КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ для проведения текущего контроля успеваемости по дисциплине «Математический анализ»

Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, кандидат экономических наук ___________________   А.И. Васильев КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ для проведения текущего контроля успеваемости по дисциплине «Математический анализ» Обсуждено на заседании кафедры Высшей математики  и естественнонаучных дисциплин «31» августа 2017 г. Протокол № 1 Составители: Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой  [email protected] Рейтер К.А. к.ф.н., доцент  [email protected] Москва 2017 Содержание Содержание...........................................................................................................................2 Тема 2. Теория пределов.......................................................................................................7 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач...7 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач. 11 11.Из каких двух частей состоит полное приращение функции?.................................11 12.Чем является для функции ее линейная часть относительно приращения  независимой переменной?...................................................................................................11 13.Сравните неглавную часть с главной частью. Ваши выводы...................................11 14.Может ли функция иметь дифференциал в точке, если она не имеет  производной в этой точке?................................................................................................11 15.Каков геометрический смысл дифференциала функции?........................................11 16.В чем состоит инвариантность формы первого дифференциала?........................11 17.При каких условиях, налагаемых на функцию , имеет место теорема Ролля?.......11 18.При каких условиях, налагаемых на функцию , имеют место теоремы Лагранжа и  Коши?.................................................................................................................................11 19.Можно ли из полученных формул, являющихся результатами теорем Лагранжа и  Коши, сформулировать основные требования, налагаемые на функцию ? Если да, то  обоснуйте утверждение....................................................................................................11 20.Сформулируйте условия, налагаемые на функции в теореме Лопиталя. При каких условиях можно переходить к пределу отношений вторых производных числителя и  знаменателя дроби?...........................................................................................................11 21.Каковы условия применения правил Лопиталя?.......................................................11 22.Сформулируйте необходимые и достаточные условия монотонного возрастания  (убывания) функции на интервале (а; b).........................................................................12 20. Найти по правилу Лопиталя следующие пределы:...................................................14 1) ; 2) ; 3) ;..........................................................................................................................14 4) ; 5) ; 6) ;..........................................................................................................................14 7) ; 8) ; 9) ;..........................................................................................................................14 10) ; 11) ; 12) .....................................................................................................................14 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач. 17 Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач. 23 3.Определить интервал убывания и возрастания функции:..........................................66 2 3 ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 1­й семестр Тема 1. Введение в математический анализ Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму  по решению задач 1. Что называется частным значением функции? 2. Какие функции называются алгебраическими, а какие ­  трансцендентными? 3. Какие функции называются рациональными, а какие ­  иррациональными? 4. Какие функции называются целой рациональной функцией,  правильной рациональной дробью и неправильной рациональной  дробью? 5. Какие функции называются обратными? 6. Какая функция называется заданной явно, а какая ­ неявно? 7. Что называется областью определения и областью изменения  функции? 8. Какая функция называется четной, нечетной и общего вида?  Каков их геометрический смысл? 9. Какая функция называется периодической? Что называется  периодом функции?  10.Каков геометрический смысл периодической функций? 4 Задания для проведения практикумов по решению задач . )  у х x 2  4ln( 1.Найти область определения функции:  2.Выяснить четность (нечетность) функций: у = х2 lnx. 3.Найти область значений функции: y = 6sinx – 8cosx. y   частным значением функции  x 2 y 4. Является ли  «да», то при каком значении   x  она принимает это значение. x  x 5. Является ли   6. Найдите частное значение функции, заданной графически при х = 3.  частным значение функции   ? Если  1  при  y  10 lg 5  y 10 ? У 2 1 y f(x) 0 1 2 3 Х 7. Какие из приведенных функций алгебраические, а какие  трансцендентные?  1) y 3x  2   , 5x 2  2) y   x 1  2 x 3   . x x 2 , 3) y  log x a ,    , arcsin 2x 1 4) y 8. Какие из приведенных функций рациональные, а какие иррациональные? 5) y 1) y 3x  4  5x 3  , 2           2) y  3)  y   , x 1 4)  y  ,   2 x 3  2 x 3  x 2  x 1 . 9. Какие из приведенных функций являются целой рациональной  функцией, правильной рациональной дробью и неправильной рациональной дробью? 5 x x  2x 5   3x 7        2x 3 3x 5x 2) y 3) y 1) y 4x            x 2 2 3 10. Укажите, какие функции обратные, а какие нет? 1)  2)  3)  y y y 4)  y 2 x  sin a x x 3   . ;           y x  x arcsin y ;         loga x y ;            x 1 3  ;    1 y . . x . 2)  y y x  3 sin x e xy ;  y sin 11. Укажите, какие функции заданы явно, а какие неявно? 1)  ; x x  e 3)  12. Найдите область определения следующих функций:  .  5 5x  x 1 ;    3)  y  2 x  3x 1   8x 15 ,   4)  y  5x 10  ; 1)  y 5)  y  ;       2)  x 23 5  2x 1  3x 6   ;       6)   ;   9)   y  y  x  y  lg 6x 12  8)  13. Исследовать на четность и нечетность следующие функции: y lg 3x 5x 10 ,  10)  3x 2     2 2 2  6x 5  ,           7)   3x 10  2 y  x  y lg x   ;  . 1)  y   4)  y  2 2x cos x sin 3x  ;           2)  x sin x x   x  ;    8)  y x cos x x ;    5)   x 2 3 y   2x 1 ;           3)   3 2 x x  2 x y log  2 x ;        9)  ;       6)  x tgx  3 y  y  7)  14. Найти наименьший период функций: 1)  y cos 4x ;           2)  y sin(5x 3)      ;           3)  y  tg x 2 ; y ln   1 x  1 x ; y  3 5 5x  3 x  sin 5x ; 4 x  . 1` ;         5)  y sin 2x cos3x   ; 4)  y cos 5x  2 Тема 2. Теория пределов  Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач 1. Что называется последовательностью? 2. Какая последовательность называется возрастающей (убывающей)? 3. Какая   последовательность   называется   ограниченной?   Приведите примеры. 4. Что называется пределом последовательности? 5. Сколько пределов может иметь последовательность? 6. Сформулируйте   необходимое   условие   существования   предела последовательности. 7. Какая   последовательность   называется   бесконечно   большой? Приведите примеры. 8. Какая   последовательность   называется   бесконечно   малой? Приведите примеры. 9. Сформулируйте основные теоремы о пределах. 10. Назовите основные виды неопределенностей. 11. Напишите формулу первого замечательного предела и прочитайте ее. 12. Напишите формулы второго замечательного предела. 13. На   чем   основывается   сравнение   бесконечно   малых величин? 14. Приведите примеры бесконечно малых функций. Задания для проведения практикумов по решению задач 2 1. Напишите первые пять членов последовательностей,  n ­ые члены которых выражаются формулами: 1)  2. По заданным первым членам последовательности подберите одну из  формул для  n ­го члена:  1 n 2)  3  1 n 4) 1 ( 1)n  ( 1)  2 n n  n   3)   1 4 a b ; ; ; . 2 2 n 1)  1 2 , 2 2 2 , 3 3 2 , 4 4 2 ,... 2) 1,­2, 3,­4,… 3)  2 2    1 3    ,    2 5    ,    3 7    2 ,... 1)  lim  n 3. Доказать, что  n 1   2 n 1 2   2 n 8 5  4 n 2 lim  n 4)  2 ;        2)  2 ;       5)    n 3 2 lim  1 n n 4  lim n n  3 2 ;     3)  0 ;        6)  n lim  2 n n 3 3 n lim 3 n n  0 ; 1   7  1 3 . 2 2 5    1) lim  4. Найти пределы (раскрыть неопределённости):  2 3 x  x 10  x 2  27  2  3  2 x   2 2 x ;        3) lim  ;   2) lim  ;   6) lim  3 ;   5) lim  2    3) lim  1 x 2 2 x 3 x 2 x 3 2 x x x x x x 5 3 6 3 x ,              ; 5. Вычислите пределы:   3 x  2 5 x   5 x  2 x 1  1  1 .    7) lim 31  x x x 1)  lim  x 4)  lim  x ; 2 x  x 5  4 3 x  x 7 3 x 2 3 x 7)  lim  x ( 10)  lim  x  x 2 x  2  2  1)( x 2)  lim  x  5 4 x ; 5)  lim  x 5 x  3 2 x 10 ; 8)  lim  x 3 x 3 2 x   2   2 x x 1 4 ;       3)  lim  x  x 2 x  3 x 4 5 ; lim  x ;        9)  lim  x 3 x  2 x x  x  ; 2 ;  x 1 2  x 7  3  2 1 x  11 1 3 x  5 2  5)   x 8 4)( x 3 ;   6)    7  3 x  ;  13)   x 2)( 3)( x  5 9 x 10   x 8 x   2 x 3 2   x 5 2   8 x 4   4 2   9 3 ;     16)  ;         19)  5 2 x 10 5 x 5 x 2 5 x x 3 2 x 2 12)  lim  x 15)  lim  2 x 18)  lim  x 0 ;             11)  lim  x lim  1 x 7 3 x 5 7 x x 2 7 x 2 2 lim  x 2  1  4  7  4 8  11 x  2 3 x  x 5  3 x  3  2 x x ;    14)  ;     17)  ;        20)  ; ; lim  x lim  3 x lim  3 x 3 7   2 x 8 x 10 x   2 7 7 x 1 x 11   2 x 15 8 x   x x 2 8 42   2 1 x   2 x 3 3 ;  2  lim  x 2 x  5 x  x  ;         x ; 22)   lim 9  x 2 x  7 x  3 x  .  2 2 x x 2 5  lim 4  x  21)  6.Найти пределы:    x 2 7 a)   10 x 2   x 5 2   1 7 x   2 5 x x x 3 2 x 6 2 x 3 x 6 lim( 4  x lim  x lim  1 x b) c) 2 2 ) x d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) 3 lim  x 0 sin x 3 x sin( lim 3 x 3 x sin x  1 cos 2 x  x lim  x 0 lim  x 0 3 3  3) 27 x 3 x x x sin arc 3 x sin 5 2 x arctg x 4 arc x x 2 3 sin x sin 2 lim  x 0 lim  x 0 lim  x 0 lim  x 0 lim  x 0 x 2  2 tg x 3 x 25 ) n n 32 ) x x lim(1  n  lim(1  x  0 3  x lim(1 2 ) x  x  x 3 2  10 2 x lim(  x 3 x ) . Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной  переменной Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач y  ( x y 0 ; 0 ) ( ) f x  и напишите уравнение касательной. 1. Дайте определение производной функции в точке. 2. Найдите по четырехступенчатому правилу производную функции у(х) = х2. 3. На   основании   основных   правил   взятия   производных   найдите производную функции у(х) = 5х2 – 3х + 4. 4. Непрерывность функции является необходимым или достаточным условием? 5. Для существования производной  в точке каковы ее достаточные условия? 6. Перечислите   наименования   точек   разрыва   производной непрерывной функции. 7. Каков геометрический смысл производной? 8. Каков механический смысл первой производной? 9. Приведите   пример   применения   понятия   производной   функции   в экономике. 10. Дайте   определение   касательной   к   графику   функции   точке  11. Из каких двух частей состоит полное приращение функции? 12. Чем   является   для   функции   ее   линейная   часть   относительно приращения независимой переменной? 13. Сравните   неглавную   часть   с   главной   частью. выводы. 14. Может ли функция иметь дифференциал в точке, если она не имеет производной в этой точке? 15. Каков геометрический смысл дифференциала функции? 16. В   чем   состоит   инвариантность   формы   первого дифференциала? 17. При   каких   условиях,   налагаемых   на   функцию   место теорема Ролля? 18. При   каких   условиях,   налагаемых   на   функцию   место теоремы Лагранжа и Коши? 19. Можно   ли   из   полученных   формул,   являющихся   результатами теорем   Лагранжа   и   Коши,   сформулировать   основные   требования, налагаемые на функцию  ? Если да, то обоснуйте утверждение. 20. Сформулируйте   условия,   налагаемые   на   функции   в   теореме Лопиталя. При каких условиях можно переходить к пределу отношений вторых производных числителя и знаменателя дроби? 21. Каковы условия применения правил Лопиталя? ,   имеют ,   имеет   Ваши  f x   f x   f x  y  y  y  в 22. Сформулируйте необходимые и достаточные условия монотонного возрастания (убывания) функции на интервале (а; b). 23. Сформулируйте определение экстремума функции. 24. Сформулируйте   необходимые   условия   экстремума функции. 25. Сформулируйте   достаточные   условия   экстремума   функции   по первой производной; по второй производной 26. Какие точки называются точками разрыва функции? 27. Какие   прямые   называются   асимптотами   графика функции? 28. Какая точка называется точкой перегиба функции? 29. Каковы необходимые и достаточные условия, чтобы функция у = f (х) в точке х = х0 имела точку перегиба? 30. Каковы   необходимые   и   достаточные   условия   монотонного возрастания и монотонного убывания функции? 31. Каковы условия, накладываемые на функцию  f  (х), при которых график функции у = f (х) был бы выпуклым (вогнутым) на интервале (а; b)? 32. Что понимается под асимптотой графика функции?