КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ предназначен для контроля и оценки образовательных достижений, обучающихся по программе учебной дисциплины «Линейная алгебра» в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы ВПО.
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ входит в состав учебно-методического комплекса дисциплины «Линейная алгебра» и является неотъемлемой частью нормативно-методического обеспечения системы оценки результата освоения обучающимися ООП ВО.
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ по дисциплине «Линейная алгебра» представляет собой совокупность оценочных средств и методов их использования для осуществления контроля процесса освоения компетенций, определенных в ФГОС ВПО.
Негосударственное образовательное частное
учреждение высшего образования «Московский
финансовопромышленный университет «Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор,
кандидат экономических наук
___________________
А.И. Васильев
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
для проведения текущего контроля
успеваемости
по дисциплине
«Линейная алгебра»
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики
и естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составители:
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru
Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ruМосква 2017
СодержаниеТесты
Тема 1. Алгебра матриц
1. Найдите сумму матриц
1
2
3
1
1
2
0
1
2
1
1
0
1
0
1
1
1
2
1)
00
13
13
1
2
0
; 2)
21
10
20
1
1
3
; 3)
022
012
110
; 4)
217
26
24
4
3
; 5)
23
02
12
1
2
1
2. Найти сумму матриц
23
02
12
01
2
01
+
3
32
3
1
2
1
; 2)
6
34
5
1
1
1
1
1
; 3)
16
034
05
1
1
;4)
6
24
5
1
1
1
0
1
;
1)
5)
6
34
5
6
34
5
1
1
1
2
1
0
1
1
0
1
3.
Найти сумму матриц
1
2
35
2
2
34
3
4
31
2
2
5
3
2
1
+
; 2)
0
01
10
1)
22
2
0
022
012
101
; 5)
022
012
300
4)
022
012
100
; 3)
022
012
110
;
.
4Найти сумму матриц
2
3
2
12
3
4
02
2
11
34
24
31
+
217
36
24
217
36
04
4.
4)
5.
4
3
1)
; 2)
4
3
2
3
; 5)
217
36
4
217
36
24
3
Найти разность матриц
35
34
31
23
02
12
2
2
5
1
2
1
4
2
; 3)
217
26
24
4
3
;
54)
6.
1)
1
0
; 2)
; 5)
12
32
1
1
12
32
0
421
12
1
12
32
0
2
3
621
621
Найти разность матриц
3
12
3
02
2
11
34
24
31
2
2
4
5
1
1
2
1
0
62
; 3)
12
32
621
1
0
1
2
1)
2
4
2
0
5
; 2)
2
1
2
5
1
3
2
0
5
; 3)
1
2
2
5
1
4
2
0
5
;
5
1
4)
1
2
2
4
2
0
5
; 5)
0
5
1
4
2
0
5
.
67.
Найти разность матриц
3
12
3
02
2
11
23
02
12
14
4
22
0
10
1
1)
4)
1
2
1
0
10
1
; 3)
0
10
1
14
4
22
;
14
4
2
2
14
4
22
.
; 2)
0
0
1
14
1
22
4
; 5)
0
10
1
8.
Найти произведение действительного числа на матрицу
1
3
6
12
3
9
0
27
6
12
36
7
1)
; 2)
; 3)
2
;
2
4
2
2
4
4
12
2
4
4
12
3
1
91
3
0
01
3
2
4
0
91
3
0
91
Найти произведение действительного числа на матрицу
3
0
91
2
4
12
2
4
4
12
12
2
2
4
; 5)
.
4)
9.
32
20
623
2
1
2
1)
2
4
0
46
64
4
12
; 2)
2
4
0
46
64
12
4
; 3)
2
4
0
46
64
4
12
;
84)
10.
.
2
4
; 5)
0
46
64
4
12
2
1
64
3
12
0
46
Найти произведение действительного числа на матрицу
1
2
0
4
3
1
4
10
1
1
4
1
4
1
4
12
2
0
1)
12
0
1
4)
2
0
1
1
1
1
4
12
4
12
; 3)
2
1
1
1
4
12
;
.
; 2)
; 5)
2
0
11. Две матрицы можно сложить, если они:
1. имеют одинаковый размер
2. имеют разные размеры
3. диагональные одинакового размера
4. треугольные одинакового размера
12. Две матрицы можно умножить, если:
1. обе имеют одинаковый размер
2. обе квадратные одного размера
3. количество столбцов в первой равно количеству строк во
9второй
4. обе треугольные
5. обе имеют обратную матрицу
13. С какими матрицами можно производить операции:
Умножение на число
Прямоугольные
Квадратные
Единичные
Треугольные
Транспонирование
Прямоугольные
Квадратные
Единичные
Треугольные
14. Какими свойствами обладают матричные операции
Сложение
Коммутативность
Ассоциативность
Дистрибутивность
Умножение
Коммутативность
Ассоциативность
Дистрибутивность
15. Определите последовательность фраз в определении треугольной
матрицы. Треугольной называется:
a) расположенные выше главной диагонали,
b) равны нулю
c) матрица,
d) все элементы,
e) квадратная
f) в которой
Ответ: e), c), f), d), a), b)
16. Определите последовательность фраз в определении единичной
матрицы. Единичной называется:
a) в которой
b) расположенные вне главной диагонали,
c) все элементы,
d) равны нулю
e) матрица,
f) квадратная
Ответ: f), e), a), c), b), d)
17. Какая матрица играет в теории матриц такую же роль, как «1» в
теории чисел? Ответ: Единичная
18. Какая матрица играет в теории матриц такую же роль, как «0» в
теории чисел? Ответ: Нулевая
19. Вычитать можно только матрицы …
Ответ: одинакового размера.
20. Если результат перемножения двух матриц не зависит от порядка
сомножителей, такие матрицы называются …
Ответ: коммутирующими.
101.
2.
3.
4.
Тема 2. Теория определителей
Вычислить определитель
3
3
2
1
1) 0; 2) 1; 3) 1; 4) 9; 5) 11.
Вычислить определитель
5
3
2
1
1) 0; 2) 1; 3) 1; 4) 11; 5) 11.
Вычислить определитель
-
2 5
2
6
1) 34; 2) 26; 3) 14; 4) 34; 5) 12.
Вычислить минор элемента x определителя
x
43
5
2123
1111
0224
1) 0; 2) 2; 3) 2; 4) 4; 5) 6.
5.
Вычислить алгебраическое дополнение элемента y
определителя
151
2
y
1
154
1) 0; 2) 1; 3)1; 4) 2; 5) 5.6.
7.
Найти ранг матрицы
111
222
444
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
Найти ранг матрицы
1111
3412
2222
4444
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
Найти обратную матрицу для матрицы
8.
А=
21
43
1)
1A =
3
2
12
1
2
; 2)
1A =
5
2
12
1
2
;
123)
1A =
3
2
22
1
2
; 4)
1A =
3
2
12
3
2
; 5)
1A =
3
2
42
1
2
.
9.
Найти обратную матрицу для матрицы
А=
54
221
75
5
2
1)
1A =
1
3
3)
1A =
1
3
5)
1A =
1
3
18
12
3
18
10
3
18
12
3
25
15
3
25
17
3
25
17
3
20
13
3
20
13
3
10
13
3
; 2)
1A =
1
3
; 4)
1A =
1
3
18
12
3
18
12
3
25
13
3
25
17
3
.
13
20
13
3
20
13
3
;
;10.
Найти обратную матрицу для матрицы
А=
112
120
213
1)
1A =
2
1
1
3
2
1
3
1
3
1
3
2
3
4
3
; 2)
1A =
1
1
2
1
3
1
3
2
3
; 3)
1A =
1
1
1
3
1
3
2
1
3
2
3
4
3
1
3
;
1
3
1
3
1
3
4
3
1
3
.
1
1
1
3
1
1
3
1
3
2
3
4
3
1
4)
; 5)
1A =
1
3
1A =
2
3
4
3
11. Определитель матрицы равен нулю, если:
2
2
1
3
1
3
a) матрица имеет одинаковые параллельные ряды
b) два элемента матрицы раны нулю
c) не менее трёх элементов матрицы равны нулю
d) матрица имеет ряд из одних нулей
e) если какойнибудь ряд матрицы является линейной
комбинацией параллельных ему рядов
12. Определитель третьего порядка можно вычислить,
a) вычтя друг из друга произведения элементов главной и
побочной диагоналей
14b) по правилу треугольников
c) вычислив сумму произведений элементов любого ряда на
их алгебраические дополнения
d) перемножив все элементы определителя
13. Для каких матриц применимы понятия определителя и обратной
матрицы?
a) Квадратные
b) Матрицастолбец
c) Вырожденные
d) Матрицастрока
e) Треугольные
f) Прямоугольные
Ответ: Определитель: a), c), e); Обратная матрица: a), e)
14. Какие операции не изменяют определитель и обратную матрицу?
a) транспонирование
b) элементарные преобразования
c) сложение элементов какоголибо ряда с соответствующими
элементами другого параллельного ряда
d) сложение элементов какоголибо ряда с соответствующими
элементами другого параллельного ряда, умноженных на
одно и то же число
Ответ: определитель: a), c), d); обратная матрица: никакие.
15. Определите последовательность шагов вычисления обратной
матрицы:
1. Деление полученной матрицы на детерминант исходной
2. Вычисление алгебраических дополнений
3. Вычисление детерминанта исходной матрицы
4. Составление матрицы алгебраических дополнений
5. Транспонирование матрицы алгебраических дополнений
Ответ: 3, 2, 4, 5, 1
16. Из приведённых слов создайте определение ранга матрицы:
a) матрицы
b) наивысший
c) от нуля
d) порядок
e) отличных
f) миноров
Ответ: b), d), e), c), f), a)
17. Для каких матриц существует понятие ранга матрицы?
Ответ: для любых.
18. Какая теорема связывает ранг матрицы и совместность СЛАУ?
Ответ: Теорема Кронекера Капелли.
1519.
Ранг матрицы не меняется при …
Ответ: элементарных преобразованиях.
20. При перестановке местами двух параллельных рядов матрицы её
определитель…
Ответ: изменит знак.
16Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
1.
Решить систему уравнений
3
2
x
1
x
1
1) 1
x
=-
x
1
5
x
2
7
x
2
x=
6;
1;
x
2
13
81
= 2) 1
1;
x
=-
3;
2
=
16;
5) 1
x
= 3) 1
x
.
1
7;
=-
2
x
2
6;
x=
x=
1;
2
=-
2;
4)
2.
3.
4.
2
x
x
x
1
x
1
Решить систему уравнений
3
3
1) 1
x
6
18
= 2) 1
x
x
2
=
3;
=-
4
4
=-
2;
x=
x=
4) 1
x
5) 1
x
x=
0;
6;
2;
6;
1
.
2
2
2
2
= 3) 1
x
6;
x=
0;
2
=-
1,5;
2
Решить систему уравнений
2
x
1
5
x
5
x
x
1
16
3
x
3
10
x
3
2
x
1) 1
x
,1
1
=
x
3,
1
=
1,
x
2
x
2
=
x
2
,3
=
x
0,
3
2,
=
= ; 2) 1
0
x
x
x
3,
2
3
x
; 4) 1
5
x
3
= .
5
=
1,
=
1,
= ; 3)
0
=
x
0,
3
x
3
x
2
= ; 5)
5
Решить систему уравнений
x
1
2
x
1
x
5
1
x
6
2
3
x
7
16
3
16
x
x
2
3
2
x
x
3
2
2
1) 1
x
=
3,
=
1,
x
2
=-
x
3
1
x
; 2) 1
=
3,
=
3,
x
2
= ; 3) 1
0
x
=
10,
x
3
=
2,
x
2
= ;
1
x
35.
6.
7.
8.
x
2
3
3
2
2
x
2
x
3
1,
3,
3
x
3
2,
4,
x
3
x
3
x
2
x
2
x
3
x
x
2
x
=
12,
1,
1,
x
2
2
x
x
=
2,
=
1,
2
x
4
= ; 5) 1
2
x
x
1
x
= ; 2) 1
1
x
=-
1
2
2
2
=-
=-
1,
x
1) 1
x
4) 1
3
3
4
3
=-
=-
2
.
x
3
=-
3
x
7
x
1
x
6
3
=
=
x
4) 1
Решить систему уравнений
2
x
x
1
x
2
3
1
x
3
2
1
=
x
2
=
; 5) 1
x
Решить систему уравнений
2
x
1
4
x
1
=
x
1) 1
=
3) 1
x
=
3,
x
1
Решить систему уравнений
12
x
3
3
4
x
6
x
1
x
2
3
5
x
2
1
=
=-
= ; 2) 1
=
x
x
0,
6
x
2
3
=
= ; 5) 1
=
=
3,
10
1,
x
Решить систему уравнений
x
1
3
2
=
x
3
3
11
x
3
2
x
=
1,
x
1) 1
; 4) 1
x
x
x
1
2
2
x
x
7
=-
x
3
=
1,
x
2
=
x
1
; 2) 1
=-
=
3,
x
3
x
1) 1
x
4) 1
2
x
1
x
1
x
2
=-
3,
x
3
x
x
x
3,
3,
x
3
x
2
x
2
0,
x
2
1,
3,
2
2
2
3
3
4
18
2
3
=
13,
x
2
=
0,
= .
1
x
3
= ; 3) 1
2
x
x
3
=-
= .
2,
1
x
3
1,
x
2
=
2,
=
6,
x
2
=-
x
3
1
;
=-
=
3,
=
1,
x
2
x
; 2) 1
x
; 4) 1
=-
1,
=
1
1
x
3
= ;
0
=
1,
3,
x
2
=-
x
3
1
; 5)
=
x
2
x
7,
3
=-
= ; 3) 1
5
x
= .
2
x
1,
3
=
1,
=-
x
2
3,
x
3
= ;
6
=
2,
1
4,
x
x
3
2
x
; 5) 1
=-
4
=
4,
x
; 3) 1
x
3,
2
=
=
x
3
1,
x
2
=-
=-
3
.
3,
x
3
=-
39.
10.
=
2
3
2
0,
0,
x
x
x
2
x
2
x
3
2,
2
4
x
x
1) 1
x
4) 1
Решить систему уравнений
12
4
x
3
x
1
x
2
6
x
3
2
3
1
x
9
2
x
3
1
=
= ; 2) 1
=
=
x
4,
0,
6
6,
x
2
=
= ; 5) 1
=-
=
4,
2
x
x
x
3
2
Решить систему уравнений
3
x
1
x
=
0,
=-
6
x
x
2
3
x
2
3
3
x
=
0,
=
x
2
5
=
1,
2/ 3
x
; 2) 1
=-
2
x
x
; 5) 1
3
8
x
1
4
x
1
x
1) 1
x
4) 1
2
x
2
4
3
= ; 3) 1
x
5
x
3
=
= .
0,
0
x
3
=
0,
=-
x
2
2,
x
3
= ;
2
= ; 3) 1
x
2
x
3
=
= .
6
0,
x
3
11. СЛАУ называется совместной, если она:
=
x
2
=
4,
0,
x
2
x
2
2,
x
3
0,
=
=
1,
=
6,
x
2
= ;
5
x
3
a) имеет одно решение
b) имеет два решения
c) имеет единственное решение
d) имеет множество решений
12. СЛАУ называется неопределённой, если она:
a) имеет одно решение
b) имеет более одного решения
c) имеет два решения
d) имеет единственное решение
e) имеет множество решений
13. К каким СЛАУ применим метод обратной матрицы и метод
Крамера?
a) с равным количеством уравнений и неизвестных
b) с различным количеством уравнений и неизвестных
c) с невырожденной основной матрицей
d) с вырожденной основной матрицей
e) любым
Ответ: метод обратной матрицы: a), c); метод Крамера a), c), d).
14. Для каких матриц применимы понятия ранга матрицы и
определителя?
a) квадратные
b) любые
19c) единичные
d) треугольные
e) ступенчатые
Ответ: ранг матрицы: b); определитель: a), c), d).
15. Определите последовательность шагов в методе Гаусса:
a) обратный ход
b) приведение к треугольному или ступенчатому виду
c) исключение неизвестных
d) определение неизвестных
Ответ: c), b), a), d).
16. Определите последовательность шагов в методе Крамера:
a) определение неизвестных
b) вычисление определителей для каждой неизвестной
c) вычисление главного определителя
d) определение количества решений
Ответ: c), b), d), a).
17. При каких условиях СЛАУ имеет единственное решение?
Ответ: если главный определитель не равен нулю.
18. Какая теорема связывает ранг матрицы и совместность СЛАУ?
Ответ: Теорема Кронекера Капелли.
19. СЛАУ называется однородной, если …
20.
Ответ: все свободные члены равны нулю.
Ранг матрицы не меняется при … преобразованиях.
Ответ: элементарных.
20
КТЗ Линейная алгебра ВПО.doc
