История открытия комплексных чисел

История открытия комплексных чисел. Целые гауссовы числа, как частный случай комплексных чисел. Древнегреческие математики под числами понимали только натуральные числа. Постепенно   складывалось   представление   о   бесконечности   множества натуральных   чисел.   В  III  веке   Архимед   разработал   систему   обозначения вплоть до такого громадного числа как 10810. Наряду с натуральными числами применяли дробные числа, составленные из   целого   числа   с   долей   единицы.   В   практических   расчетах   дроби применялись за две тысячи лет до нашей эры в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом.” Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того,   чтобы   выразить   длину   диагонали   квадрата   со   стороной   1.   Есть основания   утверждать,   что   именно   с   этого   открытия   начинается   эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных   чисел.   Это   было   сделано   китайскими   математиками   за   два века до нашей эры. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия с ними, а в VII веке этичисла уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа   с   долгом.   С   помощью   отрицательных   чисел   можно   было   единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный   корень   из   положительного   числа   имеет   два   значения   – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа х, чтобы х2= ­9. В  XVI  веке   в   связи   с   изучением   кубических   уравнений   оказалось необходимым   извлекать   квадратные   корни   из   отрицательных   чисел.   В формуле   для   решения   кубических   уравнений   вида   (х3+px+q=0)   появились кубические корни и квадратные корни: 3(­q/2+(q2/4+p3/27))+ 3(­q/2­(q2/4­p3/27)) Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный   корень   (х3+3х­4=0),  а   если   оно   имеет   три   действительных корня   (х3­7х+6=0),   то   под   знаком   квадратного   корня   оказываются отрицательные   числа.   Получилось,   что   путь   к   этим   корням   ведет   через невозможную   операцию   извлечения   квадратного   корня   из   отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнений четвертой степени, математики усиленно   искали   формулу   для   решения   уравнения   пятой   степени.   Но Руффини   (Италия)   на   рубеже  XVIII  и  XIX  веков   доказал,   что   буквенное уравнение   пятой   степени   (х5+ax4+bx3+cx2+dx+e=0)   нельзя   решить алгебраически, точнее его корень нельзя выразить через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня). В   1830   году   Галуа   (Франция)   доказал,   что   никакое   общее   уравнение, степень которого больше, чем четыре, нельзя решить алгебраически. Тем не менее   всякое   уравнение  n­ой   степени   имеет   (если   рассматривать   и комплексные числа) n корней, среди которых могут быть и равные.В   этом   математически   были   убеждены   ещё   в  XVII  (основываясь   на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже  XVIII  и  XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом. Итальянский   алгебраист   Джон   Кардане   в 1545  году   предложил   ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений  х+y=10 xy=40 не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение вида (х=5­15, y=5­15), нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что  ­а­а=­а.   Кардане   называл   такие   величины   “чисто   отрицательные”, считая их бесполезными и старался не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой­нибудь величины, ни   изменение   какой­нибудь   величины.   Но   уже   в   1572   году   вышла   книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из   них   кубических   корней.   Название   “мнимые   числа”   ввел   в   1637   году французский   математик   и   философ   Р.   Декарт,   а   в   1777   году   один   из крупнейших   математиков  XVIII  века   –   Л.   Эйлер   предложил   использовать первую   букву   французского   слова  imaginaire  (мнимый)   для   обозначения числа  ­1 (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово   комплекс   (от   латинского  complexus)   означает   связь,   сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т.д., образующих единое целое.В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n­ой степени   сначала   из   отрицательных,   а   затем   из   любых   комплексных   чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707 год): (cosisin)n= cos(n)isin(n) С помощью этой формулы можно было вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.  Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: ei= cosx+isinx, которая   связывала   воедино   показательную   функцию   с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число  e  в  любую   комплексную   степень.  Любопытно,  например,  что  ei=­1. Можно   находить   синус   и   косинус   от   комплексных   чисел,   вычислять логарифмы   таких   чисел,   то   есть   строить   теорию   функций   комплексного переменного. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический   анализ   уже   не   затрудняет   мнимые   величины.   С   помощью мнимых   чисел   научились   выражать   решения   линейных   дифференциальных уравнений  с постоянными  коэффициентами.  Такие  уравнения  встречаются, например,   в   теории   колебаний   материальной   точки   в   сопротивляющейся среде.   Ещё   раньше   швейцарский   математик   Я.   Бернулли   применял комплексные числа для вычисления интегралов. В течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы,   в   том   числе   и   прикладные   задачи,   связанные   с   картографией, гидродинамикой и т.д. Однако ещё не было строго логического обоснования теории   этих   чисел.   Поэтому   французский   ученый   П.   Лаплас   считал,   чторезультаты,   полученные   с   помощью   мнимых   чисел,   ­   только   наведение, приобретающее   характер   настоящих   истин   лишь   после   подтверждения прямыми доказательствами. “Никто   ведь   не   сомневался   в   точности   результатов,   получаемых   при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” ­ Л. Харна. В конце  XVIII  века, в начале  XIX  века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число (z=a+bi) точкой М(a,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что   ещё   удобней   изображать   число   не   самой   точкой   М(a,b),   а       ОМ   – вектором, идущим в эту точку от начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствует эти же операции над векторами. Вектор ОМ можно задавать не только его координатами a и b, но   также   длиной  r  и   углом  ,   который   он   образует   с   положительным направлением оси абсцисс. При этом  a=rcos,  b=rsin  и число  z  принимает вид  z=r(cos+isin),   который   называется   тригонометрической   формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного z и обозначают  z . Число  называют аргументом z и обозначают Arg z. Заметим,   что   если  z=0,   значение  Arg  z  не   определено,   а   при  z0   оно определено с точностью до кратного 2. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде  z=rei (показательная форма комплексного числа). Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия связанные с функцией комплексного переменного, расширило область   их   применения.   Стало   ясно,   что   комплексные   числа   полезны   во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются на векторной плоскости. Например:при изучении течения жидкости; задачи теории упругости. Мы не будем уделять время на изучение всех приложений комплексных чисел, рассмотрим более подробно арифметику целых комплексных чисел, с которыми мы уже знакомы. Их еще будем  называть целыми гауссовыми. Принято считать, что арифметика предшествует алгебре, что это более элементарная часть математики. Между тем, арифметика, если ее понимать как   учение   о   свойствах   целых   чисел   и   о   действиях   над   ними,   трудный   и далеко не элементарный раздел математики. Рассмотрим, например, основную теорему арифметики. Эту теорему все хорошо знают и часто пользуются ею при   арифметических   вычислениях(например,   при   нахождении   общего знаменателя   дробей).   Первую   часть   основной   теоремы   арифметики составляет   утверждение   о   том,   что   каждое   целое   число   может   быть представимо   в   виде   произведения   простых   чисел.   Доказательство   этого утверждения   довольно   просто.   Труднее   доказывается   второе   утверждение теоремы, которое в школьных учебниках считают очевидным.  Его  можно  сформулировать  так:  если   некоторое  число  n  разложимо двумя способами в произведение простых сомножителей  n=p1p2…..pк=q1 q2….qt, то эти разложения совпадают с точностью до порядка сомножителей, т.е оба они обладают одним и тем же числом сомножителей,  k=t, и каждый сомножитель, встречающийся в первом разложении, встречается столько же раз во втором разложении. Трудность с доказательством этого утверждения не случайна, а связана с глубокими свойствами арифметики целых чисел. Оказывается, что наряду с привычной арифметикой существуют многочисленные другие“   арифметики”.   В   одних   арифметиках   утверждения   основной   теоремы справедливы, в других нет, причем не выполняется как раз утверждение об однозначности разложения. Рассмотрим, например, множество четных чисел 2Z и покажем на простом   не   выполняется   утверждение   об   однозначности примере,   что   в   нем   разложения. Очевидно, что в нем числа 10, 50 и 2 являются простыми, но  для них   выполняются   следующие   равенства:   100=1010=502.   Таким   образом, число 100 из множества 2Z имеет два различных разложения в произведение простых множителей. Мы же рассмотрим еще одну арифметику, в которой основная теорема выполняется­ арифметику целых комплексных чисел.