Карточки-билеты по геометрии для 9 класса "Задачи"

Билет № 1.  3. Построить биссектрису угла. 4. Задача. 1).  Дуги A1B1 и  A2B2 равной длины l принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. найдите  отношение градусных мер центральных углов, соответствующим этим дугам.  2). С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте,  опущенной на боковую сторону. 3). Найти площадь треугольника АВС, если координаты его вершин А(1; ­1), В(2; 3) и С(4; 5) 4). АВСD – трапеция, АС BD= О, АС=32,  ADB=30о,   COD=45о, ВМ  АD, ВМ=12. Найти SАВСD. Билет № 2. 3. Построить С D   м  (АВ). 4. Задача. 1). Расстояния от точки А до точки В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой. 2). Две прямые, пересекающиеся под углом в 60 0, касаются окружностей в точках А и В. найдите радиус  окружности, если известно, что АВ= 3  (указать все возможности). 3). Найти sin    и α cos  α , если  α tg  =­2 и 90 о <  α  <180 о. 4). Зная, что tg  +α ctg  α  =2,3, найти  tg2  +α ctg2  .α Билет № 3.  3. Построить ∆А/В/С/=Sа(∆АВС). 4. Задача. 1). Диагонали трапеции делят среднюю линию на три равные части. Как относятся основания этой  трапеции? 2). Даны точки А(4;5), В(7;­4), С(­1;0). Составьте уравнение прямой, которой принадлежит высота АН. 3). Координаты движущейся точки в зависимости от времени t выражены уравнениями x=3t­1, y=2t+1.  Написать уравнение траектории. 4). Написать уравнение прямой, проходящей через т.А(­4; 3) и образующей с положительным  направлением оси ОХ угол, тангенс которого равен  1 2  . Билет № 4. 3. Построить ∆А/В/С/=ZO(∆АВС). 4. Задача. 1). Из одной точки к двум касающимся внешним образом окружностям проведены три касательные,  причем одна из них проходит через точку касания окружностей. Докажите, что касательные равны. 2).  В параллелограмме АВС D диагонали пересекаются в точке О, М – середина ОС, АВ=2, АD=4,   ВАD=600.  Разложите вектор DM по базису  , вычислите длину отрезка DМ.  АDиАВ 3). Разность двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 30о.  Найти эти углы. 2 3 4).  а: у = ­ прямой а.  х + 4. Составить уравнение прямой b, проходящей через т.В(04; 1) параллельно данной Билет № 5.  3. Построить угол, равный данному. 4. Задача. 1). В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с  углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что  периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. 2). В круговой сектор с углом 60 0 помещен круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите  отношение площади сектора и площади круга.  3). В окружности проведены диаметр ВС, хорда АВ и касательная АD, АОС=70о. Найти   ВАD. 4). Окружность разделена на 3 части, пропорциональные числам 3, 4 и 5, и через точки деления  проведены касательные. Найти углы полученного треугольника. Билет № 6.  3.Построить ∆А/В/С/= H O 4. Задача. 2 (∆АВС). 1). Стороны прямоугольника равны 5см и 4см. Биссектрисы углов, прилежащих к большой стороне,  делят противолежащую сторону на три части. Найдите длины этих частей. 2). Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(­4;3) и образующей с положительным  направлением оси ОХ угол, тангенс которого равен  3). Сторона правильного описанного около окружности 6­угольника равна 3 см. Найти сторону  вписанного в эту окружность правильного треугольника. 1 2 . 4). Длина окружности С=18,84 дм. Найти сторону вписанного квадрата. Билет № 7. 3. Построить  ∆А/В/С/= H O 4. Задача. 5,0 (∆АВС). 1). Докажите, что в ромб можно вписать окружность. 2). Найти ГМТ, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек равна квадрату  расстояния между этими двумя точками. 3). Найти высоту АН в ∆АВС, если АВ=13, АС=14 и ВС=15. 4). Катет прямоугольного треугольника 28 дм, разность двух других сторон равна 8 дм. Найти периметр  треугольника. Билет № 8. 3. Построить  М/=I(М), МQ                                 I=(О, r2) 4. Задача. 1). Докажите, что если диагонали четырехугольника АВСD взаимно перпендикулярны,  то АВ2 + СD2 = ВС2 + АD2. 2). Найдите координаты всех точек, при повороте вокруг которых начало координат переходит в точку  М (3;­5). 3). В ∆АВС А(1; 2 3 ), В(­1; 0) и С(1; 0). Найти А. 4). Даны уравнения двух сторон параллелограмма х ­ 2у + 8 = 0, х + у – 7 = 0 и точка пересечения его  диагоналей М(­2; 6). Составить уравнения двух других сторон. Билет № 9. 3. Построить прямую по ее уравнению с угловым коэффициентом. 4. Задача. 1). Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям  трапеции и равен полуразности оснований. 1 2    .  ва  . Длины векторов 5 и 2. найдите скалярное произведение векторов  2).      а 3   в 3). Биссектриса одного из углов прямоугольника делит его сторону пополам. Найти периметр  прямоугольника, если его меньшая сторона 10 см. 4). Дан квадрат, сторона которого  2  м, а диагональ его равна стороне другого квадрата. Найти  диагональ последнего. Билет № 10. 3. Построить окружность, описанную около треугольника. 4. Задача. 1). В прямоугольном треугольнике АВС (С – прямой) проведена высота С D. Докажите, что если   САВ=300, то АВ:ВD=4:1 2). Хорда окружности пересекает ее диаметр под углом 300 и делит его на отрезки, равные a и b. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды. 3). Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его  сторон. 4). В ∆АВС   А=  В=30о. Найти отношение а:с. Билет № 11. 3. Разделить отрезок на n­равных частей. 4.  Задача. 1). Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до  стороны в два раза меньше расстояния от той же точки до вершины. 2). Дана гипербола 2х2 ­ 3у2 = 12. Найти эксцентриситет. 3). В трапеции АВСD основания равны 12 и 27,   АВС=  АСD. Найти диагональ АС. 4). В ∆АВС провели прямую DЕ ||АС так, что АD=ВЕ. Найти АD, если АВ=с, ВС=а. Билет № 12. 3. Построить окружность по 3 данным точкам. 4. Задача. 1). Докажите, что если три окружности имеют общую хорду, то их центры расположены на одной  прямой. 2). Найдите площадь трапеции с боковыми сторонами 13 и 20 и основаниями 6 и 27. 3). Чему равен больший угол треугольника со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. 4). Написать уравнение прямой, проходящей через точку В(2; ­4)  и перпендикулярной к прямой 2х – 5у + 10 = 0. Билет № 13. 3. Построить сумму 2­х, нескольких векторов. 4. Задача. 1). На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на  которые стороны треугольника делят полуокружность.  2). Составить уравнение эллипса, зная, что сумма его полуосей 8, а эксцентриситет  4е 5 . 3). Серединный перпендикуляр к стороне АС в ∆АВС пересекает сторону АВ в точке D, которая  соединена отрезком с вершиной С. Найти Р ∆ DВС, если Р ∆АВС = 12 и АС=4. 4). Угол, смежный углу при вершине равнобедренного треугольника, равен 60о. Медиана ВD к основанию  равна  3  см. Найти расстояние от т.D до боковой стороны треугольника. Билет № 14. 3. Построить правильный n­угольник (рассмотреть несколько примеров). 4. Задача. 1). На боковых сторонах равнобедренного треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние  треугольники. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины равносторонних треугольников (отличные  от вершин равнобедренных треугольников) с серединой основания равнобедренного треугольника, равны. 2). Окружность радиуса 4 вписана в равнобедренную трапецию. Найдите площадь трапеции и ее  основание. 3). Сторона треугольника равна 10 см, а противолежащий угол – 150о. Найти радиус описанной  окружности. 4). Составить уравнение ГМТ, разность квадратов расстояний которых от данных точек А(­2; 0) и В(2;6)  постоянна и равна 4. Билет № 15. 3. Построить окружность, вписанную в треугольник.   4. Задача. 1). Как разделить данный треугольник на два треугольника, площади которых относятся как 1:2? 2). Две хорды АВ и СD пересекаются внутри круга в т.М. АМ=16, МВ=8, СD=36. найти СМ и МD. 3). Площадь правильного 6­угольника равна 12 3  дм2. Найти радиус вписанной в него окружности. 4). Рассчитать сопротивление медного провода в осветительной сети, если его длина l=200 м, диаметр  поперечного сечения 1,6 мм и удельное сопротивление меди   = 0,017  ом .  2 мм м Билет № 16. 3. Построить отрезок х – средний пропорциональный между отрезками a и b. 4. Задача. 1). Один из углов равнобедренного треугольника равен 1200. Найдите отношение сторон этого  треугольника. 2). Найти угол между векторами   виа , если   а  ,4  а  2(  а   )5 ив  а 3(   в 2()2   а   )3 в  .42 3). Стороны треугольника  равны 0,8см, 1,6см и 4,4см. Найти стороны подобного ему треугольника,  периметр которого равен 5,5см. 4). К окружности проведена касательная АР и секущая РВ=16, ОD  РВ, ОD=8. Найти радиус  окружности. Билет № 17. 3. Построить через данную точку О прямую, параллельную данной прямой АВ. 4. Задача. 1). В треугольнике из всех вершин проведены высоты, каждая из которых разбивает его на два  треугольника. Докажите, что любые два из этих треугольников, имеющих общую вершину с данным,  подобны. 2). Боковые стороны треугольника равны 30 см и 25 см. Найти высоту треугольника, опущенную на  основание равное 11 см. 3). Расстояния от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до вершин острых углов  равны a и b. Чему равно расстояние от этой точки до вершины прямого угла. 4). Высота в ромбе равна 2. Найти площадь круга, вписанного в ромб, если угол ромба равен 30о.      Билет № 18. 3. Данный отрезок АВ=а разделить так, чтобы большая его часть была средним пропорциональным между всем отрезком и его меньшей частью. 4. Задача. 1). Около окружности описан многоугольник, все углы которого равны. Является ли данный  многоугольник правильным? 2). Высота, опущенная на гипотенузу треугольника делит его на два треугольника, площади которых  равны соответственно 6 см2 и 54 см2. Найдите гипотенузу. 3). В ромбе АВСD длины диагоналей АС=1, ВD= центром О. Чему равна длина отрезка ОD. 1 3 . Через точки А, В, С проведена окружность с  4). Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4. Периметр треугольника равен 24 см. Найти  радиус описанной окружности. Билет № 19. 3. Построить окружность по ее уравнению. 4. Задача. 1). Докажите, что градусная мера угла, вершина, которого лежит вне окружности, равна полуразности  градусных мер дуг, заключенных между его сторонами. 2). Даны точки А(5;­7), В(5;3), С(­7;7). Докажите, что медианы треугольника АВС, проведенные из  вершин А и В, взаимно перпендикулярны. 3). Острый угол в параллелограмме равен 30о. Из вершины опущены на две стороны высоты, сумма их  длин равна 15 см. Найти периметр параллелограмма. 4). Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найти сумму радиусов вписанной и описанной  окружностей. Билет № 20. 3. Построить прямую по ее уравнению в отрезках. 4. Задача. 1). Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.  2). В окружность вписан 11­угольник, одна из сторон которого равна радиусу окружности, а остальные  десять сторон равны между собой. Найти углы 11­угольника. 3). Основания трапеции равны a и b. Боковые стороны соединены отрезком, параллельным основаниям и  делящим трапецию на две равные по площади части. Найти длину этого отрезка. 4). Даны координаты трех вершин параллелограмма АВСD: А(2; 3), В(­1; 4) и С(1; 1). Найти координаты  четвертой вершины D. Билет № 21. 3. Построить параболу оптическим методом, если известно: уравнение директрисы и координаты  вершины параболы, или координаты вершины параболы и фокуса. 4. Задача. 1). Определите вид треугольника, если центр вписанной в него окружности совпадает с центром  описанной около него окружности.   2). Постройте трапецию по данным четырем ее сторонам а, b, с, d, где а и b ­ основания, с и d – боковые  стороны. При каком соотношении между длинами этих отрезков это возможно? 3). В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4 соответственно. Найти длины отрезков, на  которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла. 4). Радиус круга увеличен на 15%. На сколько процентов увеличится площадь круга? Билет № 22. 3. Построить вневписанную в треугольник окружность. 4. Задача. 1).  Докажите, что если три окружности имеют общую хорду, то их центры расположены на одной  прямой. 2). В ∆АВС биссектрисы внутренних углов В и С пересекаются в точке О и через нее проведена прямая  ОD||AC (D – точка пересечения с ВС) и прямая ОЕ||АВ (Е – точка пересечения с АС).  Доказать, что Р ∆ОЕD=ВС.  3). Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны которой содержат 16 см и 44 см, а  непараллельные – 17 см и 25 см. 4). Окружность вписана в трапецию АВСD, периметр которой равен Р. Определить среднюю линию  трапеции. Примечание: количество задач для решения определяет учитель соответственно дидактике билета, или по  выбору учащегося.