Исследовательский проект Лист Мёбиуса

Управление образования Артемовского городского округа

Муниципальное  автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная  школа № 1»

Наименование секции/подсекции: естественнонаучное

Исследовательский проект:  «Лист Мёбиуса»

Автор работы:   Антонов Роман Александрович,

                                                  ученик 7в класса

                                          Руководитель работы:

Абдрахманова Татьяна Рудольфовна,

                                       учитель математики

                                          тел: 8(922)-610-36-20

2019 г.

Содержание

Введение

Лист Мёбиуса (Ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство.

У каждого из нас есть представление о том, что такое "поверхность". Поверхность стола, листа бумаги, поверхность стен класса известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Да! Это односторонняя поверхность. Например - таинственный и знаменитый лист Мёбиуса.

Я хочу рассказать об удивительной поверхности, которая имеет только одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». Меня очень заинтересовала эта тема и я узнал, что этим занимается наука – топология (геометрия положений). Топология (от греческого топос - место, местность) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях.

Я изучил литературу, изготовил лист Мебиуса и испытал его необыкновенные свойства. Лист Мёбиуса был открыт ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. Удивительные свойства листа Мёбиуса используются в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии.

Задача изучения различных свойств и нестандартных применений в наше время является довольно актуальной.

Многие знают, что такое лист (лента) Мёбиуса, но  тем, кто ещё не знаком с ним и его свойствами, я предлагаю вместе со мной провести исследование и окунуться в светлое чувство познания. Это ведёт к более глубокому осмыслению математики как прикладной науки.

Цель: Исследовать лист Мебиуса как один из объектов топологии.

Задачи:

-познакомиться с историей появления листа Мебиуса.

-изготовить лист Мебиуса.

-исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса.

-установить области применения листа Мебиуса.

Объект исследования: лист Мебиуса.

Гипотеза: доказать, что лист Мебиуса обладает свойствами односторонности, непрерывности и связности.

Методы исследования: анализ математической литературы, сбор информации, практический эксперимент.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1.          Август Мёбиус – математик и астроном.

Август Фердинанд Мёбиус — немецкий математик и астроном-теоретик. Установил существование односторонних поверхностей (лист Мебиуса). Август Фердинанд Мёбиус родился в Германии 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт). Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера.

Отец умер, когда Августу было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в гимназии Шульпфорте. Его преподавателем математики был Иоганн Готлиб Шмидт. Затем он поступил в Лейпцигский университет. Его учителями были профессор астрономии – Карл   Фридрих Гаусс  и математик – Иоганн  Пфафф.

С 1816 года Август Мёбиус работал сначала астрономом-наблюдателем, затем в 1848 году стал директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории и успешно получил докторское звание. К этому времени математические исследования ученого принесли ему известность в научном мире. Август Мёбиус скончался 26 сентября 1868 года в Лейпциге. В честь учёного назван астероид 28516 (Mebius).

1.2.          История появления листа Мёбиуса.

Таинственная и знаменитая Лента Мёбиуса была обнаружена  немецким математиком Августом Мёбиусом в 1858 году.

Рассказывают, что открыть свой «лист Мёбиуса» помогла служанка, которая неправильно сшила концы ленты. И это привело к тому, что в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинант Мёбиус, ученик знаменитого К.Ф.Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и не дождавшись, опубликовал её результаты в 1858 году.

Смысл работы заключался в том, что у любого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. А перевернув  один край полоски на 180 градусов и склеив его с другим краем, получится односторонняя поверхность.

Это легко доказать: если начать постепенно окрашивать лист, начиная  с любого места, то по завершению работы вы обнаружите, что весь он полностью  окрашен; провести линию из любой точки, то линия приведет в исходную точку и при этом ни разу не придется переходить через край листа.

Глава 2. Практическая часть

2.1. Изготовление листа Мёбиуса

Самое удивительное то, что каждый может сделать лист Мёбиуса своими руками и это совсем несложно. Надо взять полоску бумаги и обозначить углы с одной стороны ленты А и В, а с другой - С и Д. Дальше склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180 градусов. Точка С ляжет на точку А, а точка Д - на точку В.

2.2. Свойства листа Мёбиуса

1.     Односторонность: я постепенно стал окрашивать лист, начиная  с одного места, и по завершению работы я обнаружил…

Весь  лист оказался полностью окрашен, а я не отрывал кисть и не переворачивал лист.

2.Непрерывность: я поставил  точку на одной стороне листа Мёбиуса и начертил непрерывную линию вдоль него, пока не пришел снова в отмеченную точку…

Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

3.Связность: сначала я разрезал лист Мёбиуса  посередине вдоль…

Получилось одно кольцо в виде  восьмёрки.

Разрезал лист Мёбиуса вдоль, отступив одну третью ширины от края.

Получил два сцепленных друг с другом  кольца.

2.3. Применение листа Мёбиуса

Лист Мёбиуса получил своё применение во многих областях нашей жизни.

Существуют технические применения листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде листа Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются листы Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами.

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Лист Мёбиуса применяют  в детских заводных игрушках.

В метро ручка эскалатора, не что иное как лист Мёбиуса. Это  позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений.

Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса.

Фокусник зажигал спичку и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую.

В строительстве и архитектуре множество зданий и сооружений построено по модели листа Мёбиуса.

В медицине (лечение сосудов и сердца) и кулинарии (венчика для взбивания) также используется принцип листа Мёбиуса.

И конечно всеми любимый аттракцион – «Американские горки», где ты мчишься, переворачиваешься, падаешь, взлетаешь, но всегда возвращаешься в начальную точку старта. И это тоже лист Мёбиуса.

Заключение

В ходе своего исследования я изучил большое количество литературы. В различных источниках сети Интернет я встретил работы других учащихся и проводил сравнение и анализировал прочитанное.

Таким образом узнал что лента Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которая положила начало новому направлению в геометрии – топологии. На основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:

· Лист Мебиуса имеет один край;

· Лист Мебиуса имеет одну поверхность;

· Если разрезать лист Мебиуса вдоль пополам параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту;

· Если разрезать лист Мебиуса вдоль, отступив от края на 1/3 от ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой.

· Лист Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.

Так же, в своем исследовании я познакомился с историей создания листа Мебиуса. Мною был проведен ряд опытов с листом Мёбиуса, результаты которых меня очень заинтересовали. В связи с этим мне захотелось посмотреть, где же используют лист Мёбиуса. Оказалось, что лист Мёбиуса применяется практически во всех областях нашей жизни.

Работа над темой мне очень понравилось. Для себя я получил много полезной и интересной информации о листе Мёбиуса.

Список литературы

1.                             Величко М.В. «Математика 9-10 классы. Проектная деятельность учащихся»: Волгоград: «Учитель», 2006. – С. 122.

2.                             Кордемский Б.А. «Математическая смекалка»: М.: «В - 71», 2005. –С. 576.

3.                             «Математика «Большой справочник для школьников поступающих в вузы»»: М.: «Дрофа», 2002. – С. 864 «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. С. 687.

4.                             Трошин В.В. «МАГИЯ ЧИСЕЛ И ФИГУР «Занимательные материалы по математике»»: М.: «Глобус», 2007. С. 35.

5.                             «Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ – ЛТД», 1998. – С.475.

Интернет ресурсы:

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://www.frei.ru/golos/books/

http://umiranie.chat.ru/sphere.htm

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/

Приложение

Август Фердинанд Мёбиус — немецкий математик и астроном-теоретик.

Лист Мёбиуса применяется в технике

Матричный принтер

Ленточный конвейер

Пленочная кассета

Применяется в архитектуре

Мост в Китае

Проект библиотеки в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены! Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Американские горки

Развлекательный парк на Тайване

               С помощью листа Мёбиуса показывают фокусы

Развлечения – аттракцион «Американские горки»

Насадки для взбивания теста