Карточка-расчет по теме "Преобразование тригонометрических выражений.".

ОСР. Преобразование  тригонометрических  выражений. Задание: 1)Перепишите и заполните пропуски: Пример 1.Вычислить : а)  cos 18°  ∙ cos 12°  −¿  sin 18°  ∙ sin 12°; б) cos 107°  ∙ cos 17° +¿ sin 107°  ∙ sin 17°; в) sin 17°  ∙ cos 13°  +¿  sin 13° ∙  cos 17°; г) sin 43° ∙  cos 13°  −¿  sin 13°  ∙ cos 43°;  д)  , е)  . 0 tg  1 9 tg  0 9 0 51 tg  0 tg 51 tg   65 tg   65  20 tg  tg 20  1 Решение: а) cos 18°  ∙ cos 12°  −¿  sin 18°  ∙ sin 12° = cos(18° +¿ 12°) = cos 30° = …, б) cos 107°  ∙ cos 17°  +¿  sin 107°  ∙ sin 17°  =  cos(107° −¿ 17°) = cos 90° = …, в) sin 17°  ∙ cos 13°  +¿  sin 13°  ∙ cos 17° = sin(17° +¿ 13°) = sin 30° = …, г) sin 43°  ∙ cos 13°  −¿  sin 13°  ∙ cos 43° = sin(43° −¿ 13°) = sin 30° = …, д)  51°) = tg 60° = …, е)   = tg (65°  = tg (9° 20°) = tg 45° = … . tg   65 tg   65  20 tg  tg 20 1  −¿ 0 tg  1 9 tg  0 9 +¿ 0 51 tg  0 51 tg √3 2 ; б) 0; в) 0,5; г) 0,5; д)  √3 ; е) 1. Ответ: а) Пример 2.Вычислить : а) cos π /7  ∙ cos 4π /21  −¿ sin  б) sin π /3  sin π /12; в)  cos π /12   cos π /3 ∙ −¿ ∙ /π  7 ∙ sin 4π /21;                                      tg   tg 7/   7/ 1 .  21/4 tg   tg 21/4 Решение: а) cos π /7  ∙ cos 4π /21 −¿  sin π /7 ∙ sin 4π /21 = cos (π /7 +¿  4π /21) = cos  (3π /21 +¿  4π /21) =  = cos 7π /21 = cos π /3  =  …, б) sin π /3  ∙ cosπ /12 −¿  cos π /3  ∙ sin π /12 = sin(π /3  −¿ π /12) = sin (4π /12 −¿ π /12)  = sin 3π /12 =  = sin π /4 = …, в)   4π /21) = tg π /3 = …     = tg (π /7  tg   tg 7/   7/  21/4 tg   tg 21/4 1 +¿ Ответ: а) 0,5; б)  √2 /2; в) √3 . Пример 3. Упростить:  а) cos α  ∙ cos 3α  −¿  sinα  ∙ sin3α; б) sin 2α ∙  cos α  −¿  cos  2α  ∙ sin α;  в) sin α  sin 3α;  г)  cos 3α   cos α  . ∙ +¿ ∙ tgx  1  tgx х 3 tg  tg 3 х Решение: а) cos α ∙  cos 3α  −¿  sinα  ∙ sin3α = cos (α  +¿ 3α) = cos …α; б) sin 2α  ∙ cos α  −¿  cos 2α  ∙ sin α = sin (2α  −¿ α) = sin α; в) sin α  ∙ cos 3α   cos α  +¿ ∙ sin 3α = sin (α +3 α) = sin …α;  г)   = tg (x  +¿ tgx  1  tgx tg х 3  tg х 3  β −¿  sin α  ∙ sin  3x) = tg …x. Ответ: а) cos 4α; б) sin α; в) sin 4α; г) tg 4x. Пример 4. Упростить : а)  cos α  ∙ cos  б) cos(x – y)  ∙ cos(x + y) + sin(x – y)  ∙ sin(x + y). Решение: а) cos  =  …, б) cos(x – y)  ∙ cos(x + y) + sin(x – y)  ∙ sin(x + y) = cos ((x – y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y. Ответ: а) 0,5; б) cos 2y . Пример 5. Упростить выражение:   α ∙ cos β  −¿  sin   α ∙ sin β = cos ( β α , если   = 42  = 18  °; β  °,   α +¿  β) = cos (42 °  +¿  18 °)  = cos 60 ° tg(  )–  cos(  )–  tg( sin(  2  )–  с tg(  2   )  tg(   )– 2  3 2   ) . Решение:  tg(  )–  cos(  )–  tg( sin(  2  )–  с tg(  2   )  tg(   )– 2  3 2   )    tg– (–cos    cos tg(   ) с tg  tg () с   )    Ответ: 1.  cos cos    ... Пример 6. Вычислите: cos630°– sin1470°– сtg1125°. Решение: cos630°– sin1470°– сtg1125° = cos(360° + 270°)– sin(4360° + 30°)– сtg(3360 ° + 45°) =   = cos270°– sin30°– сtg45° = 0 –  0,5 – 1= …              Ответ: – 1,5. Пример7. Вычислить    2 cos  2 sin  12  12 . Решение: 2 cos  12  2 sin  12  cos( 2   12 ) cos    Ответ:   6  ... 3 2 . Пример 8. Вычислить  sin2  12  cos  12 . Решение: sin2  12  cos  12  sin(2   12 ) sin  6  ...    Ответ:  1 2 . Пример 9. Вычислить sin2α, если sinα – cosα =   1 3 . Решение: Возведем обе части равенства в  квадрат:     (sinα – cosα)2  =   ,  1 9 sin2α – 2sinα ∙ cosα + cos2α =   ,    1 9 −¿ 2sinα cosα = ∙ 1 9  – 1,    2sinα −¿ cosα =  ∙ ,  8 9 sin2α =  …    Ответ:  . 8 9 Пример 10. Вычислить sin2α, если sinα = – 0,6,    3 2 . Решение: sin2α = 2 sinα · ·  cosα . Т.к.  ,то cosα < 0,    3 2 cos   =α   2     1 sin    2 )6,0(1  sin2α = 2 · ( −0,6 ) ·  ( −0,8 ) = ... Ответ: 0,96. Пример 11. Вычислить  sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если cosα  = 0,8, 36,01 64,0   ... 0   2 . Решение: cos2 α/2 =  (1 +  cosα) : 2 = 1,8 : 2 = 0,9, cosα/2 =  √0,9≈0,95 .  sin2 α/2 =  (1  −¿   cosα) : 2 = 0,2 : 2 = 0,1, sinα/2 =  √0,1≈0,33 . tgα/2 = sinα/2 : cosα/2 = 0,33 : 0,95 = 33/95, ctgα/2 = cosα/2 : sinα/2 = 0,95 : 0,33 = 95/33. Ответ: 0,33; 0,95;33/95; 95/33. Пример 12. Пусть  Найдем sin2, cos2, tg2. sin     , четверти,   5 13 Решение:  cos 1  2 sin cos2   2cos  2 (  2 5 13 120 169 :  )12 13 119 169    2 60  13 13 120 119 .  ... ... ,  2  1 25 169  (21  144 169 , cos   12 13 2 )  21 144 169 ( 12 13  1 кт ..   ч ), sin2   2 sin   cos 288 169  169 169  119 169 tg2,   sin2 cos2      Ответ:  120 169 , 119 169  , 120 119 . 2)Решить задание  ( по примерам): 1 Вычислить : а)  cos 38°  ∙ cos 22°  −¿  sin 38°  ∙ sin 22°; б) cos 55°  ∙ cos 10° +¿ sin  55°  ∙ sin 10°; в) sin 47°  ∙ cos 13°  +¿  sin 13° ∙  cos 47°; г) sin 103° ∙  cos 13°  −¿  sin 13°  ∙ cos 103°;  д)  , е)  . tg  0 9 tg  0 9   tg    70 70 tg 0 21 tg  0 tg 21 Вычислить : а) cos  π /5  ∙ cos π /20  −¿ sin π/ 5 ∙ sin π /20;  25 tg  tg 25 1  1 2 б) sin π /4  cos π /12  ∙ −¿  cos π /4 ∙ sin π /12; в)  1 tg   tg 5/   5/ .  20/ tg   tg 20/ 3 Упростить:  а) cos 2  α ∙ cos 6  – sin 2   α ∙ sin 6 ;α  б) sin 3α ∙  cos  α  α −¿  cos 3α ∙ sin  в) sin 2  α ;α ∙ cos 3  α  cos 2  α ∙ +¿ sin 3 ;  α г)  . tg   x 2 х 3 tg  tgx tg 2 3 х 1  α ∙ cos β  −¿  sin  Упростить : а)  cos  4 б) cos(2x – y)  ∙ cos(2x + 3y) + sin(2x – y)  ∙ sin(2x + 3y). 5               Упростить выражение:       α ∙ sin β, если α = 42 °, β = 48 °; сtg(  )– sin(  2  )–  cos(  2  tg(  )–  с tg(   )  tg( с  2  3 2  )–   ) . 6 7 8 Вычислите: cos450°– sin750°– сtg765°. Вычислить     2 cos  2 sin  8  8 . Вычислить  sin2  8  cos  8 . Вычислить sin2α, если sinα – cosα =  1/4. 9 10 Вычислить cos 2α, если sinα = – 0,8,    3 2 . 11 Вычислить  sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если sinα  = 0,8, 0   2 . 12 Пусть sin     , 8 17  Найдем sin2, cos2, tg2. четверти,   3)Решить задание : 1. ∙sinα. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. cos(3 /2 +  π α) + cosα π ) +  π α  –  α) + sin(2  α)· cos( /2 +  π Упростите выражение: sin(3 /2 –  Найдите cosß, если tgß = 7/24 и ß  (π; 3 /2).π Найдите значение выражения: 2sin²2х – 9cos²2х, если cos2х = –  0,9. Вычислите:3ctg60º∙ (sin310ºcos70º –  sin70ºcos310º). Найдите значение выражения:5 cos(3 /2 +  α) , если α = 7π/6. Найдите значение выражения:  4 + 5tg²х • cos²х, если sinх = 0,4. Найдите значение выражения:7 cos(  + π α) – sin(3 /2 +  Упростить выражение 4 (⋅ tg(π –  t) + ctg(π – t) + ctg(3 /π 2 –  t)) ⋅ctg(π – t). Упростите выражение:  π π . tgt  cos(  t ) sin(   t ) α), если cosα = 0,6. 10. Вычислите:   sin4 2 0 120  2 cos 600 0  27 tg 660 0 . 11. Докажите тождество:  . tgt  ctgt tgt sin 2 t 12. Упростите выражение:   ctgt  sin(  t ) cos(  2  t ) 13. Вычислите  sin2 870 0  12 cos 570 0 tg 2 0 .60   . 14. Найди значение выражения sin1050°+cos4620°+tg1035°. 15. Вычислите:  tg   12 tg   12  18 tg  tg 18 а ) 1 , б sin) 20 0  sin 40 0  cos 0 .10  16. Упростите выражение 2 sin   2 cos  ) (   2 cos   cos  cos(  ).    17. Вычислите:  а ) cos 2 sin2 10 40   cos cos 70 10   cos sin  80  50 , б ) 2 sin 2 cos 11 53   sin cos 2 2 79  37 . 18. Упростите выражение:  2 tg  ) tg   (  сtg (  3 2   ). 19. Вычислите: а) sin810° – cos900o + tg585o –  ctg l845o + cos l35o –  sin405°;  б) cosl05° –  sinl95° + sin(­135°); 20. Найдите значение выражения sin (х + у), если sin х= 9/41; cos у = –  40/41;   х ­ угол II четверти. 21. Найдите  , если   и . 20 cos(   ) cos   7 2  )5,1;( 7 25 cos(    sin2)  ( 2   ) , если  cos  . 1 3 22. Найдите значение выражения 7  . 23. Упростить выражение:  2 cos(  )   sin2 (  cos(  ) 2   2   ) 24. Упростите выражение:  х а ) 2cos  х х sinх cos ), б sin cos cos х 2  , х 2 25. Упростите выражение: а ) sin 2  ctgх х sin2х sin4), б х 2  sin(90  ­ х 2 )  sin(270  – х), в) sin2х  2 cos х 1 ), е (  cos sinх х  21 sin2х 2 ) . 26. Вычислить tg tg  ( 138 )12   tg 12 tg 138     . 1 27. Дано: cos х =­12/13;  180 º < х < 270 º. Найти: cos х/2,tg x/2. 28. Упростите выражение   cos2   .  sin­  cos 29. Упростите выражение      2sin2   sin4 .    2 sin4   sin2 30. Найдите ctg 2α, если 4sin 5sin     cos     cos3  .2 31. Найти значение выражения: 2sin150  cos150. 32. Найти значение выражения:  cos2150 –  sin2150).   33. Вычислить: sin330º   и   ctg315º. 34. Упростите выражение :                               4sin6  3sin  sin4  2cos2 ), б а ) ), в 12 sin11  sin22 cos11   . 35. Найти значение выражения:  24(sin 2  17 43 cos cos  2   )17 . 36. Найдите значение выражения 42 3  sin(­  )   6  cos(     ). 6 37. Найдите sin 2 ,α  cos 2 ,tg2 , α   если α cos   ;5,0(  )  .  и  5 34 38. Найдите  24cos2 , если  39. Найдите tgα/2 , если α sinα = ­ 0,2 .   7sin 5sin  cos  cos 40. Найдите – 16cos2α , если sin  α = – 0,6. 41. Найдите     22cos2α  , если cosα = –   0,8. 42. Найдите  , если sin2  = α 0,6.   13 17 2/ 2/      .  .3 2/ 2/ 3sin4 2 cos5   43. Найдите 3sin4 2 cos5    , если cos2  = α 0,8.   44. Упростите выражение   80 cos  04 cos 04sin   .  45. Упростите выражение: сtg²х ∙ sin²х –  cos2х. 46. Найдите sin 2, если 3sin  + 3cos  = 1.   47. Найдите cos 2, если  sin   ,    четверти, 4 5 48. Вычислите без помощи таблиц:1) sin 75°;   2) cos 75°;   3)tg75°;   4) ctg 75°. 49. Вычислите без помощи таблиц и калькулятора: 1) sin 15°; 50. Упростите выражение:  2) tg22,5°. а ) 2sin 2sin     sin2 sin2  2 tg б ) cos 2   2 cos   ) cos    ( 3 ,  2  2  ( 3   ).