Карточка - помощник "Задачи на сложные проценты" (11 класс)

Задачи на проценты ЕГЭ ­ профиль Задача №1.  15­го января планируется взять в банке на 1 млн. рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:  ­ 1­го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;  ­ со 2­го по 14­е число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;  ­ 15­го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Дата  Долг  15.01  1  15.02  0,7  15.03  0,6  15.04  0,4  15.05  0,2  15.06  0,1  15.07  0  Найдите наибольшее значение  r,  при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,7 млн. рублей.  Решение: Дата  Долг  15.01  1.02  1   1(1 r 100 )  15.02  0,7 + 15.03  0,6 1.03  0,7 (1 + r 100 ) 1.04  0,6 (1 + r 100 ) 15.04  0,4 Дата  Долг  15.05 0,2 1.05  0,4   (1   + r 100 )  15.06  0,1 1.06  0,2 (1 + r 100 ) 15.07  0 1.07  0,1 (1 + r 100 ) Общая сумма выплат: 1 ­ 1(1 +  r 100 ) + 0,7 ­ 0,7 (1 +  r 100 ) – 0,6 + 0,6 (1 +  r 100 ) – 0,4 + 0,4 (1 +  r 100 ) – 0,2 + 0,2 (1 +  r 100 )­ ­0,1 + 0,1 (1 +  r 100 ) ­0 < 1,7 r < 23,3.. значит, наибольшее значение r = 23 %. Ответ : 23 %.  Задача № 2.  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок, равный целому числу лет. Условия возврата кредита таковы: ­ каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года; ­ с февраля по июнь  каждого  года   необходимо   выплатить   часть   долга;  ­  в  июле   каждого  года  долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 47 млн. рублей?  Решение: прогрессии, которая составляет все выплаты по кредиту).   (решение   задачи   сводится   к   составлению   суммы   арифметической Пусть на n лет взяли в банке кредит на 20 млн. рублей. 1 год:  20 ∙ 1,3 = 26 млн. рублей с учетом процентов. выплата:  20 n + 20 ∙0,3 =  20 n +6 остаток: 26 – ( 20 n +6¿ = 20 ­  20 n 2 год: выплата:  20 n  +( 20 ­   остаток: (20 ­  20 n ) + (20 ­  20 n ¿∙0,3=14 20 n ) ∙0,3  – (  n  + 6 20 n  +( 20 ­   20 n ¿∙0,3¿  = 20 ­  40 n 3 год: выплата: остаток: ( 20 – 20 n  +( 20 ­   40 n ) + ( 20 ­   40 n ¿∙0,3 =   40 n ¿∙0,3  – ( 8 n  + 6 20 n  +( 20 ­   40 n ¿∙0,3¿  = 20 ­  60 n и т.д. найдем разницу между двумя выплатами: 14 n  + 6 ­  8 n ¿  + 6) = ­  6 n воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: 2∙( 20 n)−(n−1) 6 n ∙n=47 2 n = 8. Значит, кредит взяли на 8 лет. Ответ : 8 лет. Задача № 3.  В июле планируется взять кредит в банке на 10 лет. Условия возврата кредита   таковы:   ­   каждый   январь   долг   возрастает   на   25%   по   сравнению   с   концом предыдущего   года;   ­   с   февраля   по   июнь   каждого   года   необходимо   выплатить   часть долга; ­ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На какую сумму планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн. рублей?  Решение: (решение   задачи   сводится   к   составлению   суммы   арифметической   прогрессии, которая составляет все выплаты по кредиту).  Пусть взяли в банке кредит на S млн. рублей.  1 год: S ∙ 1,25 = 1,25 ∙S млн. рублей с учетом процентов. выплата:  s 10 + S ∙0,25 =  14s 40 млн. рублей;  остаток: 1,25 S – ( s 10 + 0,25S ) =  9s 10  млн. рублей;   2 год:  выплата: остаток: 9s 10  +  9s 10  ∙0,25 =  s 10  +  9s 10  ∙0,25 ­  s 10 ¿  +  13s 40    млн. рублей; 9s 10  ∙0,25) =  8s 10   млн. рублей; 3 год: выплата: s 10  +  8s 10  ∙0,25 – (  8s 10  ∙0,25 =  s 10  +  8s 10   +  остаток: и т.д. 12s 40   млн. рублей; 8s 10  ∙0,25) =  7s 10   млн. рублей; 10 год: выплата: s 10 +   s 10 ∙0,25 =  5s 40    млн. рублей; остаток: 0 млн. рублей; найдем разницу между двумя выплатами:  12s 40 −13s 40  =   ­   s 40 воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: 2∙( 14s 40 )−(10−1) s 40 ∙10=38 2 S = 16,  Значит, сумма взятая в кредит 16 млн. рублей.  Ответ: 16 млн. рублей. Задача № 4.  Планируется   взять   кредит   15   января   на   срок   24   месяца.   Условия   возврата   кредита таковы: ­ первого числа каждого месяца долг возрастает на p% по сравнению с концом предыдущего месяца; ­ со 2 –го по 14 –е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; ­ 15 – го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 – е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите p.  Решение: Пусть взяли в банке кредит на S млн. рублей, под p%. 1 год: S + S ∙ р 100  = S( 1 +  р 100 ¿  млн. рублей с учетом процентов. выплата:   S 24  + S ∙ р 100   млн. рублей; остаток:    S( 1 +  р 100 ¿  ­ (  S 24  + S ∙ р 100  ) =  23s 24      млн. рублей; 2 год: выплата:  24 + 23s S 24   ∙ р 100    млн. рублей; 23s 24   +  23s 24   ∙ р 100  – ( S 24 + 23s 24   ∙ р 100 ¿=22s 24    млн. рублей; остаток:  и т.д. найдем разницу между двумя выплатами:   р 100 ∙ 24 + 23s S 24   ∙ S 24 р 100 −¿  + S ∙ р 100   ) = ­  S 24 воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: 2∙( S 24+S· р 100)−(124−1) S · р 100 ∙24=S+0,3S 24 2 200S + 48∙ S∙ p ­ 23∙ S∙ p = 260 S  200 + 25 p = 260 25 p = 60 p = 2,4.  Значит, под 2,4 % взят кредит в банке.  Ответ: 2,4 %. Задача № 5.  Страховая компания положила в банк некоторую сумму денег по 10% годовых для  обеспечения страховых выплат. Какова была эта сумма ( в рублях) , если она оказалась  полностью истрачена за три года на следующие выплаты: 880000 рублей в конце первого года, 605000 рублей в конце второго года и 1331000 рублей в конце третьего года ( все  выплаты производились после начисления банком процентов).  Решение: Пусть взяли в банке кредит на S млн. рублей, под 10% годовых.  1 год: S ∙1,1 = 1,1∙ S стала сумма тыс. рублей с учетом процентов.  1,1∙ S – 880 тыс. рублей  2 год: ( 1,1∙ S – 880) ∙1,1 – 605 тыс. рублей,  3 год: ( ( 1,1∙ S – 880) ∙1,1 – 605) ∙1,1 = 1331 тыс. рублей,  (1,1∙ S – 880) ∙1,1 – 605 = 1210,  (1,1∙ S – 880) ∙1,1 = 1815 (1,1∙ S – 880) ∙1,1 – 605 = 1210 (1,1∙ S – 880) ∙1,1 = 1815, 1,1∙ S – 880 = 1650 1,1∙ S = 2530  S = 2300 тыс. рублей.  Ответ: 2300000 рублей. Задача № 6.  Вячеслав собирается взять в банке кредит на 1,2 млн. рублей по ставке 20% годовых.  Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме, быть может,  последний), после начисления процентов. На какое минимальное число лет может взять  кредит Вячеслав, если он хочет, чтобы ежегодные выплаты по кредиту не превосходит  400 тысяч рублей?  Решение: Возьмем наибольший платеж 400 тысяч рублей.  Через год 1200∙ 1,2 – 400 = 1040 тысяч рублей ;  через 2 года 1040∙ 1,2 – 400 = 848 тысяч рублей ;  через 3 года 848∙ 1,2 – 400 = 617,6 тысяч рублей ;  через 4 года 617,6∙ 1,2 – 400 = 342,12 тысяч рублей ;  через 5 лет 342,12∙ 1,2 – 400 = 9, 344 тысяч рублей;  6 год 9, 344∙ 1,2 = 7,6128 тысяч рублей.  Ответ: 6 лет. Задача № 7. Алексей взял в банке кредит на 1,6 млн. рублей. Схема погашения кредита следующая:  выплаты происходят ежемесячно после начисления банком процентов, при этом годовой процент делится на 12 и полученный процент ежемесячно начисляется на остаток долга.  Алексей выплатил всю сумму кредита за два месяца, заплатив в конце первого месяца  800 тысяч рублей, а в конце второго – 830250 рублей. Определите, под какой процент  годовых банк выдал кредит Алексею?  Решение: Пусть взяли в банке кредит под х %. 16х 12  стала сумма с процентами,  1600 ∙ ( 1 +  1200 ) = 1600 +  х 1 месяц:  1600 +  2 месяц: 800 +  16х 12  – 800 = 800 +  16х 12 ) ∙  16х 12  + ( 800 +  16х 12  – остаток х 1200 =¿ 830,25 х² + 1800 х – 27225 = 0 х = 15 Ответ: 15%. Задачи для самостоятельного решения: 1. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет  целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того этого, в начале третьего  и четвертого года вклад ежегодно пополняется на 2 млн. рублей. Найдите  наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад  будет больше 21 млн. рублей.( 11 млн. руб) 2. Наталья собирается взять в банке кредит на 1млн. рублей по ставке 15% годовых.  Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме, быть может,  последний), после начисления процентов. На какое минимальное число лет может  взять кредит Наталья , если он хочет, чтобы ежегодные выплаты по кредиту не  превосходит 350 тысяч рублей? ( 5 лет)  3. Михаил взял в банке кредит по ставке 20% годовых. Выплата по кредиту  осуществляется раз в год ( после начисления процентов) суммой 432000 руб.  Какую сумму взял в кредит Михаил, если он выплатил весь долг за 3 года? (910000 рублей).  4. Светлана взяла в банке кредит по ставке 25% годовых. Выплата по кредиту  осуществляется раз в год ( после начисления процентов) суммой 3125000 руб.  Какую сумму взял в кредит Светлана, если он выплатил весь долг за 473 года?  (738000 рублей).  5. 15­го января планируется взять в банке на 1 млн. рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:  ­ 1­го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с  концом предыдущего месяца, где r – целое число;  ­ со 2­го по 14­е число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга; ­  15­го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в  соответствии со следующей таблицей. 15.04  0,5  15.01  1  15.02  0,8  15.03  0,7  15.05  0,4  15.06  0,3  15.07  0  Дата  Долг  Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет  составлять менее 2,15 млн. рублей. ( 32 %) 6. В мае 2015 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн.  рублей, где S­ целое число. Условия его возврата таковы:  ­ каждый январь долг увеличивается на 28% по сравнению с концом предыдущего  года; ­ с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить одним платежом часть  долга;  ­ в мае каждого года долг должен составить часть кредита в соответствии со  следующей таблицей. Дата  Долг  Май 2015  S  Май 2016  0,9 S  Май 2017  0,6 S  Май 2018  0  Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше  82 млн. рублей. ( 48 млн. рублей) 7. В июне 2017 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S  млн. рублей, где S­ целое число. Условия его возврата таковы:  - каждый январь долг увеличивается на 22% по сравнению с концом предыдущего года; ­ с февраля по май каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; ­ в  июне каждого года долг должен составить часть кредита в соответствии со следующей  таблицей. Дата  Долг (в  млн. руб)  июнь 2019  0,5 S  июнь 2021  0  июнь 2017  S  июнь 2018  0,8 S  июнь 2020  0,2S  Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше  27 млн. рублей. ( 18 млн. рублей) 8. Планируется взять кредит 15 января на срок 24 месяца. Условия возврата кредита  таковы:  ­ первого числа каждого месяца долг возрастает на 2,5 % по сравнению с концом  предыдущего месяца;  ­ со 2 –го по 14 –е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;  ­ 15 – го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 – е число предыдущего месяца. На сколько месяцев планируется взять кредит, если  известно, что общая сумма выплат после его полного погашения на 20% больше суммы,  взятой в кредит? ( 15 месяцев) 9. Валерий открыл вклад в банке, по которому банк выплачивает 8% годовых. По  договору вклада он может производить расходные операции ( снимать со счета  деньги) не чаще одного раза в год ( после начисления банком процентов). В конце  второго года Валерий снял со счета 229000 рублей, а в конце третьего года он снял со счета 350000 рублей, после чего сумма на счете составила 190000 рублей.  Какую сумму вносил Валерий при открытии счета?( 625000 )  10. Максим взял в банке кредит на 800 тысяч рублей. Схема погашения кредита  следующая : выплаты происходят ежемесячно после начисления банком  процентов, при этом годовой процент делится на 12 и полученный процент  ежемесячно начисляется на остаток долга. Алексей выплатил всю сумму кредита  за два месяца, заплатив в конце первого месяца 400 тысяч рублей, а в конце второго – 418180 рублей. Определите , под какой процент годовых банк выдал  кредит Максиму? ( 18%)  11.Дмитрий положил в банк некоторую сумму денег. Через год, после начисления  процентов, он добавил на свой счет сумму, составляющую 0,9 исходной, в  результате чего остаток на счете стал равен 3,4 млн. рублей. А еще через год,  после начисления процентов, остаток на его счете увеличился в 2,2 раза по  сравнению с исходной суммой. Какую сумму Дмитрий положил в банк  первоначально, если в конце каждого года банк начислял один и тот же процент  годовых? ( 1,7 млн. рублей)  12.