окно собора  Святого Бавона в  Генте Приложение 7.  Треугольник Рёло между двумя параллельными прямыми. Приложение 8.   Траектории движения треугольника в квадрате. Приложение 9.  Доказательство постоянства ширины. 18 Приложение  10.  Нахождение площади треугольника  Рёло. Приложение 11.  Определение периметра круга и треугольника  Рёло.     Приложение 12.  Движение вершины  и центра треугольника Рёло. 19 Приложение 13.  Повозка с треугольными колёсами.     20 21 22