КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ для проведения текущего контроля успеваемости по дисциплине «Линейная алгебра»

Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, кандидат экономических наук ___________________   А.И. Васильев КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ  для проведения текущего контроля успеваемости по дисциплине «Линейная алгебра» Обсуждено на заседании кафедры Высшей математики  и естественнонаучных дисциплин «31» августа 2017 г. Протокол № 1 Составители: Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой  [email protected] Рейтер К.А. к.ф.н., доцент  [email protected] Москва 2017 Содержание Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач. 4 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач. 9 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач ..............................................................................................................................................16 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач ..............................................................................................................................................21 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач ..............................................................................................................................................25 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач ..............................................................................................................................................29 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач ..............................................................................................................................................33 3.Используя матрицы А и В, вычислить методом алгебраических дополнений и  методом Жордана­Гусса:...............................................................................................66 3.Найти ранг матрицы двумя способами: методом окаймляющих миноров и при  помощи элементарных преобразований........................................................................67 3.Найти ранг матрицы двумя способами: методом окаймляющих миноров и при  помощи элементарных преобразований........................................................................71 3.Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом. После  решения необходимо выполнить проверку...................................................................74 3.Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы В: ......................76 2.Решить систему уравнений методом Жордана­Гаусса. Если система является  неопределенной, то в ответ записать одно базисное решение и одно частное, не  являющееся базисным.....................................................................................................84 2.Решить систему уравнений методом Жордана­Гаусса. Если система является  неопределенной, то в ответ записать одно базисное решение и одно частное, не  являющееся базисным.....................................................................................................86 ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Тема 1. Алгебра матриц Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач 1. Что называется матрицей? Перечислите виды матриц. 2. Какую роль в линейной алгебре играют единичная и нулевая матрицы? 3. Какая матрица называется диагональной? 4. Дайте определение квадратной матрицы. 5. Какая   матрица   называется   транспонированной   по   отношению   к данной? 6. Для каких матриц определена операция сложения? 7. Перечислите основные свойства сложения матриц. 8. Какие матрицы называются коммутирующими между собой? 9. Для каких матриц определена операция умножения? Задания для проведения практикумов по решению задач. (n – последняя цифра номера студенческого билета) 1. Вычислить  3  A 4 B ,  AB     n=0 A       1 3 2 BA . 23 14 35      B B B B B B B B B       652 521 231            3 4 9 2 5  31 6 5                                                 4 5 1  2 1 06 7 3      321 454 123      52 3 1 43 342       134 562 401 254 163 375            1 5 6  3 7 82 0 2      63 2 3 12 514       n=1 A       1 3 2 5 10 9  5 0 7      n=2 A n=3 A n=4 A n=5 A n=6 A n=7 A n=8 A                                           85 96 74    4 5 3      432 543 654 632 164 275           54 10 23  2 3 6      341 252 163      52 30 13 28 37 51  2 6 5       4   1   0  n=9 A       21 43 65  1 3 5       B       012 345 678      2. Вычислить: n=0      1 3 6   21 41 51            2 5 0   82  15   46  ; n=1   32  05          1  3   4  5  ; n=2  ( 2 )      5 6  1  7  ;  n=3     31 72     8     43 . 18             n=4 n=5 n=6   32  ;05  1  3   4  5      2 5  401 031  ;    3 2 5  3 12  3       1  7   0  02  2 11 .      3 2 1             3 12 02  2    . 35 34 31      n=7 n=8         a 11 a a 21 31 a 12 a a 22 32 2 2 5           3      2 . x 1 x x       1  2   3  a 13 a a 33 23       1  2   1  . n=9              23 02 12        3. Пусть  A      23 57     и  B       14  92  . Вычислить: n=0 AB n=1 ABT n=2 B­A n=3 (AB)T n=4 A­B n=5 5A n=6 BA n=7 ATB n=8 BTAT n=9 2В­3A 4. Пусть  A     1 2 50 64      и  B        21 93 0 10      . Вычислить: n=0 AB n=1 BA n=2 ATBT n=3 (AB)T n=4 (BA)T n=5 5AB n=6 7BA n=7 AT +B n=8 BT +A n=9 2ВT­3A 5. Вычислить A2 + nA – 7E для  A       53 20 76  1 4 9      . Тема 2. Теория определителей Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач 1. Для каких матриц применимо понятие определителя? 2. Что понимается под определителем?  3. Сформулируйте   определение   определителя     второго   и   третьего порядков. 4. Проиллюстрируйте правило треугольников. 5. Что называется минором  данного элемента  определителя? 6. Что   называется   алгебраическим   дополнением   данного   элемента определителя? 7. Какая связь между минором и алгебраическим дополнением данного элемента определителя? 8. Сформулируйте основные свойства определителей и проверьте их для определителей второго порядка. 9. В чем заключается  выражение определителя непосредственно через его элементы? 10.Опишите основные методы вычисления определителей. 11.Дайте   определение   обратной   матрице.   Всякая   ли   матрица   имеет обратную? 12.Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы. 13.Что такое ранг матрицы? Каков смысл этого понятия? 14.Что называется базисным минором? 15.Изменится   ли   ранг   матрицы   при   перестановке   каких­либо   строк (столбцов)? 16.Изменится ли ранг матрицы при умножении каждого элемента строки (столбца) на одно и  тоже отличное от нуля число? 17.Чему равен ранг нулевой матрицы? 18.Чему равен ранг ступенчатой матрицы? Задания для проведения практикумов по решению задач. (n – последняя цифра номера студенческого билета) 1. Вычислить  определители матриц A и B. n=0 n=1 n=2 n=3 A         A          2 3 5 4 3 5 4 7 A          3 3 2 4 A         2 3 4 3           5 7 9 6 9 8 5 8 3 2 5 3 5 4 9 2  21 41 72 21       3 2 3 4 5 4 7 5    6 7 2 5       8 6 5 6           34 57 58 35        B B B B                                            3 2 5 3 4 3 7  3 4 1 5 6 2 5 2 3 1 2 1 2 1 5 1 3 3 2 3 1 7 9 2 8 3 5 3 8    2 2 4 3 4 5        1 3 1 4 3 2 1 2 3 2 2 3 1 4              3 7 3 2 3 5      1 2 3 2 4 3 1 2 5 2 12 9 2 2 7    1 6 1 2 1 4 2 5           3 2 15 5 2 3 7           5 8 14 3 12 5 2 5 21 5 4 5 1 7  1 3 0       1     0 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8  A        3 2 5 4 A         A          3 4 4 2 3 3 5 8 3 5 5 4      5 7 9 6 5 4 7 8  52 64 78 65          22 44 73 23         2 5 7 5   4 3 5 6       A        3 9 5 6 0 8 8 5    2 5 5 4   2 10 8 7       A        7367 2753 5345 4565                                                          1 3 1 2 3 2 1 2 5 3 3 2 4 3 7 4 3 5 3 3 2 7 7 5 3 4 3 3 2 3 2 4 3 5 3 7 B B B B B 2 3 0 1 2 1 8 3 9 2 5 3 8 5 3 8 3 9 2 8 8 8 3 5 2 9 2 9 2 5 3 8 3 8                 1 1 2 1 2 0 2 3 3 2 1 4 1 2 3 3 2 4 4 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 4                   4  3   1       0 5 2 7 3 3 2 3 5 2 3 7 3 3 5                   5 7 3 2 3 3                   3 2 3 7 3 5                 n=9 A         6 9 5 4  5 7 5 8 8 5 3 8  4 2 7 3        B             3 1 3 2 3 1 7    12 5 2 9 2 2 7 21 5 2 5 4 5 1 7            15 3 2 5 2 3 7 2. Вычислить  (  BA  1) . n=0 A n=1 A n=2 A n=3 A n=4 A n=5 A n=6 A             1 3 2 1 3 2    23 14 35      5 10 9  5 0 7                                    85 96 74    4 5 3      432 543 654 632 164 275           54 10 23  2 3 6      341 252 163      B B B B B B B       652 521 231            3 4 9 2 5  31 6 5                                     4 5 1  2 1 06 7 3      321 454 123      52 3 1 43 342       134 562 401 254 163 375           n=7 A n=8 A n=9 A                   52 30 13 28 37 51 21 43 65  2 6 5       4   1   0   1 3 5       B B B                    1 5 6  3 7 82 0 2      63 2 3 12 514       012 345 678      3.Вычислить ранг матрицы. n=0 n=1 n=2 n=3   342 21 0 972       5    1  2   1   3  5    10   1   2  4    1 2 1 4 9 5 3 6 21          5 4 2 1 4 5 1 0  43  3 2  1  5 4 0 0 12 1 3 2 2 5   4    1  2    9 3 1 2 11  3   0   1   0    2 1 5 10 13        n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9                                               2 4 6 1 3 6 9 18 4 8 12 24  3 2 5 4 02 2 0  41  101 31 2 3 72  611  1 5  1 1 8 2  1 3 9 3 25 2  3 24  1 5 3 0 10 4 6 16 2 3 7 13 15 6  9 12 4  1 7 19        51 12 13 26          1 0  21 1 3 1 0 0 5   2 2 2 4  1 4 7 1   3 3 3 6        4 0 1 10 5  1 1 2 3 3  5 8 0 3 3 0 4 14 7                  1 0 2 5          4.Найти выражение определителя при x = n, y = z = 1 0 x y z x 0 z y y z 0 x z y x 0 Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач 1. Что понимается под системой линейных алгебраических уравнений? 2. Запишите в общем виде СЛАУ. Каков смысл величин, входящих в уравнения системы?   3. Дайте   определение   решения   системы,   определения   совместной, несовместной системы.  При каких условиях СЛАУ имеет единственное решение? 4.  К какой СЛАУ применим метод обратной матрицы? 5. 6.  К какой СЛАУ применимо правило Крамера? 7. Сформулируйте теорему Кронекера­Капелли. 8. Сформулируйте алгоритм решения произвольной системы линейных 9. уравнений.   Какая   система   линейных   алгебраических   уравнений   называется однородной? 10.При каких условиях система однородных уравнений имеет ненулевое решение? 11.Исследование   и   решение   систем   линейных   уравнений   методом Жордана­Гаусса. 12.Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальные системы решений. Задания для проведения практикумов по решению задач. (n – последняя цифра номера студенческого билета) 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера. n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8                                              8 9 6    7  x 1 9 x 1  7 3  x x 1  13 x 1  8 4 x x 1  x x 2 9 1 x 7 1  9  6 x 1 x 1  x x 4 x   2 2 75 2 6 2 3  3  12  x 2 4 x  8 x 3  x 3  32 x 2  x 12 3 2   x 5 5 3 2  x 3 x 3 61   48 99 2 6 2     2 4 2 x 1 x 1 x 1    5 3 3 x x x 2 2 2  x 8 x 1 2  2 3 x x 1  x x 6 8 1 2 2  5  3 x 2 x 11 2  3 x 2  2 x 1  x 1 4 x 1  6 x 2  5 x  x 3 6 x 1 2 x 1 x 4 1 2 2 8 9 5 x 3 x 3 x 3  8  9  7 x 7 3  5 x 3 x 17 3  12  7  17    5 x 3 16 x 3 x 9 3  7  21  9 14  8  9 x 3 x 3 x 3  16  8  9 x 1 7 x 1  x 1  3  7 x 2 4 x 2  x 2  9  3 x 3 2 x 3  111  x 52 3  47 2 5 2 3 x 1 x 1 x 1    7 x x 6 x 5 2 2 2     11 x 3  x 3 11 3  x 4 11 3 n=9      2 x 3 1 5 x 1 x 1    x 2 x 2 2 2 x 2  3 x 3  x 5 3  3 x 3    11 20 4 2. Решить систему линейных уравнений из задания 1 с помощью обратной  матрицы. 3. Решить систему линейных уравнений из задания 1 методом Жордана­ Гаусса. 4. Решить однородные системы уравнений. В ответе записать  фундаментальную систему решений. n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5                                     x 5 x 1 2  5 18 x x 1  x 2 7 x 1  x x 3 1   9 x 8 x 0 3 4    4 5 x x 0 2 3 4    x 4 x 3 0 3 2 4    x 5 2 x 0 3 4 2 2 x 1 x 8 1 4 x 1 x 2 1 9 x 1 x 2 1 x 3 1 2 2 4 x 1 x 1 x 1 9 3 6 x 1 x 1 x 1 9 3 6 x 1 x 1 x 1           3 x 7 0 x 9 x 2 4 3    12 9 8 x 0 x x 3 2 4    x 6 2 x 0 x 3 4 2 3   x 3 x 0 x 3 2 4 4 x 2 x 7 2 x 5 2    x 3 3 x 3 x 2 3   7 0  0   0 x x 2 4 4 x 4       3 3 6 x 2 x 2 x 2     11 x 3  x 5 3  2 x 3 x 15 x 7 4 3 x 4  0 4  0  0 12 x x 4 x 8  3 2  x 2 3  2 x 3 2  10 x 3  x 2  5 4 x 4  x 0 4  0  0    6 2 4 x 2 x 2 x 2    3 x 3 x 6 3 4 x 3    2 4 3 x 4 x 4 x 4  0  0  0 19 2 6 4 x 1 x 1 x 1 9 3 6 x 1 x 1 x 1       7 9 3 2 2 n=6 n=7 n=8 n=9                           x 2 3 x 2 2 x 2  3 x 3  3 x 3  14 x 3  0 7 x 4   4 x 0 4   31 x 0 4 x 3 x 2 2 x  0  0  0  5 2  3 x 3  3 x 3    6 x x 3 4  x 14 4  4 x 2 4   6 x x 0 3 4   5 x 4 x 0 3 4    2 2 x x 0 3 4    12 5 x x 0 3 4    x x 3 4 0 4 3   0 3 x x 2 5 4    9 x 0 3 x 5 4    x 0 x 3 4 5    2 3 x x 0 5 4  x 3 3  8 x 3  4 x 3  x 5 3 x x 2 3 2 2 2 x 2 x 2 x 2  2 2 x x 2 x 3 2 2 2      x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x    x 1 2 x 1 2 x 1 x 3 1 20 Тема 4. Векторные пространства. Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач 1. Что понимается под векторным пространством? 2. Дайте   определение   линейной   зависимости   и   независимости векторов.  3. Что такое базис n­мерного векторного пространства? 4. Как осуществляется переход к новому базису?  5. Запишите   в   общем   виде   преобразование   координат   вектора   при изменении базиса.  6. Что понимается под Евклидовым пространством?  7. Что такое ортогональные преобразования? Задания для проведения практикумов по решению задач. (n – последняя цифра номера студенческого билета) 1. Установить линейную зависимость следующих векторов:      1 2 3   ;          4 5 6   ;         23  10  3           2 3 5   ;          14 29 22            5 4 4   ;            10 6 3           9 0 0   ;    9 5 4   ;             3  14   21  3 50 41           5 7 2   ;      5  4 50            2 25 29       0 0 1   ;    2 3  1   ;    5 4 3 2 5 2 4 2 1 0 2 1   ;      ;      ;      ;         4 7 0   ;    0 2 1   ;    7 8 9   ;     5 6 7 3 4 8   ;      ;                                  n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8                                               3 2 1   ;         4 5 6   ;           7   1 ;   0       2 3 14 5 6 10   ;      ;              17 8 2    3 3 2   ;      ;              14 1 0   ;         33 42 18      1 1 14   ;       9  48   66       n=9       5  9 ;   11       11  3 2   ;          0   1 ;   0       65 7 32      2. В базисе  e 1       1 0 0      e, 2       0 1 0      e, 3       0 0 1       заданы векторы, указанные в  таблице. Установить, составляют ли они базис. Если составляют, то  найти связь между новым и старым базисами, а так же найти  координаты вектора   в новом базисе.   4 2 ,  5 , p n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6                                    3 4 5   ;    9 3 0   ;    3 9 5   ;    2 2 0 2 7 5 1 4 5 9 8 2   ;      ;      ;      ;              2 0 1   ;    7 4 3   ;         4 7  3   ;     1 3 5    ;    3 0 8   ;    9 9 8   ;                                  1 3 2 0 7 8           2 0 10           5 14 9                      5  3  2 2 0 1            2   1 ;   1       0 5 9       23            n=7 n=8 n=9                0 6 7   ;     6 10 3   ;    7  5 0   ;    2 7 0   ;      3  0   5       2 5  1   ;         15  4 7            4 0  3   ;         0  8 4      3. Установить линейную зависимость следующих векторов: g 1          1 1 1 1 2         ;   g 2          1 1 1 2 3         ;   g 3          1 1 2 3 4         ; g 4          1 2 3 4 5         .   4. В естественном базисе заданы векторы  составляют ли они базис. Если составляют, то найти связь между новым и  старым базисами, а так же в новом базисе найти координаты вектора  x : . Установить,  3 p,p,p 1 2 p 1        1  1   1  ;   p 2       1 2 1      ;   p 3       3 2 1      ;   x       0 2 2      . 24 Тема 5. Линейные операторы. Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач 1. Что такое линейный оператор?  2. Перечислите действия с линейными операторами.  3. Как изменяется линейный оператор при переходе к новому базису?  4. Что   такое   характеристический   многочлен   и   характеристическое уравнение?  5. Что такое собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)? Задания для проведения практикумов по решению задач. (n – последняя цифра номера студенческого билета) 1. Найти собственные значения и собственные вектора матриц: n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8                                              321 654 123      0 01 044 2 21       25 37 49 43 87 77                  4 5 6 1 4 6  131  122   113  031 020 364      4 8 2  86 46 22       7 10 12 5 6 7    12 19 24 6 10 13       7 10  69  58      n=9      2 01 321 444      2. Найти собственные значения и собственные векторы матриц.    )a    211 220 100 000 3 4 2 2       ;     )б    3 1 3 4  01 0 1 0 5  31 0 0 3 1         ; n=0 n=1 n=2 n=3    )в       )г    n=4 ; .             0001 0000 0001 1000 0001 0000 0000 1001   4321   3210     2100   1000   27       1111 3412 2222 4444   012 1   10 12    100 2  1 000               1311  3412   0521  45 13  21 03 52 21             6 0 1  21 3 1 1 3       n=5 n=6 n=7        n=8 n=9       3 1 3 4  01 0 1 0 5  31 0 0  3  1       28 Тема 6. Квадратичные формы. Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач Что такое квадратичные формы? Как квадратичная форма приводится к каноническому виду?  Что такое положительно определенные квадратичные формы? Объясните смысл критерия Сильвестра. 29