Конспект открытого урока по математике "Обратные тригонометические функции"

Конспект открытого урока по теме «Обратные тригонометрические функции

(арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс)

 

ФИО педагога: Горынцева Анна Яковлевна

Полное название ОО: БПОУ УР «Ижевский техникум индустрии питания»

Предмет (форма занятия): «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия», урок теоретического обучения

Класс (группа): 19.01.04  «Пекарь», 107 группа

Тема урока (занятия): «Обратные тригонометрические функции»

 

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели:

Дидактическая цель: создать условия для формирования новой учебной информации.

Цели по содержанию:

• обучающие – ввести понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса; научить вычислять их значения;

• развивающие - развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание;

• воспитательные - развивать познавательный интерес, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, развивать самостоятельность и аккуратность

Задачи:

1. Сформировать у обучающихся личностную мотивацию к изучению данной темы.

2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями для получения новых знаний.

3. Развивать у обучащихся мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).

Методы обучения: репродуктивный, объяснительно-иллюстративный.

Тип урока: комбинированный.

Формы работы: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Дидактический материал: мультимедийная презентация, карточки.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структура урока

 

1.                  Организационный момент

2.                  Постановка проблемной ситуации.

3.                  Актуализация опорных знаний.

4.                  Усвоение учебного материала.

5.                  Первичное закрепление учебного материала.

6.                  Рефлексия.

7.                  Информация о домашнем задании.

 

 

Ход урока:

1. Организационный момент

Здравствуйте, присаживайтесь. Как ваше настроение?  Кто отсутствует  на занятии?

 

• Индивидуально-дифференцированная работа.

Девизом урока предлагаю слова Алексея Николаевича Крылова, российского математика, зашифрованные в ребусе. Для этого надо решить устные упражнения и по ответам находить слова этого крылатого выражения: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

 

1) 30о = …рад	2)sin	3) ctg	4)  рад = …о	5) cos
6) sin (- )	7) sin ( -	8) tg (- )	9) ctg	10)  =
11) cos ( +	12) cos	13) tg ( -	14) cos

 

cos	идея
	правильная
ctg	ином
	поздно
	находит
	деле
-1	математическая
	рано
0	применение
tg	в
45о	всякая
- cos	том
	или

Запишите получившееся выражение ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Проверка д/з:

1)      Разобрать теорему о корне.

2)      Построить графики (рис. 65, 66, 67, 68)

 

 

СЛАЙД 1

Девиз урока: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение  в том или ином деле»

Давайте, ребята, на уроке будем активны, внимательны, будем добывать знания, ведь они пригодятся вам в дальнейшей жизни.

2. Постановка проблемной ситуации

СЛАЙД 2

У всех на столах таблицы значений тригонометрических функций.

а) Найдите по таблице:

 sin  ;  cos  ;  tg  ; ctg ; sin (- ); tg (- )

3. Актуализация опорных знаний

А теперь такой  вопрос:   (записи делать на доске)

б) Косинус какого угла равен     ; 0; -  ;   а, если cos х = а ?

- Возникли ли затруднения при ответе на данные вопросы? В чем эти затруднения?

Ученик. Получается несколько углов, а которые нам нужно выбирать?

 

Ученик.  Не можем ответить на последний вопрос.

Значит, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?

Ученик.  Углы будем искать, если известны значения функций.

Ученик  - Будем учиться определять величину угла по известному значению его тригонометрической функции и, может быть, как-то обозначать.

 

Мы не смогли ответить на последний вопрос. А чему равен х? Как его найти? Как обозначить?

 Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ   arcсos а, который читается: арккосинус а.

СЛАЙД 3

Запишем тему сегодняшнего урока:

 «Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс».

Значит, какая цель нашего урока?

Ученики: познакомиться с понятиями арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и находить их значения.

4. Усвоение учебного материала

Какие ассоциации возникают со словом арк?

Арка - обычно дугообразное перекрытие проёма в стене или пролёта между двумя опорами.

Аркада - ряд арок, составляющих архитектурное целое.

Аркан - длинная верёвка с затягивающейся петлёй на конце для ловли животных (накинуть аркан)

Триумфа́льная а́рка — архитектурный памятник, представляющий собой большую торжественно оформленную арку. Триумфальные арки устраиваются при входе в города, в конце улиц, на мостах, на больших дорогах в честь победителей или в память важных событий.

СЛАЙД 4

Аrccos а - приставка arc от лат. arcus – дуга, т. е дуга,  косинус которого равен а.  То есть арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – это углы, т.е. числа.

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс  это обратные тригонометрические функции функциям синус, косинус, тангенс, котангенс.

 

Давайте начнем с понятия арккосинус.

СЛАЙД 5

Определение.  Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0;], косинус которого равен а, т.е. arccos a = х, т.к. cos х = а и х  [0;]

 arccos a = х, т.к. cos х = а и х  [0;].

А почему именно из отрезка [0;]?

Давайте, ребята, вспомним теорему о  корне, которую должны были рассмотреть дома.  О чем говорится в ней?

 

СЛАЙД 6

Теорема о корне. Пусть функция возрастает  (или убывает) на некотором промежутке, число а – любое из значений, принимаемых функцией на этом промежутке. Тогда уравнение  f (х) = а имеет единственный корень в этом промежутке.

 

СЛАЙД 7

Функция косинус убывает на отрезке  [0;]  и  принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что   1, на отрезке  [0;] существует единственный корень уравнения cos х = а. Это число в называют арккосинусом  числа а.

Поскольку чисел, косинус которых задает данное число, бесконечно много, при введении арккосинуса условились ограничить значение арккосинуса интервалом .

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

СЛАЙД 8

Определение.  Арксинусом  числа а называют такое число из отрезка     , синус которого равен а, т. е

 arcsin a = х, т. к. sin х = а,  х

СЛАЙД 9

Функция синус возрастает на отрезке  и принимает все значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что   1 в промежутке  существует единственный корень в уравнения sin х = а. Это число в называют арксинусом  числа а.

Поскольку чисел, синус которых задает данное число, бесконечно много, при введении арксинуса условились ограничить значение арксинуса интервалом

 

Рассмотрим примеры

СЛАЙД 10

Пример 1.

arccos  = , т.к. сos  =  и   [o; ]

Пример 2.

arccos  ) = , т.к. сos  = -  и   [o; ] (решают самостоятельно)

СЛАЙД 11

Пример 3.

arcsin  =  , т.к. sin  =  и   

Пример 4.

arcsin  = -  , т.к. sin  = -  и    (решают самостоятельно)

 

Определения арктангенса и арккотангенса обучающиеся разбирают самостоятельно.

СЛАЙД 12

Определение. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала ( ;), тангенс которого равен а, т.е.

 arctg a = x, т.к. tg x = a  и х  ( ;)

СЛАЙД 13

На интервале  функция тангенс возрастает и принимает все значения из множества действительных чисел. Поэтому для любого числа а на интервале  существует единственный корень в уравнения tg x = a , его называют арктангенсом числа.

 

СЛАЙД 14

Определение. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; ), котангенс которого равен а, т.е. arcctg a = x, т.к.сtg х = а и х  (0; ).

СЛАЙД 15

На интервале  функция котангенс убывает и принимает все значения из множества действительных чисел. Поэтому для любого числа а на интервале  существует единственный корень в уравнения сtg x = a, его называют арккотангенсом числа.

 

СЛАЙД 16

Пример 5.

arctg 1 =  , т.к. tg  = 1 и     ( ;)

Пример 6.

аrctg (- ) = -  , т.к. tg (- = -   и -    ( ;). (самостоятельно)

СЛАЙД 17

Пример 7.

arcctg  =  ,   т.к. ctg   =     и     (0; ).

Пример 8.

arcctg () =  , т.к. ctg  = ()  и     (0; ). (самостоятельно)

Давайте, ребята, сделаем вывод занятия. Чему вы сегодня научились?  Что нового вы узнали?

Ученик: Узнали, что значит арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Научились находить их по известному значению тригонометрических функций.

СЛАЙД 18

Вернемся к нашему примеру: cos х = а. Чему равняется х?

х = arccos a. Через урок научимся решать такие уравнения.

Вывод: То, что мы узнали сегодня, пригодится нам на дальнейших уроках.

Значит, как вы думаете для чего нужны аркфункции? Для решения тригонометрических уравнений, которые скоро мы начнем изучать.

 

 

 

 

 

 

5. Первичное закрепление учебного материала

Письменная работа практической направленности

№ 1. Выясните, верно ли равенство

arcsin (- 1) =	нет	т.к. 1)  sin = - 1,          2) но    ]
arccos  =		т.к. 1)                               2)
arcsin  =		т.к. 1)                                2)
arccos 1 =		т.к. 1)                                2)
arctg ) =		т.к. 1)                                2)
arctg (-1) = -		т.к. 1)                                2)
arctg  =		т.к. 1)                                2)
arctg (-  =		т.к. 1)                                2)
arctg  =		т.к. 1)                                2)
arccos( - ) =		т.к. 1)                                2)

№ 2. Вычислите:

1. a) arcsin (-  )    б)  arcsin 1         в) arcsin 0           г) arcsin (- )

2. a) arccos 1        б) arccos (-)     в) arccos (- )     г) arccos (  )  

3. a) arctg         б) arctg 0             в) arctg            г) arctg (-1)

4. а) arcctg 0        б) arcctg (-     в) arcctg 1            г) arcctg(- )   

№ 3. Найдите значения выражений:

1. а)  arcsin 0 +  arccos 0         б)  arcsin (- ) + arccos

   в)  arcsin   + arccos           г)  arcsin (- 1) + arccos       

2. а) arccos (- 0,5) + arcsin (- 0,5)     б) arccos (  ) -  arcsin(-1)

    в) arccos (- )  +  arcsin (- )       г) arccos    - arcsin       

3.  а) arctg 1 -  arctg          б) arctg (-  + arctg 0

    б) arctg 1 -  arctg (- 1)        в)  arctg   +  arctg                 

4.  а) 2 arcsin (- ) + arctg (-1) + arccos 

     б) 3 arcsin  + 4 arccos (-  ) -  arcctg (-   

     в) arctg (-  + arccos (- ) + arcsin 1  

     г)  arcsin (-1) -  arccos  + 3 arctg(- )  

№ 4. Вычислить:

а) сos (arcsin )

Решение: Пусть угол  = arcsin  , тогда по определению синуса sin  =   и ;  ]. Следовательно, надо найти соs . Используя основное тригонометрическое тождество, получим

cos  =  =  =   Учтено, что ;  ] и cos  0 . Итак, сos (arcsin ) =  .

б) sin (arccos )

 

 

6. .Рефлексия.

- Урок мы начали с крылатого выражения: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле». То, что мы сегодня узнали пригодится нам при решении тригонометрических уравнений.

 

Рефлексия

Задание

Указание: по желанию выбрать себе фразу (несколько фраз), закончить ее (их) самостоятельно, озвучить.

- Сегодня я узнал… ___________________________

- Было трудно________________________________

- Я понял _________________________________

-Теперь я могу…__________________________

- Я научился…________________________________

-Урок дал мне для жизни…________________________

- Что-нибудь свое?

7.  Информация о домашнем задании.
Составить кластер по теме «Обратные тригонометрические функции»

Спасибо за урок.