Карточка-расчет по теме "Вычисление площадей с помощью интегралов".

ОСР. Тема: Вычисление  площадей  с  помощью интегралов.  Цель работы:  повторить понятия: первообразная, интеграл, правила нахождения первообразных;   навык  вычисления  интегралов, нахождение площади криволинейной трапеции;  развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.  Основной теоретический материал:   Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа  10­11 класс, глава 10, §56­58. Задание: 1)Перепишите и заполните пропуски: Пример 1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2  +¿ 2, у = 0, х =  −¿ 2, х = 1. Решение:  Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у = 0  задает ось  ОХ):  Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так: На отрезке[– 2;1]    график функции у = х2  +¿ 2  расположен над осью ОХ, поэтому:  х  (х 3  1 2хх 2­  364 (2 dx2)  ( 1 3 1 3 8 3 8 3 ..., 2  )4 3  S 1  2  2 Ответ: S = 9 eд2.   б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  −ех  , х = 1  и координатными осями. Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция  расположена под осью OX (или, по крайней мере, не выше данной  оси), то её площадь можно найти по формуле: S =  −∫ f(x)dx  . b a В данном случае:  S   (­е 1 0 х dx)   х dxе 1 0  е х 1 0 1  е 0 е  е 1 Ответ:  (S  е 2 )1 ед  72,1 ед 2 . ,   и    Пример 2.а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 2х  −х2 у =  −х  . Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Найдем точки пересечения параболы у = 2х  −х2 прямой у =  −х   . Решаем уравнение:  2х  −х2 −х ) = 0,  х1 = …, х2 = ... Значит, нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = 3 .   x = a ,x = b , можно найти по формуле: S =   ∫  =  −х  , 3х  −х2 (f(x)−g(x))dx .  = 0, х(3 b a Искомая фигура ограничена параболой y = 2х  −х2 На отрезке[0;3]  2х  −х2≥−x  , по соответствующей формуле   сверху и прямой   у =  −х    снизу. S   (2х 3 0 2 х­  dx х­(    (3 dx)х ­х 2 3 0  ( 3х 2  3 х 3 ) 3 0  27 2 27 3  00 )23(27  6  ..., 9 2           Ответ: S = 4,5 eд2.   .                                                                                                                          б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2 x  , y = x  +1  , y = 0  , x = 3 . Решение: Сначала выполним чертеж: Площадь фигуры считается с  помощью двух определенных интегралов. Действительно: 1) На отрезке [– 1;1]  над осью OX расположен график прямой                    y = x  +1   ; 2) На отрезке  [1;3]   над осью OX  расположен график    гиперболы Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно)  у  2 х . приплюсовать, поэтому: 1 S  (х 1  11   1)dx  2ln3  ( 3 2dx     х 1  ... 2ln3 2  х 2 (12 х ) 1  1 ln3).   )хln2  (12S ln3) 2 ед  2,4 . 2 ед . 3 1  )1 ( 1 2 Ответ:   ln3(2)1  ­ ln1)  ( 1 2 Пример 3.a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями   +4y=0 ,2x  +4y+1=0  .    3х2 Решение: Представим уравнения в виде  и выполним у  3 2х 4 , у  2   х 4 1 поточечный чертеж: Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»:   b =  1. Найдем точки пересечения прямой     и параболы у  2   х 4 1 у    3 2х 4 . Для этого решаем уравнение:     1   2 х 4  D = 4   12  = …,  +¿  = 4,  √D х 2,1 2  4 6 , , 2х 3 4  x1 =  −1 3    3x2  = 2x     3x2  2x  −¿ +1, −1=0,  , x2 = ... Действительно,a = −1 3  . На отрезке   1  3   ,1; 3 4 2 х   2  1 , х 4  по соответствующей формуле: S   1  3/1  (– 3 4 2 х   (– х 2   – 1 4 dx))   1  3/1  (– 3 4 2 х  х 2 1 4 dx)   (– 3 4 3 х  3 2 х  2 1 2  1 4 х)  х ( 1 4 2 х  3 х ) 1  3/1  11(( 1 4 2  3 )1   ( 1 3  1 9 1 27 ))  1( 1 4 5 27 )  1 4 32 27   (– 3 х 4  2 х 4  1 4 х) 1 1/3­  1 1/3­ ... 27 . Ответ:  S  8 27 2 ед  3,0 ед . 2 . б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  x2−2  , y = 2x  +1  . Решение: Выполним чертеж: На отрезке  по соответствующей формуле: 2  1  23;1 2 х х  S 3  (2х   1  (х –1 2  2)) dx 3  (3 1    dx)х –2х 2  (3х х 2  3 х 3 ) 3 1­   333( 2   )999(  3 )    )1(3( 3 3  13(  )1( 3 19 9) )1(  ) 3 2  ... 2 3 1 3 5 3 Ответ: S = 10  eд2.   . 2 3 Пример 4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x +y=4  ,  xy = 3 . Решение: Выполним чертеж . На отрезке   , по   43;1  х 3 х соответствующей формуле: 3 S  1 15  2  –х –(4 ln33  – 3 х 7 2 dx)  4( х   8 2 ln33 2 х 2  )хln3 3 1  12( 9 2  ln3) 3  –(4 – 1 2 0) –    –.... 3ln3. Ответ:  ln334(S )  2 ед  7,0  . 2 ед . .   f '  (x) = 2x;значит, f(a) = a2   +10;  f '  (a) = Пример 5.a)  Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2  +10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1).  Решение: Неизвестна абсцисса точки касания х = а. Чтобы её найти, составим уравнение касательной:  y = f (x0)  +f'(x0)∙(x−x0) Имеем f(x) = x2   +10, 2a; уравнение касательной имеет вид: y = a2   +10   +¿  2 a(x  −a ) = a2   +10   +¿  2 ax −2a2=2ax−a2+10 ; Уравнение касательной y =  −a2+2ax+10  (1) По   условию   касательная   должна   проходить   через   точку   (0;1),   то   есть   координаты   точки   (0;1) должны удовлетворять уравнению (1): 1 = 2a0  −a2+10 ;  a2=9 , a1 =  −…;  a2 = ... Подставим найденные значения в уравнение (1): Если a =  −3,  то y =  −9+10+6x=6x+1  . Получили два уравнения касательных y =  −6x+1иy=6x+1  . Параболы y = х2 + 10 они  касаются в точках А(– 3;19) и В(3;19). Найдём площадь фигуры DACB: SDACB = 2SDCB ,   то  y =  −¿  9  +¿  10  −6x=−6x+1;  Если a = 3 , S DCB  3  ( 0 2 х  )10 dx  3  0 6( х  )1 dx  3  ( 0 2 х  6 x  )9 dx  ( 3 x 3  2 3 x  )9 x 3 0   (  )39 33 2 (  )09 03 9 2 27  27 9 3 3 3 3 0 3 SDACB = 2 9 = ... Ответ: 18. б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  у = 4/x, y = х, х = 4. Решение: SABC = SMBAD  −¿  SMBCD;  SMBAD = 1/2(MB  +AD ) MD = = 1/2 (2  +4 ) 2 = 6; SMBCD 4 4  x 2 dx  4  nx 4 2  (4  n 4   n )2  )2:4(4  n  24  n Ответ: 6 – 4ln2. 2)Решить задание  ( по примерам): 1 а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  у ,2 у  ,0 х . ,3 х  3 2  х б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и координатными осями. у  х е ,  2 х 2 а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями   у  2 х  ух ,4  х . б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у  8 х , у  х ,2 у .  4 ,0 х 3 a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 3 2 х  2 у 5,,0   .  х  2 у  02 б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  y =  x2−2  , y = 2x  +1  . 4 a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  х  5 ух ,6 у  . б) В каком отношении парабола  у 2 х 3  делит площадь четырёхугольника, вершины которого  находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)?  5 a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой  и касательными к этой  у 3 2   х 4 параболе, проведёнными из точки (0;1).  б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  . у  4 х , у  , хх  6 3)Решить задание: 1 a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  у  3 2 х  ,4 у  ,0 х . ,1 х  1 б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и координатными осями. у  х е ,  3 х 2 а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями   у  х 6 2 х , у  х . б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у  12 х , у  х ,4 у  ,0 х  4 . 3 a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 5 2 х  4 у 4,0 .  х  4 у  01 б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у  2 х ,2 у  . 1  2 х 4 a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х  7 ух ,8 у . б) В каком отношении парабола  у  4 2 х  делит площадь четырёхугольника, вершины которого  находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)?  5 a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой  и касательными к этой  у 3 2   х 13 параболе,   проведёнными из точки (0;1).  б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  . у  4 х , у  , хх  8 6 7 8 9 Найти площадь фигуры, ограниченной функцией  и осями координат. у  1 х 2 Найти площадь фигуры, ограниченной функциями  у  2 х  ,2 ух  0  и касательной к этой параболе, проведенной в точке (1/2;3/4). Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у ,4 у  2 2 х  ,2 у  ,0 х 6,1 . 3  х Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у  х ,1 х  ,0 у  4 ,0 х . 10 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у  х ,2 у  2 ,0 ,1 х х .  11 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у  ;x sin у  ,0 х ,0 х .  12 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. у  1 2 х , у  ,0 х .  2 ,1 х 13 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  у  2 х  ,4 ух  0 . 14 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у  ;x sin у  ,0 х .  2; 15 Найти площадь фигуры, ограниченную линиями  у  2 х  ух ,4  х .  16 Найти площадь фигуры, ограниченной линиям   .  у  4 х 2  3 , у х 17 Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой   и осью абсцисс. у  4 2 х 18 Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми  у  ,  0 ух ,  . х ,1  х 5 19 Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой   и параболой  у 2х . у  2 х 4 х  2 20 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  у  2 х  6 х  ,5 у  2 х  4 х  ,3 и . у 3  х 15