Комплесные числа

Комплексные числа

Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. Слово «комплекс» означает связь, сочетания, совокупность понятий, предметов, явлений.

История возникновения комплексных чисел

Развитие понятия о числе

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е еще в 16 веке.

Важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. 

Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант и в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.

Понятие комплексного числа

Решение многих задач математики,физики сводятся к решению алгебраичаских уравнений.

Так для решаемости уравнений вида 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +A = B положительных чисел недостаточно.

Комплекснами числами называют выражения вида 𝐴𝐴+𝐵𝐵∗𝑖𝑖,где 𝐴𝐴 и 𝐵𝐵 −действительные числа, а 𝑖𝑖 −некоторый символ,такой что 𝑖 2 𝑖𝑖 𝑖 2 2 𝑖 2 = -1, и обозначают буквой Z.

Геометрическое изображение комплексных чисел

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа Геометрическое изображение комплексных чисел.
Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа Геометрическое изображение комплексных чисел.

Тригонометрическая форма комплексного числа

𝑧𝑧=𝑟𝑟( cos 𝝋+ sin 𝝋 cos cos 𝝋+ sin 𝝋 𝝋𝝋+ sin 𝝋 sin sin 𝝋 𝝋𝝋 sin 𝝋 cos 𝝋+ sin 𝝋

Где 𝝋 – аргумент комплексного числа

𝑟𝑟= 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 - модуль комплексного числа

cos 𝝋= 𝑎 𝑎 2 + 𝑏 2 cos cos 𝝋= 𝑎 𝑎 2 + 𝑏 2 𝝋𝝋= 𝑎 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 𝑎 2 + 𝑏 2 cos 𝝋= 𝑎 𝑎 2 + 𝑏 2 и sin 𝝋= 𝑏 𝑎 2 + 𝑏 2 sin sin 𝝋= 𝑏 𝑎 2 + 𝑏 2 𝝋𝝋= 𝑏 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏 𝑎 2 + 𝑏 2 sin 𝝋= 𝑏 𝑎 2 + 𝑏 2

Сложение
Суммой двух комплексных чисел 𝑧 1 𝑧𝑧 𝑧 1 1 𝑧 1 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 i и 𝑧 2 𝑧𝑧 𝑧 2 2 𝑧 2 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 i называется число z, которое равно ( 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 )+( 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 )i

Вычитание
Разностью двух комплексных чисел 𝑧 1 𝑧𝑧 𝑧 1 1 𝑧 1 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 i и 𝑧 2 𝑧𝑧 𝑧 2 2 𝑧 2 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 I называется число 𝑧𝑧= 𝑧 1 𝑧𝑧 𝑧 1 1 𝑧 1 - 𝑧 2 𝑧𝑧 𝑧 2 2 𝑧 2 ,действительная и мнимая часть которого есть разностью действительных и мнимых частей чисел 𝑧 1 𝑧𝑧 𝑧 1 1 𝑧 1 и 𝑧 2 𝑧𝑧 𝑧 2 2 𝑧 2 соответственно : 𝑧𝑧= 𝑎 1 − 𝑎 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 − 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑎 1 − 𝑎 2 + 𝑏 1 − 𝑏 2 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 − 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑏 1 − 𝑏 2 i

Действия с комплексными числами

Умножение

Произведением двух комплексных чисел 𝑧 1 𝑧𝑧 𝑧 1 1 𝑧 1 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 i и 𝑧 2 𝑧𝑧 𝑧 2 2 𝑧 2 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 i называется комплексное число z, равное 𝑧𝑧= 𝑧 1 𝑧𝑧 𝑧 1 1 𝑧 1 ∗ 𝑧 2 𝑧𝑧 𝑧 2 2 𝑧 2 =( 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 - 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 )=( 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 + 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 )i

Частным двух комплексных чисел 𝑧 1 𝑧𝑧 𝑧 1 1 𝑧 1 = 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 и 𝑧 2 𝑧𝑧 𝑧 2 2 𝑧 2 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 i называется число z, которое задается соотношением:

Комплексные числа постоянно имеют свою «неправду» и недействительность широко используемого формата. Они играют важную роль не только в математике, но и в таких науках, как физика и химия. Следовательно, нам необходимо расширить наши знания о комплексных числах, свойствах и свойствах.

Спасибо за внимание!