КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ для проведения текущего контроля успеваемости по дисциплине «Линейная алгебра»

Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, кандидат экономических наук ___________________   А.И. Васильев КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ для проведения текущего контроля успеваемости  по дисциплине «Линейная алгебра» Обсуждено на заседании кафедры Высшей математики  и естественнонаучных дисциплин «31» августа 2017 г. Протокол № 1 Составители: Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой  [email protected] Рейтер К.А. к.ф.н., доцент  [email protected] Москва 2017 Содержание Тесты Тема 1. Алгебра матриц 1. Найдите сумму матриц      1 2 3  1 1 2 0 1 2         1 1 0      1 0  1  1 1 2      1)      00 13 13   1  2   0  ; 2)       21 10 20   1  1   3   ;   3)       022 012 110      ;  4)  217  26  24           4 3 ; 5) 23 02 12         1  2   1  2. Найти сумму матриц 23 02 12 01  2 01  +   3 32  3                   1  2   1  ;   2)   6 34  5      1 1    1   1   1  ;   3)  16 034  05 1     1       ;4)   6 24  5      1 1    1  0   1  ;      1)  5)   6 34  5  6 34  5 1 1 1 2               1  0   1   1  0    1  3.  Найти сумму матриц 1 2 35 2 2 34 3 4 31 2 2 5 3 2 1        +                 ;   2)  0 01 10      1)  22  2 0       022  012    101  ;   5)            022 012 300 4)               022  012   100  ;   3)       022 012 110      ;      . 4 Найти сумму матриц  2 3 2 12  3 4 02  2 11 34 24 31    +                 217  36  24      217  36  04 4. 4)  5.      4 3      1)  ;   2)      4 3      2 3 ;   5)       217  36  4      217  36  24 3 Найти разность матриц 35 34 31 23 02 12 2 2 5  1  2   1                        4  2   ­       ;   3)  217  26  24           4 3 ; 5 4)  6.  1)   1 0             ;   2)   ;      5)  12 32  1 1 12 32 0  421           12 1 12  32 0 2 3   621 621 Найти разность матриц  3 12  3 02  2 11 34 24 31 2 2 4                        ­             5 1           1 2  1 0 62 ;   3)   12 32 621       1  0              1 2 1)    2        4 2 0  5      ;  2)    2 1 2 5 1   3   2 0 5      ;  3)         1 2 2    5 1 4  2 0 5      ;   5 1 4)  1 2   2         4  2 0 5      ;    5)         0 5 1   4   2 0 5      . 6 7.  Найти разность матриц  3 12  3 02  2 11 23 02 12   ­       14 4 22            0 10  1      1)  4)             1  2   1   0 10  1           ; 3)   0 10  1      14  4 22      ; 14  4  2 2      14  4 22      . ;     2)  0 0 1    14  1 22 4      ;  5)   0 10  1 8. Найти произведение действительного числа на матрицу  1 3 6 12  3       9 0 27  6 12 36      7      1)  ;   2)  ;   3)  2      ; 2 4  2      2  4  4 12 2 4        4 12 3  1 91  3 0 01  3 2 4 0 91       3 0 91 Найти произведение действительного числа на матрицу       3 0 91  2  4 12      2 4        4 12 12 2      2 4       ;   5)  . 4)  9.  32 20 623 2 1 2        1)  2 4        0 46      64 4  12      ;   2)  2 4        0 46 64  12 4      ;   3)  2 4        0 46 64 4 12      ; 8 4)  10. .            2 4            ;      5)   0 46 64 4 12 2 1  64 3 12  0 46 Найти произведение действительного числа на матрицу  1  2      0 4  3 1        4 10    1 1 4 1 4  1 4 12 2 0 1)     12 0 1 4)       2  0   1 1  1  1  4 12  4 12    ;   3)  2 1    1  1  4 12    ;    . ;   2)     ;    5)  2 0    11. Две матрицы можно сложить, если они: 1. имеют одинаковый размер 2. имеют разные размеры 3. диагональные одинакового размера 4. треугольные одинакового размера 12. Две матрицы можно умножить, если: 1. обе имеют одинаковый размер 2. обе квадратные одного размера 3. количество столбцов в первой равно количеству строк во  9 второй 4. обе треугольные 5. обе имеют обратную матрицу 13. С какими матрицами можно производить операции: Умножение на число Прямоугольные Квадратные Единичные Треугольные Транспонирование Прямоугольные Квадратные Единичные Треугольные 14. Какими свойствами обладают матричные операции Сложение Коммутативность Ассоциативность Дистрибутивность Умножение Коммутативность  Ассоциативность Дистрибутивность 15. Определите последовательность фраз в определении треугольной  матрицы. Треугольной называется: a) расположенные выше главной диагонали, b) равны нулю c) матрица, d) все элементы, e) квадратная f) в которой Ответ: e), c), f), d), a), b) 16. Определите последовательность фраз в определении единичной  матрицы. Единичной называется: a) в которой b) расположенные вне главной диагонали, c) все элементы, d) равны нулю e) матрица, f) квадратная Ответ: f), e), a), c), b), d) 17. Какая матрица играет в теории матриц такую же роль, как «1» в  теории чисел? Ответ: Единичная 18. Какая матрица играет в теории матриц такую же роль, как «0» в  теории чисел? Ответ: Нулевая 19. Вычитать можно только матрицы …  Ответ: одинакового размера. 20. Если результат перемножения двух матриц не зависит от порядка  сомножителей, такие матрицы называются … Ответ: коммутирующими. 10 1. 2. 3. 4. Тема 2. Теория определителей Вычислить определитель   3 3   2 1 1) 0;     2) ­1;     3) 1;     4) 9;     5) ­11. Вычислить определитель  5 3   2 1 1) 0;     2) ­1;     3) 1;     4) 11;     5) ­11. Вычислить определитель  - 2 5 2 6 1) 34;     2) 26;     3) 14;     4) ­34;     5) ­12. Вычислить минор элемента  x  определителя  x 43 5 2123 1111 0224 1) 0;     2) ­2;     3) 2;     4) 4;     5) 6. 5. Вычислить алгебраическое дополнение элемента  y   определителя   151 2 y 1 154 1) 0;     2) 1;     3)­1;     4) 2;     5) ­5. 6. 7. Найти ранг матрицы 111 222 444           1) 0;     2) 1;     3) 2;     4) 3;     5) 4. Найти ранг матрицы  1111  3412   2222  4444        1) 0;     2) 1;     3) 2;     4) 3;     5) 4. Найти обратную матрицу для матрицы 8. А=  21 43       1)  1A  =       3 2 12 1 2      ; 2)  1A  =       5 2 12 1 2      ; 12 3)  1A  =       3 2 22 1 2      ; 4)  1A  =       3 2 12 3 2      ;   5)  1A  =       3 2 42 1 2      . 9. Найти обратную матрицу для матрицы А=   54 221  75      5 2      1)  1A  =  1 3 3)  1A  =  1 3 5)  1A  =  1 3  18 12  3  18 10  3  18 12  3                 25 15 3  25 17 3  25 17 3       20 13 3 20 13 3 10 13 3                ;   2)  1A  =  1 3 ;   4)  1A  =  1 3  18 12  3  18 12  3            25 13 3  25 17 3     . 13 20 13 3 20 13 3           ; ; 10. Найти обратную матрицу для матрицы А=        112  120   213  1)  1A = 2 1  1 3  2           1 3 1 3 1 3           2 3 4 3 ;   2)  1A = 1 1 2          1 3  1 3  2 3          ;   3)  1A = 1 1 1 3  1 3  2           1 3  2 3 4 3           1 3 ;   1 3 1 3 1 3 4 3  1 3          . 1           1  1 3 1 1 3          1 3 2 3 4 3          1  4)  ;   5)  1A = 1 3 1A = 2 3 4 3 11. Определитель матрицы равен нулю, если:  2  2 1 3  1 3 a) матрица имеет одинаковые параллельные ряды b) два элемента матрицы раны нулю c) не менее трёх элементов матрицы равны нулю d) матрица имеет ряд из одних нулей e) если какой­нибудь ряд матрицы является линейной  комбинацией параллельных ему рядов 12. Определитель третьего порядка можно вычислить, a) вычтя друг из друга произведения элементов главной и  побочной диагоналей 14 b) по правилу треугольников c) вычислив сумму произведений элементов любого ряда на  их алгебраические дополнения d) перемножив все элементы определителя 13. Для каких матриц применимы понятия определителя и обратной  матрицы? a) Квадратные b) Матрица­столбец c) Вырожденные d) Матрица­строка e) Треугольные f) Прямоугольные Ответ: Определитель: a), c), e); Обратная матрица: a), e) 14. Какие операции не изменяют определитель и обратную матрицу? a) транспонирование b) элементарные преобразования c) сложение элементов какого­либо ряда с соответствующими  элементами другого параллельного ряда  d) сложение элементов какого­либо ряда с соответствующими  элементами другого параллельного ряда, умноженных на  одно и то же число Ответ: определитель: a), c), d); обратная матрица: никакие. 15. Определите последовательность шагов вычисления обратной  матрицы: 1. Деление полученной матрицы на детерминант исходной 2. Вычисление алгебраических дополнений 3. Вычисление детерминанта исходной матрицы 4. Составление матрицы алгебраических дополнений 5. Транспонирование матрицы алгебраических дополнений Ответ: 3, 2, 4, 5, 1 16. Из приведённых слов создайте определение ранга матрицы:  a) матрицы  b) наивысший  c) от нуля  d) порядок e) отличных f) миноров  Ответ: b), d), e), c), f), a) 17. Для каких матриц существует понятие ранга матрицы? Ответ: для любых. 18. Какая теорема связывает ранг матрицы и совместность СЛАУ?  Ответ: Теорема Кронекера ­ Капелли. 15 19. Ранг матрицы не меняется при … Ответ: элементарных преобразованиях. 20. При перестановке местами двух параллельных рядов матрицы её  определитель… Ответ: изменит знак. 16 Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 1. Решить систему уравнений 3 2 x 1 x 1    1)  1 x =- x 1  5 x 2  7 x 2 x= 6; 1; x 2    13  81 =  2)  1 1; x =- 3; 2 = 16;       5)  1 x =  3)  1 x . 1 7; =- 2 x 2 6; x= x= 1; 2 =- 2;     4) 2. 3. 4. 2      x x x 1 x 1 Решить систему уравнений  3  3  1)  1 x  6  18 =  2)  1 x x 2 = 3; =-  4  4 =- 2; x= x= 4)  1 x 5)  1 x x= 0; 6; 2; 6; 1 . 2 2 2 2 =  3)  1 x 6; x= 0; 2 =- 1,5;      2 Решить систему уравнений  2  x  1  5 x   5 x x 1   16 3 x 3  10 x 3 2   x   1)  1  x ,1 1 = x 3, 1 = 1, x 2 x 2 = x 2  ,3 = x 0, 3 2, = = ; 2)  1 0 x x x 3, 2 3 x  ;               4)  1 5 x 3 = . 5 = 1, = 1, = ; 3) 0 = x 0, 3 x 3 x 2 = ;       5) 5 Решить систему уравнений  x 1  2 x  1  x 5  1  x 6 2 3   x 7 16 3  16 x  x 2  3  2  x x 3 2 2 1)  1 x = 3, = 1, x 2 =- x 3 1 x ; 2)  1 = 3, = 3, x 2 = ; 3)  1 0 x = 10, x 3 = 2, x 2 = ;  1 x 3 5. 6. 7. 8. x 2 3 3 2 2 x 2 x 3 1, 3, 3 x 3 2, 4, x 3 x 3 x 2 x 2 x 3 x x 2 x = 12, 1, 1, x 2 2 x x = 2, = 1, 2 x 4 = ;       5)  1 2 x  x 1  x  = ; 2)  1 1 x =- 1  2  2  2 =- =- 1,      x 1)  1 x 4)  1  3 3  4  3 =- =- 2 . x 3 =-   3 x 7  x 1  x 6 3 = = x 4)  1 Решить систему уравнений  2 x x 1  x 2 3 1  x 3 2 1 = x 2 = ;       5)  1 x Решить систему уравнений  2  x  1  4 x  1 = x 1)  1 = 3)  1 x = 3, x 1 Решить систему уравнений   12 x 3 3    4 x 6 x  1    x 2 3 5 x  2 1 = =- = ; 2)  1 = x x 0, 6 x 2 3 = = ;       5)  1 = = 3, 10 1, x Решить систему уравнений  x 1  3  2 =    x 3 3   11 x  3    2 x  = 1, x 1)  1 ;               4)  1 x  x x 1 2  2 x  x 7 =- x 3 = 1, x 2 = x 1 ; 2)  1 =- = 3, x 3 x 1)  1 x 4)  1 2 x 1 x 1 x 2 =- 3, x 3 x x x 3, 3, x 3 x 2 x 2 0, x 2 1, 3, 2 2 2 3 3 4 18 2 3 = 13, x 2 = 0, = . 1 x 3 = ; 3)  1 2 x x 3 =- = . 2, 1 x 3 1, x 2 = 2, = 6, x 2 =- x 3 1 ;     =- = 3, = 1, x 2 x ; 2)  1 x ;               4)  1 =- 1, = 1 1 x 3 = ;  0 = 1, 3, x 2 =- x 3 1 ;       5) = x 2 x 7, 3 =- = ; 3)  1 5 x = . 2 x 1, 3 = 1, =- x 2 3, x 3 = ;     6 = 2, 1 4, x x 3 2 x ;       5)  1 =- 4 = 4, x ; 3)  1 x 3, 2 = = x 3 1, x 2 =- =- 3 . 3, x 3 =- 3 9. 10. = 2 3 2 0, 0, x x x 2 x 2 x 3 2, 2 4 x      x 1)  1 x 4)  1 Решить систему уравнений    12 4 x 3 x 1    x 2 6 x 3 2 3 1   x 9 2 x 3 1 = = ; 2)  1 = = x 4, 0, 6 6, x 2 = = ;       5)  1 =- = 4, 2 x x x 3 2 Решить систему уравнений  3 x 1  x  = 0, =-  6 x x 2 3  x 2 3   3 x = 0, = x 2 5 = 1, 2/ 3 x ; 2)  1 =- 2 x x ;       5)  1 3 8 x 1 4 x 1      x 1)  1 x 4)  1  2 x 2   4   3 = ; 3)  1 x 5 x 3 = = . 0, 0 x 3 = 0, =- x 2 2, x 3 = ;     2 = ; 3)  1 x 2 x 3 = = . 6 0, x 3 11. СЛАУ называется совместной, если она: = x 2 = 4, 0, x 2 x 2 2, x 3 0, = = 1, = 6, x 2 = ;      5 x 3 a) имеет одно решение b) имеет два решения c) имеет единственное решение d) имеет множество решений 12. СЛАУ называется неопределённой, если она: a) имеет одно решение b) имеет более одного решения c) имеет два решения d) имеет единственное решение e) имеет множество решений 13. К каким СЛАУ применим метод обратной матрицы и метод  Крамера? a) с равным количеством уравнений и неизвестных b) с различным количеством уравнений и неизвестных c) с невырожденной основной матрицей d) с вырожденной основной матрицей e) любым Ответ: метод обратной матрицы: a), c); метод Крамера a), c), d). 14. Для каких матриц применимы понятия ранга матрицы и  определителя? a) квадратные b) любые 19 c) единичные d) треугольные  e) ступенчатые Ответ: ранг матрицы: b);  определитель: a), c), d). 15. Определите последовательность шагов в методе Гаусса: a) обратный ход b) приведение к треугольному или ступенчатому виду c) исключение неизвестных d) определение неизвестных Ответ: c), b), a), d). 16. Определите последовательность шагов в методе Крамера: a) определение неизвестных b) вычисление определителей для каждой неизвестной c) вычисление главного определителя d) определение количества решений Ответ: c), b), d), a). 17. При каких условиях СЛАУ имеет единственное решение? Ответ: если главный определитель не равен нулю. 18. Какая теорема связывает ранг матрицы и совместность СЛАУ?  Ответ: Теорема Кронекера ­ Капелли. 19. СЛАУ называется однородной, если … 20. Ответ: все свободные члены равны нулю. Ранг матрицы не меняется при … преобразованиях. Ответ: элементарных. 20